클라인-고든 방정식

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1. 개요

클라인-고든 방정식은 1920년대에 에르빈 슈뢰딩거, 오스카르 클레인, 발터 고르돈 등에 의해 개발된 상대론적 양자역학의 기본 방정식이다. 이 방정식은 스핀이 없는 입자를 기술하며, 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하려는 시도에서 비롯되었다. 클라인-고든 방정식은 처음에는 확률 해석의 문제점과 음의 에너지 해 때문에 어려움을 겪었지만, 1934년 볼프강 파울리와 빅토르 바이스코프에 의해 스핀 0 보스 입자의 장을 기술하는 올바른 방정식임이 밝혀졌다. 이 방정식은 이후 스칼라장 이론과 파이 중간자 이론의 발전에 기여했으며, 힉스 보손과 같은 기본 입자를 설명하는 데에도 사용된다. 클라인-고든 방정식은 라그랑지언과 변분법을 통해 유도되며, 다양한 표현 방식과 해를 가진다. 또한, 전자기장, 스칼라 색역학, 곡선 시공간 등 다양한 상황으로 확장될 수 있다.

2. 역사

에르빈 슈뢰딩거는 1925년경 전자의 물질파를 기술하는 방정식을 찾다가 오늘날 클라인-고든 방정식이라 불리는 방정식을 고안했다. 이 방정식은 전자의 스핀을 무시하여 수소 원자의 전자 구조를 올바르게 예측하지 못했다. 그러나 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대적 극한이 유용하다는 것을 깨닫고, 1926년 1월에 슈뢰딩거 방정식으로 발표하였다.

같은 해 소련의 블라디미르 포크는 슈뢰딩거 방정식을 자기장이 있을 경우로 일반화하여 클라인-고든 방정식을 유도하였으나, 이는 서방 학계에 잘 알려지지 않았다. 곧 오스카르 클라인^[26]과 발터 고르돈^[27]이 상대론적 전자를 기술하기 위해 이 방정식을 제시하였고, 이를 따 "클라인-고든 방정식"으로 알려지게 되었다.

파동역학의 기초 방정식을 유도하던 에르빈 슈뢰딩거는 상대론적인 방정식을 고려했지만, 수소 원자 스펙트럼 구조를 올바르게 나타낼 수 없어 1926년에 비상대론적인 슈뢰딩거 방정식을 유도하였다. 루이 드 브로이 또한 드 브로이 파 이론에서 입자성과 파동성을 갖는 물질장을 상대론적으로 논했다.

슈뢰딩거 방정식에 의한 양자역학 정식화가 성공한 직후, 오스카 클라인^[19], 발터 고든^[20]은 비상대론적인 슈뢰딩거 방정식을 상대론적인 방정식으로 확장하는 클라인-고든 방정식을 제안했다. 같은 시기에 블라디미르 포크^[21], J. Kudar^[22], 테오필 드 돈데^[23] 등도 비슷한 제안을 했다.

하지만 초기에는 방정식이 기술하는 $\phi(\boldsymbol{x},t)$ 가 파동 함수로 해석되었기 때문에, 확률 밀도가 음의 값을 가질 수 있다는 점과 양의 에너지 해 외에도 음의 에너지 해가 나타난다는 문제점을 안고 있었다. 1928년 폴 디랙은 이러한 문제를 해결하기 위해 디랙 방정식을 유도했다.^[24]

1934년 볼프강 파울리와 빅토르 와이스코프는 정준 양자화된 스핀 0의 보스 입자의 장이 만족하는 방정식이 클라인-고든 방정식임을 밝혀냈다.^[25] 이후, 클라인-고든 방정식을 만족하는 스칼라장 이론은 파이 중간자 이론의 발전에 기여하게 되었다.

이 방정식은 스칼라 또는 의사 스칼라장을 포함한다. 입자 물리학에서 전자기적 상호 작용을 통합하여 스칼라 전기역학을 형성할 수 있지만, 파이온과 같은 입자에 대한 실용적 유용성은 제한적이다.^[3]^[4] 응집 물질 분야에서는 스핀이 없는 준입자의 근사에 사용할 수 있다.^[5]^[6]^[7]

클라인-고든 방정식은 1926년에 상대론적 전자를 설명한다고 제안한 물리학자 오스카 클라인^[12]과 발터 고든^[13]의 이름을 따서 명명되었다. 블라디미르 포크^[14]는 클라인의 연구보다 약간 늦은 1926년에 이 방정식을 독립적으로 발견했다.

2. 1. 슈뢰딩거의 초기 연구 (1925년)

에르빈 슈뢰딩거는 전자의 물질파를 기술하는 방정식을 찾다가 1925년경에 오늘날 클라인-고든 방정식이라 불리는 방정식을 고안하였다. 슈뢰딩거는 이 방정식을 수소 원자에 적용하는 원고를 준비했던 것으로 보이나, 전자의 스핀을 고려하지 못했기 때문에 수소 원자의 미세 구조를 부정확하게 예측했다.^[15] 이 때문에 1926년에 비상대론적인 슈뢰딩거 방정식을 유도하게 되었다. 1926년 1월, 슈뢰딩거는 미세 구조 없이 수소의 보어 에너지 준위를 예측하는 비상대론적 근사인 ''자신의'' 방정식을 출판물로 제출했다.

2. 2. 독립적인 재발견 (1926년)

에르빈 슈뢰딩거는 1925년경 전자의 물질파를 기술하는 방정식을 찾다가 오늘날 클라인-고든 방정식이라 불리는 방정식을 고안하였다.^[15] 그러나 이 방정식은 전자의 스핀을 무시하여 수소 원자의 전자 구조를 올바르게 예측하지 못했다. 그럼에도 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대적 극한이 유용하다는 것을 깨닫고, 1926년 1월에 슈뢰딩거 방정식으로 발표하였다.^[15]

같은 해, 소련의 블라디미르 포크는 슈뢰딩거 방정식을 자기장이 있을 경우로 일반화하여 클라인-고든 방정식을 유도하였으나, 서방 학계에는 잘 알려지지 않았다.^[14] 곧 오스카르 클라인^[26]과 발터 고르돈^[27]이 상대론적 전자를 기술하기 위해 이 방정식을 제시하였고, 이를 따 "클라인-고든 방정식"으로 알려지게 되었다.

클라인의 논문은 1926년 4월 28일에 접수되었고,^[12] 포크의 논문은 1926년 7월 30일에,^[14] 고든의 논문은 1926년 9월 29일에 접수되었다.^[13] 같은 해에 이와 유사한 주장을 한 다른 저자로는 요한 쿠다르,^[22] 테오필 드 동더^[23], 프란스-H. 판 덴 덩겐, 루이 드 브로이가 있다.

연구자	논문 접수일
오스카르 클라인	1926년 4월 28일
블라디미르 포크	1926년 7월 30일
발터 고르돈	1926년 9월 29일

2. 3. 초기 문제점과 디랙 방정식 (1928년)

폴 디랙은 1928년에 클라인-고든 방정식의 확률 해석 문제를 해결하고자, 시간에 대해 1계 미분 방정식인 디랙 방정식을 유도했다.^[24] 디랙 방정식에서도 음의 에너지 해가 나타났지만, 이는 파동 함수가 아닌, 양과 음의 전하를 가진 스핀 1/2의 페르미 입자의 장 (디랙 장)을 기술하는 방정식으로 이해되어 상대론적 양자역학의 기초 방정식으로 자리 잡았다.

하지만 초기에 클라인-고든 방정식이 기술하는

\phi(\boldsymbol{x},t)

는 파동 함수로 해석되었기 때문에 몇 가지 문제점을 안고 있었다.

\phi(\boldsymbol{x},t)

를 파동 함수로 간주했을 때, 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 2계 미분 방정식이며, 확률 밀도가 음의 값을 가질 수 있어 양자역학에서 확률 해석이 어려웠다. 또한, 양의 에너지 해 외에도 음의 에너지 해가 나타나 입자가 안정된 상태를 취할 수 없는 문제가 있었다. 이러한 문제들로 인해 클라인-고든 방정식은 한동안 이론에서 제외되었다.

클라인-고든 방정식은 보존되는 양을 허용하지만, 이 양은 양의 정부호가 아니다. 따라서 파동 함수는 확률 진폭으로 해석될 수 없다. 대신 보존되는 양은 전하로 해석되고, 파동 함수의 노름 제곱은 전하 밀도로 해석된다. 이 방정식은 양전하, 음전하 및 0의 전하를 가진 모든 스핀이 없는 입자를 설명한다.

자유 디랙 방정식의 모든 해는 각 네 개의 성분에 대해 자유 클라인-고든 방정식의 해이다. 역사적으로 단일 입자 방정식으로 발명되었음에도 불구하고, 클라인-고든 방정식은 일관된 양자 상대론적 ''일입자'' 이론의 기초를 형성할 수 없으며, 모든 상대론적 이론은 특정 에너지 임계값을 넘어서는 입자의 생성 및 소멸을 암시한다.^[10] ^[11]

2. 4. 파울리와 바이스코프의 해결 (1934년)

폴 디랙은 1928년 클라인-고든 방정식이 가진 확률 해석의 어려움을 해소하고자 이 방정식을 대체하는 기초 방정식으로 시간에 대해 1계 미분 방정식인 디랙 방정식을 유도했다.^[24] 디랙 방정식에서도 음의 에너지 해가 나타났지만, 이는 파동 함수가 아닌, 양과 음의 전하를 가진 스핀 1/2의 페르미 입자의 장 (디랙 장)을 기술하는 방정식으로 이해되면서 상대론적 양자역학의 기초 방정식으로 자리 잡았다.

볼프강 파울리와 빅토르 와이스코프는 1934년 클라인-고든 방정식이 상대론적인 장이 만족하는 올바른 방정식임을 증명했다.^[25] 이들은 정준 양자화를 통해 스핀 0의 보스 입자의 장이 만족하는 방정식이 클라인-고든 방정식임을 밝혀냈다. 이후 클라인-고든 방정식을 만족하는 스칼라장 이론은 파이 중간자 이론 발전에 기여했다.

2. 5. 현대적 의의

클라인-고든 방정식은 파이온과 같은 스핀이 없는 상대론적 복합 입자를 정확하게 설명한다.^[13] 1934년에 볼프강 파울리와 빅토르 와이스코프는 정준 양자화된 스핀 0의 보스 입자의 장이 만족하는 방정식이 클라인-고든 방정식임을 밝혀냈다.^[25] 이후, 클라인-고든 방정식을 만족하는 스칼라장 이론은 파이 중간자 이론 발전에 기여하였다. 2012년 7월 4일, 유럽 입자 물리 연구소 CERN은 힉스 보손의 발견을 발표했는데, 힉스 보손은 스핀이 0인 입자이므로 클라인-고든 방정식으로 설명되는 최초의 관찰된 기본 입자이다.^[13] 관찰된 힉스 보손이 표준 모형의 힉스 보손인지, 아니면 더 이국적인 형태인지는 추가적인 실험과 분석이 필요하다.

3. 정의 및 유도

+−−− 계량 부호수를 사용하고, 자연 단위계 ( $c=\hbar=1$ )를 사용하면, 실수 (전하를 가지지 않는) 스칼라 마당의 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

:: $(\partial^2+m^2)\psi=0.$

여기서 $m$ 은 장의 양자의 질량이다.

이 방정식은 평면파 해 ( $\psi=e^{-ip\cdot x}$ )에 특수 상대성이론의 질량-에너지 동등성( $p^2=m^2$ )을 적용하여 얻을 수 있다. 슈뢰딩거 방정식과는 달리, 주어진 3차원 운동량 $\mathbf p$ 에 대해 가능한 에너지 $p_0$ 값은 양과 음, 두 가지가 존재한다.

클라인-고든 방정식은 비상대론적 슈뢰딩거 방정식에서 유도하거나, 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.

3. 1. 다양한 표현 방식

클라인-고든 방정식은 다양한 방식으로 표현될 수 있다. 방정식 자체는 일반적으로 공간과 시간 성분

\ \left(\ t, \mathbf{x}\ \right)\

을 분리하여 표현하거나 이를 4-벡터

\ x^\mu = \left(\ c\ t, \mathbf{x}\ \right)

로 결합하여 표현하는 위치 공간 형태를 의미한다. 푸리에 변환을 사용하여 장을 운동량 공간으로 변환하면, 해는 일반적으로 특수 상대성 이론에서 유도된 에너지-운동량 분산 관계를 따르는 에너지와 운동량을 가진 평면파의 중첩으로 표현된다.

계량 부호수

\ \eta_{\mu \nu} = \text{diag}\left(\ \pm 1, \mp 1, \mp 1, \mp 1\ \right)

에 대해 일반 단위와 자연 단위계에서 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

계량 부호 $\ \eta_{\mu \nu} = \text{diag}(\pm 1, \mp 1, \mp 1, \mp 1)\$ 을 갖는 일반 단위의 클라인-고든 방정식
	위치 공간	푸리에 변환	운동량 공간
시간과 공간 분리	$\ \left(\ \frac{ 1 }{\ c^2 } \frac{\ \partial^2 }{\ \partial t^2\ } - \nabla^2 + \frac{\ m^2 c^2\ }{ \hbar^2 }\ \right)\ \psi(\ t, \mathbf{x}\ ) = 0\$	$\ \psi(\ t, \mathbf{x}\ ) =$	$\ E^2 - \mathbf{p}^2 c^2 = m^2 c^4\$
4-벡터 형태	$\ \left(\ \Box + \mu^2\ \right) \psi = 0 , \quad \mu = \frac{\ m\ c\ }{ \hbar }\$	$\ \psi(\ x^\mu\ ) = \int\ e^{ -i\ p_\mu\ x^\mu / \hbar}\; \psi(\ p^\mu\ )\; \frac{\ \mathrm{d}^4 p\ }{~ \left( 2 \pi \hbar \right)^4\ }\$	$\ p^\mu\ p_\mu = \pm m^2\ c^2\$

여기서 $\ \Box = \pm \eta^{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu\$ 는 파동 연산자이고 $\nabla^2$ 는 라플라스 연산자이다.

계량 부호 $\ \eta_{\mu \nu} = \text{diag}\left(\ \pm 1, \mp 1, \mp 1, \mp 1\ \right)\$ 을 갖는 자연 단위의 클라인-고든 방정식
	위치 공간	푸리에 변환	운동량 공간
시간과 공간 분리	$\ \left(\ \partial_t^2 - \nabla^2 + m^2 \right)\ \psi(\ t, \mathbf{x}\ ) = 0\$	$\ \psi(\ t, \mathbf{x}\ ) = \int \left\{\ \int$	$\ E^2 - \mathbf{p}^2 = m^2\$
4-벡터 형태	$\ \left(\ \Box + m^2\ \right) \psi = 0\$	$\ \psi(\ x^\mu\ ) = \int e^{ -i\ p_\mu x^\mu }\ \psi(\ p^\mu\ )\ \frac{ \mathrm{d}^4 p\ }{\; \left( 2 \pi \right)^4\ }\$	$\ p^\mu\ p_\mu = \pm m^2\$

슈뢰딩거 방정식과 달리, 클라인-고든 방정식은 각 $k$ 에 대해 두 개의 $\omega$ 값을 허용한다. 하나는 양수이고 다른 하나는 음수이다. 양의 진동수와 음의 진동수 부분을 분리해야 상대론적 파동 함수를 설명하는 방정식을 얻을 수 있다.

시간 독립적인 경우 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

: $\ \left[\ \nabla^2 - \frac{\ m^2 c^2 }{\ \hbar^2 }\ \right]\ \psi(\ \mathbf{r}\ ) = 0\ ,$

이는 균질한 가려진 푸아송 방정식과 형식적으로 동일하다. 또한, 클라인-고든 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[1]

: $\ \hat{p}^{\mu}\ \hat{p}_{\mu}\ \psi = m^{2} c^{2} \psi\$

여기서 운동량 연산자는 다음과 같다.

: $\ {\hat{p}}^{\mu} = i \hbar \frac{ \partial }{\ \partial x_{\mu}\ } = i \hbar \left(\ \frac{ \partial }{\ \partial(c t)\ } , - \frac{ \partial }{\ \partial x\ } , - \frac{ \partial }{\ \partial y\ } , - \frac{ \partial }{\ \partial z\ }\ \right) = \left(\ \frac{E}{c}, \mathbf p\ \right) ~.$

질량 ''m''의 자유 입자를 나타내는 클라인-고든 장을 $\phi(\boldsymbol{x},t)$ 라고 하면, 클라인-고든 방정식은

: $\left [\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2+\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr )^2\right ]\phi(\boldsymbol{x},t) = 0$

로 표현된다. 여기서 ∇²는 라플라스 연산자, ''c''는 광속, $\hbar$ 는 플랑크 상수를 2π로 나눈 상수(디랙 상수)이다.

달랑베르 연산자

: $\square \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

와 새로운 양

: $\mu \equiv \frac{mc}{\hbar}$

을 도입하면, 클라인-고든 방정식은

: $(\square+\mu^2)\phi(\boldsymbol{x},t) = 0$

으로 간결하게 나타낼 수 있다.

자연 단위계에서는 $c=1, \hbar=1$ 로 단순하게 표현하기도 한다.

3. 2. 비상대론적 슈뢰딩거 방정식으로부터의 유도

자유 입자의 비상대론적 에너지는 다음과 같다.

:

\frac{\mathbf{p}^2}{2 m} = E.

이를 양자화하면, 자유 입자의 슈뢰딩거 방정식이 된다.

:

\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

여기서

\mathbf{p}

는 운동량 연산자이다.

이를 상대론적으로 만들기 위하여, 특수 상대성이론의 에너지 공식을 사용한다.

:

\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E.

마찬가지로 양자화하면 다음과 같다.

:

\sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi.

그러나 이 공식은 제곱근이 들어가 있기 때문에 다루기 힘들며, 비국소적이다. 대신, 에너지 공식의 양변을 제곱한다.

:

\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2

이를 양자화하면 다음과 같다.

:

((-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4) \psi = (i \hbar \frac{\partial}{\partial t} )^2 \psi

고쳐 쓰면,

:

- \hbar^2 c^2 \mathbf{\nabla}^2 \psi + m^2 c^4 \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi.

항을 옮기면 다음을 얻는다.

:

\frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0.

모든 복소수

i

가 사라졌으므로, 이 방정식은 복소수 마당뿐만 아니라 실수값을 가지는 마당에도 적용할 수 있다.

상대론적 표기법으로 쓰면, 다음과 같이 된다.

:

(\Box + \mu^2) \psi = 0

여기서

\Box

는 달랑베르 연산자이다.

3. 3. 라그랑지언으로부터의 유도

클라인-고든 방정식은 다음 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식으로부터 유도된다.^[1]

:

\mathcal L=\frac12(\partial\psi)^2-\frac12m^2 \psi^2

물리학의 다른 기본 방정식과 마찬가지로, 클라인-고든 방정식은 변분법을 통해 유도될 수 있으며, 다음 작용의 오일러-라그랑주 방정식으로 나타난다.

:

\mathcal{S} = \int \left( -\hbar^2 \eta^{\mu \nu} \partial_\mu\bar\psi \,\partial_\nu \psi - M^2 c^2 \bar\psi \psi \right) \mathrm{d}^4 x,

자연 단위계에서, 시그니처가 "대부분 마이너스"인 경우, 작용은 다음과 같다.

실수 스칼라장의 경우:

:

S = \int d^4x \left(\frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)

복소수 스칼라장의 경우:

:

S = \int d^4x \left(\partial^\mu\psi\partial_\mu\bar\psi - M^2\psi\bar\psi\right)

클라인-고든 방정식에서 작용 적분

:

I=\int d^4x \, \mathcal{L}(x) \quad (x=(t, \mathbf{x})\,)

의 라그랑지언 밀도는,

:

\mathcal{L}(x)=\frac{\hbar^2}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi)-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

::

=\frac{\hbar^2}{2}\left \{\frac{1}{c^2} \biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr )^2

\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial x}\biggr )^2
\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial y}\biggr )^2
\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr )^2

\right \}

\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

이며, 이때 장량에 대한 오일러-라그랑주 방정식

:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \biggl ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\biggr ) =0

으로부터 클라인-고든 방정식이 유도된다.

4. 성질 및 해

클라인-고든 방정식은 상대론적 양자역학에서 자유 입자를 기술하는 기본적인 방정식이다. 이 방정식은 몇 가지 중요한 성질과 해를 가진다.

클라인-고든 방정식은 복소수 값을 가지는 장(field) $\psi$에 대해 U(1) 대칭을 허용한다. 이 대칭성은 뇌터 정리에 의해 보존되는 전류를 낳는다.

자유 입자의 경우, 클라인-고든 방정식은 평면파 해를 가지며, 이 해는 특수 상대성이론의 질량-에너지 동등성을 만족시킨다. 슈뢰딩거 방정식과는 달리, 주어진 운동량에 대해 양과 음의 두 가지 에너지 값이 가능하다.

클라인-고든 방정식의 해는 푸리에 변환을 통해 구할 수 있으며, 분산 관계를 통해 온 쉘(on-shell)에 있는 운동량만 고려하여 양수 및 음수 에너지 해를 모두 포함한다. 일반적인 해는 로렌츠 불변성을 가지도록 표현할 수 있다.

비상대론적 극한에서는 클라인-고든 방정식은 고전적인 슈뢰딩거 장으로 수렴한다. 이는 정지 질량 에너지 항을 분리하고, 운동 에너지가 정지 질량 에너지보다 매우 작은 경우를 고려하여 얻을 수 있다.

4. 1. 보존 U(1) 전류

복소장

\psi

에 대한 클라인-고든 방정식은

\text{U}(1)

대칭을 허용한다. 이는 다음 변환에서 확인할 수 있다.

:

\psi(x) \mapsto e^{i\theta}\psi(x),

:

\bar\psi(x) \mapsto e^{-i\theta}\bar\psi(x),

이 변환 하에서 클라인-고든 방정식은 작용과 마찬가지로 불변이다. 뇌터 정리에 의해, 이 대칭에 해당하는 보존 전류

J^\mu

는 다음과 같이 정의된다.

:

J^\mu(x) = \frac{e}{2m} \left( \, \bar\psi(x) \partial^\mu\psi(x) - \psi(x)\partial^\mu \bar\psi(x) \, \right).

이 전류는 다음 보존 방정식을 만족시킨다.

:

\partial_\mu J^\mu(x) = 0.

이 보존 전류의 형태는 뇌터 정리를

\text{U}(1)

대칭에 적용하여 유도할 수 있다. 여기서는 그 유도 과정을 다루지 않고, 이 전류가 보존된다는 것을 확인한다.

질량

M

의 복소장

\psi(x)

에 대한 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

:

(\square + m^2) \psi(x) = 0

그리고 이 방정식의 복소 공액은 다음과 같다.

:

(\square + m^2) \bar\psi(x) = 0.

각 방정식에

\bar\psi(x)

와

\psi(x)

를 왼쪽에서 곱하면 다음과 같다.

:

\bar\psi(\square + m^2) \psi = 0,

:

\psi(\square + m^2) \bar\psi = 0.

두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 다음과 같다.

:

\bar\psi \square \psi - \psi \square \bar\psi = 0,

이를 인덱스 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

:

\bar\psi \partial_\mu \partial^\mu \psi - \psi \partial_\mu \partial^\mu \bar\psi = 0.

이것을 전류

J^\mu(x) \equiv \psi^*(x) \partial^\mu\psi(x) - \psi(x)\partial^\mu \psi^*(x)

의 도함수에 적용하면,

\partial_\mu J^\mu(x) = 0

을 얻는다.

이

\text{U}(1)

대칭은 전역 대칭이지만, 국소 또는 게이지 대칭을 만들기 위해 게이지화할 수도 있다. ( 스칼라 QED 참조). 게이지 대칭이라는 이름은 다소 오해의 소지가 있는데, 실제로는 중복성이며, 전역 대칭이 진정한 대칭이다.

4. 2. 자유 입자 해

계량 부호수를 사용하고,

c=\hbar=1

(자연 단위계)로 놓으면, 실수 (전하를 가지지 않는) 스칼라 마당의 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

::

(\partial^2+m^2)\psi=0.

여기서

m

은 장의 양자의 질량이다.

이 꼴은 평면파 해

\psi=e^{-ip\cdot x}

에 특수 상대성이론의 질량-에너지 동등성(

p^2=m^2

)을 가하여 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식과는 달리, 어떤 주어진 3차원 운동량

\mathbf p

에 대해 가능한 에너지

p_0

값은 양과 음, 두 가지다.

자연 단위계에서 클라인-고든 방정식

(\Box + m^2) \psi(x) = 0

은 메트릭 시그니처

\eta_{\mu \nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)

를 가지며, 푸리에 변환을 통해 풀린다. 푸리에 변환

::

\psi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} e^{- i p \cdot x} \psi(p)

을 대입하고 복소 지수 함수의 직교성을 사용하면 분산 관계

::

p^2 = (p^0)^2 - \mathbf{p}^2 = m^2

를 얻는다. 이것은 운동량을 온 쉘에 있는 것으로 제한하여 양수 및 음수 에너지 해를 제공한다.

::

p^0 = \pm E(\mathbf{p})\quad \text{여기서} \quadE(\mathbf{p}) = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}.

새로운 상수 집합

C(p)

에 대해, 해는 다음과 같다.

::

\psi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} e^{i p \cdot x} C(p) \delta((p^0)^2-E(\mathbf{p})^2).

일반적으로 음수 에너지를 분리하고 양수

p^0

만으로 작업하여 양수 및 음수 에너지 해를 처리한다.

::

\begin{align}\psi(x) =&           \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} \delta((p^0)^2-E(\mathbf{p})^2) \left( A(p) e^{-i p^0 x^0 + i p^i x^i} + B(p) e^{+i p^0 x^0 + i p^i x^i} \right) \theta(p^0) \\=&           \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} \delta((p^0)^2-E(\mathbf{p})^2) \left( A(p) e^{-i p^0 x^0 + i p^i x^i} + B(-p) e^{+i p^0 x^0 - i p^i x^i} \right) \theta(p^0) \\\rightarrow& \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} \delta((p^0)^2-E(\mathbf{p})^2) \left( A(p) e^{-i p \cdot x} + B(p) e^{+i p \cdot x} \right) \theta(p^0) \\\end{align}

마지막 단계에서

B(p) \rightarrow B(-p)

는 이름을 변경하였다. 이제

p^0

-적분을 수행하여 델타 함수에서 양의 주파수 부분만 선택할 수 있다.

::

\begin{align}\psi(x) &= \int \frac{\mathrm{d}^4 p}{(2\pi)^4} \frac{\delta(p^0-E(\mathbf{p}))}{2 E(\mathbf{p})} \left( A(p) e^{-i p \cdot x} + B(p) e^{+i p \cdot x} \right) \theta(p^0) \\&= \int \left. \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E(\mathbf{p})} \left( A(\mathbf{p}) e^{-i p \cdot x} + B(\mathbf{p}) e^{+i p \cdot x} \right) \right|_{p^0 = +E(\mathbf{p})}.\end{align}

이것은 일반적으로 자유 클라인-고든 방정식의 일반 해로 간주된다. 초기 푸리에 변환이

p \cdot x = p_\mu x^\mu

와 같은 로렌츠 불변량만을 포함했기 때문에 마지막 표현식도 클라인-고든 방정식의 로렌츠 불변 해이다. 로렌츠 불변성을 요구하지 않는다면,

1 / 2 E(\mathbf{p})

인수를 계수

A(p)

및

B(p)

에 흡수할 수 있다.

4. 3. 비상대론적 극한

고전적인 클라인-고든 장 ''ψ''('''x''', ''t''')^영어의 비상대론적 극한()을 구하는 것은 진동하는 정지 질량 에너지 항을 인수로 하는 다음과 같은 가정을 통해 시작한다.

:

\psi(\mathbb x, t) = \phi(\mathbb x, t)e^} t} \quad \textrm{where} \quad \phi(\mathbb x, t)=u_E(x)e^ }t}.

운동 에너지

E' = E - mc^2=\sqrt{m^2c^4+c^2p^2}-mc^2\approx

를 정의하면 비상대론적 극한

v = p/m \ll c

에서

E' \ll mc^2

이므로

:

i\hbar \frac{\partial\phi}{\partial t} = E' \phi \ll mc^2\phi \quad \textrm{and} \quad (i\hbar)^2 \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = (E')^2 \phi \ll (mc^2)^2\phi.

이를 적용하면

\psi

의 시간에 대한 2차 미분의 비상대론적 극한이 다음과 같이 얻어진다.

:

\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left(-i\frac{mc^2}{\hbar}\phi+\frac{\partial\phi}{\partial t} \right)e^} t}\approx -i\frac{mc^2}{\hbar}\phi\,e^} t}

:

\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = -\left( i\frac{2mc^2}{\hbar} \frac{\partial\phi}{\partial t} + \left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2 \phi - \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}\right) e^} t} \approx -\left( i\frac{2mc^2}{\hbar} \frac{\partial\phi}{\partial t} + \left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2 \phi \right) e^} t}

자유 클라인-고든 방정식

c^\partial_t^2 \psi = \nabla^2 \psi - ()^2 \psi

에 대입하면,

:

-\frac{1}{c^2}\left( i\frac{2mc^2}{\hbar} \frac{\partial\phi}{\partial t} + \left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2 \phi \right) e^} t} \approx \left(\nabla^2 - \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right)\phi\,e^} t}

지수항을 제거하고 질량 항을 빼면 다음과 같이 간단해진다.

:

i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi.

이것은 ''고전적인'' 슈뢰딩거 장이다.

양자 클라인-고든 장의 유사한 극한은 장 연산자의 비가환성으로 인해 복잡해진다. 극한에서, 생성 소멸 연산자는 분리되어 독립적인 양자 슈뢰딩거 장처럼 동작한다.

5. 확장

클라인-고든 방정식은 다양한 물리적 상황을 다룰 수 있도록 여러 방식으로 확장될 수 있다.

퍼텐셜 내의 클라인-고든 방정식: 퍼텐셜 $V(\psi)$ 내의 장(field)을 묘사하기 위해 일반화될 수 있다. 예를 들어, 표준 모형의 힉스 보존 부분은 이러한 형태로 모델링된다.^[17]
스칼라 전기역학 (QED): 복소 클라인-고든 장은 게이지 불변 방식으로 전자기학과 상호작용할 수 있다. 이 과정에서 편미분은 게이지 공변 미분으로 대체된다.
스칼라 색역학 (QCD): 양-밀스 라그랑지안과 결합하여 비가환 게이지 이론으로 확장될 수 있다. 이 경우 장은 벡터 값을 가지지만 여전히 스칼라 장으로 묘사된다.
곡선 시공간에서의 클라인-고든 방정식: 일반 상대성 이론에서 중력의 효과를 포함하기 위해 편미분 대신 공변 미분이 사용된다.^[18]

5. 1. 퍼텐셜 내의 클라인-고든 방정식

클라인-고든 방정식은 퍼텐셜

V(\psi)

내의 장을 묘사하도록 일반화될 수 있으며, 다음 식과 같다.^[17]

:

\Box \psi + \frac{\partial V}{\partial \psi} = 0.

이때 클라인-고든 방정식은

V(\psi) = M^2\bar\psi\psi

인 경우이다.

상호작용 이론에서 실수 스칼라장

\phi

에 대한

\phi^4

퍼텐셜은 다음 식과 같다.

:

V(\phi) = \frac{1}{2}m^2\phi^2 + \lambda \phi^4.

표준 모형의 순수한 힉스 보존 부분은

H

로 표시되는 포텐셜을 가진 클라인-고든 장으로 모델링된다. 표준 모형은 게이지 이론이므로 장은 로렌츠 군 아래에서 변환되며, 게이지 군의

\text{SU}(2)

부분의 작용 아래에서

\mathbb{C}^2

값을 갖는 벡터로 변환된다. 따라서 벡터 장

H:\mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^2

이지만, 스칼라 장이라고도 한다.

힉스 장은 다음 식과 같은 포텐셜로 모델링된다.

:

V(H) = -m^2H^\dagger H + \lambda (H^\dagger H)^2

이는

\phi^4

포텐셜의 일반화로 볼 수 있지만, 최솟값의 원이 있다는 중요한 차이점이 있다. 이러한 점은 표준 모형의 자발적 대칭 깨짐 이론에서 중요하다.

5. 2. 스칼라 전기역학 (QED)

복소 클라인-고든 장

\psi

는 게이지 불변 방식으로 전자기학과 상호 작용할 수 있다. 이를 위해 편미분을 게이지 공변 미분으로 대체한다. 국소

\text{U}(1)

게이지 변환 하에서 장은 다음과 같이 변환된다.

:

\psi \mapsto \psi' = e^{i\theta(x)}\psi,

:

\bar\psi \mapsto \bar\psi' = e^{-i\theta(x)}\bar\psi,

여기서

\theta(x) = \theta(t, \textbf{x})

는 시공간의 함수이므로, 이는 전역

\text{U}(1)

변환과 달리 국소 변환을 의미한다.

잘 정립된 이론은 이러한 변환에 대해 불변해야 한다. 즉, 운동 방정식과 작용이 불변해야 한다. 이를 위해 일반 미분

\partial_\mu

는 다음과 같이 정의된 게이지 공변 미분

D_\mu

로 대체된다.

:

D_\mu\psi = (\partial_\mu - ieA_\mu)\psi

:

D_\mu\bar\psi = (\partial_\mu + ieA_\mu)\bar\psi

여기서 4-전위 또는 게이지 장

A_\mu

는 게이지 변환

\theta

아래에서 다음과 같이 변환된다.

:

A_\mu \mapsto A'_\mu = A_\mu + \frac{1}{e}\partial_\mu\theta

.

이러한 정의를 통해 공변 미분은 다음과 같이 변환된다.

:

D_\mu\psi \mapsto e^{i\theta}D_\mu\psi

자연 단위계에서 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

:

D_\mu D^\mu \psi - M^2 \psi = 0.

이 결합과 ''게이지화된''

\text{U}(1)

대칭으로의 승격은 실수 클라인-고든 이론이 아닌 복소 클라인-고든 이론에서만 가능하다.

자연 단위계와 주로 마이너스 부호에서 스칼라 QED 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^4x \,\left(-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+ D^\mu\psi D_\mu\bar\psi - M^2\psi\bar\psi \right)

여기서

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

는 맥스웰 텐서, 장 세기 또는 곡률로 불린다.

이 이론은 스칼라 양자 전자기학 또는 스칼라 QED라고도 불리지만, 여기서 논의된 모든 측면은 고전적이다.

5. 3. 스칼라 색역학 (QCD)

스칼라 클라인-고든 작용을 양-밀스 라그랑지안에 결합하여 비가환 게이지 이론으로 확장할 수 있다. 여기서 장은 벡터 값을 가지지만, 여전히 스칼라 장으로 묘사된다. 스칼라는 시공간 변환에 따른 변환은 설명하지만, 게이지 군의 작용에 따른 변환은 설명하지 않는다.

구체적으로,

N \geq 2

에 대한 특수 유니타리 군

\text{SU}(N)

을 게이지 군

G

로 고정한다. 게이지 변환

U(x)

는

U:\mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \text{SU}(N)

함수로 설명할 수 있으며, 이 변환 하에서 스칼라 장

\psi

는

\mathbb{C}^N

벡터로 변환된다.

:

\psi(x) \mapsto U(x)\psi(x)

:

\psi^\dagger(x) \mapsto \psi^\dagger(x) U^\dagger(x)

.

공변 미분은 다음과 같다.

:

D_\mu\psi = \partial_\mu \psi - igA_\mu\psi

:

D_\mu\psi^\dagger = \partial_\mu \psi^\dagger + ig\psi^\dagger A_\mu^\dagger

여기서 게이지 장 또는 접속은 다음과 같이 변환된다.

:

A_\mu \mapsto UA_\mu U^{-1} - \frac{i}{g}\partial_\mu U U^{-1}.

이 장은

\mathbb{C}^N

벡터 공간에 작용하는 행렬 값 장으로 볼 수 있다.

마지막으로, 색자기장 세기 또는 곡률을 다음과 같이 정의한다.

:

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + g(A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu),

그러면 다음과 같이 작용을 정의할 수 있다.

:

S = \int d^4x \,\left(-\frac{1}{4}\text{Tr}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})+ D^\mu\psi^\dagger D_\mu\psi - M^2\psi^\dagger\psi \right)

5. 4. 곡선 시공간에서의 클라인-고든 방정식

일반 상대성 이론에서 중력의 효과는 편미분 대신 공변 미분을 사용하여 포함되며, 클라인-고든 방정식은 (대부분의 플러스 부호수에서) 다음과 같이 된다.^[18]

:

\begin{align}0 &= - g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} \psi + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = - g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} (\partial_\nu \psi) + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi \\&= -g^{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu \psi + g^{\mu \nu} \Gamma^{\sigma}{}_{\mu \nu} \partial_\sigma \psi + \dfrac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi,\end{align}

또는 동등하게,

:

\frac{-1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( g^{\mu \nu} \sqrt{-g} \partial_\nu \psi \right) + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0,

여기서

g^{\alpha\beta}

는 중력 포텐셜장인 계량 텐서의 역수이고,

g

는 계량 텐서의 행렬식이며,

\nabla_\mu

는 공변 미분이고,

\Gamma^\sigma_{\mu\nu}

는 중력 힘장인 크리스토펠 기호이다.

자연 단위계를 사용하면 다음과 같이 된다.

:

\nabla^a\nabla_a\Phi - m^2\Phi = 0

이는 또한 시공간 (로렌츠) 매니폴드

M

에서 작용 형식을 허용한다. 추상 지표 표기법을 사용하고 '대부분 플러스' 부호수를 사용하면 다음과 같다.

:

S = \int_M d^4x \,\sqrt{-g}\left(-\frac{1}{2}g^{ab}\nabla_a\Phi\nabla_b\Phi - \frac{1}{2}m^2\Phi^2\right)

또는

:

S = \int_M d^4x \,\sqrt{-g}\left(-g^{ab}\nabla_a\Psi\nabla_b\bar\Psi - M^2\Psi\bar\Psi\right)

참조

_[1] 서적 Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-06-29
_[2] 기타
_[3] 문서
_[4] 기타
_[5] 학술지 An approach to the Klein–Gordon equation for a dynamic study in ferroelectric materials https://iopscience.i[...] 2006
_[6] 학술지 A new class of exact solutions of the Klein–Gordon equation of a charged particle interacting with an electromagnetic plane wave in a medium 2014
_[7] 문서
_[8] 기타
_[9] 기타
_[10] 서적 The Quantum theory of fields I
_[11] 문서
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_[13] 기타
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_[15] 서적 Quantum Field Theory https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[16] 기타
_[17] 웹사이트 Lectures on Quantum Field Theory, Lecture 1, Section 1.1.1 http://www.damtp.cam[...] 2012-01-16
_[18] 서적 Aspects of Quantum Field Theory in Curved Space–Time Cambridge University Press
_[19] 기타
_[20] 기타
_[21] 기타
_[22] 기타
_[23] 학술지 La quanification deduite de la Gravifique einsteinienne https://gallica.bnf.[...] 2021-07-21
_[24] 기타
_[25] 기타
_[26] 저널
_[27] 저널

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