테이트-샤파레비치 군
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1. 개요
테이트-샤파레비치 군은 대수적 수론에서 사용되는 군으로, 유리수 계수를 갖는 유리 방정식에 대한 하세 원리의 위반 정도를 측정한다. 기하학적으로는 체 K의 모든 자리 v에 대해 Kv-유리점을 가지지만 K-유리점은 가지지 않는 아벨 다양체의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 테이트-샤파레비치 추측은 이 군이 유한하다는 추측이며, 칼 루빈과 빅토르 콜리바긴에 의해 일부 타원 곡선에 대해 증명되었다. 캐셀스-테이트 쌍은 테이트-샤파레비치 군과 관련된 쌍선형 쌍이며, 그 성질과 관련하여 다양한 연구가 진행되고 있다.
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| 테이트-샤파레비치 군 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 이름 | 테이트-샤파레비치 군 |
| 영어 이름 | Tate–Shafarevich group |
| 기호 | Ш(A/K) |
| 수학적 속성 | |
| 분야 | 수학, 특별히 수론 |
| 대상 | 아벨 다양체 A와 수체 K |
| 정의 | '아벨 다양체 A의 K-꼬임들의 집합 WC(A/K) = H¹(Gₖ, A)에서 국소적으로 자명한 원소들의 군 Ш(A/K)' |
| 역사 | |
| 기원 | '존 캐슬즈와 테이트 및 샤파레비치에 의해 연구됨' |
2. 테이트–샤파레비치 군의 정의 및 원소
테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 기하학적으로 ''K''영어의 모든 자리 ''v''영어에 대해 ''Kv''영어-유리점을 갖지만 ''K''영어-유리점은 갖지 않는 ''A''영어의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 ''K''영어를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리(지역-전역 원리)가 얼마나 성립하지 않는지를 측정한다.
칼-에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1인 곡선 이 실수체와 모든 ''p''영어진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여 이러한 동차 공간의 예를 제시했다. 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 을 비롯한 더 많은 예를 제시했다.[1]
아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 ''n''영어의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.
2. 1. 테이트-샤파레비치 군의 정의
기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 ''K''영어의 모든 자리 ''v''영어에 대해 ''Kv''영어-유리점을 갖지만 ''K''영어-유리점은 갖지 않는 ''A''영어의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 ''K''영어를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리(지역-전역 원리)가 유지되지 않는 정도를 측정한다. 카를 에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1 곡선 이 실수체와 모든 ''p''영어진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여줌으로써 그러한 동차 공간의 예를 보였다. 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 를 비롯하여 더 많은 예를 제시했다.[1]특수한 경우로, 아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 ''n''영어의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접한 관련이 있다.
2. 2. 테이트-샤파레비치 군의 원소
기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 ''K''의 모든 자리 ''v''에 대해 ''Kv''-유리점을 갖지만 ''K''-유리점은 갖지 않는 ''A''의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 체 ''K''를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리가 얼마나 성립하지 않는지를 측정한다. 칼-에릭 린드(Carl-Erik Lind)는 종수 1인 곡선 이 실수체와 모든 ''p''진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여주어 이러한 동차 공간의 예를 제시했다.[1] 에른스트 셀머(Ernst Selmer)는 을 비롯한 더 많은 예를 제시했다.[2]아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 ''n''의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.
2. 3. 셀머 군과의 관계
아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군과 밀접하게 관련되어 있다.테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 기하학적으로 의 모든 자리 에 대해 -유리점을 가지지만 -유리점은 없는 의 균질 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 이 군은 의 계수를 가진 유리 방정식에 대해 하세 원리가 실패하는 정도를 측정한다. 칼-에릭 린드는 이러한 균질 공간의 예시를 제시했는데, 형태의 종수 1 곡선이 실수와 모든 -진수 체에서 해를 가지지만 유리점을 갖지 않는다는 것을 보였다. 에른스트 S. 셀머는 과 같은 더 많은 예시를 제시했다.[1]
3. 테이트-샤파레비치 추측
테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한할 것이라는 추측이다. 칼 루빈은 복소수 곱셈을 갖는 랭크가 최대 1인 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.[1] 빅토르 콜리바긴은 이를 해석적 랭크가 최대 1인 유리수 위의 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(모듈러성 정리에 의해 모듈러성 가정이 항상 성립함이 밝혀졌다).[1] 니콜라예프의 정리 1.1[1]은 수체 위의 단순 아벨 다양체를 다룬다.
테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있으므로,[2][3] 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.
3. 1. 추측의 의미와 중요성
테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.[1] 빅토르 A. 콜리바긴은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).[1]테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있다.[2][3] 따라서 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.
3. 2. 칼 루빈과 빅토르 콜리바긴의 증명
칼 루빈은 허수 곱셈을 갖는, 랭크가 1 이하인 어떤 타원 곡선에 대해 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 것을 증명했다.[1] 빅토르 콜리바긴은 이를 해석적 랭크가 1 이하인 유리수체 위의 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(이후 증명된 모듈러성 정리에 의해, 모듈러성의 가정은 항상 만족된다).[1]3. 3. 추가 연구 및 미해결 문제
테이트-샤파레비치 추측은 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.[1] 빅토르 A. 콜리바긴은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).[1]테이트-샤파레비치 군이 비틀림군임이 알려져 있다.[2][3] 따라서 이 추측은 이 군이 유한 생성 아벨 군임을 주장하는 것과 동등하다.
4. 캐셀스–테이트 쌍
캐셀스-테이트 쌍은 아벨 다양체 ''A''와 그 쌍대 ''Â''에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 ''A''는 ''Â''로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 쌍을 확장했다.[1] ''A''에 대한 극화의 선택은 ''A''에서 ''Â''로 가는 사상을 제공하며, 이는 Ш(''A'')에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭일 필요가 없다.
타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 Ш의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다양체의 경우, Ш의 차수가 유한할 때마다 제곱수라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어[2]의 논문에서 비롯되었다.[1] 푸넨과 스톨은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱수의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다.[3] 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다양체가 주극화를 갖는다면, Ш의 형태는 반대칭이며, 이것은 Ш의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이 되고 Ш의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).
최근 연구에서, Konstantinous는 모든 제곱 인수가 없는 수 ''n''에 대해 위에 정의된 아벨 다양체 ''A''와 ''m''이 존재하여 임을 보였다. 특히 Konstantinous의 예에서 Ш는 유한하며, 이러한 예는 스테인의 추측을 확인한다. 따라서 제곱수를 제외하면 모든 정수가 Ш의 차수가 될 수 있다.
4. 1. 캐셀스-테이트 쌍의 정의
'''캐셀스-테이트 쌍'''(Cassels–Tate pairing)은 아벨 다양체 와 그 쌍대 에 대해 정의되는 쌍선형 쌍 이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 는 로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다.[1] 에 대한 극화의 선택은 에서 로 가는 사상을 제공하며, 이는 값을 갖는 에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭 대칭일 필요가 없다.타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다형체의 경우, 의 차수가 유한할 때마다 제곱이라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어[2]의 논문에서 비롯되었다.[1] 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다.[3] 스테인(Stein)은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다형체가 주극화를 갖는다면, 의 형태는 반대칭 대칭이며, 이것은 의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이고 의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).
4. 2. 캐셀스-테이트 쌍의 성질
캐셀스-테이트 쌍은 아벨 다양체 ''A''와 그 쌍대 ''Â''에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 ''A''는 ''Â''로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다.[1] 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다.[2] ''A''에 대한 극화의 선택은 ''A''에서 ''Â''로 가는 사상을 제공하며, 이는 Ш(''A'')에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 교대적이거나 반대칭일 필요가 없다.타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 교대적임을 보여주었고, 그 결과 Ш의 차수가 유한하면 제곱수가 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다양체의 경우, Ш의 차수가 유한할 때마다 제곱수라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어[3]의 논문에서 비롯되었다.[2] 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비 다양체와 같이 차수가 제곱수의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다. 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수라는 예를 제시했다. 만약 아벨 다양체가 주극화를 갖는다면, Ш의 형태는 반대칭이며, 이것은 Ш의 차수가 제곱수이거나 (유한한 경우) 제곱수의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 교대적이 되고 Ш의 차수는 제곱수이다(유한한 경우).
4. 3. 테이트-샤파레비치 군과의 관계
캐슬스-테이트 쌍은 아벨 다양체 $A$와 그 쌍대 $\hat A$에 대해 정의되는 쌍선형 쌍이다.[1] 캐슬스는 타원 곡선의 경우에 이 쌍을 도입했다.[2] 이 경우, $A$와 $\hat A$는 동일시될 수 있으므로, 이 쌍은 교대 형식이다. 이 형식의 핵은 가분적인 원소로 이루어진 부분군이며, 테이트-샤파레비치 추측이 옳다면 이것은 자명한 군이다. 테이트는 이 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반적인 아벨 다양체로 확장했다.[3] $A$의 편극을 선택하면 $A$에서 $\hat A$로의 사상이 정해져, 이것이 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$에 값을 갖는 Ш($A$) 상의 쌍선형 쌍을 유도한다. 타원 곡선의 경우와는 달리, 이것은 교대적이지 않으며 왜대칭도 아닐 수 있다.캐슬스는 타원 곡선의 경우에 이 페어링은 교대적임을 보였다. 이로부터, Ш의 위수가 유한하다면 그것은 제곱수임을 알 수 있다. 일반적인 아벨 다양체에 대해, Ш의 위수가 유한하다면 그것은 제곱수일 것이라고 오랫동안 잘못 믿어졌다. 이는 테이트의 결과의 한 가지 인용 방식을 오해한 스위너톤다이어에서 비롯된다. 푸넨(Poonen)과 스톨(Stoll)은 위수가 제곱수의 2배인 예를 몇 가지 제시했다. 유리수체 상의 종수가 2인 어떤 곡선의 야코비 다양체에서 그 테이트-샤파레비치 군의 위수가 2인 것 등이다. 스타인(Stein)은 위수를 나누는 홀수 소수의 지수가 홀수인 예를 제시했다. 아벨 다양체가 주편극을 가지면 Ш 상의 이 형식은 왜대칭이다. 이는 Ш의 위수는 (유한하다면) 제곱수 또는 제곱수의 2배임을 의미한다. 또한, 주편극이 (타원 곡선의 경우처럼) 유리 인자에서 기인하는 경우에는, 이 형식은 교대적이며, Ш의 위수는 (유한하다면) 제곱수이다.
5. 한국의 연구 동향 (선택 사항)
주어진 원본 소스와 결과물이 없으므로, 수정 작업을 수행할 수 없습니다.
참조
[1]
논문
Shafarevich-Tate groups of abelian varieties
American Mathematical Society
2024
[2]
논문
On the structure of shafarevich-tate groups
Springer Berlin Heidelberg
1991
[3]
웹사이트
THE SELMER GROUP, THE SHAFAREVICH-TATE GROUP, AND THE WEAK MORDELL-WEIL THEOREM
https://math.mit.edu[...]
2024-09-01
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