모듈러성 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 관련 성질
3. 역사
4. 일반화
5. 증명 과정
참조

1. 개요

모듈러성 정리는 모든 유리수 타원 곡선이 모듈러 곡선의 상으로 표현될 수 있다는 정리이다. 이 정리는 타니야마 유타카와 시무라 고로의 추측으로 시작되었으며, 1995년 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러에 의해 반안정 타원 곡선에 대해 증명되었다. 이후 프레드 다이아몬드, 크리스토프 브뢰이, 브라이언 콘래드, 리처드 로런스 테일러에 의해 완전한 형태로 증명되었다. 이 정리는 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 결정적인 역할을 했으며, 랭글랜즈 프로그램과 같은 더 일반적인 추측의 특수한 경우로 간주된다.

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모듈러성 정리
개요
분야	수론
발표자	다니야마 유타카
발표 연도	1957년
최초 증명	크리스토프 브뢰유
최초 증명 연도	2001년
중요한 결과	페르마의 마지막 정리 증명
설명
내용	유리 타원 곡선과 모듈러 형식의 관계를 나타내는 정리
다른 이름	다니야마-시무라 추론
관련 항목
관련 추론	세르의 모듈러성 추론
증명	와일스의 페르마의 마지막 정리 증명

2. 정의

모듈러성 정리는 다음과 같다.

:모든 유리 타원곡선은 정수 계수 유리 함수를 통한 모듈러 곡선 $X_0(N)$ 의 상으로 나타낼 수 있다.^[3]^[4]^[5]

여기서 $X_0(N)$ 은 합동 부분군 $\Gamma_0(N)$ 에 대한 콤팩트 모듈러 곡선이고, $N$ 은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다. 이는 유리수( $\mathbb Q$ ) 위의 모든 타원 곡선은 어떤 정수 $N$ 에 대해 고전적인 모듈러 곡선 $X_0(N)$ 으로부터 정수 계수를 갖는 유리 함수를 통해 얻을 수 있다고 말한다. 이 매핑은 레벨 $N$ 의 모듈러 매개변수화라고 불린다. 만약 $N$ 이 그러한 매개변수화를 찾을 수 있는 가장 작은 정수라면 (이는 모듈러성 정리 자체에 의해, ''도수''라고 불리는 숫자인 것으로 알려져 있다), 그러면 매개변수화는 가중치 2와 레벨 $N$ 의 특정 종류의 모듈러 형식, 정수 $q$ -전개를 갖는 정규화된 newform에 의해 생성된 매핑, 필요하다면 동종에 의해 정의될 수 있다.

예를 들어, 판별식(및 도수)이 37인 타원 곡선 $y^2 - y = x^3 - x$ 는 다음과 같은 형식과 관련이 있다.

: $f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = e^{2 \pi i z}$

모듈러성 정리는, 타니야마 유타카에 의한 해석적인 명제로도 바꿔 말할 수 있다. 유리수( $\mathbb Q$ )상의 타원 곡선 $E$ 의 타원 곡선의 L-함수를 $L(s, E)$ 로 한다. 이 L-함수는, 디리클레 급수이며,

: $L(s, E) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$

로 나타낼 수 있다.

계수 $a_n$ 의 일종의 모함수를

: $f(q, E) = \sum_{n=1}^\infty a_n q^n$

로 정의한다. $q$ 에

: $q = e^{2 \pi i \tau}\$

를 대입하면, 상반 평면상의 복소 변수 $\tau$ 의 함수 $f(\tau, E)$ 가 얻어진다. 이것은 일종의 푸리에 급수이다. 이와 같이 하여 얻어진 함수가, 가중치 2이고 레벨 $N$ 의 새로운 형식, 특히 정규화된 첨점 형식이며 헤케 연산자의 동시 고유 형식이라는 것이 모듈러성 정리의 다른 표현이다.

2. 1. 관련 성질

유리수 타원 곡선

E/\mathbb Q

의 하세-베유 L-함수

:

L(s,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n/n^s

가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 생성함수를 정의할 수 있다.

:

f(\tau,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n\exp(2\pi in\tau)

모듈러성 정리에 따르면,

f

는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 ''N''인 모듈러 형식이다. 이 모듈러 형식은 모든 Hecke operator|헤케 연산자^영어에 대한 고유 형식이다.

모듈러성 정리는 다음과 같은 분석적 명제를 포함한다.

\Q

위의 각 타원 곡선

E

에 대해, 해당하는 L-함수를 연결할 수 있다. L-함수는 디리클레 급수이며, 일반적으로 다음과 같이 표기된다.

:

L(E, s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.

계수

a_n

의 생성 함수는 다음과 같다.

:

f(E, q) = \sum_{n=1}^\infty a_n q^n.

다음을 대입하면,

:

q = e^{2 \pi i \tau}

복소 변수

\tau

의 함수

f(E, \tau)

의 푸리에 급수의 푸리에 전개를 작성했음을 알 수 있다. 따라서 q-급수의 계수는

f

의 푸리에 계수로도 간주된다. 이렇게 얻어진 함수는 가중치 2, 레벨

N

의 첨점 형식이며, 모든 헤케 연산자의 고유 벡터인 고유 형식이다. 이것이 모듈러성 정리로부터 도출되는 '''하세-바일 추측'''이다.

가중치 2의 일부 모듈러 형식은 타원 곡선에 대한 정칙 미분에 해당한다. 모듈러 곡선의 야코비안은 (아이소게니까지) 가중치 2의 헤케 고유 형식에 해당하는 기약 아벨 다양체의 곱으로 쓸 수 있다. 1차원 인자는 타원 곡선이다 (고차원 인자도 있을 수 있으므로 모든 헤케 고유 형식이 유리 타원 곡선에 해당하는 것은 아니다). 해당 첨점 형식을 찾아 구성한 곡선은 원래 곡선과 아이소게니 관계에 있다(그러나 일반적으로는 동형은 아니다).

3. 역사

다니야마 유타카가 1956년 처음 이 추측을 제기한 이후, 여러 수학자들의 연구를 거쳐 발전하였다. 1986년에는 게르하르트 프레이가 이 추측을 페르마의 마지막 정리와 연결시키면서 큰 주목을 받게 되었다. 1995년 앤드루 와일스가 준안정 타원곡선에 대한 증명을 발표하면서 페르마의 마지막 정리가 증명되었고, 이후 다른 수학자들에 의해 완전히 증명되었다.

모듈러성 정리의 발전 과정은 다음과 같이 요약될 수 있다.

모듈러성 정리 발전 과정
연도	인물	내용
1956년	다니야마 유타카	(약간의 오류를 포함한) 추측 제기^[17]
1957년	다니야마 유타카, 시무라 고로	엄밀한 형태의 추측 발표^[17]
1967년	앙드레 베유	독자적으로 추측 발견^[17], "다니야마-시무라(-베유) 추측"으로 알려짐
1986년	게르하르트 프레이	페르마의 마지막 정리와의 연관성 제시^[18]
1995년	앤드루 와일스, 리처드 로런스 테일러	준안정 타원곡선에 대한 증명^[19]^[20], 페르마의 마지막 정리 증명
이후	프레드 다이아몬드, 크리스토프 브뢰이, 브라이언 콘래드, 리처드 로런스 테일러	완전한 증명^[21]^[22]^[23]^[24]

3. 1. 다니야마-시무라-베유 추측

다니야마 유타카가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 이 추측을 처음 제기하였다.^[17] 이후 시무라 고로와 함께 연구를 계속하여 1957년에는 더 엄밀한 형태의 추측을 발표하였다.^[17] 1967년 앙드레 베유가 독자적으로 이 추측을 발견하면서,^[17] "다니야마-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다.

1955년 도쿄와 닛코시에서 열린 대수적 정수론에 관한 국제 심포지엄에서, 다니야마는 이 추측의 초기 버전을 제시하였다. 이 회의에는 앙드레 베유, 장피에르 세르, 시무라 고로 등이 참석했다.^[13] 다니야마는 이 회의에서 다음과 같은 두 가지 문제를 제시했다.^[14]

이 문제들은 타니야마-시무라-베유 추측의 시초로 여겨진다.

하지만 시무라는 타니야마의 문제를 이 추측의 기원으로 볼 수도 있겠지만, 자신의 추측과는 무관하다고 주장했다. 시무라는 1964년경에 "유리수체 위의 타원 곡선은 모듈러 함수로 유일화된다"는 명제를 두 명의 수학자에게 이야기했으며, 이것이 현재는 정리로 증명되었다고 밝혔다. 또한 시무라는 타니야마와 이 문제에 대해 논의한 적이 없으며, 타니야마가 헤케의 이론을 제대로 이해하지 못했다고 언급했다.

시무라는 타니야마의 문제 12에 대해, 임의의 대수체 위의 타원 곡선이 아닌 '''유리수체''' 위의 타원 곡선으로 한정해야 의미가 있으며, 타니야마가 언급한 automorphic form은 모듈러 형식보다 훨씬 일반적인 함수를 염두에 둔 것이라고 지적했다.

1955년 9월 12일 밤, 허수 곱셈론에 대한 비공식 토론회에서 타니야마와 베유는 대화를 나누었다.

3. 2. 페르마의 마지막 정리와의 관계

게르하르트 프레이는 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다고 추측했고,^[18] 이 추측은 큰 주목을 받았다. 1986년 여름, 켄 리벳이 장피에르 세르의 엡실론 추측을 증명하면서,^[19]^[20] 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해서는 반안정 타원곡선에 대한 다니야마-시무라 추측을 증명하면 된다는 것이 밝혀졌다.

프레이는 페르마의 마지막 정리의 반례(어떤 정수 x, y, z와 3 이상의 정수 n에 대해 xⁿ + yⁿ = zⁿ을 만족하는 경우)가 존재한다면, 그 해로부터 비모듈러 타원 곡선(프레이 곡선)을 만들 수 있다는 아이디어를 제시했다. 이 프레이 곡선은 모듈러성 정리(당시에는 추측)에 위배되므로, 모듈러성 정리가 참이라면 페르마의 마지막 정리도 참이 된다는 논리였다.

하지만 프레이의 논증에는 한 가지 증명되지 않은 부분이 있었는데, 이를 장피에르 세르가 발견하고 엡실론 추측이라고 이름 붙였다. 1987년 장피에르 세르는 프레이의 원래 작업에서 누락된 연결 고리(현재 엡실론 추측 또는 리베의 정리로 알려짐)를 확인했고,^[18] 2년 후 켄 리벳이 엡실론 추측을 증명하면서 이 연결 고리가 완성되었다.^[19]^[20]

1995년 앤드루 와일스는 리처드 테일러의 도움을 받아 모든 반안정 타원 곡선에 대해 모듈러성 정리를 증명하였다. 와일즈는 이것을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명했다.^[19]^[20]

3. 3. 앤드루 와일스의 증명

1986년 게르하르트 프레이가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다는 아이디어를 제시하면서, 이 추측은 큰 주목을 받게 되었다.^[18] 1995년 앤드루 와일스는 리처드 로런스 테일러의 도움을 받아 모든 반안정 타원 곡선에 대해 모듈러성 정리를 증명하였다.^[19]^[20] 와일스는 이 증명을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명하였다.

당시 수학자들은 모듈러성 정리를 증명하는 것이 매우 어렵거나 불가능하다고 생각했다.^[21]^[22]^[23]^[24] 예를 들어, 와일스의 박사 지도교수인 존 H. 코츠는 "실제로 증명하는 것이 불가능해 보였다"고 말했으며, 켄 리베는 자신을 "이것이 완전히 접근 불가능하다고 믿는 대다수의 사람들 중 한 명"으로 여겼다고 회고했다.

와일스의 증명 이후, 프레드 다이아몬드, 브라이언 콘래드, 크리스토프 브뢰이, 리처드 로런스 테일러가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.^[21]^[22]^[23]^[24]

3. 4. 완전한 증명

앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러는 1995년 준안정(semistable) 타원곡선에 대한 모듈러성 정리를 증명하여 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 기여하였다.^[19]^[20] 이후 프레드 다이아몬드(Fred Diamond), 크리스토프 브뢰이(Christophe Breuil), 브라이언 콘래드(Brian Conrad), 리처드 로런스 테일러가 와일스의 증명을 바탕으로 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.^[21]^[22]^[23]^[24]

4. 일반화

모듈러성 정리는 로버트 랭글랜즈의 더 일반적인 추측의 특수한 경우이다. 랭글랜즈 프로그램은 모듈 형식의 적절한 일반화인 오토모픽 형식 또는 오토모픽 표현을 수체 위의 모든 타원 곡선과 같은 산술 대수 기하학의 더 일반적인 대상에 연결하려고 한다. 이러한 확장된 추측의 대부분은 아직 증명되지 않았다.

2013년, 프레이타스, 르 헝, 그리고 시크섹은 실수 이차 체에서 정의된 타원 곡선이 모듈러임을 증명했다.

5. 증명 과정

이 정리는 모든 타원 곡선이 어떤 정수 N에 대해 고전적인 모듈러 곡선으로부터 유리 함수를 통해 얻을 수 있다고 설명한다. 이 매핑은 레벨 N의 모듈러 매개변수화라고 불린다. 만약 N이 그러한 매개변수화를 찾을 수 있는 가장 작은 정수라면, 매개변수화는 가중치 2와 레벨 N의 특정 종류의 모듈러 형식, 정수 q-전개를 갖는 정규화된 newform에 의해 정의될 수 있다.

예를 들어, 판별식(및 도수)이 37인 타원 곡선 $y^2 - y = x^3 - x$ 는 다음과 같은 형식과 관련이 있다.^[3]^[4]^[5]

: $f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = e^{2 \pi i z}$

1950년대에 제기된 이 추측은 1999년에 앤드루 와일스의 아이디어를 사용하여 완전히 증명되었으며, 그는 1994년에 광범위한 타원 곡선 집합에 대해 이를 증명했다.^[6]

이 추측에는 몇 가지 공식이 있으며, 이것들이 서로 동등함을 보이는 것은 20세기 후반 수론의 주요 과제였다. 도수 N의 타원 곡선 E의 모듈성은 유리 사상이 모듈러 곡선 $X_0(N)$ 에서 E로 정의된다고 말함으로써 표현될 수 있다. 특히 E의 점은 모듈 함수로 매개변수화할 수 있다.

예를 들어, 곡선 $y^2 - y = x^3 - x$ 의 모듈 매개변수화는 다음과 같다.^[7]

: $\begin{align}x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\cdots\\y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\cdots\end{align}$

여기서 $q = e^{2\pi iz}$ 이다. 함수 $x(z)$ 와 $y(z)$ 는 가중치 0과 레벨 37의 모듈형이다.

또 다른 공식은 타원 곡선과 모듈 형식에 부착된 갈루아 표현의 비교에 의존한다. 후자의 공식은 추측의 증명에 사용되었다.

이 추측의 가장 주목할 만한 응용은 페르마의 마지막 정리(FLT)의 증명이다. 이 증명은 게르하르트 프레이의 아이디어를 기반으로 케네스 리베에 의해 1987년에 확립되었다.^[9]

리만 면 $X$ 의 야코비 다양체(야코비안)는 $X$ 가 콤팩트화된 모듈러 곡선인 경우 보다 명시적인 표시가 가능하다.

이 경우, $\Omega^{1}_{hol}\left( X \right)$ 의 요소는 가중치 2의 첨점 형식 $f\in \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)$ 와 강하게 연결되어 있다.

주어진 $f\in \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)$ 로부터 만들어지는 1형식 $\omega\left( f \right)$ 는 유일하다. 즉, 사상

: $\omega : \mathcal{S}_{2}\left( \Gamma \right) \rightarrow \Omega^{1}_{hol} \left( X \right),$

는 동형사상이다. 따라서 그 쌍대 사상

: $\omega^{\wedge} : \Omega^{1}_{hol}\left( X \right)^{\wedge}\rightarrow \mathcal{S}_{2}\left( \Gamma \right)^{\wedge},$

또한 동형사상이므로 $\mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)^{\wedge}$ 는 $\Omega_{hol}^{1} \left( X \left( \Gamma \right) \right)^{\wedge}$ 와 동일시할 수 있다. 따라서 다음과 같은 정의가 타당하다;

$\mathrm{Jac}( X \left( \Gamma \right)):= \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma \right)^{\wedge} / \omega^{\wedge}\left( H_{1} \left( X \left( \Gamma \right), \mathbb{Z} \right) \right)$

새로운 형식 $f \in \mathcal{S}_{2}\left(\Gamma_{0}\left( N \right)\right)$ 에 대해, 아벨 다양체 $A_{f}$ 는

: $A_{f} := J_{0}\left( N \right) / I_{f} J_{0}\left( N \right),$

로 정의된다. 단, $I_{f}$ 는

: $I_{f} := \{T \in \mathbb{T}_{Z}:= \mathbb{Z}[T_{p}, \langle d \rangle]| T f = 0\}$ .

여기서 $T_{p}$ 는 헤케 연산자, $\langle d \rangle$ 는 다이아몬드 연산자이다. 즉, $\mathbb{T}_{Z}$ 는 정수 계수의 헤케 환이다.

여기서 $T$ 를 $T_{p}$ 또는 $\langle d \rangle$ 로 할 때, 이것은 야코비안 $J_{0} \left( N \right) := \mathrm{Jac} \left( X_{0} \left( N\right)\right)$ 에 다음과 같이 작용한다.

: $T : J_{0} \left( N \right) \rightarrow J_{0} \left( N \right),\quad[\varphi]\mapsto[\varphi \circ T], \quad \varphi \in \mathcal{S}_{2} \left( \Gamma_{0} \left( N \right) \right)^{\wedge}.$

이때, 야코비안 $J_{0} \left( N \right):= \mathrm{Jac}( X_{0} \left( N \right))$ 는 헤케 연산자에 의해 다음과 같이 분해된다.

: $J_{0} \rightarrow \bigoplus_{f}\left(A_{f}\right)^{m_{f}}.$

$A_{f}$ 는 1차원 아벨 다양체이므로 복소 토러스와 위상 동형이며, 따라서 타원 곡선과 위상 동형이다. 이와 같이 구성된 타원 곡선(과 동종인 타원 곡선)을 '''모듈러 타원 곡선'''이라고 한다.

참조

_[1] arXiv Virtues of Priority
_[2] 저널 Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture https://www.ams.org/[...] 2022-11-08
_[3] harvnb
_[4] 웹사이트 LMFDB http://www.lmfdb.org[...]
_[5] 웹사이트 OEIS https://oeis.org/A00[...]
_[6] 간행물 Bourbaki article of Jean-Pierre Serre http://www.numdam.or[...]
_[7] 서적 Arbeitstagung Bonn 1984 Springer
_[8] 저널 Points d'ordre 2''p''^''h'' sur les courbes elliptiques http://matwbn.icm.ed[...]
_[9] 저널 From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem http://www.numdam.or[...]
_[10] 저널 Number theory as gadfly https://doi.org/10.2[...] 1991
_[11] Google検索 modular parametrization of level N
_[12] 서적 Algorithms for Modular Elliptic Curves(second edition) Cambridge University Press
_[13] 저널 代数的整数論に関する国際会議について 1956
_[14] 서적 フェルマーの大定理：整数論の源流ちくま学芸文庫
_[15] 저널 Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung https://eudml.org/do[...] 2022-12-29
_[16] 서적 A first course in modular forms Springer 2005
_[17] 저널 Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen 1967
_[18] 저널 Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations
_[19] 저널 Modular elliptic curves and Fermat's last theorem
_[20] 저널 Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras
_[21] 저널 On deformation rings and Hecke rings
_[22] 저널 Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations
_[23] 저널 On the modularity of elliptic curves over '''Q''': wild 3-adic exercises 2001
_[24] 저널 A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced http://www.ams.org/n[...]

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