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테이트 코호몰로지 군

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목차

1. 개요

테이트 코호몰로지 군은 유한군 G와 G-가군 A에 대해 정의되는 군 코호몰로지 군의 변형이다. 테이트 코호몰로지 군 \hat H^n(G,A)은 일반적인 군 코호몰로지 군과 호몰로지 군을 결합하여 정의되며, n의 값에 따라 다르게 계산된다. 테이트 코호몰로지 군은 짧은 완전열에 대한 긴 완전열을 가지며, 유도 G-가군인 경우 모든 테이트 코호몰로지 군은 소멸한다. 테이트 정리는 테이트 코호몰로지 군 간의 동형사상을 제공하며, F. 토마스 파렐은 이를 가상 코호몰로지 차원을 갖는 군으로 확장했다.

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테이트 코호몰로지 군
일반 정보
분야수학
하위 분야군론, 호몰로지 대수
명명자테이트
상세 정보
유형군
정의유한군의 코호몰로지 이론의 변형
역사적 맥락
개발 시기1952년
관련 개념
관련 항목코호몰로지, 군 코호몰로지, 갈루아 코호몰로지

2. 정의

G가 유한군이고 ''A''가 ''G''-가군 이면, H_0(G,A)에서 H^0(G,A)로 가는 자연스러운 사상 ''N''이 존재하며, 이 사상은 대표 원소 ''a''를 \sum_{g\in G} ga (''a''의 모든 ''G''-켤레에 대한 합)로 보낸다. '''테이트 코호몰로지 군''' \hat H^n(G,A)는 다음과 같이 정의된다.


  • n\ge 1일 때, \hat H^n(G,A) = H^n(G,A)이다. (일반적인 군 코호몰로지 군)
  • n=0일 때, \hat H^0(G,A)=\operatorname {coker} N= ''A''의 원소의 노름에 대한 H^0(G,A)의 몫이다.
  • n=-1일 때, \hat H^{-1}(G,A)=\ker N= ''A''의 주 원소에 의한 노름 0인 ''A''의 원소 몫이다.
  • n\le -2일 때, \hat H^{n}(G,A) = H_{-n - 1}(G,A)이다. (일반적인 군 호몰로지 군)

2. 1. 테이트 코호몰로지 군

G가 유한군이고 ''A''가 ''G''-가군 이면, H_0(G,A)에서 H^0(G,A)로 가는 자연스러운 사상 ''N''이 존재하며, 이 사상은 대표 원소 ''a''를 \sum_{g\in G} ga (''a''의 모든 ''G''-켤레에 대한 합)로 보낸다. '''테이트 코호몰로지 군''' \hat H^n(G,A)는 다음과 같이 정의된다.

  • n\ge 1일 때, \hat H^n(G,A) = H^n(G,A)이다. (일반적인 군 코호몰로지 군)
  • n=0일 때, \hat H^0(G,A)=\operatorname {coker} N= ''A''의 원소의 노름에 대한 H^0(G,A)의 몫이다.
  • n=-1일 때, \hat H^{-1}(G,A)=\ker N= ''A''의 주 원소에 의한 노름 0인 ''A''의 원소 몫이다.
  • n\le -2일 때, \hat H^{n}(G,A) = H_{-n - 1}(G,A)이다. (일반적인 군 호몰로지 군)

3. 성질

G-가군의 짧은 완전열 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0에 대해, 테이트 코호몰로지 군의 긴 완전열이 존재한다.

::\cdots \longrightarrow\hat H^{n}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n}(G,B)\longrightarrow\hat H^{n}(G,C)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,B)\cdots

만약 ''A'' 가 유도된 ''G'' 가군이면 ''A'' 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다. ''A'' 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은 (A에 대한 G의 고정점들)/(A에 작용하는 G의 자명한 고정점들)이며, 여기서 "자명한" 고정점은 \sum g a 형태를 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 A에 작용하는 G의 자명하지 않은 고정점을 설명한다. 테이트 코호몰로지 군은 이러한 성질들에 의해 특징지어진다.

3. 1. 짧은 완전열과 긴 완전열

G-가군의 짧은 완전열 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0에 대해, 테이트 코호몰로지 군의 긴 완전열이 존재한다.

::\cdots \longrightarrow\hat H^{n}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n}(G,B)\longrightarrow\hat H^{n}(G,C)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,B)\cdots

만약 ''A'' 가 유도된 ''G'' 가군이면 ''A'' 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다. ''A'' 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은 (A에 대한 G의 고정점들)/(A에 작용하는 G의 자명한 고정점들)이며, 여기서 "자명한" 고정점은 \sum g a 형태를 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 A에 작용하는 G의 자명하지 않은 고정점을 설명한다. 테이트 코호몰로지 군은 이러한 성질들에 의해 특징지어진다.

3. 2. 유도 가군

만약 A가 유도 G-가군이면, A의 모든 테이트 코호몰로지 군은 소멸한다. 이는 테이트 코호몰로지 군의 일반적인 긴 완전열

::\cdots \longrightarrow\hat H^{n}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n}(G,B)\longrightarrow\hat H^{n}(G,C)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,B)\cdots

:에서 확인할 수 있다. 여기서 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0는 G-가군의 짧은 완전열이다.

0번째 테이트 코호몰로지 군은 (A에 대한 G의 고정점들)/(A에 작용하는 G의 자명한 고정점들)이며, 여기서 "자명한" 고정점은 \sum g a 형태를 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 A에 작용하는 G의 자명하지 않은 고정점을 설명한다.

테이트 코호몰로지 군은 위 세 가지 성질에 의해 특징지어진다.

3. 3. 고정점

0차 테이트 코호몰로지 군은 (''A''에 대한 ''G''의 고정점)/(''A''에 작용하는 ''G''의 자명한 고정점)이다. 여기서 "자명한" 고정점은 \sum g a 형태를 의미한다. 즉, 0차 코호몰로지 군은 어떤 의미에서 ''A''에 작용하는 ''G''의 자명하지 않은 고정점을 설명한다.

4. 테이트 정리

테이트 정리는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 여러 버전이 존재하며, 유체론에 편리한 버전은 다음과 같다.

:A는 유한 군 G에 대한 가군이고, a는 H^2(G,A)의 원소라고 가정한다. G의 모든 부분군 E에 대해 다음 조건들이 만족된다고 하자.

:* H^1(E,A)이 자명하다.

:* H^2(E,A)은 \operatorname{Res}(a)에 의해 생성되며, 위수 ''E'' 를 가진다.

그러면 모든 n에 대해 a와의 컵곱은 동형사상 \hat H^n(G,\Z)\longrightarrow\hat H^{n+2}(G,A)을 유도한다. 즉, A의 등급 테이트 코호몰로지는 적분 계수가 있는 테이트 코호몰로지와 동형이며 차수는 2만큼 이동한다.

4. 1. 테이트 정리의 내용

테이트 정리는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 여러 버전이 존재하며, 유체론에 편리한 버전은 다음과 같다.

A는 유한 군 G에 대한 가군이고, a는 H^2(G,A)의 원소라고 가정한다. G의 모든 부분군 E에 대해 다음 조건들이 만족된다고 하자.

  • H^1(E,A)이 자명하다.
  • H^2(E,A)은 \operatorname{Res}(a)에 의해 생성되며, 위수 ''E'' 를 가진다.


그러면 모든 n에 대해 a와의 컵곱은 동형사상 \hat H^n(G,\Z)\longrightarrow\hat H^{n+2}(G,A)을 유도한다. 즉, A의 등급 테이트 코호몰로지는 적분 계수가 있는 테이트 코호몰로지와 동형이며 차수는 2만큼 이동한다.

5. Tate-Farrell 코호몰로지

F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원을 갖는 모든 군 ''G''의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에서, 군

:

\hat H^n(G,A)

은 ''n''이 군 ''G''의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때 일반적인 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원이 0이고, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 동일하다.

5. 1. 일반화된 테이트 코호몰로지

F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원을 갖는 모든 군 ''G''의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에서, 군 \hat H^n(G,A)은 ''n''이 군 ''G''의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때 일반적인 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원이 0이고, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 동일하다.

6. 관련 개념

6. 1. 허브랜드 지수

6. 2. 특성류 구성


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