티세랑 변수

3. 티세랑의 판별식

펠릭스 티세랑은 혜성이 목성과 같은 섭동 천체의 영향을 받아 궤도가 크게 변하더라도, 특정 변수 값은 섭동 전후에 거의 일정하게 유지된다는 사실을 발견했다. 이를 '티세랑의 판별식'이라고 하며, 서로 다른 시기에 관측된 두 천체가 동일한 천체인지 판별하는 데 사용된다.^[1]

구체적으로 태양-목성-혜성으로 이루어진 삼체계에서 혜성의 질량은 다른 두 천체에 비해 매우 작기 때문에 혜성이 목성의 궤도에 미치는 영향은 무시할 수 있다. 또한 목성의 공전 궤도는 거의 원에 가깝다.

혜성의 궤도는 목성에서 충분히 멀리 떨어져 있다면 케플러의 법칙에 따라 타원 궤도를 그리지만, 목성 근처를 지나가면 목성의 중력에 의한 섭동을 받아 궤도가 크게 바뀔 수 있다. 그 결과, 목성 근처를 통과하기 전과 후에 같은 혜성임에도 불구하고 궤도가 매우 다르게 보일 수 있다. 따라서 서로 다른 시간에 다른 위치에서 관측된 혜성이 같은 혜성인지, 아니면 서로 다른 두 혜성인지 판별하는 것이 중요해진다.

만약 두 혜성이 동일하다면, 혜성의 장반경(a, a'), 이심률(e, e'), 궤도 경사각(i, i')의 섭동 전후 값은 다음의 티세랑 판별식을 근사적으로 만족한다.

:$\backslash frac\{a\_\backslash mathrm\{J\}\}\{a\}\; +\; 2\backslash cos\; i\backslash sqrt\{\backslash frac\{a\}\{a\_\backslash mathrm\{J\}\}\; (1-e^2)\}\; =\; \backslash frac\{a\_\backslash mathrm\{J\}\}\{a\text{'}\}\; +\; 2\backslash cos\; i\text{'}\backslash sqrt\{\backslash frac\{a\text{'}\}\{a\_\backslash mathrm\{J\}\}\; (1-e\text{'}^2)\}$

여기서 $a\_\backslash mathrm\{J\}$는 목성의 궤도 장반경이다. 이 식은 원 제한 삼체 문제에서 보존되는 양인 야코비 적분으로부터 유도된다. 따라서 이 식이 성립하는 혜성은 동일한 혜성일 가능성이 높으며, 이를 통해 혜성의 동일성을 판별할 수 있다.

3. 1. 티세랑 파라미터 보존과 관련된 시뮬레이션

4. 응용

목성에 의한 섭동의 티세랑 변수 $T\_J$는 소행성과 목성족 혜성을 구분할 때 사용된다.^[23] 다모클레스족은 목성 티세랑 변수가 2 이하($T\_J\; \backslash le\; 2$)이다.^[24] 작은 천체가 큰 천체를 만나 섭동되기 전후의 티세랑 변수는 거의 일정하므로, 이 값을 통해 천체가 섭동을 받았는지 알 수 있다. 해왕성에 의한 섭동의 티세랑 변수 $T\_N$는 산란원반 천체와 그 이외의 해왕성 바깥 천체를 구분하는 데 쓰인다.

4. 1. 태양계 소천체 분류

4. 2. 스윙바이 궤도 설계

4. 3. 기타 응용

5. 관련 개념

티세랑 변수는 3체계에서 섭동된 해밀턴을 연구하는 데 사용되는 들로네 표준 변수 중 하나에서 파생되었다.^[1] 고차 섭동 항을 무시하면 다음 값이 보존된다.

:$\backslash sqrt\{a\; (1-e^2)\}\; \backslash cos\; i$

결과적으로, 섭동은 코자이 공명으로 알려진 궤도 경사 및 이심률 사이의 공명으로 이어질 수 있다. 따라서 원에 가깝고 경사가 높은 궤도는 낮은 경사를 대가로 매우 이심률이 커질 수 있다. 예를 들어, 이러한 메커니즘은 태양 근접 혜성을 생성할 수 있는데, 이는 긴 반장축을 갖는 큰 이심률이 작은 근일점을 유발하기 때문이다.

이 메커니즘에 의해 혜성은 태양에 매우 가까운 근일점과 큰 궤도 이심률을 가진 "선그레이저"가 될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Traité de Mécanique Céleste Gauthier-Villards
_[2] 서적 Solar System Dynamics Cambridge University Press
_[3] 간행물 The scattering of small bodies in planetary systems: constraints on the possible orbits of cometary material: Scattering in planetary systems 2012-03-11
_[4] 간행물 Inclination pathways of planet-crossing asteroids 2021-11-26
_[5] 간행물 Orbit injection of planet-crossing asteroids 2023-11-20
_[6] 웹사이트 Dave Jewitt: Tisserand Parameter http://www2.ess.ucla[...] 2018-03-27
_[7] 서적 Dynamics and Evolution of Galactic Nuclei https://openlibrary.[...] Princeton University Press
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_[10] 서적 太陽系と惑星 日本評論社 2008-02-25
_[11] 간행물 彗星状に見える小惑星たち https://www.asj.or.j[...] 日本天文学会
_[12] 웹사이트 The Damocloids http://www2.ess.ucla[...] UCLA - Department of Earth and Space Sciences 2021-01-25
_[13] 웹사이트 Tisserand Parameter http://www2.ess.ucla[...] UCLA - Department of Earth and Space Sciences 2021-01-25
_[14] 간행물 The scattering of small bodies in planetary systems: constraints on the possible orbits of cometary material
_[15] 웹사이트 ティスランの判定式 https://astro-dic.jp[...] 日本天文学会 2021-01-25
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_[17] 간행물 Cluster Core Dynamics in the Galactic Center
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_[19] 서적 The Lidov-Kozai Effect - Applications in Exoplanet Research and Dynamical Astronomy Springer
_[20] 간행물 Sur la théorie de la capture des comètes périodiques 1889
_[21] 서적 Traité de mécanique céleste https://archive.org/[...] Paris Gauthier-Villars 1896
_[22] 서적 Solar System Dynamics Cambridge University Press
_[23] 웹인용 Dave Jewitt: Tisserand Parameter http://www2.ess.ucla[...] 2018-03-27
_[24] 웹인용 The Damocloids http://www2.ess.ucla[...] UCLA – Department of Earth and Space Sciences 2017-02-15
_[25] 서적 인용 Dynamics and Evolution of Galactic Nuclei https://openlibrary.[...] Princeton University Press