파데예프-포포프 유령

2. 전개

게이지 장 $A$를 가지고, 게이지 변환들의 군 $G$를 가진 게이지 이론의 경로 적분을 생각하자.

:$Z=\backslash frac1\{\backslash operatorname\{vol\}(G)\}\backslash int\; DA\backslash ,\backslash exp(iS[A])$.

게이지 군의 부피 $\backslash operatorname\{vol\}(G)$는 다루기 불편하므로, 대신 게이지 조건(gauge condition|게이지 조건^영어)을 가한다. $F(A)$가 게이지 조건이라고 하자. 그렇다면 이에 대한 디랙 델타와, 이에 대한 야코비안 $\backslash det(\backslash delta\; G(\backslash alpha(A))/\backslash delta\backslash alpha)$을 경로 적분에 삽입한다.

:$Z=\backslash frac1\{\backslash operatorname\{vol\}(G)\}\backslash int\; DA\backslash ,\backslash exp(iS[A])\backslash int\_Gd\backslash alpha\backslash ,\backslash delta(F(A))\backslash det(\backslash delta\; F(\backslash alpha(A))/\backslash delta\backslash alpha)$.

게이지 이론의 경우, 그 측도 $DA$는 게이지 변환에 대하여 야코비안이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 변칙이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 작용 $S[A]$도 게이지 불변이다. 또한, 야코비안 $\backslash det(\backslash delta\; F(\backslash alpha(A))/\backslash delta\backslash alpha)$는 대개 $\backslash alpha$에 의존하지 않는다. 따라서 $A\backslash mapsto\backslash alpha^\{-1\}(A)$로 변수를 바꾼다.

:$Z=\backslash frac1\{\backslash operatorname\{vol\}(G)\}\backslash int\; DA\backslash ,\backslash exp(iS[A])\backslash int\_Gd\backslash alpha\backslash ,\backslash delta(F(A))\backslash det(\backslash delta\; F(\backslash alpha(A))/\backslash delta\backslash alpha)$

::$=\backslash int\; DA\backslash ,\backslash exp(iS[A])\backslash ,\backslash delta(F(A))\backslash det(\backslash delta\; F(\backslash alpha(A))/\backslash delta\backslash alpha)$.

따라서, 작용에

:$S\text{'}=-i\backslash log\backslash delta(F(A))-i\backslash log\backslash det\backslash frac\{\backslash delta(F(\backslash alpha(A)))\}\{\backslash delta\backslash alpha\}$

두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항(gauge-fixing term|게이지 고정항^영어)이다. 두 번째 항은 함수 행렬식이다. 이는 게이지 군이 아벨 군일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 반가환 스칼라장에 대한 경로 적분으로 나타낼 수 있다. 이 장을 '''파데예프-포포프 유령'''이라고 한다.

양-밀스 이론의 경우 게이지 조건을

:$F(A)=\backslash partial\backslash cdot\; A$

라고 하자. 게이지 변환은

:$\backslash alpha(A)=A+\backslash partial\backslash alpha-i[A,\backslash alpha]$

이므로,

:$\backslash det\backslash frac\{\backslash delta\; F(\backslash alpha(A))\}\{\backslash delta\backslash alpha\}$

=\det(\partial^2-i\partial\cdot[A,\cdot])

이다. 이 경우 반가환 딸림표현 복소 스칼라장 $c$를 도입하여, 함수 행렬식을

:$\backslash det(\backslash partial^2-i\backslash partial\backslash cdot[A,\backslash cdot])$

=\int Dc\,D\bar c\,\exp(i\int d^4x\,\bar c(\partial^2c-i\partial\cdot[A,c]))

로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항

:$S\_\backslash text\{ghost\}=\backslash int\; d^4x\backslash ,\backslash bar\; c(\backslash partial^2c-i\backslash partial\backslash cdot[A,c])$

이 더해진다.

고스트장은 게이지장의 이론을 경로 적분을 통해 정식화할 때, 모호함이나 특이성을 갖는 해를 내지 않도록 정식화하기 위해 필요하다. 게이지 대칭성을 갖는 이론의 경우, 게이지 변환으로 연결되는 물리적으로 등가인 해 중에서 하나만 골라내는 처방은 존재하지 않는다. 경로 적분에서는, 이러한 등가적인 물리적 상태에 대응하는 장의 배치가 중복되어 계산되는 문제점이 발생한다. 이 중복은 경로 적분의 측도 인자에 포함된다. 이 때문에 파인만 도표 등의 통상적인 방법을 사용하여, 다양한 양을 원래의 작용으로부터 직접 계산할 수 없게 된다.

이 문제는 '''고스트장'''을 작용에 추가하여 게이지 대칭성을 깨뜨림으로써 해결할 수 있다. 이 기법은 파데예프-포포프 방법이라고 불린다. 고스트장은 현실의 입자가 아니라 계산상의 도구이며, 가상 입자로서만 파인만 도표에 나타나지만, 유니타리티를 유지하기 위해 필요하다.

물리량은 게이지 선택에 의존하지 않음에도 불구하고, 고스트장의 정식화는 게이지 선택에 의존한다. 일반적으로, 파인만-토호프트 게이지가 가장 단순하다. 이후 이 게이지를 가정한다.