함수 행렬식

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1. 개요
2. 정의
3. 계산 방법
4. 실제 예시
- 4.1. 무한 퍼텐셜 우물
- 4.2. 1차원 퍼텐셜 (재고)
참조

1. 개요

함수 행렬식은 가우스 적분의 무한 차원 일반화로, 양자장론과 같은 분야에서 사용되는 개념이다. 경로 적분 형식을 통해 정의되며, 제타 함수 조절과 같은 방법을 사용하여 계산할 수 있다. 가환수 및 반가환수 함수 행렬식으로 구분되며, 1차원 퍼텐셜이나 무한 퍼텐셜 우물과 같은 실제 예시를 통해 계산 방법을 이해할 수 있다.

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함수 행렬식

2. 정의

함수 행렬식은 유한 차원 행렬식을 무한 차원 함수 공간으로 확장한 개념이다. 함수 행렬식은 경로 적분 형식, 제타 함수 정규화 등을 통해 정의할 수 있다.

2. 1. 경로 적분 형식

경로 적분 형식에서 함수 행렬식은 가우스 적분의 무한 차원 일반화로 나타난다. 유한 차원 유클리드 공간에서의 가우스 적분 공식을 무한 차원 함수 공간으로 확장하여 정의한다. 비너 측도와 L² 내적을 사용하여 함수 공간에서의 적분을 형식적으로 계산한다.

유한 차원 유클리드 공간 ''V''에 대한 양의 자기 수반 연산자 ''S''에 대해 다음 공식이 성립한다.

:

\frac{1}{\sqrt{\det S}} = \int_V e^{-\pi\langle x,Sx\rangle}\, dx

무한 차원 함수 공간에서 연산자 ''S''의 행렬식을 이해하기 위해, 다음과 같은 적분을 형식적으로 계산한다.

:

\int_V e^{-\pi\langle \phi,S\phi\rangle}\, \mathcal D\phi

여기서 ''V''는 함수 공간이고,

\langle \cdot,\cdot\rangle

는 L² 내적이며,

\mathcal D\phi

는 비너 측도이다. ''S''는 자기 수반적이고 이산적인 스펙트럼 λ₁, λ₂, λ₃, ...을 가지며, 이에 해당하는 고유 함수 집합 ''f''₁, ''f''₂, ''f''₃, ...이 L²에서 완전하다고 가정한다.

이때, 모든 함수 φ는 함수 ''f''_''i''의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

:

|\phi\rangle = \sum_i c_i |f_i\rangle \quad \text{with } c_i = \langle f_i | \phi \rangle.

지수 함수의 내적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\langle\phi|S|\phi\rangle = \sum_{i,j} c_i^*c_j \langle f_i|S|f_j\rangle = \sum_{i,j}c_i^*c_j \delta_{ij}\lambda_i  = \sum_i |c_i|^2 \lambda_i.

함수 ''f''_''i''의 기저에서, 함수 적분은 모든 기저 함수에 대한 적분으로 축소된다. 형식적으로, 유한 차원 경우의 직관을 무한 차원 설정으로 전달하면, 측도는 다음과 같아야 한다.

:

\mathcal D \phi = \prod_i \frac{dc_i}{2\pi}.

이것은 함수 적분을 가우스 적분의 곱으로 만든다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle \phi|S|\phi\rangle} = \prod_i \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dc_i}{2\pi} e^{-\lambda_ic_i^2}.

적분을 평가하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle \phi|S|\phi\rangle} = \prod_i \frac1{2\sqrt{\pi\lambda_i}} = \frac N{\sqrt{\prod_i\lambda_i}}

여기서 ''N''은 일부 정규화 절차로 처리해야 하는 무한 상수이다. 모든 고유값의 곱은 유한 차원 공간의 행렬식과 같으며, 우리는 형식적으로 이 경우를 무한 차원 경우에도 동일하게 정의한다. 이로 인해 다음 공식이 나온다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle\phi|S|\phi\rangle} \propto \frac{1}{\sqrt{\det S}}.

함수 행렬식 계산에 가장 널리 사용되는 방법은 제타 함수 정규화이다.^[1]

2. 2. 제타 함수 조절

제타 함수 조절은 함수 행렬식을 엄밀하게 정의하는 방법 가운데 하나이다. 어떤 미분 연산자

D

의 스펙트럼이 고윳값

\lambda_i

만으로 이루어져 있고,

s

가 충분히 작을 때 다음이 수렴한다고 가정한다.

:

\zeta_D(s)=\sum_{i;\lambda_i\ne0}\lambda_i^{-s}

.

이 함수를 연산자

D

의 '''제타 함수'''(zeta function^영어)라고 부른다. 이 함수를

s

가 수렴하지 않는 곳까지 해석적 연속하면, 함수 행렬식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\det D=\exp(-\zeta_D'(0))

이때, 제타 함수를 정의할 때 유한한 행렬식을 얻기 위해 보통 고윳값이 0인 모드는 제외한다.^[10]

콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다.

이러한 제타 함수 조절은 정규화의 한 방법으로, 리만 다양체에서 라플라스 및 디락 연산자의 행렬식을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[1]

2. 3. 가환수 함수 행렬식

유클리드 공간에서의 대칭행렬

A

에 대해 다음 식이 성립한다. (단, 좌변이 수렴할 때)

:

\int d^n\mathbf x\;\exp(-\tfrac12\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf x)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}

이를 바탕으로, 임의의 함수 공간에서 임의의 대칭 연산자

A

에 대해 다음과 같이 정의한다. (브라-켓 표기법 사용)

:

\int D\phi\;\exp(-\tfrac12\langle\phi|A|\phi\rangle)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}

또한, 다음 적분을 고려한다.

:

\int d^n\mathbf x d^n\mathbf y\exp(2\pi\mathrm i\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf y)=\int d^n\mathbf x\;\delta(A\mathbf x)=1/\det A.

마찬가지로,

:

\int D\phi\;D\psi\;\exp(2\pi i\langle\phi|A|\psi\rangle)=1/\det A

와 같이 정의한다.

유한 차원 유클리드 공간 ''V''에서 양의 자기 수반 연산자 ''S''에 대해 다음 공식이 성립한다.

:

\frac{1}{\sqrt{\det S}} = \int_V e^{-\pi\langle x,Sx\rangle}\, dx

무한 차원 함수 공간에서 연산자 ''S''의 행렬식을 구하기 위해, 다음과 같은 적분을 형식적으로 계산한다.

:

\int_V e^{-\pi\langle \phi,S\phi\rangle}\, \mathcal D\phi

여기서 ''V''는 함수 공간,

\langle \cdot,\cdot\rangle

는 L² 내적,

\mathcal D\phi

는 비너 측도이다. ''S''는 자기 수반적이고, 이산적인 스펙트럼 λ₁, λ₂, λ₃, ...을 가지며, 이에 해당하는 고유 함수 집합 ''f''₁, ''f''₂, ''f''₃, ...이 L²에서 완전해야 한다.

모든 함수 φ는 함수 ''f''_''i''의 선형 결합으로 표현 가능하다.

:

|\phi\rangle = \sum_i c_i |f_i\rangle \quad \text{with } c_i = \langle f_i | \phi \rangle.

지수 함수의 내적은 다음과 같다.

:

\langle\phi|S|\phi\rangle = \sum_{i,j} c_i^*c_j \langle f_i|S|f_j\rangle = \sum_{i,j}c_i^*c_j \delta_{ij}\lambda_i  = \sum_i |c_i|^2 \lambda_i.

함수 ''f''_''i''의 기저에서, 함수 적분은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal D \phi = \prod_i \frac{dc_i}{2\pi}.

이는 함수 적분을 가우스 적분의 곱으로 만든다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle \phi|S|\phi\rangle} = \prod_i \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dc_i}{2\pi} e^{-\lambda_ic_i^2}.

적분을 계산하면 다음과 같다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle \phi|S|\phi\rangle} = \prod_i \frac1{2\sqrt{\pi\lambda_i}} = \frac N{\sqrt{\prod_i\lambda_i}}

여기서 ''N''은 정규화가 필요한 무한 상수이다. 모든 고유값의 곱은 유한 차원 공간의 행렬식과 같으므로, 다음과 같이 정의한다.

:

\int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle\phi|S|\phi\rangle} \propto \frac{1}{\sqrt{\det S}}.

함수 행렬식 계산에 주로 사용되는 방법은 제타 함수 정규화이다.^[1] 이를 통해 리만 다양체에서 라플라스 및 디락 연산자의 행렬식을 미낙시순다람-플레옐 제타 함수를 사용하여 계산할 수 있다.

2. 4. 반가환수 함수 행렬식

반가환수의 경우에 함수 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다.

두 반가환수

\psi

,

\chi

를 생각하자. 이들은 편의상 실수라 하자. 그렇다면 다음 식을 생각해 볼 수 있다.

:

\int d\psi d\chi \exp(\chi\psi)=\int d\psi d\chi(1+a\chi\psi)=\int d\psi a\psi = a

.

다차원으로 일반화하면, 임의의 대칭 연산자

A

에 대하여

:

\int d\psi d\chi \exp(\chi^\mathsf TA\psi)=\det A

,

브라-켓 표기법으로는

:

\int D\psi D\chi \exp(\langle\chi|A|\psi\rangle)=\det A

이 된다.

마찬가지로

:

J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

이 주어지면,

:

\int d^2\psi\exp\left(\frac12a\psi^\mathsf T J\psi\right)=\int d\psi_2d\psi_1\;(1+a\psi_1\psi_2)=a=\sqrt{\det(aJ)}=\operatorname{Pf}(aJ)

.

여기서

\operatorname{Pf}(aJ)

는 반대칭 행렬의 파피안이다.

따라서 임의의 반대칭 연산자

A

에 대하여

:

\int d^2\psi\exp(\psi^\mathsf TA\psi)=\sqrt{\det A}=\operatorname{Pf}A

가 된다.

따라서 반가환수의 함수 행렬식은 가환수의 함수 행렬식의 역임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 함수 행렬식의 역을 취하려면 가환수 변수를 반가환수로 치환하면 된다.

3. 계산 방법

함수 행렬식은 여러 가지 방법으로 계산할 수 있다.

'''고유값 곱'''

연산자를 대각화하고 고유값들을 곱하여 계산한다. 발산하는 상수를 처리하기 위해 다른 연산자와의 비를 이용하기도 한다. 예를 들어 양자역학적 입자의 무한 퍼텐셜 우물 내 운동을 설명하는 연산자의 행렬식은 이러한 방식으로 계산할 수 있다.

'''제타 함수 정규화'''

제타 함수 조절을 사용하면 함수 행렬식을 엄밀하게 정의할 수 있다. 콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다.

'''1차원 퍼텐셜에서의 계산'''

1차원 퍼텐셜의 경우에는 함수 행렬식을 계산하는 특별한 방법이 존재한다.^[4]

3. 1. 고유값 곱

함수 행렬식은 연산자를 대각화하고 고유값들을 곱하여 계산한다. 발산하는 상수를 처리하기 위해, 다른 연산자와의 비를 이용하기도 한다.

양자역학적 입자의 무한 퍼텐셜 우물 내 운동을 설명하는 다음 연산자의 행렬식을 계산해 보자.

:

\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right) \qquad (x\in[0,L]),

여기서 ''A''는 퍼텐셜의 깊이이고 ''L''은 우물의 길이이다. 이 행렬식은 연산자를 대각화하고 고유값을 곱하여 계산한다. 깊이 ''A''인 연산자와 깊이 ''A'' = 0인 연산자의 행렬식 사이의 몫을 계산하면, 발산하는 상수를 다룰 필요가 없다. 이 퍼텐셜의 고유값은 다음과 같다.

:

\lambda_n = \frac{n^2\pi^2}{L^2} + A \qquad (n \in \mathbb N \setminus \{0\}).

따라서 다음이 성립한다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{\frac{n^2\pi^2}{L^2} + A}{\frac{n^2\pi^2}{L^2}} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{L^2A}{n^2\pi^2}\right).

오일러의 함수의 곱 표현을 삼각 함수에 사용하면 다음과 같다.

:

\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)

이로부터 쌍곡선 함수에 대한 유사한 공식을 도출할 수 있다.

:

\sinh z = - i\sin iz = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{n^2\pi^2}\right).

이를 적용하면 다음을 얻는다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{L^2A}{n^2\pi^2}\right) = \frac{\sinh L\sqrt A}{L\sqrt A}.

3. 2. 제타 함수 정규화

제타 함수 조절을 사용하면 함수 행렬식을 엄밀하게 정의할 수 있다. 미분 연산자

D

의 스펙트럼이 고윳값

\lambda_i

만으로 이루어져 있을 때,

s

가 충분히 작으면 다음이 수렴한다.

:

\zeta_D(s)=\sum_{i;\lambda_i\ne0}\lambda_i^{-s}

.

이를 연산자

D

의 '''제타 함수'''(zeta function^영어)라고 한다. 이 함수를

s

가 수렴하지 않는 곳까지 해석적 연속하면, 함수 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

:

\det D=\exp(-\zeta_D'(0))

^[10]

콤팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다.

제타 함수 정규화는 미낙시산드람-플레이젤 제타 함수를 사용하여 리만 다양체 위의 라플라스 작용소나 디랙 작용소의 범함수 행렬식 계산에 사용된다.^[5]

''S''가 콤팩트 지지 집합을 갖는 양의 정부호이고 매끄러운(미분 가능한) 계수를 갖는 타원형 미분 작용소라고 하자. 즉, 어떤 상수 ''c'' > 0이 존재하여,

:

\langle\phi,S\phi\rangle \ge c\langle\phi,\phi\rangle

가 모든 콤팩트 지지 집합을 갖는 매끄러운 함수 φ에 대해 성립한다고 하자. 그러면, ''S''는 하한 ''c''를 갖는 ''L''²의 자기 수반 작용소로 확장이 가능하다. ''S''의 고유값은 수열

:

0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots,\qquad\lambda_n\to\infty.

로 정렬할 수 있으며, 따라서 ''S''의 제타 함수는 급수에 의해 정의된다.^[6]

:

\zeta_S(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n^s}.

ζ_''S''는 전 복소 평면에서 유리형 함수로 확장할 수 있다.^[7] 또한, 일반적인 상황에서 제타 함수를 정의할 수 있지만, 제타 함수는 타원형 미분 작용소(혹은 유사 미분 작용소)는

s = 0

에서 정칙(regular)이 된다.

형식적으로, 이 급수를 항별로 미분하면,

:

\zeta_S'(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s},

을 얻을 수 있으며, 따라서 범함수 행렬식은 잘 정의될 수 있으며, 정의는

:

\det S = \exp\left(-\zeta_S'(0)\right).

에 의해 주어진다. 제타 함수의 해석적 연속은 0에서 정칙(regular)이므로, 이 식은 행렬식의 정의로서 엄밀하게 된다.

3. 3. 1차원 퍼텐셜에서의 계산

1차원 퍼텐셜의 경우, 함수 행렬식을 계산하는 특별한 방법이 존재한다.^[4] 다음 식을 고려하여 이 방법을 얻을 수 있다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x) - m\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x) - m\right)}

여기서 ''m''은 복소수 상수이다. 이 식은 ''m''이 퍼텐셜 ''V''₁(''x'')을 갖는 연산자의 고유값과 같을 때 영점을 갖고, ''m''이 퍼텐셜 ''V''₂(''x'')를 갖는 연산자의 고유값일 때 극점을 갖는 ''m''의 유리형 함수이다.

이제 다음과 같은 함수 ''ψ''^''m''₁과 ''ψ''^''m''₂를 고려한다.

:

\left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_i(x) - m\right) \psi_i^m(x) = 0

이 함수들은 다음의 경계 조건을 만족시킨다.

:

\psi_i^m(0) = 0, \quad\qquad \frac{d\psi_i^m}{dx}(0) = 1.

만약 다음과 같은 함수를 구성하면,

:

\Delta(m) = \frac{\psi_1^m(L)}{\psi_2^m(L)},

이 함수 역시 ''m''의 유리형 함수이며, 원래 계산하려는 행렬식의 몫과 정확히 동일한 극점과 영점을 갖는다는 것을 알 수 있다. 즉, 만약 ''m''이 연산자 1번의 고유값이라면, ''ψ''^''m''₁(''x'')는 해당 연산자의 고유함수가 되고, 이는 ''ψ''^''m''₁(''L'') = 0을 의미한다. 분모에 대해서도 마찬가지이다. 리우빌 정리에 따르면, 동일한 영점과 극점을 갖는 두 유리형 함수는 서로 비례해야 한다. 이 경우, 비례 상수는 1이 되며, 다음 식을 얻는다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x) - m\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x) - m\right)} = \frac{\psi_1^m(L)}{\psi_2^m(L)}

이 식은 ''m''의 모든 값에 대해 성립한다. 특히 ''m'' = 0일 경우, 다음 식을 얻는다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x)\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x)\right)} = \frac{\psi_1^0(L)}{\psi_2^0(L)}.

이전 절의 문제는 이 형식을 사용하면 더 쉽게 해결할 수 있다. 함수 ''ψ''⁰_''i''(''x'')는 다음을 따른다.

:

\begin{align} & \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right) \psi_1^0 = 0,\qquad \psi_1^0(0) = 0 \quad,\qquad \frac{d\psi_1^0}{dx}(0) = 1, \\ & -\frac{d^2}{dx^2}\psi_2^0 = 0,\qquad \psi_2^0(0) = 0,\qquad \frac{d\psi_2^0}{dx}(0) = 1, \end{align}

다음 해를 도출한다.

:

\begin{align} & \psi_1^0(x) = \frac1{\sqrt A} \sinh x\sqrt A, \\ & \psi_2^0(x) = x. \end{align}

이것은 최종 표현을 제공한다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \frac{\sinh L\sqrt A}{L\sqrt A}.

4. 실제 예시

4. 1. 무한 퍼텐셜 우물

양자역학에서 무한 퍼텐셜 우물 내 입자의 운동을 설명하는 연산자의 함수 행렬식을 계산한다. 이 연산자는 다음과 같다.

:

\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right) \qquad (x\in[0,L]),

여기서 ''A''는 퍼텐셜의 깊이이고, ''L''은 우물의 폭이다. 이 행렬식은 연산자를 대각화하고 고유값을 곱하여 계산한다. 발산하는 상수를 고려하지 않기 위해, 깊이 ''A''인 연산자와 깊이 ''A'' = 0인 연산자의 행렬식 사이의 몫을 계산한다. 이 퍼텐셜의 고유값은 다음과 같다.

:

\lambda_n = \frac{n^2\pi^2}{L^2} + A \qquad (n \in \mathbb N \setminus \{0\}).

따라서 다음이 성립한다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{\frac{n^2\pi^2}{L^2} + A}{\frac{n^2\pi^2}{L^2}} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{L^2A}{n^2\pi^2}\right).

오일러의 무한 곱 공식을 삼각 함수에 사용하면 다음과 같다.

:

\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)

이로부터 쌍곡선 함수에 대한 유사한 공식을 유도할 수 있다.

:

\sinh z = - i\sin iz = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{n^2\pi^2}\right).

이를 적용하면,

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{L^2A}{n^2\pi^2}\right) = \frac{\sinh L\sqrt A}{L\sqrt A}.

와 같이 쌍곡선 함수 형태로 결과를 얻는다.

4. 2. 1차원 퍼텐셜 (재고)

1차원 퍼텐셜의 경우, 함수 행렬식을 계산하는 다른 방법이 존재한다.^[4]

다음과 같은 함수 행렬식의 비를 고려해 보자.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x) - m\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x) - m\right)}

여기서 ''m''은 복소수 상수이다. 이 식은 ''m''이 퍼텐셜 ''V''₁(''x'')을 갖는 연산자의 고유값과 같을 때 0이 되고, ''m''이 퍼텐셜 ''V''₂(''x'')을 갖는 연산자의 고유값일 때 극점을 갖는 ''m''의 유리형 함수이다.

이제 다음과 같은 함수 ''ψ''^''m''_''i''(''x'')를 생각해보자.

:

\left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_i(x) - m\right) \psi_i^m(x) = 0

이 함수들은 다음 경계 조건을 만족한다.

:

\psi_i^m(0) = 0, \quad\qquad \frac{d\psi_i^m}{dx}(0) = 1.

만약 다음과 같은 함수를 만들면,

:

\Delta(m) = \frac{\psi_1^m(L)}{\psi_2^m(L)},

이 함수 역시 ''m''의 유리형 함수이며, 원래 계산하려던 행렬식의 비와 정확히 같은 영점과 극점을 갖는다. 즉, ''m''이 연산자 1번의 고유값이면, ψ^''m''₁(''x'')는 해당 연산자의 고유함수가 되고, 이는 ψ^''m''₁(''L'') = 0을 의미한다. 분모에 대해서도 마찬가지이다. 리우빌 정리에 따르면, 동일한 영점과 극점을 갖는 두 유리형 함수는 서로 비례한다. 이 경우, 비례 상수는 1이므로, 다음 식을 얻는다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x) - m\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x) - m\right)} = \frac{\psi_1^m(L)}{\psi_2^m(L)}

이것은 ''m''의 모든 값에 대해 성립하고, ''m'' = 0일 경우, 다음을 얻는다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_1(x)\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + V_2(x)\right)} = \frac{\psi_1^0(L)}{\psi_2^0(L)}.

이전 절의 문제는 이 공식을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있다. 함수 ''ψ''⁰_''i''(''x'')는 다음 관계를 만족한다.

:

\begin{align} & \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right) \psi_1^0 = 0,\qquad \psi_1^0(0) = 0 \quad,\qquad \frac{d\psi_1^0}{dx}(0) = 1, \\ & -\frac{d^2}{dx^2}\psi_2^0 = 0,\qquad \psi_2^0(0) = 0,\qquad \frac{d\psi_2^0}{dx}(0) = 1, \end{align}

그리고, 다음 해를 얻는다.

:

\begin{align} & \psi_1^0(x) = \frac1{\sqrt A} \sinh x\sqrt A, \\ & \psi_2^0(x) = x. \end{align}

따라서, 최종 결과는 다음과 같다.

:

\frac{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2} + A\right)}{\det \left(-\frac{d^2}{dx^2}\right)} = \frac{\sinh L\sqrt A}{L\sqrt A}.

참조

_[1] 참고문헌
_[2] 참고문헌
_[3] 참고문헌
_[4] 간행물 The uses of instantons Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977)
_[5] 참고문헌
_[6] 참고문헌
_[7] 참고문헌
_[8] 문서 풀비츠제타 함수
_[9] 간행물 The uses of instantons Int. School of Subnuclear Physics, (Erice, 1977)
_[10] 저널 The determinant of the Laplacian on the n-sphere http://matwbn.icm.ed[...]

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