핀슬러 다양체

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1. 개요

핀슬러 다양체는 매끄러운 다양체 위의 핀슬러 함수를 갖춘 다양체로, 핀슬러 함수는 접다발에서 정의되며 특정 조건을 만족하는 함수이다. 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 일반화된 개념으로, 핀슬러 함수의 성질, 기본 텐서, 힐베르트 형식 등의 구조를 가진다. 핀슬러 다양체의 예시로는 리만 다양체, 란데르스 다양체, 복소다양체 위의 계량 등이 있으며, 핀슬러 다양체에서 곡선의 길이는 핀슬러 함수를 통해 정의되고, 측지선은 에너지 범함수를 최소화하는 곡선으로 정의된다. 핀슬러 다양체는 1918년 파울 핀슬러에 의해 연구되었으며, 엘리 카르탕이 핀슬러 공간이라는 용어를 도입했다.

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핀슬러 다양체
개요
이름	핀슬러 다양체
분야	미분기하학
정의	리만 다양체의 일반화
상세 정보
설명	접선 공간에 핀슬러 노름이 주어진 다양체
관련 개념	리만 다양체, 미터 텐서, 접선 공간
역사
이름의 유래	파울 핀슬러의 이름에서 유래

2. 정의

핀슬러 다양체는 미분 가능 다양체 $M$ 과 그 접다발 $TM$ 위에 정의된 핀슬러 함수 $F\colon TM\to[0,\infty)$ 로 구성된다. 핀슬러 함수 $F$ 는 $TM$ 에서 정의된 연속적인 음이 아닌 함수이며 다음 성질을 만족시킨다.

2. 1. 핀슬러 함수의 성질

매끄러운 다양체

M

위의 접다발

TM

위의 핀슬러 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수

F\colon TM\to[0,\infty)

이다.

'''매끄러움''': $F$ 는 $TM$ 의 영단면의 여집합에서 매끄러운 함수이다. 즉, $TM\setminus M$ 위에서 매끄럽다.
'''양의 정부호성''': $(x,v)\in TM$ 에 대하여, $v=0$ 이면 $F(x,v)=0$ 이며, $v\ne0$ 이라면 $F(x,v)>0$ 이다. 즉, 영벡터가 아닌 모든 접벡터 $v$ 에 대해 $F(x, v) > 0$ 이다.
'''양의 동차성''' (동차성): 임의의 양수 $\lambda$ 및 $x\in M$ 및 $v\in T_xM$ 에 대하여, $\lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)$ 이다.
'''준가법성''': 임의의 $x\in M$ 및 $u,v\in T_xM$ 에 대하여, $F(x,u+v)\le F(x,u)+F(x,v)$ 이다.

이러한 핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체

(M,F)

를 '''핀슬러 다양체'''라고 한다.

2. 2. 강한 볼록성

일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다. 이는 핀슬러 함수 제곱의 헤세 행렬이 양의 정부호 행렬이라는 조건으로 표현된다. 강한 볼록성은 준가법성을 강화하며, 이면 엄격한 부등식과 함께 준가법성을 의미한다. 가 강하게 볼록하면 각 접공간에서 민코프스키 노름이다.

강한 볼록성은 다음과 같이 정의된다.

각 접선 벡터 에 대해, 에서의 의 헤세 행렬은 양의 정부호이다.

여기서 에서의 의 헤시안은 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

:

\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0}

이것은 에서의 의 '''기본 텐서'''라고도 한다.

2. 3. 가역성

만약 핀슬러 다양체

(M,F)

에서 임의의

(x,v)\in TM

에 대하여

F(x,v)=F(x,-v)

가 성립하면, 이를 '''가역 핀슬러 다양체'''(reversible Finsler manifold^영어)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다.

3. 핀슬러 다양체의 구조

핀슬러 다양체 $(M,F)$ 에서는 핀슬러 함수를 이용하여 곡선의 길이와 두 점 사이의 거리를 정의할 수 있다. 곡선의 길이는 매개변수화에 불변이며, 두 점 사이의 거리는 두 점을 잇는 곡선들의 길이의 하한으로 정의된다. 이를 통해 길이 거리 공간을 이루며, 측지선은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시키는 곡선이다.

3. 1. 곡선의 길이

핀슬러 다양체

(M,F)

위의 매끄러운 곡선

\gamma\colon[a,b]\to M

의 길이는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{length}[\gamma]=\int_a^bF(\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt

곡선의 길이는 매개변수화에 대해 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형

s\colon[a,b]\to[a',b']

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{length}[\gamma\circ s]=\operatorname{length}[\gamma]

3. 2. 거리와 측지선

핀슬러 다양체

(M,F)

위의 매끄러운 곡선

\gamma\colon[a,b]\to M

의 길이(length^영어)는 다음과 같다.

:

\operatorname{length}[\gamma]=\int_a^bF(\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형

s\colon[a,b]\to[a',b']

에 대하여,

\operatorname{length}[\gamma\circ s]=\operatorname{length}[\gamma]

이다.

임의의 두 점

x,y\in M

사이의 거리(distance^영어)

\operatorname{dist}(x,y)

는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

:

\operatorname{dist}(x,y)=\inf_{\gamma\colon[0,1]\to M}^{\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y}L(\gamma)

그렇다면,

(M,\operatorname{dist})

는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다.

:

E[\gamma]=\frac12\int_a^b\left(F(\gamma(t),\dot\gamma(t))\right)^2\,dt

''F''의 동질성으로 인해

:

L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt

미분 가능한 곡선 ''γ'': [''a'', ''b''] → ''M''의 길이는 양의 방향을 갖는 재매개변수화에 대해 불변이다. 상수 속도 곡선 ''γ''는, 짧은 구간 ''γ''|_{[''c'',''d'']}가 ''γ''(''c'')에서 ''γ''(''d'')까지의 ''M''에서 길이를 최소화하는 경우 핀슬러 다양체의 측지선이다. 즉, ''γ''는 에너지 범함수

:

E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt

에 대해 고정점이 있는 미분 가능한 곡선 ''γ'': [''a'', ''b''] → ''M'' 중에서 범함수 미분이 사라지는 의미에서 정지 상태에 있는 경우이다. ''γ''(''a'') = ''x'' 와 ''γ''(''b'') = ''y''.

3. 3. 기본 텐서와 힐베르트 형식

핀슬러 다양체

(M,F)

가 주어졌을 때,

\tfrac12F^2

의 접공간 방향의 헤세 행렬은

TM\setminus M

위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서

g

를 이루며, 이를 '''기본 텐서'''(fundamental tensor^영어)라고 한다.

:

(g|_{x,v})_{ij}=\frac12\frac{}{\partial v^i\partial v^j}F^2\qquad\forall(x,v)\in TM

이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발

:

PTM=\frac{TM\setminus M}{(x,v)\sim(x,\lambda v)\;\forall \lambda\in\mathbb R^+}

위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서

:

F(x,v)^2=\sum_{ij}g_{ij}(x,v)v^iv^j

가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.

기본 형식이

TM

위에서 양의 정부호라면,

(M,F)

를 '''강하게 볼록 핀슬러 다양체'''(strongly convex Finsler manifold^영어)라고 한다.

핀슬러 다양체

(M,F)

의 사영 접다발

PTM

위에 다음과 같은 '''힐베르트 형식'''(Hilbert form^영어)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다.

:

\omega=\sum_i\frac{\partial F(x,v)}{\partial v^i}dx^i

\omega

의 외미분

d\omega

는 일종의 에레스만 접속을 정의한다.

4. 예시

리만 다양체와 란데르스 다양체 외에도, 복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다. 유한 차원 노름 벡터 공간의 매끄러운 부분 다양체(열린 부분 집합 포함)는 벡터 공간의 노름이 원점을 제외하고 매끄러울 경우 핀슬러 다양체이다. 유사 리만 다양체는 핀슬러 다양체가 아니다.

4. 1. 리만 다양체

모든 리만 다양체

(M,g)

는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.

:

F(x,v)=g|_x(v,v)\qquad\forall(x,v)\in TM

반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다. 리만 다양체는 핀슬러 다양체의 특수한 경우이다.^[1]

4. 2. 란데르스 다양체

리만 다양체

(M,g)

위에 1차 미분 형식

b\in\Omega^1M

이 주어졌고,

:

g^{-1}(b,b)|_x\le1\qquad\forall x\in M

이라면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.

:

F\colon (x,v)\mapsto\sqrt{g^{-1}(b,b)}|_x+b(v)

이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 '''란데르스 다양체'''(Randers manifold^영어)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(Gunnar Randers^no)가 도입하였다.^[3]

(M, a)

가 리만 다양체이고 ''b''가 ''M''상의 미분 1-형식이며,

:

\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} < 1

이고, 여기서

\left(a^{ij}\right)

는

(a_{ij})

의 역행렬이며 아인슈타인 표기법이 사용된다고 하자. 그러면

:

F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i

는 ''M'' 상에 '''란더스 계량'''을 정의하며,

(M, F)

는 비가역적 핀슬러 다양체의 특수한 경우인 란더스 다양체이다.^[1] ^[2]

4. 3. 복소다양체 위의 계량

복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.

4. 4. 매끄러운 준거리 공간

(M, d)가 준거리이고 M이 미분 다양체이며, d가 M의 미분 구조와 호환된다고 가정한다.

M의 임의의 점 z 근방에서, 모든 x, y ∈ U에 대해 다음 부등식을 만족하는 M의 매끄러운 차트 (U, φ)와 상수 C ≥ 1이 존재한다.

:

\frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.

함수 d: M × M → [0, ∞]는 대각선의 뚫린 근방에서 매끄럽다.

이러한 조건을 만족하면, 핀슬러 함수 F: TM → [0, ∞]를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t},

여기서 γ는 γ(0) = x이고 γ'(0) = v인 M의 임의의 곡선이다. 이렇게 정의된 핀슬러 함수 F는 M의 각 접공간에서 비대칭 (일반적으로 비민코프스키) 노름으로 제한된다.

원래의 준거리의 유도된 내재적 거리 d_L: M × M → [0, ∞]는 다음 식으로 복구할 수 있다.

:

d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \ , \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\},

5. 측지선

''F''의 동질성으로 인해, 미분 가능한 곡선 ''γ'': [''a'', ''b''] → ''M''의 길이는 다음과 같이 정의된다.

: $L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt$

이 길이는 양의 방향을 갖는 재매개변수화에 대해 불변이다. 상수 속도 곡선 ''γ''는 짧은 구간 ''γ''|_{[''c'',''d'']}가 ''γ''(''c'')에서 ''γ''(''d'')까지의 ''M''에서 길이를 최소화하는 경우 핀슬러 다양체의 측지선이다. 이는 다음 에너지 범함수에 대해 고정점이 있는 미분 가능한 곡선 중에서 범함수 미분이 사라지는 의미에서 정지 상태에 있는 경우와 같다.

: $E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt$

여기서 ''γ''(''a'') = ''x'' 와 ''γ''(''b'') = ''y'' 이다.

5. 1. 측지선의 정의

핀슬러 다양체에서 측지선은 에너지 범함수를 최소화하는 곡선으로 정의된다. 즉, 짧은 구간에서 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다. 이는 오일러-라그랑주 방정식을 통해 표현될 수 있다.

:

E[\gamma]=\frac12\int_a^b\left(F(\gamma(t),\dot\gamma(t))\right)^2\,dt

여기서

\gamma(t)

는 곡선을 나타내고,

\dot\gamma(t)

는 곡선의 속도 벡터를 나타낸다. F는 핀슬러 거리 함수이다.

5. 2. 정규 스프레이 구조

''F''²(''x'', ''v'')가 ''v'' ∈ T_''x''''M''에 대해 강볼록이라고 가정하면, 행렬 ''g''_''ij''(''x'', ''v'')는 가역적이며 그 역은 ''g''^{''ij''(''x'', ''v'')로 표기된다. 그러면 측지선이며, 이는 접사상 곡선이 T''M''∖{0}에 정의된 벡터장인 매끄러운 벡터장 ''H''의 적분 곡선인 것과 같다.

: $\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)},$

여기서 국소 스프레이 계수 ''G''ⁱ는 다음과 같이 주어진다.

: $G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell.$

T''M''∖{0}에 있는 벡터장 ''H''는 ''JH'' = ''V''와 [''V'', ''H''] = ''H''를 만족하며, 여기서 ''J''와 ''V''는 T''M''∖{0}에 대한 정규 엔도모피즘 및 정규 벡터장이다. 따라서, 정의에 의해, ''H''는 ''M''에 대한 스프레이이다. 스프레이 ''H''는 에레스만 연결을 통해 섬유 다발 T''M''∖{0} → ''M''에 대한 비선형 연결을 정의한다.

: $v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).$

리만 다양체의 경우와 유사하게,

: $D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0$

야코비 방정식이 에레스만 곡률 및 비선형 공변 미분의 관점에서 일반 스프레이 구조 (''M'', ''H'')에 존재한다.

5. 3. 측지선의 유일성과 최소화 성질
호프-리노 정리에 따르면, (''M'', ''F'') 위에는 (적어도 충분히 작은 근방에서는) 항상 길이 최소 곡선이 존재한다. 길이 최소 곡선은 항상 측지선이 되도록 양의 방향으로 재매개변수화될 수 있으며, 모든 측지선은 ''E''[''γ'']에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족해야 한다. ''F''²의 강한 볼록성을 가정하면, 적분 곡선의 유일성에 의해 임의의 (''x'', ''v'') ∈ T''M''\{0}에 대해 ''γ''(0) = ''x'' 및 ''γ'''(0) = ''v''를 만족하는 유일한 극대 측지선 ''γ''가 존재한다.

만약 ''F''²이 강하게 볼록하다면, 측지선 ''γ'': [0, ''b''] → ''M''는 ''γ'' 상의 ''γ''(0)에 공액점인 첫 번째 점 ''γ''(''s'')까지 근처 곡선들 중에서 길이 최소가 되며, ''t'' > ''s''에 대해서는 리만 다양체 경우와 같이 ''γ''(0)에서 ''γ''(''t'')까지의 더 짧은 곡선이 항상 존재한다.}

6. 역사

독일의 수학자 파울 핀슬러(1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다.^[4] 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(espace de Finsler^프랑스어)이라는 용어를 도입하였다.^[5]

참조

_[1] 논문 On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity
_[2] 논문 On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity
_[3] 논문 On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity https://archive.org/[...]
_[4] 서적 Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen O. Füssli
_[5] 논문 Sur les espaces de Finsler

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