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부피 형식

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목차

1. 개요

부피 형식은 미분 다양체의 방향을 정의하고, 다양체의 틀 다발을 구조군 GL⁺(n)을 갖는 부분 다발로 축소시키는 데 사용되는 n차 미분 형식이다. 부피 형식은 가향성을 결정하며, 부피 형식의 존재는 가향성과 동치이다. 준 리만 다양체에서 부피 형식은 방향에 의존하며, 비가향 다양체에서는 밀도 개념을 사용하여 부피를 정의한다. 부피 형식은 측도와 밀접한 관련이 있으며, 벡터장의 발산과 발산 정리를 정의하는 데 사용된다. 리 군, 심플렉틱 다양체, 리만 다양체 등에서 자연스러운 부피 형식을 찾을 수 있으며, 부피 형식은 불변량을 가지지만 국소 구조는 갖지 않는다.

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부피 형식
부피 형식
분야미분기하학
관련 개념미분 형식, 벡터장
정의
영어volume form
일본어体積形式 (taiseki keishiki)
설명

특성
방향성부피 형식은 다양체의 방향성을 결정함.
적분다양체 위에서 부피 형식을 적분하면 다양체의 부피를 얻을 수 있음.
예시
유클리드 공간유클리드 공간에서의 부피 형식은 데카르트 좌표계에서 dx₁ ∧ ... ∧ dxₙ으로 주어짐.
리만 다양체리만 다양체는 자연스러운 부피 형식을 가짐.
응용
적분 기하학적분 기하학에서 부피 형식은 다양한 기하학적 대상의 부피를 계산하는 데 사용됨.
물리학물리학에서 부피 형식은 다양한 물리량의 적분과 관련됨.

2. 방향

미분 다양체의 방향은 각 점에서 국소적인 방향을 일관되게 선택하는 것을 뜻한다. 이는 접공간 기저 벡터들의 순서에 따라 결정되며, 오른손 법칙과 유사한 방식으로 정의된다. 다양체가 가향이라는 것은 이러한 방향을 전체 다양체에 대해 일관되게 정의할 수 있음을 의미한다. 이는 다양체의 좌표 아틀라스를 구성하는 좌표 변환 함수들의 야코비 행렬식이 항상 양수가 되도록 선택할 수 있는지 여부와 동치이다. 부피 형식은 가향 다양체에서 자연스럽게 정의되며, 다양체의 방향을 결정하는 데 사용될 수 있다.

접벡터의 기저 (X1,...,Xn)에 대해 \omega(X_1,X_2,\dots,X_n) > 0이면, 이 기저를 오른손 좌표계라고 한다.

2. 1. 가향성과 부피 형식의 관계

미분 다양체에서, 모든 곳에서 0이 아닌 부피 형식이 존재하면 그 다양체는 가향이라고 한다. 다양체가 가향이라는 것은 모든 전이 함수가 양의 야코비 행렬식을 갖는 좌표 아틀라스를 갖는다는 것과 동치이다. 이러한 아틀라스에서 가장 큰 것을 고르면 다양체의 방향이 결정된다. 부피 형식 \omega는 \omega를 유클리드 부피 형식 dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n의 양의 배수로 보내는 방식으로 방향을 제시한다.

부피 형식이 주어지면, 접벡터 기저 (X_1, \ldots, X_n)에 대해 \omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0이면 이 기저를 오른손잡이라고 한다. 모든 오른손잡이 틀의 집합은 n차원 일반선형군 \mathrm{GL}^+(n)의 작용을 받는다. 이는 M의 선형 틀 다발의 \mathrm{GL}^+(n)-부분 주다발을 형성한다. 따라서 부피 형식과 관련된 방향은 M의 틀 다발을 구조군 \mathrm{GL}^+(n)을 갖는 부분 다발로 축소시킨다. 즉, 부피 형식은 M의 \mathrm{GL}^+(n)-구조를 발생시킨다.

\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) = 1을 만족하는 틀을 고려하면, 부피 형식은 \mathrm{SL}(n)-구조를 발생시킨다. 역으로, \mathrm{SL}(n)-구조가 주어지면, 특수 선형 틀이 위 식을 만족하도록 하고 동차성을 이용하여 부피 형식을 복원할 수 있다.

\mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+이고 양의 실수는 스칼라 행렬로 포함되므로, \mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)는 변형 수축이다. 따라서 모든 \mathrm{GL}^+(n) 구조는 \mathrm{SL}(n) 구조로 축소 가능하며, \mathrm{GL}^+(n) 구조는 M에 주어진 방향과 일치한다.

결론적으로, 행렬식 다발 \Omega^n(M)의 자명함은 다양체의 가향성과 동치이며, 선다발은 모든 곳에서 0이 아닌 단면이 있는 경우에만 자명하므로, 부피 형식의 존재는 가향성과 동치이다.

3. 부피 형식

다양체는 모든 전이 함수가 양의 야코비 행렬식을 갖는 좌표 아틀라스가 있는 경우 유향이다. 이러한 극대 아틀라스의 선택은 다양체에 방향을 결정한다. 다양체 위의 부피 형식은 유클리드 부피 형식의 양의 배수로 보내는 방향을 제시한다.

부피 형식은 또한 다양체에서 선호하는 틀의 지정을 허용한다. 접벡터의 기저 $(X_1, \ldots, X_n)$가 $\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0$이면 오른손잡이라고 한다.

다양체는 모든 곳에서 영이 아닌 부피 형식이 있는 경우에만 방향을 지정할 수 있다. 부피 형식의 존재는 가향성과 동일하다.

$n=p+q$차원 유향 준 리만 다양체 $(M,g)$의 부피 형식은 다음과 같은 $n$차 실수 미분 형식이다.

:\omega \in \Omega^n(M;\mathbb R)

:\omega = \sqrt{(-)^q\det g}\,\mathrm dx^1\wedge\dotsb\wedge\mathrm dx^n

여기서


  • $(x_1,\dotsc,x_n)$은 $M$의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 방향은 양의 방향이다.
  • $\det g$는 리만 계량의 성분으로 구성된 $n\times n$ 대칭 행렬의 행렬식이다.

:\begin{pmatrix}

g_{11}&\dotsm & g_{1n} \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

g_{n1} & \dotsm & g_{nn}

\end{pmatrix}

$\det g$는 $q$가 짝수라면 양수이며, $q$가 홀수라면 음수이다. 즉,

:(-)^q \det g = \left|\det g\right|이다.

3. 1. 부피 형식과 틀다발

부피 형식은 다양체의 틀다발과 밀접하게 관련되어 있다. 틀다발은 다양체의 각 점에서의 접공간의 모든 가능한 기저들의 집합으로 구성된 주다발이다. 부피 형식은 틀다발의 구조군을 일반선형군 GL⁺(n)에서 특수선형군 SL(n)으로 축소시키는 역할을 한다.

접벡터의 기저 $(X_1, \ldots, X_n)$에 대해 다음이 성립하면 오른손잡이라고 한다.

:\omega(X_1, X_2, \ldots, X_n) = 1.

부피 형식은 ${\mathrm{SL}}(n)$-구조를 발생시키며, 반대로 주어진 ${\mathrm{SL}}(n)$-구조에 대해, 특수 선형 틀이 위 식을 만족하도록 하고, 필요한 $n$-형식 $\omega$가 동차성을 가져야 함을 통해 풀면 부피 형식을 복원할 수 있다.

4. 측도와의 관계

유향 다양체에 주어진 부피 형식 \(\omega\)에 대해, 밀도 \(\vert\omega\vert\)는 방향을 잊어버리고 얻은 무방향 다양체의 준 부피 형식이다. 밀도는 비방향성 다양체에서 더 일반적으로 정의될 수도 있다.

모든 준 부피 형식 \(\omega\) (따라서 모든 부피 형식)는 보렐 집합에 대한 측도를 다음과 같이 정의한다.

:\(\mu_\omega(U) = \int_U\omega .\)

측도는 (보렐) ''부분 집합''에 대해 적분될 수 있는 반면, 부피 형식은 방향이 있는 셀에 대해서만 적분 될 수 있다는 차이점이 있다. 일변수 미적분학에서 \(\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx\)임은 \(dx\)를 단순한 측도가 아닌 부피 형식으로 본다는 뜻이고, \(\int_b^a\)는 "반대 방향을 가진 셀 \([a,b]\)에 대해 적분"을 나타낸다.

또한 일반적인 측도는 연속적이거나 매끄러울 필요가 없다. 부피 형식으로 정의될 필요가 없으며, 더 구체적으로 주어진 부피 형식에 대한 라돈-니코딤 도함수가 절대 연속일 필요는 없다.

5. 벡터장의 발산

M에 주어진 부피 형식 \omega에 대해 벡터장 X의 발산을 \operatorname{div} X로 표시되는 유일한 스칼라 값 함수로 정의할 수 있다.

:(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X \mathbin{\!\rfloor} \omega) ,

여기서 L_X는 X를 따른 리 미분을 나타낸다. 그리고 X \mathbin{\!\rfloor} \omega는 내부곱 또는 X을 따른 \omega의 왼쪽 수축을 나타낸다. 만약 X가 콤팩트 지지 벡터장이며 M이 경계가 있는 다양체이면 스토크스 정리에 의해 다음이 성립한다.

:\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X \mathbin{\!\rfloor} \omega,

이는 발산 정리의 일반화이다.

솔레노이드 벡터장은 \operatorname{div} X = 0 인 벡터장이다. 리 미분의 정의에 따르면 솔레노이드 벡터장의 흐름에서 부피 형식이 보존된다. 따라서 솔레노이드 벡터장은 정확히 부피 보존 흐름을 갖는 것이다. 이 사실은 예를 들어 속도장의 발산이 유체의 압축성을 측정하는 유체역학에서 잘 알려져 있으며, 이는 다시 유체의 흐름을 따라 부피가 보존되는 정도를 나타낸다.

6. 주요 예제들

리 군에서는 평행 이동을 통해 자연스러운 부피 형식을 정의할 수 있다. 모든 리 군은 방향을 줄 수 있으며, 이 부피 형식은 스칼라 곱을 기준으로 유일하며 해당 측도를 하르 측도라고 한다.

심플렉틱 다양체(또는 거의 심플렉틱 다양체)는 자연스러운 부피 형식을 갖는다. 심플렉틱 형식의 비퇴화성으로 인해 모든 심플렉틱 다양체는 방향付け가 가능하다. 다양체가 심플렉틱 다양체이면서 리만 다양체이면, 두 부피 형식은 다양체가 켈러 다양체일 때 일치한다.

유향 준-리만 다양체(리만 다양체 포함)는 자연스러운 부피 형식을 갖는다. 국소 좌표계에서 부피 형식은 다양체의 여접다발에 대해 양의 방향 기저를 형성하는 제1미분형식으로 표현될 수 있다. |g|는 다양체에서 계량 텐서의 행렬 표현의 행렬식의 절대값이다. 부피 형식은 호지 별을 이용하여 표현가능하며, 레비-치비타 텐서와 동일한 다양체의 상수 사상의 호지 쌍대임을 강조한다.

6. 1. 리 군

리 군에서는 평행 이동을 통해 자연스러운 부피 형식을 정의할 수 있다. 즉, \omega_e가 {\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G의 원소라면, \omega_g = L_{g^{-1}}^*\omega_e에 의해 좌불변 형식을 정의할 수 있으며, 여기서 L_g는 왼쪽 평행 이동이다. 결과적으로, 모든 리 군은 방향을 줄 수 있다. 이 부피 형식은 스칼라 곱을 기준으로 유일하며 해당 측도를 하르 측도라고 한다.

6. 2. 심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체(또는 실제로 모든 almost symplectic manifold|거의 심플렉틱 다양체영어)는 자연스러운 부피 형식을 갖는다. 만약 M이 심플렉틱 형식 \omega를 갖는 2n차원 다양체이면, 심플렉틱 형식의 비퇴화성의 결과로 \omega^n은 어느 곳에서도 0이 아니다. 이 결과로 모든 심플렉틱 다양체는 방향付け가 가능하며, 실제 방향付け가 이루어진다. 다양체가 심플렉틱 다양체이면서 리만 다양체이면, 두 부피 형식은 다양체가 켈러 다양체일 때 일치한다.

6. 3. 리만 다양체

유향 준-리만 다양체(리만 다양체 포함)는 자연스러운 부피 형식을 가지고 있다. 국소 좌표계에서, 이는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:\omega = \sqrt

dx^1\wedge \dots \wedge dx^n

여기서 dx^i는 다양체의 여접다발에 대해 양의 방향 기저를 형성하는 제 1미분형식이다. |g|는 다양체에서 계량 텐서의 행렬 표현의 행렬식의 절대값이다. 부피 형식은 다음과 같이 다양하게 표시된다.

:\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).

여기서 {\star}는 호지 별이므로 마지막 형식 {\star} (1)은 부피 형식이 레비-치비타 ''텐서''\varepsilon와 동일한 다양체의 상수 사상의 호지 쌍대임을 강조한다.

그리스 문자 \omega는 부피 형식을 나타내는 데 자주 사용되지만 이 표기법은 완전히 보편적이지는 않다. 기호 \omega는 미분 기하학에서 심플렉틱 형식과 같이 다른 많은 의미를 갖기도 한다.

7. 부피 형식의 불변량

부피 형식은 유일하게 결정되지 않는다. 다양체 M 위의 0이 아닌 함수 f와 부피 형식 \omega가 주어지면, f\omega도 M 위의 부피 형식이다. 반대로, 두 부피 형식 \omega, \omega'가 주어지면, 그들의 비율은 0이 아닌 함수이다.

좌표계로 나타내면, 둘 다 단순히 0이 아닌 함수에 르베그 측도를 곱한 것이며, 그 비율은 좌표 선택과 무관한 함수의 비율이다. 본질적으로, 이것은 \omega에 대한 \omega'의 라돈-니코딤 도함수이다. 유향 다양체에서, 두 부피 형식의 비는 라돈-니코딤 정리의 기하학적 형태로 생각할 수 있다.

연결된 매끄러운 다양체에서 부피 형식의 유일한 전역 불변량은 전체 부피 \mu(M)이며, 이는 부피 형식을 보존하는 사상에 대해 불변이다. 이 부피는 \R^n 상의 르베그 측도와 같이 무한대가 될 수도 있다. 연결되지 않은 다양체에서는 각 연결 성분의 부피가 불변량이다.

f : M \to N이 \omega_N을 \omega_M으로 당기는 다양체의 동형사상이라면, 다음이 성립한다.

:\mu(N) = \int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M = \mu(M)

따라서 다양체는 동일한 부피를 갖는다.

부피 형식은 덮개 사상 아래에서도 당겨질 수 있으며, 이 경우 부피는 올의 기수만큼 곱해진다. 무한하게 많은 시트 덮개(예: \R \to S^1)의 경우, 유한 부피 다양체의 부피 형식은 무한 부피 다양체의 부피 형식으로 당겨진다.

7. 1. 국소 구조의 부재

다양체의 부피 형식은 작은 열린 집합에서 주어진 부피 형식과 유클리드 공간의 부피 형식을 구별하는 것이 불가능하다는 점에서 국소 구조가 없다. 즉, 모든 점 p\in M에 대해 p의 열린 이웃 U과 U에서 부피 형식이 \varphi를 따라 dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n를 당긴 것이 되는 U에서 \R^n의 열린 집합으로 가는 미분동형사상 \varphi가 존재한다.

결과적으로, 만약 M, N이 각각 부피 형식 \omega_M, \omega_N 을 갖는 두 가지 다양체이면, 모든 점 m \in M, n \in N 에 대해 m의 열린 이웃 U과 n의 열린 이웃 V, 그리고 V에 제한된 N 위의 부피 형식이 U에 제한된 M의 부피 형식으로 당겨지는(즉, f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U) 함수 f : U \to V가 있다.

1차원에서 다음과 같이 증명할 수 있다. \R에 주어진 부피 형식 \omega에 대해

:f(x) := \int_0^x \omega.

로 정의한다. 그러면 표준 르베그 측도 dx는 f 아래에서 \omega로 당겨진다. 즉, \omega = f^*dx. 구체적으로, \omega = f'\,dx. 더 높은 차원에서, 어떤 점 m \in M이 주어졌을 때, 그것은 국소적으로 \R\times\R^{n-1} 과 위상동형인 이웃을 가지고 있고, 동일한 절차를 적용할 수 있다.


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