해석 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실해석 함수
- 2.2. 복소해석 함수
3. 예
4. 특징
5. 실해석 함수와 복소해석 함수의 비교
6. 다변수 해석 함수
7. 바이어슈트라스의 해석 함수
참조

1. 개요

해석 함수는 수직선 또는 복소 평면의 열린 집합에서 정의된 함수로, 모든 점에서 해석적인 함수를 의미한다. 실해석 함수는 실수를 변수로 하고, 복소해석 함수는 복소수를 변수로 한다. 복소해석 함수는 정칙 함수와 동일하며, 코시-리만 방정식을 만족한다. 모든 해석 함수는 무한히 미분 가능하며, 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 해석 함수의 합, 곱, 합성, 역함수 등은 해석적이며, 리우빌의 정리에 따라 유계인 복소해석 함수는 상수 함수이다. 다변수 해석 함수는 멱급수를 통해 정의되며, 바이어슈트라스의 해석 함수는 해석적 연결을 통해 정의역을 확장한 함수를 의미한다. 한국 수학 교육 과정에서 해석 함수는 고등학교와 대학교에서 다루어지며, 복소해석학은 공학 및 물리학 분야에서 널리 활용된다.

2. 정의

수학에서 해석 함수는 각 점에서 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수이다.

해석 함수에는 실해석 함수와 복소해석 함수 두 가지 종류가 있다. 실수선 위의 열린 집합에서 정의된 실함수가 모든 점에서 해석적이면 실해석 함수라고 한다. 복소 평면에서 정의된 복소 함수가 정칙 함수(holomorphic)이면 복소해석 함수이며, 이는 실해석 함수보다 더 강한 조건이다.^[1]

2. 1. 실해석 함수

수학에서, 국소적으로 멱급수로 나타낼 수 있는 실수 변수 함수를 '''실해석 함수'''라고 한다.

실해석 함수는 매끄러운 함수이며, 정의역 안의 모든 점에서의 테일러 급수는 그 함수로 수렴한다. 즉, 정의역 안의 한 점

x_0

근방의 모든 점

x

에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n

실함수

f

가 '''해석 함수'''라는 것은

f

가 정의된 열린 집합 안의 모든 점에서 해석적임을 의미한다.

f

가 한 점

x_0

에서 '''해석적'''이라는 것은

x_0

근방에서 수렴하는 급수가 존재하여 다음과 같이 표현할 수 있음을 의미한다.

:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n =a_0 + a_1 (x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots, \qquad a_n \in \mathbb{R}

하지만, 실함수의 경우 미분 가능하다고 해서 실해석 함수인 것은 아니다.

2. 2. 복소해석 함수

복소 해석 함수는 "실수"를 "복소수"로, "실수선"을 "복소 평면"으로 바꾸어 정의한다. 어떤 함수가 정칙 함수(holomorphic), 즉 복소 미분 가능할 경우에만 복소해석적이다.^[1] 이러한 이유로 "정칙"과 "해석적"이라는 용어는 종종 그러한 함수에 대해 서로 바꿔 사용된다.

일변수 복소 함수 ''f''가 복소 평면의 점 ''c''를 중심으로 하는 열린 근방 ''D''에서 정칙 함수이라면, 같은 열린 근방 내에서 임의의 차수의 도함수가 존재하며, 멱급수

:

\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(c) \over n!} (z-c)^n

는 ''D'' 내의 모든 점에서 ''f''(''z'')로 수렴하므로 (복소) 해석적이다. 따라서 복소 함수에서는 정칙 함수와 해석 함수는 완전히 같은 개념이다. 이것은 복소 함수가 실함수에 비해 좋은 성질을 보이는 중요한 특징이다. 결과적으로, 정의역을 복소 평면상의 한 영역으로 제한하면, 복소 해석에서는 해석 함수는 정칙 함수와 동의어가 된다.

복소 해석 함수는 코시-리만 방정식을 만족한다. 복소 평면

\mathbb{C}

전체에서 해석적인 함수를 특별히 '''전해석 함수'''라고 한다.

다변수 복소 함수는, 만약 그 함수가 각 변수에 대한 수렴하는 멱급수로 국소적으로 전개 가능할 때 해석적 또는 정칙이라고 정의된다. 이 조건은 코시-리만 방정식보다 강한 조건이다.

3. 예

다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수와 같은 기본 함수들은 특정 영역에서 해석적이다.^[2] 초기하 함수, 베셀 함수, 감마 함수 등 대부분의 특수 함수들도 복소 평면의 특정 영역에서 해석적이다.^[2]

다항함수: n차 다항함수는 급수에서 j > n 일 때 a_j = 0 인 경우로 생각할 수 있다. 모든 다항 함수는 자기 자신의 매클로린 급수이다.
지수함수: 지수함수는 모든 x(실수 또는 복소수)에 대해 테일러 급수가 수렴한다.
삼각함수, 로그함수, 거듭제곱 함수: 정의역의 임의의 열린 집합에서 해석적이다.

그러나 절댓값 함수, 조각별로 정의된 함수, 복소 공액 함수 등은 해석적이지 않은 대표적인 예이다.^[2]

4. 특징

해석 함수의 합, 곱, 그리고 합성은 해석적이다.^[3]
어디에서도 0이 아닌 해석 함수의 역수는 해석적이며, 미분이 어디에서도 0이 아닌 가역 해석 함수의 역함수도 해석적이다. (라그랑주 역함수 정리 참조)^[3]
모든 해석 함수는 매끄럽다 즉, 무한히 미분 가능하다. 실함수의 경우는 역이 성립하지 않는다. 사실 어떤 의미에서 실 해석 함수는 모든 실 무한히 미분 가능 함수에 비해 드물다. 복소수의 경우에는 역이 성립하며, 사실 열린 집합에서 단 한 번 미분 가능한 함수는 그 집합에서 해석적이다("해석성과 미분 가능성" 참조).^[3]
임의의 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 에 대해, 모든 해석 함수 $u:\Omega \to \mathbb{C}$ 의 집합 ''A''(Ω)는 컴팩트 집합에서의 균등 수렴에 대한 프레셰 공간이다. 컴팩트 집합에서 해석 함수의 균등 극한이 해석적이라는 사실은 모레라 정리의 간단한 결과이다. 유계 해석 함수의 모든 집합 $A_\infty(\Omega)$ 은 최대값 규범을 갖는 바나흐 공간이다.^[3]

5. 실해석 함수와 복소해석 함수의 비교

복소해석 함수는 실수선 상의 해석 함수보다 더 많은 구조를 갖는다. 복소 함수의 해석성은 더 제한적인 조건을 가지므로, 더 제한적인 성질을 띤다.

리우빌의 정리에 따르면, 전체 복소 평면상에 정의된 모든 유계 복소해석 함수는 상수 함수이다. 하지만, 복소 평면을 실수선으로 대체한 실해석 함수에 대한 명제는 거짓이다. 예를 들어, 다음 함수는 그렇지 않다.

: $f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$

점 ''x''₀ 주위의 열린 볼에서 정의된 복소해석 함수의 경우, ''x''₀에서의 멱급수 전개는 전체 열린 볼에서 수렴한다(정칙 함수는 해석적임). 그러나 실해석 함수에 대한 이 명제(열린 볼은 복소 평면의 열린 원판이 아닌 실수선의 열린 구간을 의미)는 일반적으로 참이 아니다. 위 예시 함수는 ''x''₀ = 0 및 1보다 큰 반지름의 볼에 대한 예시를 제공하는데, 이는 멱급수 1 − ''x''² + ''x''⁴ − ''x''⁶... 가 |''x''| ≥ 1에 대해 발산하기 때문이다.

실수선의 어떤 열린 집합에서 정의된 모든 실해석 함수는 복소 평면의 어떤 열린 집합으로 확장될 수 있다. 그러나 전체 실수선상에 정의된 모든 실해석 함수가 전체 복소 평면상에 정의된 복소 함수로 확장될 수 있는 것은 아니다. 위에서 정의된 함수 ''f''(''x'')는 ''x'' = ±i에 대해 정의되지 않으므로 반례가 된다. 이는 ''f''(''x'')의 테일러 급수가 |''x''| > 1에 대해 발산하는 이유, 즉 수렴반지름이 1인 이유를 설명한다. 복소화된 함수는 평가점 0으로부터 거리 1에 극을 가지고 평가점 주위 반지름 1의 열린 원판 내에 더 이상의 극을 가지지 않기 때문이다.

6. 다변수 해석 함수

다변수 해석 함수는 여러 변수에 대한 멱급수를 이용하여 정의할 수 있다( 멱급수 참조). 다변수 해석 함수는 일변수 해석 함수와 유사한 성질을 가지고 있다. 그러나 특히 복소 해석 함수의 경우, 2차원 이상의 복소 차원에서 새롭고 흥미로운 현상이 나타난다.

1개 이상의 변수를 갖는 복소 해석 함수의 영점 집합은 이산적이지 않다. 이는 하르토그스의 확장 정리에 의해 증명될 수 있다.
단일값 함수에 대한 정칙성 영역은 임의의 (연결된) 열린 집합으로 구성된다. 그러나 여러 개의 복소 변수에서는 일부 연결된 열린 집합만이 정칙성 영역이다. 정칙성 영역의 특징은 의가볼록성 개념으로 이어진다.

7. 바이어슈트라스의 해석 함수

복소 평면의 어떤 영역에서 정의된 해석 함수는 그 영역 내의 각 점을 중심으로 하는 멱급수를 갖는다. 멱급수와 그 수렴원의 쌍을 그 점에서의 함수요소라고 한다. 한 점에서 출발하여 곡선을 따라 해석적 연결을 통해 함수요소를 차례로 연결해 감으로써 정의역이 확장된다. (자세한 내용은 해석적 연결 항목 참조) 모든 곡선을 따라 가능한 한 해석적 연결을 수행하여 정의역을 최대한 확장하여 얻어지는 함수를 '''(바이어슈트라스의) 해석 함수'''라고 한다. 어떤 점에서의 함수값은 그 점을 중심으로 하는 함수요소가 취하는 값으로 얻어진다. 함수론은 이러한 의미의 해석 함수를 대상으로 하는 수학 분야이다.

이렇게 얻어지는 해석 함수에는 다음과 같은 특징이 있다.

해석 함수는 하나의 함수요소를 주면 그 정의역을 포함하여 완전히 결정된다. 따라서 복소 평면의 작은 영역에서 정의된 해석 함수에서도 그 확장인 대역적인 해석 함수가 유일하게 결정된다.
복소 평면의 한 점 ''c''에서의 값은 그것을 중심으로 하는 함수요소에 의해 결정되지만, 그 함수요소는 기준점으로부터의 해석적 연결의 경로에 따라 일반적으로 다르다. 따라서 ''c''에서의 함수값은 일반적으로 둘 이상 결정되며, 함수는 다가가 된다. 예를 들어 제곱근을 나타내는 함수는 2가이며, 로그 함수는 무한 다가 함수이다.
다가 해석 함수는 복소 평면을 변형하여 적절한 리만 곡면을 만들면, 그 위에서는 1가의 해석 함수로 간주할 수 있게 된다. 따라서 통상의 해석 함수에 관한 많은 결과, 예를 들어 코시의 적분 정리 등도 적절한 취급하에 그대로 사용할 수 있게 된다.

"형용사 ‘해석’ (analytic)은 오히려 전역적인 의미로 사용된다. 국소적으로는 간편하게 해석적 (regular)이라고 한다. 프랑스계에서는 '''정형''' (holomorphe)이라고도 한다."

참조

_[1] 서적 Complex Variables and Applications https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 A guide to distribution theory and Fourier transforms https://www.worldcat[...] CRC Press 1994
_[3] 학술지 A characterization of real analytic functions https://projecteucli[...] 1960
_[4] 웹사이트 Gevrey class - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2020-08-30

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