변동성

3. 수학적 정의

여기서 설명하는 변동성은 실현 변동성을 의미하며, 구체적으로 다음과 같다.

• 실현 현재 변동성: 특정 기간(예: 30일 또는 90일) 동안 금융 상품의 과거 가격을 기반으로 하며, 마지막 관측치는 가장 최근 가격이다.
• 실현 과거 변동성: 특정 기간 동안 금융 상품의 변동성을 의미하지만, 마지막 관측치는 과거 날짜에 있다.
• 실현 미래 변동성: 현재 시점부터 미래 날짜(일반적으로 옵션의 만기일)까지 특정 기간 동안 금융 상품의 변동성을 의미한다.

4. 변동성의 기원

금융 수익률의 변동성을 모델링하고 예측하는 데는 많은 연구가 이루어졌지만, 변동성이 어떻게 처음부터 존재하는지를 설명하는 이론적 모델은 거의 없다.

롤(Roll, 1984)은 변동성이 시장 미시 구조의 영향을 받는다는 것을 보여주었다.^[3] 글로스텐과 밀그롬(Glosten and Milgrom, 1985)은 변동성의 적어도 한 가지 원인이 유동성 제공 과정으로 설명될 수 있음을 보여주었다. 마켓 메이커가 역선택의 가능성을 추론할 때, 그들은 거래 범위를 조정하고 이는 가격 변동 폭을 증가시킨다.^[4]

2019년 9월, JP모건 체이스는 미국 대통령 도널드 트럼프의 트윗 영향을 파악하고, 변동성과 코브피피 밈을 결합하여 이를 Volfefe 지수라고 명명했다.

5. 투자자를 위한 변동성

투자자에게 변동성이 중요한 이유는 적어도 여덟 가지가 있으며,^[20] 그중 일부는 동일한 특징의 다른 표현이거나 서로 직접적인 결과이다.

• 투자의 가격 변동 폭이 클수록 걱정하지 않기가 감정적으로 더 어렵다.
• 거래 상품의 가격 변동성은 포트폴리오의 포지션 규모를 결정하는 데 도움이 될 수 있다.
• 특정 미래 날짜에 알려진 고정 부채를 충족하기 위해 증권 매각으로 인한 현금 흐름이 필요할 때, 변동성이 높을수록 부족이 발생할 가능성이 더 크다.
• 은퇴를 위한 저축 시 수익률의 변동성이 높을수록 가능한 최종 포트폴리오 가치의 분포가 더 넓어진다.
• 은퇴 후 수익률의 변동성이 높을수록 인출이 포트폴리오 가치에 더 큰 영구적인 영향을 미칠 수 있다.
• 가격 변동성은 내부 정보를 가진 모든 사람에게 자산을 저렴하게 매수하고 가격이 너무 높을 때 매도할 기회를 제공한다.
• 변동성은 옵션 가격에 영향을 미치며, 이는 블랙-숄즈 모형의 매개변수이다.

6. 변동성과 방향

변동성은 가격 변화의 방향을 측정하는 것이 아니라, 단지 그 분산 정도를 측정할 뿐이다. 이는 표준 편차 (또는 분산)를 계산할 때 모든 차이를 제곱하므로, 음수 차이와 양수 차이가 하나의 양으로 결합되기 때문이다.^[1] 서로 다른 변동성을 가진 두 개의 상품은 동일한 예상 수익률을 가질 수 있지만, 변동성이 더 높은 상품은 주어진 기간 동안 가치 변동 폭이 더 클 것이다.^[1]

예를 들어, 낮은 변동성을 가진 주식은 연간 변동성이 5%일 때 예상 (평균) 수익률이 7%일 수 있다.^[1] 복리 효과를 무시하면, 이는 대부분의 시간 동안 (20번 중 19번, 즉 95%, 2 표준 편차 규칙을 통해) 약 -3%에서 +17%의 수익률을 나타낸다.^[1] 더 높은 변동성을 가진 주식은 동일한 예상 수익률 7%를 가지지만 연간 변동성이 20%인 경우, 대부분의 시간 동안 (20번 중 19번, 즉 95%) 약 -33%에서 +47%의 수익률을 나타낸다.^[1] 이러한 추정치는 정규 분포를 가정한다.^[1] 실제로는 주가 변동이 레프토커틱 (fat-tailed, 꼬리가 두꺼운) 것으로 나타난다.^[1]

7. 시간 경과에 따른 변동성

시간에 따라 무작위로 변동하는 모든 펀드에 대해 변동성은 일련의 표준 편차로 정의되며, 각 변수는 해당 (동일한 크기의) 시간 시퀀스에 대한 펀드의 수익률이다.^[2]

"연율화된" 변동성(''σ''_annually^영어)은 상품의 연간 로그 수익률의 표준 편차이다. 년 단위의 시간 범위 ''T''에 대한 일반화된 변동성(''σ''_''T''^영어)은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash sigma\_\backslash text\{T\}\; =\; \backslash sigma\_\backslash text\{annually\}\; \backslash sqrt\{T\}.$

주식의 일일 로그 수익률의 표준 편차가 ''σ''_daily^영어이고 수익률의 기간이 거래일 기준 ''P''일 경우, 연율화된 변동성은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\backslash text\{annually\}\; =\; \backslash sigma\_\backslash text\{daily\}\; \backslash sqrt\{P\}.$

따라서,

:$\backslash sigma\_\backslash text\{T\}\; =\; \backslash sigma\_\backslash text\{daily\}\; \backslash sqrt\{PT\}.$

일반적인 가정은 모든 연도에 ''P'' = 252 거래일이라는 것이다. 그런 다음 ''σ''_daily^영어 = 0.01인 경우 연율화된 변동성은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\backslash text\{annually\}\; =\; 0.01\; \backslash sqrt\{252\}\; =\; 0.1587.$

월간 변동성(즉, $T\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{12\}$ 년)은 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_\backslash text\{monthly\}\; =\; 0.01\; \backslash sqrt\{\backslash tfrac\{252\}\{12\}\}\; =\; 0.0458.$

수익률 또는 변동성 측정값을 다른 기간으로 변환하는 데 사용되는 공식은 특정 기본 모델 또는 프로세스를 가정한다. 이러한 공식은 단계가 유한한 분산을 갖는 랜덤 워크 또는 위너 프로세스의 정확한 외삽이다. 그러나 더 일반적으로 자연 확률 프로세스의 경우, 서로 다른 기간에 대한 변동성 측정값 간의 정확한 관계는 더 복잡하다. 일부는 레비 안정 지수 ''α''를 사용하여 자연 프로세스를 외삽한다.

:$\backslash sigma\_T\; =\; T^\{1/\backslash alpha\}\; \backslash sigma.\backslash ,$

만약 ''α'' = 2이면 위너 프로세스 스케일링 관계가 얻어지지만, 일부 사람들은 주식, 지수 등과 같은 금융 활동에 대해 ''α'' < 2라고 믿는다. 이는 브누아 망델브로가 면 가격을 살펴보고 그들이 ''α'' = 1.7인 레비 알파 안정 분포를 따른다는 것을 발견하면서 발견되었다.

블랙-숄즈 모형은 예측 가능한 변동성을 가정하지만, 실제 시장에서는 이러한 현상이 관찰되지 않는다. 더 현실적인 모형으로는 에마누엘 더먼과 이라즈 카니의 모형^[5]과 브루노 뒤피르의 국소 변동성, 예측 가능한 빈도로 변동성이 새로운 수준으로 도약하는 푸아송 과정, 그리고 점점 더 인기를 얻고 있는 확률적 변동성의 헤스톤 모형이 있다.^[6]

많은 유형의 자산이 높은 변동성과 낮은 변동성을 경험한다는 것은 일반적인 사실이다. 즉, 어떤 기간에는 가격이 빠르게 오르내리는 반면, 다른 기간에는 거의 움직이지 않는다.^[7] 외환 시장에서 가격 변동은 하루와 일주일의 주기로 계절적으로 이분산적이다.^[8][9]

가격이 빠르게 하락하는 기간 (주가 폭락) 뒤에는 종종 가격이 더욱 하락하거나, 비정상적인 폭으로 상승하는 현상이 나타난다. 또한, 가격이 빠르게 상승하는 시기 (잠재적인 거품) 뒤에는 종종 가격이 더 상승하거나, 비정상적인 폭으로 하락하는 현상이 나타날 수 있다.

대부분의 경우, 극단적인 움직임은 '갑자기' 나타나지 않는다. 이는 평소보다 큰 움직임이나 특정 미래 사건에 대한 알려진 불확실성에 의해 예고된다. 이를 자기상관 조건부 이분산성이라고 한다. 이러한 큰 움직임이 같은 방향으로 나타날지, 반대 방향으로 나타날지는 더 예측하기 어렵다. 그리고 변동성의 증가는 항상 추가적인 증가를 예고하지는 않으며, 변동성은 다시 감소할 수도 있다.

변동성 측정은 측정 기간뿐만 아니라 선택된 시간 해상도에도 의존하는데, 단기 거래자와 장기 거래자 간의 정보 흐름이 비대칭적이기 때문이다. 결과적으로, 고해상도로 측정된 변동성은 저해상도 변동성으로는 다룰 수 없는 정보를 포함하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.^[10]

8. 변동성 예측 모형에 대한 비판

대부분의 변동성 예측 모델이 정교하게 구성되었음에도 불구하고, 비평가들은 이러한 모델의 예측력이 간단한 과거 변동성과 같은 단순한 지표와 유사하다고 주장한다.^[14][15] 특히 모델을 추정하고 테스트하는 데 서로 다른 데이터를 사용하는 표본 외 예측에서 더욱 그러하다.^[16] 다른 연구에서는 이에 동의하지만, 비평가들이 더 복잡한 모델을 제대로 구현하지 못했다고 주장한다.^[17]

일부 실무자 및 포트폴리오 매니저는 변동성 예측 모델을 완전히 무시하거나 일축하는 것으로 보인다. 예를 들어, 나심 니콜라스 탈레브는 그의 ''Journal of Portfolio Management'' 논문 중 하나에 "우리는 변동성에 대해 이야기할 때 우리가 무엇을 말하는지 잘 모른다"라는 제목을 붙였다.^[18] 비슷한 맥락에서, 에마누엘 더먼은 이론적 근거가 없는 방대한 양의 경험적 모델에 대한 환멸을 표명했다.^[19] 그는 "이론은 알베르트 아인슈타인이 상대성 이론으로 했던 것처럼 우리 주변 세계의 숨겨진 원리를 밝히려"는 시도라고 주장한다.

9. 변동성 스마일 및 기간 구조

현실의 옵션 시장에서 결정된 옵션 가격에서 역산된 변동성을 내재 변동성이라고 한다.

블랙-숄즈 모형을 사용하면, 만기 $T$, 권리 행사 가격 $K$의 유럽형 콜 옵션의 가격 $c(K,T)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$C(K,T)=SN\backslash left(\backslash frac\{\backslash log\; (S/K)+(r+\backslash sigma^2/2)T\}\{\backslash sigma\backslash sqrt\{T\}\}\backslash right)$

• Ke^{-rT}N\left(\frac{\log (S/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)

참조

_[1] 웹사이트 Levy distribution http://www.wilmottwi[...]
_[2] 웹사이트 Calculating Historical Volatility: Step-by-Step Example http://www.lfrankcab[...] 2011-08-18
_[3] 논문 A Simple Implicit Measure of the Effective Bid-Ask Spread in an Efficient Market
_[4] 논문 Bid, Ask and Transaction Prices in a Specialist Market with Heterogeneously Informed Traders
_[5] 간행물 "Riding on a Smile." RISK, 7(2) Feb.1994, pp. 139–145, pp. 32–39. https://web.archive.[...] Risk 2007-06-01
_[6] 웹사이트 Volatility http://www.wilmottwi[...]
_[7] 웹사이트 Taking Advantage Of Volatility Spikes With Credit Spreads http://www.investope[...]
_[8] 간행물 Statistical study of foreign exchange rates, empirical evidence of a price change scaling law, and intraday analysis 1990-12-01
_[9] 간행물 Instantaneous Volatility Seasonality of High-Frequency Markets in Directional-Change Intrinsic Time 2019-06
_[10] 간행물 Volatilities of different time resolutions -- Analyzing the dynamics of market components https://econpapers.r[...] 1997
_[11] 간행물 Express Measurement of Market Volatility Using Ergodicity Concept 2016
_[12] 간행물 Instantaneous Volatility Seasonality of High-Frequency Markets in Directional-Change Intrinsic Time 2019-06
_[13] 웹사이트 Cleaning Implied Vols https://notion.moont[...] 2024-06-26
_[14] 간행물 Forecasting Volatility and Correlations with EGARCH models
_[15] 간행물 Predicting Volatility in Foreign Exchange Market
_[16] 간행물 Volatility forecasting for risk management 2003
_[17] 간행물 Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts
_[18] 논문 We Don't Quite Know What We are Talking About When We Talk About Volatility https://ssrn.com/abs[...] 2007-03-28
_[19] 서적 Models.Behaving.Badly: Why Confusing Illusion With Reality Can Lead to Disaster, on Wall Street and in Life Ed. Free Press
_[20] 뉴스 기초자산 변동성과 옵션가격 https://news.naver.c[...] 파이낸셜뉴스 2018-03-04