E8 격자

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1. 개요
2. 격자점
3. 성질
4. 대칭군
5. 기하학
6. 구 채우기 및 입맞춤 수
7. 세타 함수
8. 다른 구성
- 8.1. 해밍 부호
- 8.2. 정수 옥토니언
9. 응용
참조

1. 개요

E8 격자는 8차원 공간에서 정의되는 격자 구조로, 두 가지 동형인 형태로 표현될 수 있다. 이 격자는 정수 격자이며, 유니모듈러 격자이자 짝 격자라는 독특한 성질을 갖는다. E8 격자는 구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제의 최적해이며, 240개의 가장 짧은 벡터를 가지며 E8 근계를 형성한다. E8 격자의 대칭군은 E8 바일 군이며, E8 격자점은 521 벌집의 꼭짓점을 이룬다. 또한, 확장된 해밍 코드와 정수 옥토니언을 통해 구성할 수 있으며, 4차원 다양체 구성 및 끈 이론에 응용된다.

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E8 격자
개요
E8 격자의 2차원 투영
유형	격자
차원	8차원
좌표	정수 좌표 또는 모두 절반 정수 좌표를 가짐 (합이 짝수)
쌍대 격자	자기 쌍대
행렬식	1
가장 짧은 벡터의 제곱 길이	2
키싱 넘버	240
구 채우기 밀도	π^4/384 ≈ 0.01935
성분군	E₈
설명
정의	E₈ 격자는 8차원 공간에서 정의되는 격자이며, 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 점들의 집합임
조건 1	모든 좌표가 정수이고, 좌표들의 합이 짝수임
조건 2	모든 좌표가 절반 정수 (정수/2)이고, 좌표들의 합이 짝수임
특징	자기 쌍대 격자이며, 행렬식은 1임. 가장 짧은 벡터의 제곱 길이는 2이고, 키싱 넘버는 240임. 구 채우기 밀도는 π^4/384 ≈ 0.01935임. 성분군은 E₈임
역사
발견	헨리 존 스티븐 스미스가 1867년에 발견, 알렉산드르 코르킨과 예고르 졸로타레프가 1873년에 재발견
연구	소롤드 고셋이 1900년에 연구

2. 격자점

E 격자는 두 가지 동형인 형태로 정의될 수 있다.

짝 좌표계 (Γ)
모든 좌표가 정수이거나 모든 좌표가 반정수이다. (정수와 반정수의 혼합은 허용되지 않는다.)
8개 좌표의 합은 짝수이다.
홀 좌표계 (Γ')
모든 좌표가 정수이고 좌표의 합이 짝수이다.
모든 좌표가 반정수이고 좌표의 합은 홀수이다.

두 격자는 동형이며, 홀수 개의 반정수 좌표의 부호를 바꾸어 서로 사상할 수 있다. 짝 좌표계는 E에 대한 짝 좌표계, 홀 좌표계는 홀 좌표계라고 한다. 달리 지정하지 않는 한 짝 좌표계를 사용한다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

:

\Gamma_8 = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {\textstyle\sum_i} x_i \equiv 0\;(\mbox{mod }2)\right\}.

:

\Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 2x_1 \equiv 2x_2 \equiv 2x_3 \equiv 2x_4 \equiv 2x_5 \equiv 2x_6 \equiv 2x_7 \equiv 2x_8\;(\mbox{mod }2)\right\}.

:

\Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 0(\mbox{mod }2)\right\}\cup \left\{(x_i) \in (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 1(\mbox{mod }2)\right\}.

3. 성질

E 격자 Γ은 ''' $\mathbb{R}^8$ '''에서 다음과 같은 성질을 만족하는 유일한 격자이다.^[1]

정수 격자이다. 즉, 모든 격자점 쌍의 스칼라 곱이 정수이다.
유니모듈러 격자이다. 즉, 행렬식이 ±1인 8 × 8 행렬의 열로 생성될 수 있다. 이는 Γ이 자기 쌍대적, 즉 쌍대 격자와 같다는 것과 동치이다.
짝 격자이다. 즉, 모든 격자점의 노름^[14]이 짝수이다.

짝 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다.

Γ의 기저는 다음과 같은 (상삼각)행렬의 열로 표현할 수 있다.

:

\left[\begin{smallmatrix}2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1/2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1/2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2\end{smallmatrix}\right]

Γ은 이러한 벡터들의 정수 생성으로, 모든 가능한 기저는 이 행렬에 GL(8, '''Z''') 원소를 오른쪽에서 곱하여 얻을 수 있다.

Γ에서 0이 아닌 가장 짧은 벡터의 길이는 √2이며, 이러한 벡터는 240개 존재한다. 이들은 E 근계를 형성하며, Γ은 E 근 격자와 같다. 즉, 240개 근의 정수 생성으로 표현된다. 8개의 단순근을 선택하면 Γ의 기저가 된다.

240개의 벡터는 다음과 같이 구성된다.

종류	구성	개수
모두 반정수 (±1/2만 가능)	모두 양수 또는 모두 음수	2
모두 반정수 (±1/2만 가능)	양수 4개, 음수 4개	70
모두 반정수 (±1/2만 가능)	양수 2개와 음수 6개, 또는 양수 6개와 음수 2개	56
모두 정수 (0, ±1만 가능)	±1 2개, 0 6개	112

4. 대칭군

E 격자의 대칭군은 E형 바일/콕서터 군이다. 이것은 격자의 240개 근에 수직인 초평면에서의 반사로 생성되는 군이다. 그 차수는 696,729,600이다.

E 바일 군은 좌표의 모든 순열과 모든 짝수 부호 변경으로 구성된 128·8! 차수의 부분군을 포함한다. 이 부분군은 D형 바일 군이다. 전체 E 바일 군은 이 부분군과 블록 대각 행렬 ''H''⊕''H''로 생성되며, 여기서 ''H''는 하드마르 행렬이다.

5. 기하학

5 벌집 참조

E 격자점은 정규 8-단순체와 8-직교체 면으로 구성된 5 벌집의 꼭짓점이다. 이 벌집은 Gosset에 의해 처음 연구되었으며, Gosset은 이 벌집을 ''9-ic semi-regular figure''^[4]라고 불렀다. (Gosset은 ''n'' 차원 벌집을 퇴화된 ''n''+1 다포체로 간주했다.) 콕서의 표기법에 따르면,^[5] Gosset의 벌집은 5로 표시되며, 콕서-킨 다이어그램은 다음과 같다.

이 벌집은 대칭군(아핀 ${\tilde{E}}_8$ 바일 군)이 ''k'' ≤ 6에 대해 ''k''-면에 추이적으로 작용한다는 의미에서 매우 규칙적이다. ''k'' ≤ 7에 대한 모든 ''k''-면은 단순체이다.

Gosset 벌집의 꼭짓점 도형은 E 격자의 240개 근의 볼록 껍질로 주어지는 준정규 E 다포체 (콕서의 표기법으로 4)이다.

E 격자의 각 점은 2160개의 8-직교체와 17280개의 8-단순체로 둘러싸여 있다. 원점에 가까운 2160개의 깊은 구멍은 정확히 노름 4 격자점의 절반이다. 17520개의 노름 8 격자점은 두 개의 클래스(E 자기 동형 군의 작용 하에 두 개의 궤도)로 나뉜다. 240개는 노름 2 격자점의 두 배이고 17280개는 원점을 둘러싼 얕은 구멍의 3배이다.

격자의 구멍은 가장 가까운 격자점까지의 거리가 국소 최댓값인 주변 유클리드 공간의 점이다. (균일 벌집으로 정의된 격자에서 이러한 점은 면 부피의 중심에 해당한다.) 깊은 구멍은 격자까지의 거리가 전체 최댓값인 구멍이다. E 격자에는 두 가지 유형의 구멍이 있다.

''깊은 구멍''은 (1,0,0,0,0,0,0,0)과 같은 점으로, 가장 가까운 격자점에서 거리 1만큼 떨어져 있다. 이 거리에는 16개의 격자점이 있으며, 구멍을 중심으로 한 8-직교체의 꼭짓점을 형성한다. (구멍의 들로네 세포)
''얕은 구멍''은 $(\tfrac{5}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{6})$ 과 같은 점으로, 가장 가까운 격자점에서 $\tfrac{2\sqrt 2}{3}$ 만큼 떨어져 있다. 이 거리에는 9개의 격자점이 있으며, 구멍을 중심으로 한 8-단순체의 꼭짓점을 형성한다.

6. 구 채우기 및 입맞춤 수

E 격자는 8차원 구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제에 대한 최적해이다.

구 채우기 문제는 ''' $\mathbb{R}^n$ '''에서 같은 반지름을 가진, 속이 찬 ''n''차원 구를 두 구가 겹치지 않도록 채우는 방법 중 가장 조밀한 것에 대한 문제이다. 격자 채우기(lattice packing)는 모든 구를 격자점의 중심에 배치하는 특수한 유형의 구 채우기이다. 반경이 1/인 구를 E 격자점에 배치하면 밀도 $\frac{\pi^4}{2^4 4!} \cong 0.25367$ 인 ''' $\mathbb{R}^8$ '''의 격자 채우기를 얻는다.

Hans Frederick Blichfeldt는 1935년 논문을 통해 이는 8차원의 격자 채우기에 의해 달성될 수 있는 최대 밀도임을 증명하였다.^[18] 또한 E 격자는 등각투영 및 스칼라배 변형을 고려하지 않는다면 이 밀도를 가진 유일한 격자이다. 마리나 뱌조우스카는 2016년에 이 밀도가 실제로 불규칙한 채우기 사이에서도 최적임을 증명하였다.^[19]

입맞춤 수 문제는 같은 반지름의 중심 구에 닿을 수 있는 고정된 반지름의 구의 최대 수를 묻는 문제이다. 위에서 언급한 E 격자 채우기에서 주어진 구는 이웃한 240개의 구와 접촉하는데, 0이 아닌 최소 노름인 2를 노름으로 갖는 격자점이 240개 있기 때문이다. 이는 1979년에 8차원에서 가능한 최대 수라는 것이 밝혀졌다.^[20]^[21]

구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제는 매우 어렵고 최적해는 1, 2, 3, 8 및 24차원에서만 알려져 있다. (입맞춤 수 문제의 경우 4차원에서도 알려져 있다.) 8차원과 24차원에서 해가 알려져 있다는 사실은 부분적으로 E 격자와, 이와 유사한 24차원 격자인 리치 격자의 특수한 성질에서 비롯된다.

7. 세타 함수

어떤 (양의 정부호) 격자 Λ에 대해 다음과 같이 주어진 세타 함수를 연관시킬 수 있다.

: $\Theta_\Lambda(\tau) = \sum_{x\in\Lambda}e^{i\pi\tau\|x\|^2}\qquad\mathrm{Im}\,\tau > 0.$

격자의 세타 함수는 상반평면 위의 정칙 함수이다. 계수 ''n''의 짝 유니모듈러 격자의 세타 함수는 가중치 ''n''/2의 모듈러 형식이다. 정수 격자의 세타 함수는 $q = e^{i\pi\tau}$ 에 대한 멱급수로 나타낼 수 있으며, 이때 ''q''^''n''의 계수는 노름 ''n''인 격자점의 개수이다.

가중치 4와 레벨 1을 갖는 모듈러 형식은 아이젠슈타인 급수 ''G''₄(τ)가 유일하다. E₈ 격자에 대한 세타 함수는 ''G''₄(τ)에 비례해야 한다. 노름 0인 벡터가 유일하다는 점을 사용하여 정규화하면,

: $\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{2n}$

를 얻는다. 여기서 σ₃(''n'')은 약수 함수이다. 따라서 노름 2''n''의 E₈ 격자 벡터의 수는 ''n''의 약수의 세제곱의 합의 240배이다. 이 급수의 처음 몇 가지 항은 다음과 같다.

: $\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\,q^2 + 2160\,q^4 + 6720\,q^6 + 17520\,q^8 + 30240\, q^{10} + 60480\,q^{12} + O(q^{14}).$

E₈ 세타 함수는 야코비 세타 함수로 다음과 같이 작성할 수 있다.

: $\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = \frac{1}{2}\left(\theta_2(q)^8 + \theta_3(q)^8 + \theta_4(q)^8\right)$

: $\theta_2(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}\qquad\theta_3(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}\qquad\theta_4(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{n^2}.$

8. 다른 구성

E₈ 격자는 해밍 부호 ''H''(8,4)를 이용하여 구성할 수 있다. 길이 ''n''의 이진 부호 ''C''로부터 격자 Λ를 구성하는데, 이때 '''Z'''^''n''의 모든 벡터 ''x''의 집합을 사용하며, ''x''는 ''C''의 부호어와 합동(modulo 2)이다.^[12] Λ의 크기는 1/√2로 재조정한다.

: $\Lambda = \tfrac{1}{\sqrt 2}\left\{x \in \mathbb Z^n : x\,\bmod\,2 \in C\right\}.$

이 구성을 타입 II 자기 쌍대 부호에 적용하면 짝수이고 단일 모듈러 격자가 생성된다. 특히, 해밍 코드 ''H''(8,4)에 적용하면 E₈ 격자가 생성된다.

옥토니언의 비결합 대수와 E₈ 격자는 밀접하게 관련되어 있다. 정수 사원수와 유사하게 정수 옥토니언 개념을 정의할 수 있다. 정수 옥토니언은 자연스럽게 '''O''' 내부에 격자를 형성하는데, 이 격자는 크기만 조절된 E₈ 격자이다.

8. 1. 해밍 부호

E8^영어 격자는 (확장된) 해밍 부호 ''H''(8,4)와 매우 밀접하게 관련되어 있으며, 실제로 이를 통해 구성할 수 있다. 해밍 코드 ''H''(8,4)는 길이 8, 랭크 4의 이진 부호이다. 즉, 유한 벡터 공간 ('''F''')의 4차원 부분 공간이다. ('''F''')의 원소를 16진법으로 8비트 정수로 표현하면, 부호 ''H''(8,4)는 다음과 같이 명시적으로 나타낼 수 있다.

:{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

부호 ''H''(8,4)는 부분적으로 타입 II 자기 쌍대 부호이기 때문에 중요하다. 최소 0이 아닌 해밍 가중치가 4이며, 이는 두 개의 부호어가 적어도 4비트 이상 다르다는 것을 의미한다. 이 속성을 가진 가장 큰 길이 8 이진 부호이다.

길이 ''n''의 이진 부호 ''C''로부터 격자 Λ를 구성할 수 있는데, 이때 '''Z'''^''n''의 모든 벡터 ''x''의 집합을 사용하며, ''x''는 ''C''의 부호어와 합동(modulo 2)이다.^[12] Λ의 크기를 1/로 재조정하는 것이 종종 편리하다.

:

\Lambda = \tfrac{1}{\sqrt 2}\left\{x \in \mathbb Z^n : x\,\bmod\,2 \in C\right\}.

이 구성을 타입 II 자기 쌍대 부호에 적용하면 짝수이고 단일 모듈러 격자가 생성된다. 특히, 해밍 코드 ''H''(8,4)에 적용하면 E 격자가 생성된다. 그러나 이 격자와 위에 정의된 격자 Γ 사이에 명시적인 동형 사상을 찾는 것은 그리 간단하지 않다.

8. 2. 정수 옥토니언

옥토니언의 비결합 대수와 E₈ 격자는 밀접한 관련이 있다. 정수 사원수와 유사하게 정수 옥토니언의 개념을 정의하는 것이 가능하다. 정수 옥토니언은 자연스럽게 '''O''' 내부에 격자를 형성한다. 이 격자는 단순히 크기가 조절된 E₈ 격자이다. (정수 옥토니언 격자에서 최소 노름은 2가 아닌 1이다). 이러한 방식으로 옥토니언에 포함된 E₈ 격자는 비결합 링의 구조를 갖는다.

단위 옥토니언의 기저 (1, *i*, *j*, *k*, ℓ, ℓ*i*, ℓ*j*, ℓ*k*)를 고정하면, 이 기저를 포함하는 극대 오더로 정수 옥토니언을 정의할 수 있다. 이는 표현식 *x*⋅*x* ( *x*의 노름)와 *x* + *x* ( *x*의 두 배의 실수부)가 정수 값을 갖는 단위를 포함하는 '''O'''의 가장 큰 부분 링을 찾는 것과 같다. 7개의 극대 오더가 있으며, 각각의 7개의 허수 단위에 하나씩 대응된다. 그러나, 7개의 모든 극대 오더는 동형이다. 그러한 극대 오더 중 하나는 옥토니언 *i*, *j*, (1/2) (*i* + *j* + *k* + ℓ)에 의해 생성된다.

정수 옥토니언과 E₈ 격자와의 관계에 대한 자세한 설명은 Conway and Smith (2003)에서 찾을 수 있다.

9. 응용

1982년 마이클 프리드먼은 교차 형식이 E₈ 격자로 주어지는 4-다양체인 E₈ 다양체를 구성하였다. 이는 매끄러운 구조와 삼각화가 존재하지 않는 다양체의 예이다.

끈 이론에서 잡종 끈은 26차원 보손 끈과 10차원 초끈의 독특한 하이브리드이다. 이론이 올바르게 작동하려면 16개의 일치하지 않는 차원이 순위 16의 짝 유니모듈러 격자에서 압축되어야 한다. 이러한 격자는 Γ₈⊕Γ₈ 와 Γ₁₆ 두 가지가 있다. 이는 E₈×E₈ 잡종 끈과 SO(32) 잡종 끈으로 알려진 두 가지 버전의 잡종 끈으로 이어진다.

참조

_[1] 문서
_[2] 논문 On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates
_[3] 논문 Sur les formes quadratiques
_[4] 논문 On the regular and semi-regular figures in space of ''n'' dimensions
_[5] 서적 Regular Polytopes Dover Publications
_[6] 논문 The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables
_[7] 간행물 Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ ''n'' ≤ 8 Trudy Math. Inst. Steklov
_[8] 뉴스 Sphere Packing Solved in Higher Dimensions https://www.quantama[...] 2016-03-30
_[9] arXiv The sphere packing problem in dimension 8
_[10] 논문 On bounds for packing in ''n''-dimensional Euclidean space
_[11] 논문 New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in ''n'' dimensions
_[12] 문서
_[13] arXiv The Chevalley group $G_{2}(2)$ of order 12096 and the octonionic root system of $E_{7}$ , Linear Algebra and its Applications 2005-10-20
_[14] 문서
_[15] 저널
_[16] 저널 https://archive.org/[...]
_[17] 저널
_[18] 저널
_[19] 뉴스 https://www.quantama[...]
_[20] 저널
_[21] 저널

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