맨위로가기

가쿠타니 사상

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

가쿠타니 사상은 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간의 부분 집합에 대해 정의되는 함수로, 특정 조건을 만족하는 경우 고정점을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 수리 경제학 및 게임 이론에 응용되며, 특히 내시 균형의 존재를 증명하는 데 사용된다. 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리, 샤우데르 고정점 정리 등 다양한 형태로 표현되며, 무한 차원 국소 볼록 위상 벡터 공간으로도 확장되었다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 고정점 정리 - 바나흐 고정점 정리
    바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간에서 축약 사상이 유일한 고정점을 가짐을 보장하는 정리로, 다양한 수학적 정리 증명 및 문제 해결에 응용되며 역과 일반화가 존재한다.
  • 고정점 정리 - 브라우어르 고정점 정리
    브라우어르 고정점 정리는 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 고정점을 가진다는 정리로, 다양한 공간에서 여러 형태로 표현되며 함수해석학에서 중요한 역할을 한다.
  • 볼록기하학 정리 - 브라우어르 고정점 정리
    브라우어르 고정점 정리는 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 고정점을 가진다는 정리로, 다양한 공간에서 여러 형태로 표현되며 함수해석학에서 중요한 역할을 한다.
  • 볼록기하학 정리 - 헬리의 정리
    헬리의 정리는 d차원 공간의 볼록 부분집합들 중 임의의 d+1개의 교집합이 공집합이 아니면 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니라는 정리이다.
  • 위상수학 정리 - 조르당 곡선 정리
    조르당 곡선 정리는 평면에서 단순 닫힌 곡선이 평면을 유계인 내부와 무계인 외부로 나누는 기본적인 정리로, 직관적으로 자명하지만 코흐 곡선과 같은 경우 증명이 어렵고, 조르당-쇤플리스 정리, 조르당-브라우어 분리 정리 등과 관련되며, 계산 기하학, 디지털 영상 처리 등에 응용된다.
  • 위상수학 정리 - 볼차노-바이어슈트라스 정리
    볼차노-바이어슈트라스 정리는 유클리드 공간에서 유계인 수열이 수렴하는 부분 수열을 가진다는 정리로, 실해석학에서 중요하며 경제학의 균형 개념 증명에도 활용된다.
가쿠타니 사상
일반 정보
유형수학적 정리
분야함수해석학
발견자가쿠타니 시즈오
발표년도1941년
가쿠타니 부동점 정리
내용볼록 집합에서 정의된 특정한 다가 함수는 부동점을 가진다.
관련 항목
관련 항목부동점 정리
일반화부동점 정리

2. 정의

실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 V와 V의 부분 집합 S\ne\varnothing가 주어졌다고 하자. 함수

:f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)

가 다음 두 조건을 만족시키면 '''가쿠타니 사상'''이라고 한다.[24] (여기서 \operatorname{Pow}(-)는 멱집합을 뜻한다.)



가쿠타니 사상 f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)의 '''고정점'''은 (만약 존재한다면) s\in f(s)가 성립하는 점 s\in S이다.

2. 1. 집합 값 함수

집합 ''X''에서 집합 ''Y''로의 '''집합 값 함수''' φ는 ''Y'' 안의 하나 또는 그 이상의 점을 ''X''의 각 점과 연결하는 규칙이다. 형식적으로는 ''X''에서 ''Y''의 멱집합으로 가는 일반적인 함수 φ: ''X'' → 2''Y''로 표기하며, 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해 φ(''x'')는 공집합이 아니다. 각 입력에 대해 여러 출력을 반환할 수 있는 함수를 가리킬 때 '''대응'''이라는 용어를 사용하기도 한다. 즉, 정의역의 각 원소는 치역의 원소 하나 이상으로 이루어진 부분 집합에 대응된다.

2. 2. 닫힌 그래프

집합 값 함수 φ: ''X''→2''Y''가 '''닫힌 그래프'''(closed graph)를 갖는다는 것은, 집합 {(''x'',''y'')| ''y'' ∈ φ(''x'')}가 곱 위상에서 ''X''×''Y''의 닫힌 부분 집합임을 말한다. 즉, 모든 수열 \{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}과 \{y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}에 대해 x_{n}\to x 및 y_{n}\to y이고, 모든 n에 대해 y_{n}\in \varphi(x_{n})을 만족하는 경우에, y\in \varphi(x)가 성립한다.

2. 3. 고정점

집합 값 함수 φ: ''X'' → 2''X''에 대해, 어떤 점 ''a'' ∈ ''X''가 ''a'' ∈ ''φ''(''a'')를 만족할 때, 이 점 ''a''를 ''φ''의 '''고정점'''(fixed point)이라고 한다.[16] 즉, 함수 ''φ''에 의해 ''a'' 자신을 포함하는 집합으로 대응되는 점 ''a''가 고정점이다.

예를 들어, 닫힌구간 [0, 1]에서 정의된 집합 값 함수 ''f''(''x'')가 점 ''x''를 닫힌 구간 [1 − ''x'' / 2, 1 − ''x'' / 4]로 대응시킨다고 하자. 이 함수는 가쿠타니 정리의 조건을 만족하므로 고정점을 반드시 갖는다. 실제로 ''x'' = 0.72는 0.72 ∈ [1 − 0.72 / 2, 1 − 0.72 / 4] = [0.64, 0.82] 이므로 ''f''(''x'')의 고정점이다. 이 경우에는 무한히 많은 고정점이 존재한다.

3. 성질

(내용 없음 - 하위 섹션에서 상세 내용을 다루므로 중복을 피하기 위해 본문 생략)

3. 1. 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리

'''가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리'''(Kakutani(–Glicksberg–Fan) fixed-point theorem영어)는 다음과 같은 내용을 담고 있다.[24]

:실수 하우스도르프 국소 볼록 공간 V 안의, 공집합이 아니고 콤팩트하며 볼록인 부분 집합 S\subseteq V 위의 임의의 가쿠타니 사상 f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)은 고정점을 갖는다.

원래 가쿠타니가 증명한 정리는 유클리드 공간에 대한 것으로, 그 내용은 다음과 같다.[3][16]

: ''S''가 유클리드 공간 '''R'''''n''의 공집합이 아니고 콤팩트하며 볼록인 부분 집합이라고 하자. ''S'' 위에서 정의된 집합 값 함수 ''φ'': ''S'' → 2''S''가 다음 두 조건을 만족하면, ''φ''는 고정점을 가진다.

:* ''φ''는 닫힌 그래프를 가진다.

:* 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해, ''φ''(''x'')는 공집합이 아니고 볼록 집합이다.

이 정리는 반상연속(hemicontinuity) 개념을 사용하여 다음과 같이 표현되기도 한다.

: ''S''는 유클리드 공간 '''R'''n의 공집합이 아닌 콤팩트한 볼록 부분 집합이라고 하자. ''φ'': ''S''→2S를 ''S'' 위의 반상연속인 집합 값 함수로, 다음의 성질을 만족한다고 하자: 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 ''φ''(''x'')는 공집합이 아니고, 닫힌이며 볼록하다. 이 때, ''φ''는 고정점을 가진다.

위의 두 표현(닫힌 그래프 조건과 반상연속 조건)은 집합 값 함수에 대한 닫힌 그래프 정리를 통해 동치임이 증명될 수 있다. 즉, 콤팩트한 하우스도르프 값 공간 ''Y''에 대해 집합 값 함수 ''φ'': ''X''→2''Y''가 닫힌 그래프를 가질 필요충분조건은 그것이 반상연속이며 모든 ''x''에 대해 ''φ''(''x'')가 닫힌 집합이라는 것이다.[17] 유클리드 공간은 하우스도르프 공간이므로, 반상연속성을 이용한 표현에서 ''φ''가 닫힌 값을 가져야 한다는 조건과 닫힌 그래프를 가져야 한다는 조건은 사실상 같은 의미가 된다.

3. 2. 샤우데르 고정점 정리

샤우데르 고정점 정리(Schauder fixed-point theorem영어)에 의하면, 다음이 성립한다.[24]

:실수 노름 공간 (V,\|\|) 속의, 공집합이 아닌, 볼록 집합 S\subseteq V 위의 임의의 가쿠타니 사상 f\colon S\to\operatorname{Pow}(S)이 주어졌다고 하자. 만약 \textstyle\bigcup_{s\in S}f(s)가 콤팩트 집합이라면, f는 고정점을 갖는다.

(이 경우, 정의역이 콤팩트 집합일 필요가 없다.)

4. 예

가쿠타니 고정점 정리는 특정 조건을 만족하는 다치함수에 대해 고정점의 존재를 보장하는 중요한 정리이다. 다음은 가쿠타니 고정점 정리의 의미와 조건을 이해하는 데 도움이 되는 몇 가지 예시이다.


  • 무한히 많은 고정점을 갖는 함수: 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의된 함수 \varphi(x)=[1-x/2, ~1-x/4]는 가쿠타니 고정점 정리의 모든 조건을 만족한다. 이 함수는 실제로 무한히 많은 고정점을 가지며, 예를 들어 x=0.72는 0.72 \in [1-0.72/2, 1-0.72/4]이므로 고정점 중 하나이다.

  • 고정점을 갖는 함수: 다음과 같이 정의된 함수 역시 가쿠타니 고정점 정리의 모든 조건을 만족한다.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

3/4 & 0 \le x < 0.5 \\{}

[0,1] & x = 0.5 \\

1/4 & 0.5 < x \le 1

\end{cases}



이 함수는 x=0.5일 때 \varphi(0.5) = [0, 1]이고 0.5 \in [0, 1]이므로, x=0.5는 이 함수의 고정점이다.

  • 볼록성 조건을 만족하지 않는 함수 (반례): 가쿠타니 고정점 정리가 성립하려면 함수의 모든 상(image)이 볼록 집합이어야 한다. 다음 함수는 이 조건을 만족하지 않아 고정점이 없다.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

\{3/4\} & 0 \le x < 0.5 \\

\{1/4, 3/4\} & x = 0.5 \\

\{1/4\} & 0.5 < x \le 1

\end{cases}



이 함수는 x=0.5에서 상 \varphi(0.5) = \{1/4, 3/4\}이 볼록 집합이 아니므로 정리의 조건을 위반하며, 고정점을 갖지 않는다.

  • 닫힌 그래프 조건을 만족하지 않는 함수 (반례): 함수의 그래프가 닫혀있지 않으면 가쿠타니 고정점 정리가 적용되지 않을 수 있다. 다음 함수는 이 경우에 해당한다.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

3/4 & 0 \le x < 0.5 \\

1/4 & 0.5 \le x \le 1

\end{cases}



이 함수는 x=0.5에서 그래프가 끊어져 있어 닫힌 그래프 조건을 만족하지 않으며, 고정점을 갖지 않는다.

4. 1. 무한히 많은 고정점을 갖는 함수

함수 f(x)가 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의되고, 각 점 x를 닫힌 구간 [1 - x/2, 1 - x/4]로 대응시키는 다치함수라고 가정해 보자. 즉,

:f(x) = [1 - x/2, 1 - x/4]

이다. 이 함수 f(x)는 가쿠타니 사상 정리의 모든 조건을 만족하므로, 정리에 따라 반드시 고정점을 가진다.

이 함수의 그래프를 좌표평면에 나타낼 때, 고정점은 x \in f(x)를 만족하는 점 x이며, 이는 그래프 상에서 직선 y=x와 함수 f(x)의 그래프 영역(원본 소스에서는 회색 음영 영역으로 표현됨)이 만나는 점들에 해당한다.

이 특정 함수의 경우, 직선 y=x와 함수 f(x)의 그래프 영역이 만나는 점이 무수히 많으므로, 무한히 많은 고정점을 가진다. 예를 들어, x = 0.72를 대입하면,

:f(0.72) = [1 - 0.72/2, 1 - 0.72/4] = [1 - 0.36, 1 - 0.18] = [0.64, 0.82]

이고, 0.72 \in [0.64, 0.82]이므로 x = 0.72는 이 함수의 고정점 중 하나이다. 이와 같이 조건을 만족하는 다른 많은 x 값들도 고정점이 된다.

4. 2. 유일한 고정점을 갖는 함수

임의의 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S 위의 연속 자기 함수 f\colon S\to S가 주어졌다고 가정하자. 이 함수로부터 새로운 함수 \phi를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\phi\colon S\to\operatorname{Pow}(S)

:\phi\colon s\mapsto \{f(s)\}

여기서 \operatorname{Pow}(S)는 S의 멱집합을 나타낸다. 즉, 함수 \phi는 S의 각 원소 s에 대해, f(s)를 유일한 원소로 갖는 집합 \{f(s)\}를 대응시킨다. 이때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

특히, 만약 V가 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간이고 S가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 경우, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 따라, 만약 f가 연속 함수라면 반드시 f(s)=s를 만족하는 점 s \in S가 존재한다. 이러한 s를 함수 f의 고정점(fixed point)이라고 부른다. 이 특별한 경우를 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리(Brouwer–Schauder–Tychonoff fixed point theorem영어)라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 함수 \varphi를 생각해보자.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

3/4 & 0 \le x < 0.5 \\{}

[0,1] & x = 0.5 \\

1/4 & 0.5 < x \le 1

\end{cases}



이 함수는 가쿠타니 부동점 정리의 모든 조건을 만족하며, 실제로 고정점을 갖는다. x = 0.5일 때, \varphi(0.5) = [0, 1]이고, 0.5 \in [0, 1]이므로 x = 0.5는 이 함수의 고정점이다.

또 다른 예로, 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의된 집합 값 함수 f(x)가 점 x를 닫힌 구간 [1 - x / 2, 1 - x / 4]로 대응시킨다고 하자. 즉, f(x) = [1 - x / 2, 1 - x / 4]이다. 이 함수 f(x) 역시 가쿠타니 부동점 정리의 모든 조건을 만족하므로 반드시 고정점을 가진다. 예를 들어 x = 0.72를 생각해보면, f(0.72) = [1 - 0.72 / 2, 1 - 0.72 / 4] = [1 - 0.36, 1 - 0.18] = [0.64, 0.82]이다. 이때 0.72 \in [0.64, 0.82]이므로, x = 0.72는 이 함수의 고정점이다. 이 경우에는 고정점이 유일하지 않고 무한히 많이 존재한다.

4. 3. 볼록성을 만족하지 않는 함수 (반례)

함수의 상이 볼록 집합이 아닐 경우, 가쿠타니 고정점 정리가 성립하지 않는 반례. 이 함수의 그래프(검은 선)는 대각선(붉은 점선)과 만나지 않으므로 고정점이 없다.


가쿠타니 고정점 정리가 성립하기 위해서는, 함수가 만드는 모든 상이 볼록 집합이어야 한다는 조건이 필수적이다. 만약 이 조건이 만족되지 않으면 정리가 성립하지 않을 수 있다.

예를 들어, 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의된 다음과 같은 함수 \varphi(x)를 생각해보자.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

\{3/4\} & 0 \le x < 0.5 \\

\{1/4, 3/4\} & x = 0.5 \\

\{1/4\} & 0.5 < x \le 1

\end{cases}



이 함수는 가쿠타니 고정점 정리의 다른 조건들은 모두 만족하지만, x = 0.5에서의 상 \varphi(0.5) = \{1/4, 3/4\}는 두 점으로 이루어져 있어 볼록 집합이 아니다. 따라서 이 함수는 고정점을 갖지 않으며, 이는 볼록성 조건이 필수적임을 보여주는 반례가 된다.

4. 4. 닫힌 그래프를 만족하지 않는 함수 (반례)

닫힌 그래프 조건을 만족하지 않아 가쿠타니 고정점 정리의 결론(고정점의 존재)이 성립하지 않는 예시는 다음과 같다. 구간 [0, 1]에서 정의된 다음 함수를 생각해보자.

:

\varphi(x)=

\begin{cases}

3/4 & 0 \le x < 0.5 \\

1/4 & 0.5 \le x \le 1

\end{cases}



이 함수는 고정점을 갖지 않는다. 가쿠타니 정리의 다른 조건들(정의역이 콤팩트 볼록 집합이고, 각 점에서 함수값이 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합)은 만족하지만, 함수의 그래프는 닫혀있지 않다. 예를 들어, 수열 ''xn'' = 0.5 - 1/''n'' 은 0.5로 수렴하고, 각 ''xn''에 대해 ''yn'' = 3/4는 φ(''xn'')에 속한다. 하지만 극한점 (0.5, 3/4)는 함수의 그래프에 포함되지 않는다. 왜냐하면 φ(0.5) = {1/4} 이므로 3/4는 φ(0.5)의 원소가 아니기 때문이다. 따라서 이 함수의 그래프는 닫힌 집합이 아니다.

5. 다른 표현

가쿠타니의 원 논문을 포함한 일부 자료에서는 정리를 설명할 때 상반연속성(upper hemicontinuity)의 개념을 사용하기도 한다.

: ''S''를 유클리드 공간 '''R'''''n''의 공집합이 아니고, 콤팩트이며 볼록한 부분 집합이라고 하자. ''φ'': ''S''→2''S''를 ''S''에 대한 상반연속 집합 함수로, 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 ''φ''(''x'')가 공집합이 아니고, 닫혀 있으며, 볼록하다는 속성을 갖는다고 하자. 그렇다면 ''φ''는 고정점을 갖는다.[16]

이 설명은 이 문서의 시작 부분에서 제시된 가쿠타니 정리의 설명과 완전히 동일하다.

두 설명이 동일하다는 것은 집합 값 함수에 대한 닫힌 그래프 정리를 사용하여 증명할 수 있다.[11][17] 닫힌 그래프 정리에 따르면, 콤팩트한 하우스도르프 공역(codomain) ''Y''에 대해, 집합 값 함수 ''φ'': ''X''→2''Y''가 닫힌 그래프를 갖는 것과, ''φ''가 상반연속이고 모든 ''x''에 대해 ''φ''(''x'')가 닫힌 집합인 것은 서로 필요충분조건이다. 모든 유클리드 공간은 거리 공간이므로 하우스도르프 공간이며, 위에서 제시된 상반연속성을 이용한 정리의 설명에서는 ''φ''가 닫힌 값을 갖도록 요구하고 있다. 따라서 닫힌 그래프 정리에 의해, 상반연속성을 사용한 설명은 닫힌 그래프를 사용한 설명과 동등하다는 것을 알 수 있다.

6. 응용

가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학과 게임 이론을 비롯한 여러 분야에서 중요한 도구로 활용된다.

게임 이론에서는 유한 게임에서의 내시 평형 존재를 증명하거나[4][14] 영합 게임에서의 최소-최대 정리를 증명하는 데 사용된다.[1][13] 경제학의 일반 균형 이론에서는 모든 시장에서 수요와 공급을 동시에 일치시키는 가격 집합의 존재를 보이는 데 응용된다.[5][18] 또한, 공정한 분배 문제, 특히 질투가 없고 파레토 효율적인 케이크 할당이 존재함을 증명하는 데에도 사용된다.

6. 1. 게임 이론

가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학과 게임 이론 분야에서 중요하게 응용된다. 특히, 게임 이론의 핵심 개념인 내시 균형의 존재를 증명하는 데 사용된다.

가쿠타니 시즈오 본인도 자신의 논문에서 이 정리를 이용하여 영합 게임 이론의 최소-최대 정리를 증명할 수 있음을 보였다.[1]

이후 수학자 존 내시는 가쿠타니 고정점 정리를 활용하여 게임 이론의 중요한 결과 중 하나를 증명했다.[4] 구체적으로, 플레이어 수가 유한하고 각 플레이어가 혼합 전략을 사용하는 모든 유한 게임에서는 적어도 하나의 내시 균형이 존재한다는 것을 보였다. 이 업적은 후에 존 내시에게 노벨 경제학상을 안겨주었다.

내시의 증명에서 핵심 아이디어는 다음과 같다. 게임에서 각 플레이어가 선택할 수 있는 모든 혼합 전략의 조합을 하나의 집합 ''S''로 정의한다. 그리고 어떤 전략 조합 ''x''가 주어졌을 때, 각 플레이어가 이에 대해 최선의 대응을 하는 전략들의 집합을 φ(''x'')로 나타내는 함수를 생각한다. 이때, 게임의 내시 균형은 바로 이 함수 φ의 고정점, 즉 모든 플레이어의 전략이 다른 플레이어들의 전략에 대한 최선의 대응이 되는 특별한 전략 조합에 해당한다. 가쿠타니 고정점 정리는 이러한 조건을 만족하는 고정점(즉, 내시 균형)이 반드시 존재함을 수학적으로 보장한다.

6. 2. 일반 균형

경제학의 일반 균형 이론에서, 가쿠타니 정리는 경제의 모든 시장에서 수요와 공급을 동시에 일치시키는 가격 집합의 존재를 증명하는 데 사용되었다.[5][18] 이러한 가격의 존재 문제는 적어도 레옹 발라스 시대부터 경제학에서 중요한 미해결 과제였다. 이 문제에 대한 첫 번째 증명은 라이오넬 매켄지에 의해 이루어졌다.[6]

증명 과정의 개요는 다음과 같다.

  • 기본 집합 ''S''는 여러 재화 가격의 조합을 나타내는 튜플들의 집합이다.
  • 함수 φ(''x'')는 특정 가격 튜플 ''x''가 주어졌을 때, 만약 이 가격 튜플 ''x''에서 모든 시장의 수요와 공급이 일치하지 않는다면, 그 결과값이 원래의 인수 ''x''와는 다르도록 선택된다.
  • 여기서 과제는 가쿠타니 정리의 조건을 만족시키면서 동시에 이러한 속성(수요-공급 불일치 시 결과값이 달라짐)을 갖도록 함수 φ를 구성하는 것이다.
  • 만약 이러한 함수 φ를 성공적으로 구성할 수 있다면, 가쿠타니 정리에 의해 함수 φ는 반드시 고정점(즉, φ(''x'') = ''x'' 인 점 ''x'')을 갖게 된다.
  • 함수 φ의 구성 방식 때문에, 이 고정점은 바로 모든 시장에서 수요와 공급을 정확히 일치시키는 가격 튜플에 해당하게 된다.

6. 3. 공정한 분배

가쿠타니의 고정점 정리는 질투가 없고 파레토 효율적인 케이크 할당의 존재를 증명하는 데 사용된다. 이 결과는 Weller의 정리로 알려져 있다.

7. 역사

가쿠타니 고정점 정리는 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리의 연구를 바탕으로 발전하였다. 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리는 20세기 초 여러 수학자들에 의해 점차 일반화되었다.[25][26][27][28]

이러한 연구 흐름 속에서, 가쿠타니 시즈오는 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니 고정점 정리를 증명하였다.[29] 이후 어빙 레너드 글릭스버그(Irving Leonard Glicksberg영어)[30]와 판지(Ky Fan영어)[31]가 이를 임의의 국소 볼록 공간으로 확장하여 현재의 형태로 완성하였다.

7. 1. 초기 연구 (브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리)

1904년에 피에르스 볼(Piers Bohllv, 1865~1921)이 3차원 유클리드 공간에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다.[25] 1910년에는 라위트전 브라우어르와 자크 아다마르[26]가 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다.

이후 1930년에 율리우시 샤우데르는 이 정리를 임의의 실수 바나흐 공간으로 일반화하였고,[27] 1935년에는 안드레이 티호노프가 이를 다시 임의의 국소 볼록 공간으로 확장하였다.[28]

7. 2. 가쿠타니 고정점 정리

가쿠타니 시즈오는 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다.[29] 이 정리는 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 다가 함수(set-valued function)로 확장한 것이다.

브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리는 다음과 같은 과정을 거쳐 발전하였다.

가쿠타니의 증명 이후, 어빙 레너드 글릭스버그(Irving Leonard Glicksberg영어)[30]와 판지(Ky Fan영어)[31]는 이 정리를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다.

경제학자 켄 빈모어(Ken Binmore영어)는 가쿠타니와 관련된 다음과 같은 일화를 소개한 바 있다.

: 언젠가 일본의 수학자 가쿠타니가 내게 왜 자신의 강의에 수많은 경제학자들이 참석하였는지 물었다. 나는 그가 가쿠타니 고정점 정리 때문에 유명인이기 때문이라고 대답했는데, 가쿠타니는 다음과 같이 되물었다. “가쿠타니 고정점 정리가 뭡니까?”

: A long time ago, the Japanese mathematician Kakutani asked me why so many economists had attended the lecture he had just given. When I told him that he was famous because of the Kakutani fixed-point theorem, he replied, “What is the Kakutani fixed-point theorem?”영어[32]

7. 3. 확장 (글릭스버그, 판지)

가쿠타니 시즈오가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다.[29] 이후 어빙 레너드 글릭스버그(Irving Leonard Glicksberg영어)[30]와 판지(Ky Fan영어, 1914~2010)[31]가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다.

7. 4. 켄 빈모어의 일화

켄 빈모어(Ken Binmore영어)는 자신의 게임 이론 저서에서 가쿠타니 시즈오와 관련된 일화를 소개했다.[23][32] 빈모어에 따르면, 어느 학회 강연 후 가쿠타니는 왜 자신의 강연에 수많은 경제학자들이 참석했는지 빈모어에게 물었다.[12] 빈모어가 그것은 아마도 가쿠타니의 부동점 정리 때문일 것이라고 답하자, 가쿠타니는 의아해하며 "가쿠타니의 부동점 정리란 게 무엇인가?"라고 되물었다고 한다.[12][32]

8. 증명 개요

가쿠타니 고정점 정리의 증명은 일반적으로 주어진 집합을 점점 더 작은 조각으로 나누어 고정점을 찾는 방식으로 진행된다. 가장 기본적인 아이디어는 1차원 구간에서 시작하여, 이를 고차원의 단순체나 임의의 콤팩트하고 볼록한 집합 ''S''로 확장하는 것이다.

증명의 핵심 과정은 집합을 잘게 나누는 세분화 단계를 거쳐, 특정 조건을 만족하는 부분 집합을 반복적으로 선택하여 극한점을 찾는 것이다. 이 극한점이 바로 원하는 고정점임을 보이는 방식으로 증명이 완료된다. 고차원으로 확장할 때는 1차원보다 더 복잡한 세분화 방법과 조합론적 보조정리가 필요하며, 임의의 집합 ''S''의 경우에는 ''S''를 포함하는 단순체를 활용하여 문제를 단순화하는 전략을 사용한다.

8. 1. n-단체의 경우

2차원 이상의 공간에서 ''n''-단순체는 가쿠타니 정리를 증명할 수 있는 가장 간단한 대상이다. ''n''-단순체는 삼각형의 고차원 버전으로 생각할 수 있다. 단순체 위에서 정의된 집합 값 함수에 대한 가쿠타니 정리의 증명은 본질적으로 1차원 구간에서의 증명과 크게 다르지 않다. 다만, 고차원에서는 증명의 첫 번째 단계, 즉 영역을 더 작은 조각으로 나누는 과정에서 추가적인 고려 사항이 필요하다.

  • 1차원에서는 구간을 중간 지점을 기준으로 둘로 나누지만, ''n''-단순체의 경우 중심 세분(barycentric subdivision)이라는 방법을 사용하여 단순체를 더 작은 부분 단순체들로 나눈다.
  • 1차원에서는 양 끝점이 서로 반대 방향으로 이동하는 부분 구간을 기본적인 논리로 선택할 수 있었지만, ''n''-단순체의 경우에는 조합론의 결과인 스퍼너 보조정리(Sperner's lemma)를 이용하여 조건을 만족하는 적절한 부분 단순체가 존재함을 보장한다.


증명의 첫 번째 단계에서 이러한 차이점을 반영하고 나면, 극한점을 찾고 그 점이 고정점임을 증명하는 두 번째와 세 번째 단계는 1차원 경우의 증명 과정과 거의 동일하게 진행된다.

8. 2. 임의의 S의 경우

n-단체에 대한 가쿠타니의 정리는 임의의 콤팩트하고 볼록한 집합 ''S''에 대한 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 이 증명 과정에서도 ''S''를 점점 더 세분화된 부분 집합으로 나누는 동일한 기법이 사용된다. 하지만 n-단체의 경우처럼 직선 모서리를 가진 삼각형 대신, 곡선 모서리를 가진 삼각형을 사용한다는 차이점이 있다. 형식적으로 설명하면, 먼저 ''S''를 덮는 단체를 찾는다. 그 다음, 변형 수축을 사용하여 ''S''에 대한 문제를 이 단체에 대한 문제로 옮긴다. 이렇게 하면 이미 증명된 n-단체에 대한 결과를 적용하여 ''S''에 대한 정리를 증명할 수 있다.

9. 무한 차원으로의 일반화

가쿠타니 고정점 정리는 원래 유클리드 공간과 같은 유한 차원 공간에서 정의되었으나, 아이빙 글릭스버그(Irving Glicksberg)[8][19]와 판 쿄(Ky Fan)[9][20]에 의해 무한 차원의 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 확장되었다.

이 무한 차원으로의 확장을 위해서는 몇 가지 추가적인 개념 정의가 필요하다. 대표적으로 함수의 연속성 개념을 집합 값 함수에 맞게 확장한 '''상반 연속성'''과, 특정 조건을 만족하는 집합 값 함수를 지칭하는 '''가쿠타니 사상'''이 그것이다.[10][21]

이러한 개념들을 바탕으로 가쿠타니-글릭스버그-판 정리가 정립되었다. 이 정리는 특정 조건을 만족하는 국소 볼록 위상 벡터 공간의 부분 집합 위에서 정의된 가쿠타니 사상이 반드시 고정점을 가짐을 보여준다.[10][21] 이는 단일 값 함수에 대한 티호노프 고정점 정리를 집합 값 함수로 일반화한 결과로 볼 수 있다.

함수가 정의되는 공간이 추가적으로 하우스도르프 공간이라는 조건을 만족할 경우, 정리의 내용은 유클리드 공간에서의 가쿠타니 정리와 더욱 유사한 형태로 표현될 수 있으며, 고정점 집합의 성질에 대한 추가적인 정보(콤팩트성)를 제공하기도 한다.[11][22]

9. 1. 상반 연속성

집합 값 함수 φ: ''X''→2''Y''가 '''상반 연속'''이라는 것은, 모든 열린 집합 ''W'' ⊂ ''Y''에 대해, φ(''x'')가 ''W''에 포함되는 모든 ''x''의 집합 {''x'' ∈ ''X'' | φ(''x'') ⊂ ''W''}가 ''X''에서 열린 집합임을 의미한다.[10][21]

가쿠타니의 부동점 정리는 때때로 이 상반 연속성 개념을 사용하여 설명된다. 예를 들어, ''S''가 유클리드 공간 '''R'''''n''의 공집합이 아니고, 컴팩트하며 볼록 부분 집합이고, ''φ'': ''S''→2''S''가 ''S''에 대한 상반 연속 집합 값 함수이며 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 ''φ''(''x'')가 공집합이 아니고, 닫혀 있으며, 볼록하다면, ''φ''는 고정점을 갖는다는 형태로 표현될 수 있다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 컴팩트한 하우스도르프 공간 ''Y''를 공역으로 갖는 집합 값 함수 ''φ'': ''X''→2''Y''가 닫힌 그래프를 가질 필요충분조건은 ''φ''가 상반 연속이고 모든 ''x''에 대해 ''φ''(''x'')가 닫힌 집합인 것이다.[11][17] 유클리드 공간은 하우스도르프 공간이므로, 이 정리를 통해 가쿠타니 정리에서 '닫힌 그래프' 조건과 '상반 연속성 및 닫힌 값' 조건이 동등함을 알 수 있다.

9. 2. 가쿠타니 사상 (무한 차원)

가쿠타니의 고정점 정리는 아이빙 글릭스버그(Irving Glicksberg)[8][19]와 판 쿄(Ky Fan)[9][20]에 의해 유한 차원 유클리드 공간뿐만 아니라 무한 차원의 국소 볼록 위상 벡터 공간으로도 확장되었다. 이 정리를 무한 차원으로 확장하기 위해서는 몇 가지 개념을 먼저 정의할 필요가 있다.

;상반 연속성

: 집합 값 함수 φ: ''X''→2''Y''가 있다고 하자. 모든 열린 집합 ''W'' ⊂ ''Y''에 대해, 집합 {''x''| φ(''x'') ⊂ ''W''}가 ''X''에서 열린 집합일 때, 이 함수 φ를 '''상반 연속'''이라고 한다.[10][21]

;가쿠타니 사상

: ''X''와 ''Y''가 위상 벡터 공간이고, φ: ''X''→2''Y''가 집합 값 함수라고 하자. 만약 ''Y''가 볼록 집합이고, 함수 φ가 상반 연속이며, 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해 φ(''x'')가 공집합이 아니고, 콤팩트하며 볼록하다면, φ를 '''가쿠타니 사상'''(Kakutani map)이라고 부른다.[10][21]

이를 바탕으로 가쿠타니-글릭스버그-판 정리(Kakutani-Glicksberg-Fan theorem)는 다음과 같이 기술된다.[10][21]

:''S''가 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간의 공집합이 아닌, 콤팩트하고 볼록한 부분 집합이라고 하자. φ: S→2S가 가쿠타니 사상이라면, φ는 고정점을 갖는다.''

이 정리는 단일 값 함수에 대한 티호노프 고정점 정리를 집합 값 함수로 확장한 것으로 볼 수 있다.

함수가 정의되는 공간 ''S''가 국소 볼록 하우스도르프 공간인 경우, 정리는 유클리드 공간에서의 경우와 유사하게 다음과 같이 표현할 수도 있다.[11][22]

:''S''가 국소 볼록 하우스도르프 공간의 공집합이 아니고, 콤팩트하며 볼록한 부분 집합이라고 하자. ''S''에 대한 집합 값 함수 φ: S→2S가 닫힌 그래프를 가지며, 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 φ(''x'')가 공집합이 아니고 볼록 집합이라면, φ의 고정점 집합은 공집합이 아니고 콤팩트하다.''

9. 3. 가쿠타니-글릭스버그-판 정리 (무한 차원)

가쿠타니 고정점 정리는 아이빙 글릭스버그(Irving Glicksberg)[8][19]와 판 쿄(Ky Fan)[9][20]에 의해 유한 차원 유클리드 공간을 넘어 무한 차원의 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 확장되었다. 이 일반화된 정리를 이해하기 위해 몇 가지 정의가 필요하다.

'''상반 연속성'''

: 집합 값 함수 φ: ''X'' → 2''Y''가 있다고 하자. 모든 열린 집합 ''W'' ⊂ ''Y''에 대해, 집합 {''x'' ∈ ''X'' | φ(''x'') ⊂ ''W''}가 ''X''에서 열린 집합일 때, 함수 φ를 '''상반 연속'''이라고 한다.[10][21]

'''가쿠타니 사상'''

: ''X''와 ''Y''가 위상 벡터 공간이고, φ: ''X'' → 2''Y''가 집합 값 함수라고 하자. 만약 ''Y''가 볼록이고, 함수 φ가 상반 연속이며, 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해 φ(''x'')가 공집합이 아니고 컴팩트하며 볼록 집합일 경우, φ를 '''가쿠타니 사상'''이라고 한다.[10][21]

이제 가쿠타니-글릭스버그-판 정리는 다음과 같이 설명할 수 있다.[10][21]

:''S''를 어떤 국소 볼록 위상 벡터 공간의 공집합이 아닌, 컴팩트하고 볼록한 부분 집합이라고 하자. φ: S → 2S가 가쿠타니 사상이라면, φ는 고정점을 갖는다.''

이 정리는 단일 값 함수에 대한 티호노프 고정점 정리를 집합 값 함수로 확장한 것으로 볼 수 있다.

만약 함수가 정의되는 공간 ''S''가 국소 볼록할 뿐만 아니라 하우스도르프 공간이라는 조건이 추가되면, 정리의 내용은 유클리드 공간에서의 가쿠타니 정리와 유사하게 표현되며, 고정점 집합의 성질에 대한 정보도 추가된다.[11][22]

:''S''를 국소 볼록 위상 벡터 공간인 하우스도르프 공간의 공집합이 아닌, 컴팩트하고 볼록한 부분 집합이라고 하자. φ: S → 2S가 닫힌 그래프를 가지며, 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 φ(''x'')가 공집합이 아니고 볼록 집합이라는 성질을 만족하는 집합 값 함수라고 하자. 그러면 φ의 고정점 집합은 공집합이 아니며 컴팩트하다.''

참조

[1] 논문 A generalization of Brouwer's fixed point theorem
[2] 서적 Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory Cambridge University Press
[3] 서적 A Course in Game Theory MIT
[4] 논문 Equilibrium Points in N-Person Games
[5] 서적 General Equilibrium Theory https://books.google[...] Cambridge University Press
[6] 논문 On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems
[7] 서적 A Fixed-Point Farrago Springer International Publishing 2016
[8] 논문 A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem, with Application to Nash Equilibrium http://www.dtic.mil/[...]
[9] 논문 Fixed-point and Minimax Theorems in Locally Convex Topological Linear Spaces
[10] 서적 Fixed Point Theory https://books.google[...] Springer
[11] 서적 Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer
[12] 서적 Playing for Real: A Text on Game Theory Oxford University Press
[13] 논문 A generalization of Brouwer’s fixed point theorem
[14] 논문 Equilibrium Points in N-Person Games
[15] 서적 Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory Cambridge University Press
[16] 서적 A Course in Game Theory MIT
[17] 서적 Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer
[18] 서적 General Equilibrium Theory https://books.google[...] Cambridge University Press
[19] 논문 A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem, with Application to Nash Equilibrium
[20] 논문 Fixed-point and Minimax Theorems in Locally Convex Topological Linear Spaces
[21] 서적 Fixed Point Theory https://books.google[...] Springer
[22] 서적 Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide Springer
[23] 서적 Playing for Real: A Text on Game Theory Oxford
[24] 서적 Fixed point theory Springer-Verlag
[25] 저널
[26] 서적 https://archive.org/[...]
[27] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]
[28] 저널 http://resolver.sub.[...]
[29] 저널
[30] 저널 A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium
[31] 저널 Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces
[32] 서적 http://global.oup.co[...]


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com