브라우어르 고정점 정리

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1. 개요

브라우어르 고정점 정리는 닫힌 원판, 유클리드 공간의 닫힌 공, 콤팩트 볼록 집합 등에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수가 적어도 하나의 고정점을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 콤팩트성과 볼록성을 전제로 하며, 유계 집합, 닫힌 집합, 볼록 집합의 조건이 충족되지 않으면 반례가 존재한다. 이 정리는 커피를 젓거나 종이를 구기는 것과 같은 일상적인 예시를 통해 직관적으로 이해할 수 있으며, 1차원에서도 쉽게 증명된다. 브라우어르 고정점 정리는 1904년 피어스 볼에 의해 처음 증명되었고, 1909년 뤼트선 에버르터스 얀 브라우어르에 의해 일반적인 형태로 증명되었다. 이 정리는 대수기하학, 함수해석학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며, 털난 공 정리, 보르숙-울람 정리 등과 동등한 결과를 가진다. 브라우어르 고정점 정리는 스페르너의 보조정리, 스토크스 정리, 레프셰츠 고정점 정리 등을 이용하여 증명될 수 있으며, 무한 차원 공간으로의 일반화는 콤팩트성 가정을 포함한다.

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브라우어르 고정점 정리
정의
내용	수학에서 브라우어르 부동점 정리는 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 부동점을 가진다는 정리이다.
공식 명칭
영어	Brouwer fixed-point theorem
프랑스어	théorème du point fixe de Brouwer
역사
발견	이 정리는 20세기 초에 여러 수학자들이 증명했다.
최초 증명	피어스 볼 (1904년, 3차원) 라우위츠전 에이제베르트 얀 브라우어르 (1909년, 일반적인 경우)
기타 증명	자크 아다마르 앙리 르베그
정리 내용
기본 형태	콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 부동점을 가진다.
차원 공	차원 공에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 부동점을 가진다.
일반화	임의의 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속 함수는 반드시 부동점을 가진다.
관련 정리
관련 정리	모구 정리 보르수크-울람 정리
참고 문헌

2. 내용

브라우어르 고정점 정리는 사용되는 맥락과 일반화 정도에 따라 여러 가지 형태로 나타난다. 이들은 일반화 정도가 점차 높아지는 순서대로 다음과 같이 나열할 수 있다.

정리	내용
평면	닫힌 원판에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 최소 하나의 고정점을 가진다.^[81]
유클리드 공간	유클리드 공간의 닫힌 공에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[82]
콤팩트 볼록 집합	유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[83]
샤우데르 고정점 정리	바나흐 공간의 콤팩트 볼록 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[84]

2. 1. 평면

폐원판에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 최소 하나의 고정점을 가진다.^[81]

2. 2. 유클리드 공간

유클리드 공간의 닫힌 공에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[82]^[7]^[69]

2. 3. 콤팩트 볼록 집합

유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[83]

2. 4. 샤우데르 고정점 정리

바나흐 공간의 콤팩트 볼록 부분집합에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 고정점을 가진다.^[84]

3. 전제 조건

브라우어르 고정점 정리는 함수가 자기 사상(정의역과 공역이 동일한 함수)이면서, 공집합이 아닌 콤팩트(즉, 유계이고 닫힌) 볼록 집합(또는 위상 동형인 집합)에서 정의될 때 성립한다.^[73]

엄밀히 말해, 브라우어르 고정점 정리에서 볼록성은 필수 조건이 아니다. 연속성, 고정점 등 정리에서 요구되는 성질은 동상사상 아래 보존되므로, 닫힌 단위구 ''D''^''n''과 동치인 형태로도 정리가 성립한다. 따라서 닫힌 구(즉, 닫힌, 유계, 연결 집합이면서 구멍이 없는 집합)와 위상동형인 모든 집합에 대해서도 정리가 성립한다.^[73]

3. 1. 유계 집합

함수

f(x)=x+1

은

\scriptstyle\mathbb{R}

에서 자신으로 가는 연속 함수이지만, 모든 점을 오른쪽으로 옮겨 고정점을 가지지 않는다.

\scriptstyle\mathbb{R}

은 닫혀 있으며 볼록하지만 유계가 아니다.

3. 2. 닫힌 집합

(-1, 1)에서 자신으로 가는 연속 함수 f(x)|f(x)^영어 = (x + 1) / 2도 모든 점을 오른쪽으로 옮기기에 고정점이 없다. (-1, 1)은 유계이며 볼록하지만 닫혀있지 않다. [-1, 1]에서는 고정점이 존재한다(''x'' = 1).

3. 3. 볼록 집합

브라우어르 고정점 정리는 볼록성이 꼭 필요한 것은 아니다. 정리에 나오는 성질(연속성, 고정점)은 위상 동형 아래 보존되기 때문에, 닫힌 공과 위상 동형인 집합(이러한 집합은 필연히 닫힌, 유계, 연결, 단일 연결 집합이다)에도 정리가 적용된다.^[85]

단일 연결 집합이 아닌 경우의 반례는 다음과 같다. 극좌표계에서 정의된 함수

:

f(r,\theta)=(r,\theta+\frac\pi4)

는 단위원에서 자신으로 가는 연속함수이지만, 모든 점을 시계 방향으로 45도 회전시키므로 고정점을 가지지 않는다. 원은 닫혀있고 유계이며 연결 집합이지만 단일 연결이 아니므로(그렇기에 볼록 집합도 아니다) 브라우어르 고정점 정리가 성립하지 않는다. 그러나 원판에서 자신으로 가는 함수로 볼 때에는 원점을 고정점으로 가진다.^[85]

3. 4. 전단사 함수

정리에 나오는 연속함수가 전단사일 것은 요구되지 않는다.

4. 실례

이 정리의 현실적인 예는 다음과 같다.

같은 좌표계가 그려진 같은 크기의 두 장의 모눈종이를 எடுத்து, 하나는 평평한 상태로 책상 위에 두고 하나는 찢지 않고 구겨서 다른 한 장 위에 삐져나오지 않게 올려놓는다. 그러면 구겨진 종이의 적어도 한 점이 좌표가 같은 평평한 종이의 점 바로 위에 위치한다. 여기서 이용한 함수는 구겨진 종이의 점의 좌표를 바로 아래에 있는 평평한 종이 위의 점의 좌표에 대응시키는 함수이다.^[1]
어떤 나라의 지도를 그 나라 안의 한 책상 위에 펼쳐놓았을 때, '당신의 현위치' 점, 즉 지도와 실제의 위치가 겹치는 점이 존재한다.^[1]
3차원에서의 비슷한 예로 지구에 위치한 지구본을 떠올릴 수 있다. 지구(대기권과 내부 포함)의 점을 지구본 상의 점으로 대응시킬 때, 적어도 한 점은 움직이지 않는다.^[1]
브라우어르 고정점 정리에 따르면, 유리잔 안에 든 칵테일을 휘젓고 나서 잠잠해졌을 때, 원래의 위치로 돌아온 점이 존재한다. 물론 이는 각 점의 마지막 위치가 원래 위치에 대한 연속함수이고, 휘젓기 전후 액체가 차지하는 공간이 똑같음을 전제로 한다.^[1]

5. 직관적 접근

브라우어르는 커피 잔을 저을 때 항상 움직이지 않는 점이 존재한다는 관찰을 통해 고정점 정리에 대한 직관적인 아이디어를 얻었다.^[86] 그는 "움직이지 않는 점이 언제나 존재한다"는 결론을 내렸다.^[86]

1차원의 경우, 폐구간 [''a'', ''b'']에서 자신으로 가는 연속함수 ''f''는 고정점을 가진다는 사실은 직관적으로 이해할 수 있다.

이는 함수 ''f''의 그래프(오른쪽 그림, 청록색)가 ''y'' = ''x''의 그래프(연두색)와 만난다는 직관과 일치한다. 해석적으로는, 함수 ''g''(''x'') = ''f''(''x'') - ''x''를 생각할 때, ''g''가 ''a''에서 0보다 크거나 같고, ''b''에서 0보다 작거나 같으므로, 중간값 정리에 의해 영점이 [''a'', ''b''] 안에 존재하고, 이는 곧 ''f''의 고정점이다.

5. 1. 브라우어르의 해석

브라우어르는 커피 잔을 관찰하면서 고정점 정리에 대한 직관적인 해석을 얻었다. 커피에 설탕을 녹이기 위해 저을 때, 항상 움직이지 않는 점이 존재한다는 것이다. 그는 이를 통해 "움직이지 않는 점이 언제나 존재한다"는 결론을 도출했다.^[86] 그러나 움직임이 없어 보이는 점만이 고정점인 것은 아니며, 소용돌이의 중심도 조금씩 움직인다. 또한, 다른 고정점이 생겨나면 원래의 고정점도 움직일 수 있다는 점에서, 이 결과는 직관적이지 않다.

브라우어르는 "나는 이 멋진 결과를 다르게 표현할 수 있다. 종이 한 장을 수평하게 놓고, 똑같은 한 장의 종이를 구긴 후 평평하게 펴서 위에 올려놓는다. 그러면 구긴 종이의 어떤 점은 다른 한 장의 점과 같은 위치에 있다."라고 덧붙였다.^[86] 그는 구긴 종이를 펼 때 다림질하듯이 주름과 접힌 선이 남게끔 한다고 설명했다. 이는 커피 잔 예시보다 더 나은데, 고정점이 유일하지 않을 수 있다는 것을 보여주기 때문이다. 이러한 점은 바나흐 고정점 정리와 같이 유일성을 보장하는 정리와 브라우어르의 정리를 구분 짓는다.

5. 2. 1차원

1차원의 경우, 즉 폐구간 [''a'', ''b'']에서 자신으로 가는 연속함수 ''f''는 고정점을 가진다는 사실은 직관적이며 쉽게 증명된다. 이는 ''f''의 그래프(오른쪽 그림, 청록색)가 같은 곳에서 정의된 함수 ''y'' = ''x''의 그래프(연두색)와 만난다는 직관과 일치한다. 해석적으로는, 함수 ''g''(''x'') = ''f''(''x'') - ''x''를 생각할 때, ''g''가 ''a''에서 ≥ 0, ''b''에서 ≤ 0이므로, 중간값 정리에 의해 영점이 [''a'', ''b''] 안에 존재하고, 이는 곧 ''f''의 고정점이다.

브라우어르는 이를 다음과 같이 표현했다. "면에 대해 고찰하는 대신, 우리는 선에 대한 정리를 증명할 것이다. 펴진 상태의 끈을 가지고 시작하여 접은 상태로 되돌려 보자. 접힌 끈을 납작하게 해보자. 전처럼 어떤 한 점은 펴진 상태의 끈과 비교해 위치가 바뀌지 않는다."^[86]^[13]

6. 역사

브라우어르 고정점 정리는 대수기하학의 초기 성과 중 하나이자 함수해석학에서 중요한 더 일반적인 고정점 정리들의 기초가 된다. 1904년 피어스 볼이 ''n'' = 3인 경우를 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》에 발표하여 증명했고,^[14] 1909년 브라우어르가 증명하였다. 1910년 자크 아다마르가 일반적인 경우를 증명하였고,^[4] 같은 해 브라우어르는 다른 증명을 내놓았다.^[5] 이들 초기의 증명은 비구성적인 간접증명이라는 점에서, 브라우어르의 직관주의와는 반대된다. 현재는 브라우어르의 정리에 의해 보장되는 고정점(에 대한 근사)의 구성법이 알려져 있다.^[15]^[16]

6. 1. 서곡

미분방정식 연구는 19세기 말, 태양계의 안정성이라는 오래된 문제^[90]가 수학계에 다시금 떠오르면서 새로운 국면을 맞이했다.^[89] 앙리 푸앵카레는 삼체 문제를 연구하면서, "삼체 문제, 그리고 더 일반적으로 균일적분이 없고 볼린 급수가 발산하는 경우의 모든 동역학 문제의 난해함을 보여주는 데에, 이보다 더 적절한 문제는 없다."^[91]라며 정확한 해를 구하는 것이 불가능하다고 지적했다. 또한 "우리가 더 정확한 근사를 얻으려 할수록, 결과는 더욱 부정확한 곳으로 발산할 것이다."^[92]라며 근사해를 찾는 것 역시 효율적이지 않다고 언급했다.

푸앵카레는 컵커피 표면의 운동과 같이, "끊임없는 흐름이 있는 표면 위의 궤도"^[93]에 대한 문제를 연구했다. 그는 궤도를 포함하는 영역이 콤팩트 (즉, 닫혀있고 유계)하면, 궤도는 안정화되거나 극한주기에 접어든다는 것을 발견했다.^[94] 더 나아가, 영역이 원판과 같은 유형이라면 반드시 고정점이 존재하며, 이 고정점은 각 점의 원래 위치를 일정 시간 ''t'' 경과 후의 위치로 대응시키는 모든 함수에 대해 불변하다고 보았다. 그러나 영역이 원형 띠이거나 닫혀있지 않다면 이러한 결론은 성립하지 않는다.^[95]

이러한 미분방정식 연구는 "위치 해석"(analysis situs^프랑스어)이라는 새로운 수학 분야를 탄생시켰다. 푸앵카레가 이름 붙인 이 분야는 Encyclopædia Universalis^프랑스어에서 "대상의 연속적인, 찢김이 없는 변형 하에 불변인 성질을 다루는" 분야로 정의된다.^[96] 1886년, 푸앵카레는 브라우어르의 고정점 정리와 동치인 결과를 증명했지만,^[97] 당시에는 본문 주제와의 연관성이 뚜렷하지 않았다.^[98] 이후 그는 위치해석에 대한 이해를 돕는 기본군(푸앵카레 군)을 개발했으며,^[99] 이는 피논의(被論議) 정리의 간명한 증명에도 사용된다.

푸앵카레의 방법은 에밀 피카르의 방법(코시-립시츠 정리를 일반화)과 유사하며,^[100] 이는 후에 바나흐 고정점 정리로 공식화되었다.

6. 2. 최초의 증명

브라우어르 고정점 정리는 대수기하학의 초기 성과 중 하나이자 함수해석학에서 중요한 더 일반적인 고정점 정리들의 기초이다. ''n'' = 3의 경우는 1904년 피어스 볼에 의해 증명되었고(《Journal für die reine und angewandte Mathematik》에 출간됨),^[14] 그후 1909년 브라우어르가 증명하였다. 1910년 자크 아다마르가 일반적인 경우를 증명하였고,^[4] 같은 해 브라우어르는 다른 증명을 내놓았다.^[5] 이들 초기의 증명은 비구성적인 간접증명이라는 점에서, 브라우어르의 직관주의와는 반대된다. 현재는 브라우어르의 정리에 의해 보장되는 고정점(에 대한 근사)의 구성법이 알려져 있다.^[15]^[16]

20세기 초, 위치해석(Analysis Situs)에 대한 학계의 관심은 식지 않았다. 피어스 볼은 미분방정식 연구에 위상수학적 방법을 적용하여,^[29] 1904년 브라우어르 고정점 정리의 3차원 경우를 증명하였지만, 그의 발표는 주목받지 못했다.^[30]

브라우어르는 수리논리학과 위상수학에 관심을 가졌으며, 힐베르트의 다섯 번째 문제 해결을 시도하였다.^[31] 1909년, 파리에서 앙리 푸앵카레, 자크 아다마르, 에밀 보렐을 만나 유클리드 공간에 대한 이해의 중요성을 깨닫고 아다마르와 서신을 교환하며 연구에 전념하였다. 1912년 2차원 구에 대한 털난 공 정리와 2차원 구에서 자신으로의 연속함수가 고정점을 가진다는 사실을 증명하였다.^[32] 한스 프로이덴탈은 "브라우어르의 혁신적 방법과 비교했을 때, 아다마르의 방법은 매우 전통적이지만, 브라우어르의 생각들이 움트는 과정에 대한 그의 참여는 단순히 관중이라기보단 산파와 닮았다"라고 평했다.^[34]

1910년 브라우어르는 임의의 유한차원에 적용되는 증명,^[5] 차원의 불변성,^[35] 조르당 곡선 정리를 임의의 차원으로 일반화하고, 브라우어르 차수 관련 성질을 확립했다.^[36] 1930년대에 "위치해석"은 "대수적 위상수학"으로 이름이 바뀌었다.^[37]

6. 3. 평판

브라우어르 고정점 정리는 대수기하학의 초기 성과 중 하나이자 함수해석학에서 중요한 더 일반적인 고정점 정리들의 기초이다. 20세기에는 수많은 고정점 정리와 고정점 이론이라는 수학 분야가 탄생했는데, 브라우어르 정리는 이 중 가장 중요한 것으로 여겨진다.^[39] 위상다양체에 대한 기본정리 중 하나이며, 조르당 곡선 정리를 비롯한 중요한 결론의 증명에 사용된다.^[40]

축약 또는 그와 유사한 함수에 대한 고정점 정리 외에도 많은 정리들이 브라우어르 고정점 정리에서 직간접적으로 파생되었다. 닫힌 공에서 그 경계로 가는 연속함수는 경계에서 항등일 수 없다. 또한 보르수크-울람 정리에 따르면 ''n''차원 구에서 Rⁿ으로 가는 연속함수는 같은 곳으로 사영되는 한 쌍의 대척점을 가진다. 유한차원의 경우, 1926년 렙셰츠 고정점 정리가 고정점을 세는 방법을 제공하였다. 1930년에는 브라우어르 고정점 정리가 바나흐 공간으로 일반화되었고(샤우더 고정점 정리),^[41] 가쿠타니에 의해 다가함수로 확장되었다.^[42]

이 정리와 그 변형은 위상수학 외 다른 분야에서도 나타난다. 특정 미분방정식의 특정 평형점에서의 질적 행동을 묘사하는 하트먼-그로브먼 정리의 증명, 중심극한정리의 증명, 특정 편미분방정식의 해의 존재성에 대한 증명 등에서 사용된다.^[43]

게임 이론에서 존 내시는 이 정리를 사용하여 헥스 게임에서 흰색이 이기는 전략이 있음을 증명했다.^[44] 경제학에서 P. 비치는 이 정리의 특정 일반화가 게임 이론의 특정 고전적인 문제, 일반적으로 평형점(핫텔링의 법칙), 금융 평형 및 불완전 시장에 도움이 된다는 것을 설명한다.^[45]

7. 증명

브라우어르 고정점 정리는 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 예를 들어, 사상도를 이용한 증명, 호몰로지를 이용한 증명, 털난 공 정리를 이용한 증명, 스토크스 정리를 이용한 증명, 조합론적 증명 등이 있다.

7. 1. 사상도를 이용한 증명

브라우어르의 1911년 증명은 연속 사상의 차수라는 개념을 이용했는데, 이는 미분 위상수학에서 나온 아이디어이다.^[48]^[49]

K=\overline{B(0)}

을 원점을 중심으로 하는

\mathbb R^n

의 닫힌 단위 구라고 하자. 우선

f:K\to K

가 연속적으로 미분 가능하다고 가정한다.

f

의 정칙값은

f

의 역상의 모든 점에서

f

의 야코비 행렬이 비특이 행렬인 점

p\in B(0)

이다. 역함수 정리에 의해,

f

의 역상의 모든 점은

B(0)

(

K

의 내부)에 있다. 정칙값

p\in B(0)

에서

f

의 차수는

f

아래에서

p

의 역상에 대한

f

의 야코비 행렬식의 부호의 합으로 정의된다.

:

\operatorname{deg}_p(f) = \sum_{x\in f^{-1}(p)} \operatorname{sign}\,\det (df_x).

차수는 대략 ''p'' 주변의 작은 열린 집합 위에 놓인 역상 ''f''의 "시트"의 수와 같으며, 시트의 방향이 반대이면 반대로 계산된다. 따라서 차수는 회전수를 고차원으로 일반화한 것이다.

차수는 ''호모토피 불변성''을 만족한다. 즉,

f

와

g

가 연속적으로 미분 가능한 함수이고

0\le t\le 1

에 대해

H_t(x)=tf+(1-t)g

라고 하자. 점

p

가 모든 ''t''에 대해

H_t

의 정칙값이면

\deg_p f = \deg_p g

이다.

K

의 경계에 고정점이 없으면 함수

:

g(x)=\frac{x-f(x)}{\sup_{y\in K}\left|y-f(y)\right|}

는 잘 정의되며,

H(t,x) = \frac{x-tf(x)}{\sup_{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}

는 항등 함수에서

g

로의 호모토피를 정의한다. 항등 함수는 모든 점에서 차수가 1이므로, 특히 원점에서 차수가 1이고,

g

도 원점에서 차수가 1이다. 따라서 역상

g^{-1}(0)

은 비어 있지 않다.

g^{-1}(0)

의 원소는 원래 함수 ''f''의 고정점이다.

이 증명을 일반화하려면 추가 작업이 필요하다. 차수의 정의를 ''f''의 특이값으로 확장하고, 연속 함수로 확장해야 한다. 호몰로지 이론의 발전은 차수 구성을 단순화하여 표준 증명이 되었다.

7. 2. 호몰로지를 이용한 증명

경계가 ''n''-디스크 ''D''^''n''의 경계가 (''n'' − 1)-구 ''S''^''n''−1이라는 점을 이용한다.

귀류법을 사용하여, 연속 함수 ''f'' : ''D''^''n'' → ''D''^''n'' 가 고정점을 갖지 ''않는다''고 가정하고 모순을 보인다. ''D''^''n''의 모든 점 x에 대해, ''x''와 ''f''(''x'')는 다르다. 왜냐하면 ''f''가 고정점을 갖지 않는다는 것은 ''f''(''x'') ≠ ''x''를 의미하기 때문이다. 따라서 ''D''^''n''의 모든 점 x에 대해, ''f''(''x'')에서 ''x''로의 유일한 광선을 만들고 그 광선이 경계 ''S''^''n''−1과 교차할 때까지 따라갈 수 있다. 이 교차점을 ''F''(''x'')라고 정의한다 (그림 참조).

이렇게 정의된 함수 ''F'' : ''D''^''n'' → ''S''^''n''−1는 디스크의 각 점을 경계의 해당 교차점으로 보내는 함수이다. ''x'' 자체가 경계에 있을 때의 교차점 ''F''(''x'')는 ''x''가 된다.

결과적으로, ''F''는 retraction이라는 특수한 유형의 연속 함수이다. 즉, 공역(이 경우 ''S''^''n''−1)의 모든 점은 ''F''의 고정점이다.

직관적으로 ''D''^''n''을 ''S''^''n''−1로 retraction하는 것은 불가능해 보이며, ''n'' = 1인 경우 ''S''⁰ (즉, 닫힌 구간 ''D''¹의 끝점)은 연결되지도 않기 때문에 불가능하다는 것을 쉽게 알 수 있다. ''n'' = 2인 경우는 덜 명확하지만, 각 공간의 기본군을 이용해 증명할 수 있다. retraction은 ''D''²의 기본군에서 ''S''¹의 기본군으로 전사 군 준동형사상을 유도하지만, 후자의 군은 '''Z'''와 동형이고 전자의 군은 자명하므로 불가능하다.

''n'' > 2인 경우, retraction의 불가능성을 증명하는 것은 더 어렵다. 한 가지 방법은 호몰로지 군을 사용하는 것이다. 호몰로지 ''H''_''n''−1(''D''^''n'')은 자명하지만, ''H''_''n''−1(''S''^''n''−1)은 무한 순환군이다. 이는 retraction이 후자에서 전자로 단사 군 준동형사상을 유도하기 때문에 모순이 발생한다.

7. 3. 털난 공 정리를 이용한 증명

털 공 정리는 홀수 차원 유클리드 공간의 단위 구에서, 그 구 상의 어디에서도 사라지지 않는 연속적인 접선 벡터장이 존재하지 않는다는 정리이다. 이 정리는 "바람이 없는 곳이 지구상에 항상 존재한다"라는 말로 표현되기도 한다.^[50]

이제 털 공 정리의 연속 버전을 사용하여 브라우어르 고정점 정리를 증명할 수 있다. 먼저 n {\displaystyle n} 이 짝수라고 가정하고, n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 V {\displaystyle V} 의 닫힌 단위 공 B {\displaystyle B} 에 고정점이 없는 연속적인 자기 사상 f {\displaystyle \mathbf {f} } 가 있다고 가정하자. 이때, 다음과 같이 벡터 w ( x ) {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })} 를 정의한다.

w ( x ) = ( 1 − x ⋅ f ( x ) ) x − ( 1 − x ⋅ x ) f ( x ) . {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}

f {\displaystyle \mathbf {f} } 는 고정점이 없으므로, B {\displaystyle B} 의 내부에 있는 x {\displaystyle \mathbf {x} } 에 대해 벡터 w ( x ) {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })} 는 0이 아니고, S {\displaystyle S} 에 있는 x {\displaystyle \mathbf {x} } 에 대해 스칼라 곱 x {\displaystyle \mathbf {x} } ⋅ w ( x ) {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })} = 1 – x {\displaystyle \mathbf {x} } ⋅ f ( x ) {\displaystyle {\mathbf {f} }({\mathbf {x} })} 는 항상 양수이다.

이제 원래의 n {\displaystyle n} 차원 유클리드 공간 V {\displaystyle V} 에 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -차원 공간 W = V {\displaystyle W=V} x R {\displaystyle \mathbf {R} } 를 추가하고, 좌표 y = ( x , t ) {\displaystyle {\mathbf {y} }=({\mathbf {x} },t)} 를 정의한다. 그리고 다음과 같이 X {\displaystyle \mathbf {X} } 를 설정한다.

X ( x , t ) = ( − t w ( x ) , x ⋅ w ( x ) ) . {\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}

X {\displaystyle \mathbf {X} } 는 W {\displaystyle W} 의 단위 구에 대한 연속 벡터장이 되며, 접선 조건 y {\displaystyle \mathbf {y} } ⋅ X ( y ) {\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {y} })} = 0를 만족한다. 또한, X ( y ) {\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {y} })} 는 어디에서도 사라지지 않는다. 이는 x {\displaystyle \mathbf {x} } 의 노름이 1이면 x {\displaystyle \mathbf {x} } ⋅ w ( x ) {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })} 가 0이 아니고, x {\displaystyle \mathbf {x} } 의 노름이 1보다 작으면 t {\displaystyle t} 와 w ( x ) {\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })} 가 둘 다 0이 아니기 때문이다.

이러한 결과는 털 공 정리에 모순되므로, n {\displaystyle n} 이 짝수일 때 브라우어르 고정점 정리가 증명된다. n {\displaystyle n} 이 홀수인 경우에는, n + 1 {\displaystyle n+1} 차원 닫힌 단위 공 B {\displaystyle B} 와 사상 F ( x , y ) = ( f ( x ) , 0 ) {\displaystyle {\mathbf {F} }({\mathbf {x} },y)=({\mathbf {f} }({\mathbf {x} }),0)} 에 고정점 정리를 적용하여 증명할 수 있다.^[50]

7. 4. 스토크스 정리를 이용한 증명

공 ''B''에서 경계 ∂''B''로의 연속적 후퇴 ''F''가 존재하지 않음을 증명하는 것으로 귀결된다. 이 경우 ''F''는 바이어슈트라스 근사 정리를 사용하거나, 충분히 작은 지지 집합과 적분 1을 갖는 음이 아닌 매끄러운 범프 함수(즉, 몰리파이어)와 합성곱하여 근사할 수 있으므로 매끄럽다고 가정할 수 있다. ''ω''가 경계에 대한 부피 형식인 경우, 스토크스 정리에 의해 다음과 같은 모순이 발생한다.^[52]^[53]

:0 < ∫_∂Bω = ∫_∂BF^*(ω) = ∫_BdF^*(ω) = ∫_BF^*(dω) = ∫_BF^*(0) = 0

더 일반적으로, 이는 비어 있지 않은 매끄러운 유향 콤팩트 다양체 ''M''에서 경계로의 매끄러운 후퇴가 존재하지 않음을 보여준다. 스토크스 정리를 사용하는 증명은 호몰로지를 사용하는 증명과 밀접하게 관련되어 있는데, 왜냐하면 형식 ''ω''가 드람 코호몰로지 군 ''H''^''n''-1(∂''M'')을 생성하고, 이는 드람의 정리에 의해 호몰로지 군 ''H''_''n''-1(∂''M'')와 동형이기 때문이다.^[54]

7. 5. 조합론적 증명

스페르너의 보조정리를 사용해 브라우어르 고정점 정리를 증명할 수 있다. 증명 개요는 다음과 같다.

표준 ''n''-단순체

\Delta^n

에서 자신으로 가는 함수 ''f''를 생각한다. 여기서

:

\Delta^n = \left\{P\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\sum_{i = 0}^{n}{P_i} = 1 \text{ and } P_i \ge 0 \text{ for all } i\right\}.

모든 점

P\in \Delta^n

에 대해

f(P)\in \Delta^n

이므로, 좌표의 합은 같다.

:

\sum_{i = 0}^{n}{P_i} = 1 = \sum_{i = 0}^{n}{f(P)_i}

비둘기집 원리에 의해 모든

P\in \Delta^n

에 대해, ''f''에 의해 매핑된 이미지의

j

번째 좌표보다

P

의

j

번째 좌표가 크거나 같은 인덱스

j \in \{0, \ldots, n\}

가 존재한다.

:

P_j \geq f(P)_j.

P

가

\Delta^n

의 ''k''차원 부분 면에 놓여 있을 때도 같은 논리로, 0이 아닌 ''k'' + 1개의 좌표 중에서 인덱스

j

를 선택할 수 있다.

이제 이 사실을 이용해 스페르너 색칠을 구성한다.

\Delta^n

의 모든 삼각 분할에 대해, 모든 정점

P

의 색상은

f(P)_j \leq P_j

인 인덱스

j

이다.

이것은 스페르너 색칠의 조건을 만족한다. 따라서 스페르너의 보조정리에 의해, 사용 가능한 ''n'' + 1개의 모든 색상으로 색칠된 정점을 가진 ''n''차원 단순체가 존재한다.

''f''는 연속적이므로, 임의로 미세한 삼각 분할을 선택하여 이 단순체를 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 모든 좌표에서

f(P)_j \leq P_j

를 만족하는 점

P

가 존재한다.

P

와

f(P)

의 좌표의 합은 같아야 하므로, 이 모든 부등식은 실제로 등식이 되어야 한다. 즉,

:

f(P) = P.

따라서

P

는

f

의 고정점이다.

8. 일반화

브라우어르 고정점 정리는 여러 고정점 정리들의 출발점이 된다.

힐베르트 공간의 단위 공을 사용하는 무한 차원으로의 직접적인 일반화는 성립하지 않는다. 무한 차원 힐베르트 공간의 단위 공은 콤팩트하지 않기 때문이다. 예를 들어 ℓ²에서 ℓ²의 닫힌 단위 공에서 정의된 연속사상 ''f'' : ℓ² → ℓ²는 고정점을 갖지 않는다.

따라서 브라우어르 고정점 정리의 무한 차원 공간으로의 일반화는 어떤 종류의 콤팩트성 가정을 포함하며, 종종 볼록성의 가정을 포함하기도 한다. 이러한 정리들에 대한 논의는 무한 차원 공간에서의 고정점 정리를 참조한다.

더 넓은 부류의 공간으로의 유한 차원 일반화도 있다. $X$ 가 유한 개 사슬형 연속체의 곱이면, 모든 연속 함수 $f:X\rightarrow X$ 는 고정점을 갖는다.^[60] 여기서 사슬형 연속체는 콤팩트 하우스도르프 공간으로, 모든 열린 덮개가 유한한 열린 세분을 갖는다.

카쿠타니 고정점 정리는 브라우어르 고정점 정리를 다른 방향으로 일반화한다. 이 정리는 '''R'''^''n''에 머물지만, 상부 반연속 집합값 함수(집합의 각 점에 집합의 부분 집합을 할당하는 함수)를 고려한다. 또한 집합의 콤팩트성과 볼록성을 요구한다.

레프셰츠 고정점 정리는 (거의) 임의의 콤팩트 위상 공간에 적용되며, 특이 호몰로지의 관점에서 고정점의 존재를 보장하는 조건을 제시한다.

9. 동등한 결과

대수적 위상수학 변형, 조합론적 변형, 집합 덮개 변형과 같이 세 가지 동등한 변형으로 제공되는 여러 고정점 정리가 있다. 각 변형은 완전히 다른 주장을 사용하여 개별적으로 증명할 수 있지만, 각 변형은 행의 다른 변형으로 축소될 수도 있다. 또한, 맨 위 행의 각 결과는 동일한 열에서 그 아래에 있는 결과에서 추론될 수 있다.^[61]

대수적 위상수학	조합론	집합 덮개
브라우어르 고정점 정리	스퍼너의 보조정리	크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비츠 보조정리
보르수크-울람 정리	터커의 보조정리	루스테르니크-슈니렐만 정리

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