개복소다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 네이엔하위스 텐서
4. 심플렉틱 다양체 위의 개복소 구조
5. 예
6. 적분 가능성
- 6.1. 적분 가능성을 판별하는 동치 조건
7. 일반화된 개복소 구조
8. 역사
참조

1. 개요

개복소다양체는 매끄러운 다양체의 접다발 위에 정의된 개복소구조를 갖는 다양체이다. 개복소구조는 제곱하면 -1이 되는 벡터 다발 사상으로, 짝수 차원 다양체에서만 존재한다. 개복소다양체의 중요한 성질 중 하나는 네이엔하위스 텐서이며, 이 텐서가 0일 때 개복소구조는 적분 가능하다. 심플렉틱 다양체는 심플렉틱 형식과 양립하는 개복소 구조를 가지며, 이는 켈러 다양체로 이어진다. 모든 복소다양체는 개복소다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 개복소다양체는 일반화된 개복소 구조로 일반화될 수 있으며, 샤를 에레스만과 하인츠 호프에 의해 처음 도입되었다.

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개복소다양체
정의
설명	미분다양체 M의 각 점에서 정의된 접공간에 작용하는 선형 연산자 J로, J² = -I를 만족시키는 것을 말한다. 여기서 I는 항등 연산자이다. 이러한 구조는 다양체에 복소 구조를 부여하며, 복소 해석학 및 대수기하학에서 중요한 역할을 한다.
성질
존재 조건	짝수 차원 미분다양체만이 개복소 구조를 가질 수 있다.
텐서	개복소 구조는 텐서장으로 표현될 수 있으며, 이는 각 접공간에서 복소수 곱셈을 정의하는 역할을 한다.
관련 개념
복소다양체	개복소 구조가 적분 가능하면 복소다양체가 된다. 즉, 복소 좌표계를 사용하여 다양체를 기술할 수 있다.
켈러 다양체	개복소 구조와 리만 계량을 동시에 가지며, 특정 호환성 조건을 만족하는 다양체이다.
심플렉틱 다양체	닫힌 비퇴화 2-형식을 가지는 다양체로, 개복소 구조와 밀접한 관련이 있다.
예시
짝수 차원 유클리드 공간	R^(2n)은 자연스러운 개복소 구조를 가진다.
복소 사영 공간	CP^n은 켈러 다양체이며, 따라서 개복소 구조를 가진다.
6차원 구	S^6는 개복소 구조를 가질 가능성이 있지만, 적분 가능한 개복소 구조를 가지는지는 아직 알려지지 않았다.
응용
끈 이론	끈 이론에서 칼라비-야우 다양체는 초끈 이론의 해를 구하는 데 중요한 역할을 하며, 이는 개복소 구조를 일반화한 것이다.
게이지 이론	도널드슨 이론은 4차원 다양체의 미분 구조를 연구하는 데 사용되며, 개복소 구조와 관련된 개념을 활용한다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow M$ 위의 '''개복소구조'''는 벡터 다발 사상 $J \colon E\ to E$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

: $J^2 = -1 \colon E \to E$

개복소구조가 존재하려면 $E$ 는 짝수 차원이어야 한다.

'''개복소다양체''' $(M,J)$ 는 접다발 위에 개복소구조 $J$ 가 주어진 매끄러운 다양체이다.

다양체의 각 접공간에 대한 선형 복소 구조(즉, 제곱하면 -1이 되는 선형 맵) ''J''가 다양체 위에서 매끄럽게 변하면, 차수 (1, 1)의 매끄러운 텐서장 ''J''를 가지게 된다. 이는 벡터 다발 동형 사상 $J\colon TM\to TM$ 로 간주될 때 $J^2=-1$ 을 만족한다. 이러한 almost complex 구조를 갖춘 다양체를 '''almost complex 다양체'''라고 부른다.

만약 ''M''이 almost complex 구조를 허용한다면, 그것은 짝수 차원이어야 한다. ''M''이 ''n''차원이고, $J\colon TM\to TM$ 을 almost complex 구조라고 할 때, $J^2 = -1$ 이면, $(\det J)^2 = (-1)^n$ 이다. ''M''이 실수 다양체라면, $\det J$ 는 실수이므로 ''n''은 짝수여야 한다. 또한, 가향 가능해야 한다.

선형대수학을 통해 모든 짝수 차원 벡터 공간이 선형 복소 구조를 허용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 짝수 차원 다양체는 항상 (1, 1)-차수 텐서 점별 (각 접공간에서 선형 변환)을 허용하며, 각 점 ''p''에서 $J_p^2 = -1$ 을 만족한다. 이 국소 텐서가 전역적으로 정의되도록 연결될 수 있을 때만, 점별 선형 복소 구조는 almost complex 구조를 생성하며, 이는 고유하게 결정된다. 이 연결의 가능성, 즉 다양체 ''M''에 대한 almost complex 구조의 존재는 접다발의 구조군의 축소가 GL(2''n'', '''R''')에서 GL(''n'', '''C''')로 변환되는 것과 같다.

3. 성질

개복소다양체 위에서 정의되는 네이엔하위스 텐서는 개복소구조의 적분 가능성을 판별하는 중요한 도구이다.^[4]

네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(Albert Nijenhuis^nl)가 1951년에 도입한 '''네이엔하위스 텐서'''는 개복소다양체의 개복소구조의 적분가능성을 판단하는데 사용된다.

만약 ''M''이 almost complex 구조를 허용한다면, 짝수 차원이어야 한다. ''M''이 ''n''차원이고, $J\colon TM \to TM$ 을 almost complex 구조라고 가정하면, $J^2 = -1$ 이므로, $(\det J)^2 = (-1)^n$ 이다. ''M''이 실수 다양체라면, $\det J$ 는 실수이므로, ''M''이 almost complex 구조를 가지려면 ''n''은 짝수여야 한다. 또한, 가향 가능해야 한다.

선형대수학의 간단한 연습을 통해 모든 짝수 차원 벡터 공간이 선형 복소 구조를 허용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 짝수 차원 다양체는 항상 (1, 1)-차수 텐서를 각 접공간에서 선형 변환으로 허용하며, 각 점 ''p''에서 $J_p^2 = -1$ 을 만족한다. 이 국소 텐서가 전역적으로 정의되도록 연결될 수 있을 때만, 점별 선형 복소 구조는 almost complex 구조를 생성하며, 이는 고유하게 결정된다. 이 연결 가능성, 즉 다양체 ''M''에 대한 almost complex 구조의 존재는 접다발의 구조군의 축소가 $\text{GL}(2n, \mathbb{R})$ 에서 $\text{GL}(n, \mathbb{C})$ 로 변환되는 것과 같다.

벡터 공간 ''V''에 대한 복소 구조가 ''V''^'''C'''를 ''V''⁺와 ''V''⁻(각각 +''i''와 −''i''에 해당하는 ''J''의 고유 공간)로 분해할 수 있는 것처럼, ''M''에 대한 거의 복소 구조는 복소화된 접선 다발 ''TM''^'''C'''(각 점에서 복소화된 접선 공간의 벡터 다발)를 ''TM''⁺와 ''TM''⁻로 분해할 수 있다. ''TM''⁺의 단면은 (1, 0)형 벡터장이라고 하며, ''TM''⁻의 단면은 (0, 1)형 벡터장이다. 따라서 ''J''는 복소화된 접선 다발의 (1, 0)-벡터장에서는 ''i''를 곱하고, (0, 1)-벡터장에서는 −''i''를 곱하는 것에 해당한다.

미분 형식을 여 외부 거듭제곱의 코탄젠트 다발로 구성하는 것처럼, 복소화된 코탄젠트 다발(복소화된 접선 다발의 이중 공간의 다발과 표준적으로 동형)의 외부 거듭제곱을 구성할 수 있다. 거의 복소 구조는 각 ''r''-형식 공간의 분해를 유도한다.

: $\Omega^r(M)^\mathbf{C}=\bigoplus_{p+q=r} \Omega^{(p,q)}(M). \,$

즉, 각 Ω^''r''(''M'')^'''C'''는 ''r'' = ''p'' + ''q''를 만족하는 Ω^{(''p'',''q'')}(''M'')의 합으로 분해된다.

모든 직합과 마찬가지로 Ω^''r''(''M'')^'''C'''에서 Ω^{(''p'',''q'')}로의 표준 사영 π_''p'',''q''가 있다. 또한 Ω^''r''(''M'')^'''C'''를 Ω^''r''+1(''M'')^'''C'''로 매핑하는 외부 미분 ''d''도 있다. 따라서 거의 복소 구조를 사용하여 외부 미분의 작용을 명확한 유형의 형식으로 세분화할 수 있다.

: $\partial=\pi_{p+1,q}\circ d$

: $\overline{\partial}=\pi_{p,q+1}\circ d$

$\partial$ 는 유형의 정칙 부분을 1 증가시키는 맵이고(유형 (''p'', ''q'') 형식을 유형 (''p''+1, ''q'') 형식으로 변환), $\overline{\partial}$ 는 유형의 반정칙 부분을 1 증가시키는 맵이다. 이 연산자를 돌보 연산자라고 한다.

모든 사영의 합이 항등 사상이어야 하므로 외부 미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $d=\sum_{r+s=p+q+1} \pi_{r,s}\circ d=\partial + \overline{\partial} + \cdots .$

모든 복소다양체는 그 자체가 거의 복소다양체이다. 국소 정칙 좌표 $z^\mu = x^\mu + i y^\mu$ 에서 다음 사상을 정의할 수 있다.

: $J\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial y^\mu} = -\frac{\partial}{\partial x^\mu}$

(π/2의 반시계 방향 회전과 유사) 또는

: $J\frac{\partial}{\partial z^\mu} = i\frac{\partial}{\partial z^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu} = -i\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu}.$

이 사상이 거의 복소 구조를 정의함을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 다양체 위의 모든 복소 구조는 거의 복소 구조를 생성하며, 이는 복소 구조에 의해 '유도된다'고 말하고 복소 구조는 거의 복소 구조와 '호환된다'고 말한다.

거의 복소 구조가 복소 구조의 존재를 암시하는가에 대한 질문은 덜 자명하며 일반적으로 참이 아니다. 임의의 거의 복소다양체에서 주어진 점 ''p''에서 거의 복소 구조가 위의 정규 형식을 갖는 좌표를 항상 찾을 수 있다. 그러나 일반적으로 ''J''가 ''p''의 전체 근방에서 정규 형식을 갖는 좌표를 찾을 수 없다. 그러한 좌표가 존재한다면 'J에 대한 국소 정칙 좌표'라고 부른다. 만약 ''M''이 모든 점 주변에서 ''J''에 대한 국소 정칙 좌표를 허용한다면, 이들은 함께 'M'에 대한 정칙 아틀라스를 형성하여 복소 구조를 부여하며, 이는 더욱이 ''J''를 유도한다. 그러면 ''J''는 '적분 가능'하다고 말한다. 만약 ''J''가 복소 구조에 의해 유도된다면, 이는 고유한 복소 구조에 의해 유도된다.

Frölicher–Nijenhuis 괄호의 관점에서, 벡터장의 Lie 괄호를 일반화하는 Nijenhuis 텐서 ''N_A''는 [''A'', ''A'']의 절반일 뿐이다.

'''Newlander–Nirenberg 정리'''는 거의 복소 구조 ''J''가 적분 가능하려면 ''N_J'' = 0일 필요충분 조건이라고 명시한다. 호환되는 복소 구조는 위에서 논의했듯이 고유하다. 적분 가능한 거의 복소 구조의 존재는 복소 구조의 존재와 동등하므로, 이는 때때로 복소 구조의 정의로 간주된다.

Nijenhuis 텐서가 사라지는 것과 동등한 몇 가지 다른 기준이 있으며, 따라서 거의 복소 구조의 적분 가능성을 확인하는 방법을 제공한다.

두 개의 (1, 0)-벡터장의 Lie 괄호는 다시 (1, 0) 유형이다.
$d = \partial + \bar\partial$
$\bar\partial^2=0.$

이러한 조건 중 하나라도 고유한 호환 복소 구조의 존재를 의미한다.

3. 1. 네이엔하위스 텐서

개복소다양체

M

위의 임의의 벡터장

X,Y\in\Gamma(TM)

에 대하여, 네이엔하위스 텐서(Nijenhuis tensor^영어)

N_J \in \Omega^2(M;\mathrm TM)

는 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

N_J(X,Y) \equiv [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY] - [JX, JY]

이는 네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(Albert Nijenhuis^nl)가 1951년 도입하였다. 네이엔하위스 텐서가 0이라는 것은 개복소구조가 적분 가능하다는 것과 동치이다.

4. 심플렉틱 다양체 위의 개복소 구조

심플렉틱 다양체 (''M'', ω)에 대하여, 다음 조건을 만족하는 개복소 구조 ''J'': ''TM'' → ''TM''와 ''M''의 리만 계량 ''g''가 존재한다.

$g_{x}(X,Y) = \omega_{x}(X,JY), \quad X,Y \in T_{x}M,$
$g_{x}(JX,JY) = g_{x}(X,Y), \quad X,Y \in T_{x}M.$

이때, ''J''와 ''g''를 각각 심플렉틱 형식 ω와 '''양립하는''' 개복소 구조, 계량이라고 한다. 단, ω와 양립하는 개복소 구조는 유일하게 정해지지 않는다.

ω와 양립하는 개복소 구조 전체가 이루는 집합을 '''J'''(''M'', ω)라고 표기한다. '''J'''(''M'', ω)는 공집합이 아니며, 가축이다. 즉, '''J'''(''M'', ω) 내의 연속 곡선은 1점으로 연속 변형 가능하다. 이로부터, 제1천류 ''c''₁(''TM'', ''J'') ∈ ''H''²(''M'', '''Z''')가 개복소 구조 ''J'' ∈ '''J'''(''M'', ω)의 선택에 관계없이 정해진다. 여기서, ''H''²(''M'', '''Z''')는 ''M''의 정수 계수 2차 호몰로지류를 나타낸다.

심플렉틱 형식 ω의 기본 속성을 사용하면, 호환 가능한 개복소 구조 ''J''는 리만 계량 ω(''u'', ''Jv'')에 대한 개 켈러 다양체 구조임을 보일 수 있다. 또한, ''J''가 적분 가능하면 (''M'', ω, ''J'')는 켈러 다양체이다.^[3]

5. 예

모든 복소수 벡터 다발은 허수 $\mathrm i$ 에 대한 곱셈으로 정의되는 개복소구조를 가진다. 특히, 모든 복소다양체는 개복소다양체이며, 이 경우 네이엔하위스 텐서가 0이다. 그러나 복소다양체가 아닌 개복소다양체도 존재하며, 이 경우 네이엔하위스 텐서는 0이 아니다.

모든 정수 $n$ 에 대해 평탄 공간 $\mathbb{R}^{2n}$ 은 개복소구조를 가진다. 이러한 개복소구조의 예시는 다음과 같다. ( $1 \le i, j \le 2n$ ):

홀수 $i$ 에 대해 $J_{ij} = -\delta_{i,j-1}$
짝수 $i$ 에 대해 $J_{ij} = \delta_{i,j+1}$

개복소구조를 가질 수 있는 구는 S와 S뿐이다.^[2] S의 경우, 개복소구조는 리만 구의 복소구조에서 비롯된다. S은 단위 노름을 갖는 허수 팔원수의 집합으로 생각하면, 팔원수의 곱셈으로부터 개복소구조를 상속받는다. 이것이 복소구조를 갖는지에 대한 문제는 하인츠 호프프를 따라 '호프 문제'로 알려져 있다.^[2] 특히, S는 개복소구조를 가질 수 없다 (에레스만과 호프).

6. 적분 가능성

뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 개복소 구조의 적분 가능성은 네이엔하위스 텐서가 0이 되는 것과 동치이다. 개복소 구조의 적분 가능성은 복소 구조의 존재성과 동치이다.^[4]

개복소다양체 $M$ 위의 임의의 벡터장 $X,Y\in\Gamma(TM)$ 에 대하여, 다음 항등식을 통해 반대칭 (1,2)차 텐서장 $N_J \in \Omega^2(M;\mathrm TM)$ 를 정의할 수 있다.

: $N_J(X,Y) \equiv [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY] - [JX, JY] = 0$

이 $N_J$ 를 '''네이엔하위스 텐서'''(Nijenhuis tensor^영어)라고 하며, 네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(Albert Nijenhuis)가 1951년에 도입하였다.^[4]

만약 ''M''이 모든 점에서 ''J''에 대한 국소 정칙 좌표를 허용한다면, 이 좌표들은 ''M''에 대한 정칙 아틀라스를 형성하여 복소 구조를 부여하며, 이는 ''J''를 유도한다. 이때 ''J''는 적분 가능하다고 한다.

6. 1. 적분 가능성을 판별하는 동치 조건

두 개의 (1, 0)-벡터장의 리 괄호는 다시 (1, 0) 유형이다.
$d = \partial + \bar\partial$
$\bar\partial^2=0$

7. 일반화된 개복소 구조

나이젤 히친이 도입하고 그의 제자 마르코 구알티에리와 길 카발칸티가 연구한 일반화된 개복소 구조는 복소화된 접다발 ''TM''의 각 올에 대한 반 차원 부분 공간을 선택하는 일반적인 거의 복소 구조와 달리, 복소화된 접다발과 여접다발의 벡터 다발의 직합의 각 올에 대한 반 차원 등방적 부분 공간을 선택한다. 이때, 부분 다발과 그 복소 켤레의 직합은 원래 다발을 생성해야 한다.

일반화된 개복소 구조는 쿠랑 괄호에 대해 닫혀 있으면 일반화된 복소 구조로 적분된다. 또한, 이 반 차원 공간이 어디에서도 소멸하지 않는 순수 스피너의 소멸자라면, ''M''은 일반화된 칼라비-야우 다양체가 된다.^[1]

8. 역사

개복소다양체의 개념은 샤를 에레스만과 하인츠 호프가 1940년대에 도입하였다.

참조

_[1] 논문 On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds 1966-06
_[2] 논문 On the history of the Hopf problem
_[3] 문서
_[4] 저널

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