관계 (수학)

2. 정의

집합족 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$ 위의 관계는 곱집합의 부분 집합

:$\backslash textstyle\; R\backslash subseteq\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$

이다. 특히, 순서수 $\backslash alpha$에 대하여, 집합 $X$ 위의 '''$\backslash alpha$항 관계'''($\backslash alpha$-ary relation^영어)는 거듭제곱 집합의 부분 집합

:$R\backslash subseteq\; X^\{\backslash times\backslash alpha\}$

이다.

항수에 따른 관계의 종류는 하위 섹션을 참고한다.

집합 $X\_1,\; ...,\; X\_n$에 대한 ''n''-항 관계 ''R''은 데카르트 곱 $X\_1\; \backslash times\; ...\; \backslash times\; X\_n$의 부분 집합으로 주어진다.^[2]

기초 집합 $X\_1,\; ...,\; X\_n$을 전제로 하기 때문에, ''R''은 좀 더 형식적으로 ($n$ + 1)-튜플 $(X\_1,\; ...,\; X\_n,\; G)$로 정의될 수 있으며, 여기서 ''G''는 ''R''의 ''그래프''라고 불리며, 데카르트 곱 $X\_1\; \backslash times\; ...\; \backslash times\; X\_n$의 부분 집합이다.

수학에서 흔히 그렇듯이, 동일한 기호가 수학적 객체와 기초 집합을 지칭하는 데 사용되므로, 명제 $(x\_1,\; ...,\; x\_n)\; \backslash in\; R$은 종종 $(x\_1,\; ...,\; x\_n)\; \backslash in\; G$을 의미하며, "''x''₁, ..., ''x''_''n''은 ''R''-관계이다"라고 읽으며, 접두 표기법을 사용하여 $Rx\_1\; \backslash cdots\; x\_n$로, 후위 표기법을 사용하여 $x\_1\; \backslash cdots\; x\_n\; R$로 표시한다. ''R''이 이항 관계인 경우, 이러한 명제는 또한 중위 표기법을 사용하여 $x\_1\; R\; x\_2$로 표시된다.

다음 사항을 고려한다.

• 집합 $X\_i$는 ''R''의 $i$번째 ''정의역''이라고 한다.^[2] ''R''이 이항 관계인 경우, $X\_1$은 단순히 ''R''의 ''정의역'' 또는 ''출발 집합''이라고도 하며, $X\_2$는 ''R''의 ''공역'' 또는 ''도착 집합''이라고도 한다.
• $X\_i$의 원소가 관계인 경우, $X\_i$는 ''R''의 ''비단순 정의역''이라고 한다.^[2]
• 적어도 하나의 $(x\_1,\; ...,\; x\_n)$에 대해 $Rx\_1\; \backslash cdots\; x\_\{i-1\}\; x\_i\; x\_\{i+1\}\; \backslash cdots\; x\_n$인 $\backslash forall\; x\_i\; \backslash in\; X\_i$의 집합은 ''R''의 ''i''번째 ''정의역'' 또는 ''활성 정의역''이라고 한다.^[2] ''R''이 이항 관계인 경우, 그 첫 번째 정의역은 단순히 ''R''의 ''정의역'' 또는 ''활성 정의역''이라고도 하며, 그 두 번째 정의역은 ''공역'' 또는 ''활성 공역''이라고도 한다.
• ''R''의 $i$번째 정의역이 $X\_i$와 같은 경우, ''R''은 그 ''i''번째 정의역(또는 모호하지 않은 경우 $X\_i$)에서 ''전체''라고 한다. ''R''이 이항 관계인 경우, ''R''이 $X\_1$에서 전체이면, ''왼쪽 전체'' 또는 ''직렬''이라고도 하며, ''R''이 $X\_2$에서 전체이면, ''오른쪽 전체'' 또는 ''전사''라고도 한다.
• $\backslash forall\; x\; \backslash forall\; y\; \backslash in\; X\_i$, $\backslash forall\; z\; \backslash in\; X\_j$, $1\; =\; x\; R\_\{ij\}\; z$ ∧ $y\; R\_\{ij\}\; z\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; y$일 때, 여기서 $i\; \backslash in\; I$, $j\; \backslash in\; J$, $1\; =\; R\_\{ij\}\; =\; \backslash pi\_\{ij\}\; R$, 그리고 $\backslash \{I,\; J\backslash \}$는 $\backslash \{1,\; ...,\; n\backslash \}$의 분할이면, ''R''은 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; I\}$에서 ''유일''하다고 하며, $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\; \backslash in\; J\}$는 ''R''의 ''기본 키''^[2]라고 한다. ''R''이 이항 관계인 경우, ''R''이 $\backslash \{X\_1\backslash \}$에서 유일하면 ''왼쪽 유일'' 또는 ''단사''라고 하며, ''R''이 $\backslash \{X\_2\backslash \}$에서 유일하면 ''일가'' 또는 ''오른쪽 유일''이라고 한다.
• 모든 $X\_i$가 동일한 집합 $X$이면, ''R''을 ''X''에 대한 ''n''-항 관계, 즉 동차 관계라고 하는 것이 더 간단하다. 이러한 제약이 없으면, ''R''을 이종 관계라고 한다.
• $X\_i$ 중 하나라도 비어 있으면, 정의하는 데카르트 곱은 비어 있으며, 그러한 일련의 정의역에 대한 유일한 관계는 공 관계 $R\; =\; \backslash emptyset$이다.

2. 1. 항수에 따른 관계의 종류

• 집합 $X$ 위의 '''영항 관계'''(nullary relation^영어)는 $R\backslash subseteq\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$이다. 즉, $R=\backslash varnothing$ 또는 $R=\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$이다.
• 집합 $X$ 위의 '''단항 관계'''(unary relation^영어)는 $R\backslash subseteq\; X$이다.
• 집합 $X$ 위의 '''이항 관계'''(binary relation^영어)는 $R\backslash subseteq\; X\backslash times\; X$이다. 이 경우, $(x,y)\backslash in\; R$를 $xRy$와 같이 표기하기도 한다.
• 집합 $X$ 위의 '''삼항 관계'''(ternary relation^영어)는 $R\backslash subseteq\; X\backslash times\; X\backslash times\; X$이다.
• 집합 $X$ 위의 '''$n$항 관계'''(n-ary relation^영어)는 $R\backslash subseteq\; X^\{\backslash times\; n\}$이다. 이 경우, $(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash in\; R$를 $R(x\_1,\backslash dots,x\_n)$와 같이 표기하기도 한다.