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구면 삼각형

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목차

1. 개요

구면 삼각형은 구의 표면에서 세 개의 대원 호로 둘러싸인 도형을 말한다. 구면 삼각형의 정의, 성질, 공식, 그리고 응용 분야에 대해 다룬다. 구면 삼각형은 천문학, 측지학, 항법 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 구면 삼각법은 이러한 계산에 필수적이다. 구면 사인 법칙, 코사인 법칙, 네이피어 동류식, 델랑브르 동류식 등 구면 삼각형의 다양한 공식들을 소개하고, 직각 구면 삼각형과 사분원 삼각형과 같은 특수한 경우에 대한 내용도 포함한다. 또한, 구면 삼각형의 넓이와 구과량, 극삼각형, 그리고 반정현 함수를 활용한 거리 계산법 등도 설명한다.

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  • 구면삼각법 - 대원
    구면기하학에서 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선으로, 유클리드 공간의 직선에 대응하며, 서로 대극점이 아닌 두 점을 잇는 최단 거리인 대원 거리를 정의하고, 자오선이나 적도처럼 항해, 천문학 등 다양한 분야에서 응용된다.
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    구면기하학은 구 표면의 점을 점으로, 대원을 직선으로 취급하는 기하학으로, 유클리드 기하학과 달리 평행선이 없고 삼각형 내각의 합이 180도를 넘으며, 천문학, 지도 제작, 항해 등에 응용된다.
구면 삼각형
개요
분야구면기하학, 삼각법
관련 항목구면 삼각형, 쌍곡삼각법, 해법 (구면삼각법)
역사
기원고대
발전이슬람 수학
헬레니즘 수학
응용
천문학별의 위치 계산, 일주 운동 설명
지구과학지구 표면 모델링, 지리 좌표계 계산
항해항로 계산, 위치 결정
공학GPS, 위성 항법 시스템
주요 내용
기본 도형구면 삼각형
구면 삼각형 정의구면 위의 세 점을 대원으로 연결하여 만들어지는 도형
구면 삼각형 요소세 개의 각과 세 개의 변 (각은 대원의 호의 길이로 표현)
구면 삼각형 성질각의 크기는 0°와 180° 사이
변의 길이는 구의 반지름에 따라 달라짐
구면 삼각형 공식사인 법칙
코사인 법칙
탄젠트 법칙
구면 과잉구면 삼각형의 내각의 합에서 180°를 뺀 값
극 삼각형주어진 구면 삼각형의 각 꼭짓점에서 각각의 대변에 수직인 대원을 그려 얻어지는 삼각형
참고 사항
평면 삼각법과의 차이점구면에서는 직선 대신 대원을 사용
쌍곡삼각법과의 유사성구면삼각법은 쌍곡삼각법과 유사한 공식과 성질을 가짐
추가 정보
활용 분야천문학
지구과학
항해
측지학
공학
관련 서적Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry. MacMillan.
구텐베르크 프로젝트: 구면 삼각법 (영어)

2. 정의

구면 삼각형은 구면 위의 세 점을 잇는 대원호로 이루어진 도형이다. 구면 삼각형은 일반적인 삼각형과는 다른 특징들을 가진다.

세 개의 대원이 교차하며 만들어지는 8개의 구면 삼각형


구면 다각형은 구의 표면 위에 있는 다각형을 말한다. 평면 기하학에서 선분에 해당하는 구면 기하학의 대원의 원호가 구면 다각형의 변을 이룬다.

두 변을 가진 구면 다각형은 구면 월이라고 하며, 이각형 또는 쌍각이라고도 불린다. 예를 들어 오렌지 조각의 굽은 표면이 이에 해당한다. 세 개의 호로 정의되는 구면 삼각형은 이 문서에서 주로 다루는 내용이다. 네 변으로 이루어진 구면 사각형, 다섯 변으로 이루어진 구면 오각형 등 변의 수가 더 많은 다각형도 유사하게 정의할 수 있다. 평면 다각형과 마찬가지로, 3개 이상의 변을 가진 구면 다각형은 항상 구면 삼각형으로 분할하여 생각할 수 있다.

흥미로운 성질을 가진 구면 다각형 중 하나는 오각별인데, 이는 모든 꼭짓점에서 직각을 이루는 5변의 구면 별 다각형이다.

2. 1. 볼록 구면 다각형

원점을 중심으로 하며, 반지름이 1인 (2차원) 구 \mathbb S^2\subseteq\mathbb R^3의 '''볼록 구면 다각형'''(-球面多角形, convex spherical polygon영어)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 P\subseteq\mathbb S^2이다.[24]

  • P는 \mathbb S^2의 반구 H_1,\dots,H_n\subseteq\mathbb S^2의 유한 교집합 \textstyle P=\bigcap_{k=1}^nH_k으로 나타낼 수 있다.
  • \operatorname{int}P\ne\varnothing. 즉, P는 내부점을 가진다.
  • P\cap(-P)=\varnothing. 즉, P는 대척점쌍을 포함하지 않는다.

각 반구 H_k에 대응하는 \mathbb R^3의 반공간 \widehat{H_k}들의 교집합 \textstyle\widehat P=\bigcap_{k=1}^n\widehat{H_k}은 볼록추를 이루는데, 이 \widehat P의 모서리와 \mathbb S^2의 교점을 P의 '''꼭짓점'''(-點, vertex영어)이라고 하며, \widehat P의 면과 \mathbb S^2의 교선을 P의 '''변'''(邊, edge영어)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 P를 '''(볼록) 구면 삼각형'''((-)球面三角形, (convex) spherical triangle영어)이라고 한다.

2. 2. 꼭짓점, 변, 각

\mathbb S^2\subseteq\mathbb R^3를 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 구라고 하자. 이때, 볼록 구면 다각형 P\subseteq\mathbb S^2의 꼭짓점은 P를 정의하는 볼록추의 모서리와 \mathbb S^2의 교점이며, P의 변은 이 볼록추의 면과 \mathbb S^2의 교선이다.[24] 꼭짓점이 3개인 경우 P를 구면 삼각형이라고 한다.

구면 삼각형의 꼭짓점과 꼭짓점에서의 각은 보통 같은 대문자 ''A'', ''B'', ''C''로 표시한다. 변은 소문자 ''a'', ''b'', ''c''로 표시한다. 구의 반지름은 1로 간주되므로, 변의 길이와 소문자 각은 같다( 호의 길이 참조). 각 ''A''(각각 ''B'' 및 ''C'')는 꼭짓점 ''A''에서 구와 교차하는 두 평면 사이의 각도로 간주될 수 있다. 또는 꼭짓점에서 만나는 대원 호의 접선 사이의 각도로도 볼 수 있다. 각은 라디안으로 표현된다.

2. 3. 구면 삼각형의 조건

구 \mathbb S^2 위의 세 점 A, B, C \in \mathbb S^2에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • A, B, C \in \mathbb S^2는 구면 삼각형을 이룬다.
  • \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} \in \mathbb R^3은 \mathbb R-선형 독립이다.

3. 성질

구면 삼각형의 성질에 대해 설명한다.

구면 삼각형 \(ABC\)에서 변의 길이 \(a, b, c\)는 두 꼭짓점 사이 대원호의 길이로, 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.[1] 각의 크기 \(A, B, C\)는 한 꼭짓점에서 다른 두 꼭짓점으로 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의된다.[1]

단위 구에서의 기본적인 삼각형

  • 삼각형의 꼭짓점과 꼭짓점에서의 각은 같은 대문자 \(A\), \(B\), \(C\)로 표시한다.
  • 변은 소문자 \(a\), \(b\), \(c\)로 표시한다. 구의 반지름은 1이므로 변의 길이와 소문자 각은 같다(호의 길이 참조).
  • 각과 변은 라디안으로 표현된다.


구면 삼각형 ''ABC''의 극 삼각형 ''A'B'C''


\(A'\)는 \(BC\) 대원의 두 극 중 \(A\)와 같은 쪽에 있는 점, \(B'\)는 \(CA\) 대원의 두 극 중 \(B\)와 같은 쪽에 있는 점, \(C'\)는 \(AB\) 대원의 두 극 중 \(C\)와 같은 쪽에 있는 점일 때, \(A'B'C'\)를 \(ABC\)의 '''극삼각형'''이라 한다.

원래 삼각형과 극삼각형의 변과 각 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.[1][21]

원래 삼각형 (\(ABC\))극삼각형 (\(ABC'\))
\(a\)\(A' = \pi - a\)
\(b\)\(B' = \pi - b\)
\(c\)\(C' = \pi - c\)
\(A\)\(a' = \pi - A\)
\(B\)\(b' = \pi - B\)
\(C\)\(c' = \pi - C\)



이 관계를 통해 구면 삼각형의 법칙은 각 요소를 마주보는 요소의 보각으로 바꿔도 성립한다는 '''쌍대 원리'''를 확인할 수 있다.[22]

구면 삼각형에서도 사인 법칙과 코사인 법칙이 성립하며, 평면삼각형의 사인 법칙 및 코사인 법칙과는 형태가 다르다.


  • 사인 법칙

:\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}[1]

  • 제1 코사인 법칙

:\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A

:\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B

:\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C[1]

  • 제2 코사인 법칙 (극삼각형에 제1 법칙 적용)

:\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a

:\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b

:\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c[1]

  • 사인-코사인 법칙


:

  • 탄젠트 법칙


:

  • 코탄젠트 법칙


:

3. 1. 변의 길이와 각의 크기

구면 삼각형 ABC의 변의 길이 a, b, c는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.[1]

구면 삼각형 ABC의 각의 크기 A, B, C는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.[1]

  • 삼각형의 꼭짓점과 꼭짓점에서의 각은 동일한 대문자 A, B, C로 표시된다.
  • 변은 소문자 a, b, c로 표시된다. 구의 반지름은 1이므로 변의 길이와 소문자 각은 같다(호의 길이 참조).
  • ''각'' A(각각 B 및 C)는 ''꼭짓점'' A에서 구와 교차하는 두 평면 사이의 각도로 간주될 수 있거나, 이와 동등하게, 꼭짓점에서 만나는 대원 호의 접선 사이의 각도로 간주될 수 있다.
  • 각은 라디안으로 표현된다. '정상적인' 구면 삼각형의 각은 (관례적으로) \pi보다 작다.[1]
  • 변도 라디안으로 표현된다. 변(대원 호로 간주)은 중심에서 그 변이 이루는 각으로 측정된다. 단위 구에서 이 라디안 척도는 호의 길이와 수치적으로 같다. 관례적으로, '정상적인' 구면 삼각형의 변은 \pi보다 작다.[1]
  • 구의 반지름은 1로 간주된다. 반지름 R인 구에 대한 특정 실제 문제의 경우, 아래에 주어진 항등식을 사용하기 전에 측정한 변의 길이를 R로 나누어야 한다. 마찬가지로, 단위 구에 대한 계산 후 변 a, b, c는 R과 곱해야 한다.

3. 2. 극삼각형



구면 삼각형 ABC가 주어졌을 때, A'는 BC의 대원의 두 극 가운데 A와 같은 쪽에 있는 점이다. B'는 CA의 대원의 두 극 가운데 B와 같은 쪽에 있는 점이며, C'는 AB의 대원의 두 극 가운데 C와 같은 쪽에 있는 점이다. 이때, A'B'C'를 ABC의 '''극삼각형'''이라고 한다.

극삼각형의 극삼각형은 원래 삼각형과 같다. 구면 삼각형 ABC의 극삼각형이 A'B'C'라고 할 때, B', C'가 각각 변 AC, AB의 극이므로, AB', AC'는 모두 4분원호이다. 따라서 A는 변 B'C'의 극이다. 또한 A, A'가 BC의 같은 쪽에 있으므로, AA'는 4분원호보다 작으며, 따라서 A, A'는 B'C'의 같은 쪽에 있다.

원래 삼각형과 극삼각형의 변과 각 사이에는 다음과 같은 상보적인 관계가 있다.[1][21]

원래 삼각형 (ABC)극삼각형 (ABC')
aA' = \pi - a
bB' = \pi - b
cC' = \pi - c
Aa' = \pi - A
Bb' = \pi - B
Cc' = \pi - C



이러한 관계를 통해, 구면 삼각형의 법칙은 각각의 요소를 마주보는 요소의 보각으로 바꿔도 성립한다는 '''쌍대 원리'''를 확인할 수 있다.[22]

3. 3. 사인 법칙과 코사인 법칙

구면 삼각형에서도 사인 법칙과 코사인 법칙이 성립하며, 평면삼각형의 사인 법칙 및 코사인 법칙과는 형태가 다르다.

구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.

:\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}[1]

구면 삼각형 ABC에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.

:\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A

:\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B

:\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C[1]

구면 삼각형 ABC에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 다음과 같다.

:\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a

:\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b

:\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c[1]

코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 다음과 같은 항등식을 증명할 수 있다.

:\cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C

:\cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C

:\cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A

:\cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A

:\cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B

:\cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B

3. 4. 기타 항등식

삼각형의 여섯 부분은 순환적인 순서로 (aCbAcB)로 쓸 수 있다. 코탄젠트, 즉 4부분 공식은 삼각형 주위에 4개의 "연속적인" 부분을 형성하는 두 변과 두 각을 관련시키는데, 예를 들어 (aCbA) 또는 (BaCb)이다. 이러한 집합에는 내부와 외부 부분이 있는데, 예를 들어 집합 (BaCb)에서 내부 각은 C, 내부 변은 a, 외부 각은 B, 외부 변은 b이다. 코탄젠트 규칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.[1]

:

그리고 가능한 6개의 방정식은 다음과 같다(오른쪽에 관련 집합 표시):

:

첫 번째 공식을 증명하기 위해 첫 번째 코사인 규칙에서 시작하여 세 번째 코사인 규칙에서 cos ''c'' 를 대입한다.

:

결과는 sin ''a'' sin ''b'' 로 나누어 얻는다. 다른 두 코사인 규칙과 유사한 기술을 통해 CT3 및 CT5를 얻는다. 다른 세 방정식은 극삼각형에 규칙 1, 3 및 5를 적용하여 얻는다.

ABC를 구면 삼각형으로 하고 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c라고 한다. 호 AB를 포함하는 대원이 놓이는 평면과 호 AC를 포함하는 대원이 놓이는 평면이 이루는 각을 A라고 한다. 이것은 점 A에서의 두 대원의 접벡터가 이루는 각이라고도 할 수 있다. 단, a와 일치한다고는 할 수 없다. 마찬가지로 B, C도 정의한다.

이때, 다음 식이 성립한다.

  • 구면 삼각법의 코사인 법칙


:

  • 구면 삼각법의 사인 법칙


:

  • 사인-코사인 법칙


:

  • 구면 삼각법의 탄젠트 법칙


:

  • 구면 삼각법의 코탄젠트 법칙


:

  • 면적 (구면의 반지름 , 구면 과잉 (Spherical Excess) , )
  • 구면 삼각형 ABC의 면적

:

:

:

  • 제1식을 지라르의 식, 제2식을 뤼이리에의 식, 제3식을 카뇨리의 식, 제4식을 오일러의 식이라고 한다.

3. 4. 1. 반각과 반변 공식

구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

:\sin\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}

:\cos\frac A2=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}

:\tan\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}

:\sin\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}

:\cos\frac a2=\sqrt{\frac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}

:\tan\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}

여기서 2S=A+B+C이다.

위 식들을 정리하면 다음과 같다.

:

\begin{alignat}{5}

\sin{\tfrac{1}{2}}A &= \sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}

&\qquad\qquad

\sin{\tfrac{1}{2}}a &= \sqrt{\frac{-\cos S\cos (S-A)}{\sin B\sin C}} \\[2ex]

\cos{\tfrac{1}{2}}A &= \sqrt{\frac{\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}

& \cos{\tfrac{1}{2}}a &= \sqrt{\frac{\cos (S-B)\cos (S-C)}{\sin B\sin C}} \\[2ex]

\tan{\tfrac{1}{2}}A &= \sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}

& \tan{\tfrac{1}{2}}a &= \sqrt{\frac{-\cos S\cos (S-A)}{\cos (S-B)\cos(S-C)}}

\end{alignat}



여기서,

  • 2s = a + b + c (삼각형 둘레의 절반)
  • 2S = A + B + C (삼각형 각의 합의 절반)


첫 번째 공식은 2\sin^2\!\tfrac{A}{2} = 1 - \cos A 항등식에서 시작하여 코사인 법칙을 사용하여 변의 관점에서 A를 표현하고 두 코사인의 합을 곱으로 대체한다. (곱에서 합, 합에서 곱으로 변환하는 공식 참조). 두 번째 공식은 2\cos^2\!\tfrac{A}{2} = 1 + \cos A 항등식에서 시작하며, 세 번째는 몫이고, 나머지는 극 삼각형에 결과를 적용하여 얻는다.

이 공식들은 순환 치환을 통해 다른 각과 변에 대한 12개의 항등식으로 확장될 수 있다.

3. 4. 2. 네이피어 동류식

다음과 같은 4개의 항등식을 '''네이피어 동류식'''(-同類式, Napier's analogies영어)이라고 한다.

:\tan\frac{A+B}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac{a+b}2}\cot\frac C2

:\tan\frac{A-B}2=\frac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac{a+b}2}\cot\frac C2

:\tan\frac{a+b}2=\frac{\cos\frac{A-B}2}{\cos\frac{A+B}2}\tan\frac c2

:\tan\frac{a-b}2=\frac{\sin\frac{A-B}2}{\sin\frac{A+B}2}\tan\frac c2

이 식들은 반각과 반변의 삼각 함수를 이용하여 구면삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타낸다. 순환 치환을 통해 다른 8개의 항등식도 유도할 수 있다.

이 항등식은 델랑브르 공식의 나눗셈을 통해 유도된다.[1] 이 항등식들의 몫을 취하면 탄젠트 법칙이 나오는데, 이는 페르시아 수학자 나시르 알딘 알투시(1201–1274)가 처음으로 언급하였다.

3. 4. 3. 들랑브르 동류식 (가우스 정리)

'''들랑브르 동류식'''(-同類式, Delambre's analogies영어) 또는 '''가우스 정리'''(-定理, Gauss's theorems영어)는 반각과 반변의 삼각 함수를 이용하여 구면 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타내는 4개의 항등식이다.[7] 1807~1809년에 드 랑브르, 가우스, 몰바이데에 의해 독립적으로 발표되었다.

:\cos\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a+b}2\sin\frac C2

:\cos\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a+b}2\sin\frac C2

:\sin\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a-b}2\cos\frac C2

:\sin\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a-b}2\cos\frac C2

위 식은 아래와 같이 표현할 수도 있다.

:\begin{align}

\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(A+B)}

{\cos{\tfrac{1}{2}}C}

=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(a-b)}

{\cos{\tfrac{1}{2}}c}

&\qquad\qquad

&

\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(A-B)}

{\cos{\tfrac{1}{2}}C}

=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(a-b)}

{\sin{\tfrac{1}{2}}c}

\\[2ex]

\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(A+B)}

{\sin{\tfrac{1}{2}}C}

=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(a+b)}

{\cos{\tfrac{1}{2}}c}

&\qquad

&

\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(A-B)}

{\sin{\tfrac{1}{2}}C}

=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(a+b)}

{\sin{\tfrac{1}{2}}c}

\end{align}

순환 치환에 의해 다른 8개의 항등식이 도출된다. 분자를 전개하고 반각 공식을 사용하여 증명되었다.[1] [8]

3. 5. 넓이와 구과량

구면 다각형 \(A_1A_2\cdots A_n\)의 구과량(球過量, spherical excess영어) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 모든 내각의 합에서 \((n-2)\pi\)를 뺀 값이다. 구면 삼각형 \(ABC\)의 경우, 구과량 \(E\)는 \(A+B+C-\pi\)로 나타낸다.

구면 다각형의 넓이는 구과량과 같으며, 이는 \(\operatorname{area}(P)=E=\sum_{k=1}^nA_k-(n-2)\pi\)로 표현된다. 특히 구면 삼각형의 넓이는 \(E = A + B + C - \pi\)이며, 내각의 합은 항상 180도보다 크다.[1]

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 구면 삼각형으로 나눌 수 있으므로, 구면 삼각형에 대해 증명하면 충분하다. 변 \(a\)가 놓인 대원호를 경계로 하고, 점 \(A\)를 포함하는 반구를 생각하면, 이 반구는 네 구역으로 나뉜다.

  • 구면 삼각형 \(ABC\)
  • 각 \(B\)만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 \(ABC\)를 제외한 부분
  • 각 \(C\)만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 \(ABC\)를 제외한 부분
  • 각 \(A\)만큼 벌어진 구면 이각형에서 \(A, B, C\)의 대척점 \(-A, -B, -C\)가 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분


구의 넓이가 \(4\pi\)이고, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 \(-A, -B, -C\)의 넓이가 \(ABC\)와 같다는 점을 이용하면, 반구의 넓이를 두 가지 방법으로 나타낼 수 있다.

:\(\begin{align}2\pi

&=\operatorname{area}(T)+(2A-\operatorname{area}(-T))+(2B-\operatorname{area}(T))+(2C-\operatorname{area}(T))\\

&=2A+2B+2C-2\operatorname{area}(T)\end{align}\)

이 식을 정리하면 구면 삼각형의 넓이 공식을 얻을 수 있다.

시몽 륄리에는 반변의 길이를 이용하여 구과량을 계산하는 공식을 제시했다.[1]

:\(\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}2\tan\frac{s-b}2\tan\frac{s-c}2}\)

여기서 \(2s=a+b+c\)이다.

알베르 지라르의 정리에 따르면, 각 \(A, B, C\)를 갖는 구면 삼각형의 넓이는 다음과 같이 표현된다.[13]

:\(E = A+B+C -\pi.\)

여기서 \(E\)는 각의 합이 \(\pi\) 라디안을 초과하는 양으로, 삼각형의 구면 과잉이다.

지구와 같이 측지 측량의 삼각형은 일반적으로 매우 작은 구면 과잉을 갖는다.[14] 예를 들어, 변이 21.3km (면적 393km2)인 정삼각형의 과잉은 약 1초의 아크이다.

4. 응용

구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다.

4. 1. 위도와 경도

구면 사변형은 적도, 경도 \lambda_1 및 \lambda_2의 두 자오선, 경도 및 위도가 (\lambda_1, \varphi_1) 및 (\lambda_2, \varphi_2)인 두 점 사이의 대원 호로 경계가 정해진다. 이 사변형의 구면 과잉은 다음과 같다.



\tan\tfrac12 E_4

= \frac {\sin\tfrac12(\varphi_2 + \varphi_1)}{\cos\tfrac12(\varphi_2 - \varphi_1)}

\tan\tfrac12(\lambda_2 - \lambda_1).



이 결과는 네이피어의 유사성 중 하나에서 얻을 수 있다. \varphi_1, \varphi_2, \lambda_2 - \lambda_1가 모두 작은 극한의 경우, 이는 친숙한 사다리꼴 면적 E_4 \approx \frac12 (\varphi_2 + \varphi_1) (\lambda_2 - \lambda_1)로 축소된다.

다각형의 면적은 위 유형의 개별 사변형, 다각형의 세그먼트와 두 자오선으로 경계가 정해지는 개별 삼각형에서 (유사하게) 계산할 수 있다. 그린 정리를 이용한 선적분을 통해 계산하거나,[16] GIS에서 일반적으로 수행되는 등면적 투영법을 통해 계산할 수 있다. 다른 알고리즘은 대원 거리 공식을 사용하여 계산된 변의 길이로도 사용할 수 있다.

5. 역사

구면 삼각법은 고대 그리스 수학에서 기원하였으며, 중세 이슬람 수학에서 크게 발전하였다. 이는 중세 이슬람의 삼각법과 중세 이슬람의 수학의 역사에서 논의된 바 있다.[25] 존 네이피어, 장 밥티스트 조제프 델람브레 등은 구면 삼각법 발전에 중요한 기여를 하였다. 19세기 말 토드헌터가 저술한 전문 서적인 "대학 및 학생을 위한 구면 삼각법" 출판으로 구면 삼각법은 본질적으로 완전한 형태를 갖추게 되었다.[25] 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트에서 찾아볼 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리 도출을 위한 벡터 방법의 적용과 복잡한 계산을 수행하기 위한 컴퓨터 사용이 있어왔다.

6. 직각 구면 삼각형

구면 삼각형의 한 각, 예를 들어 가 직각()일 때, 여러 항등식이 상당히 단순화된다. 집합 , , , , 에서 선택된 세 개의 요소와 관련된 10개의 항등식이 있다.[9]

존 네이피어는 10개의 독립적인 방정식을 위한 기억 보조 도구를 제공했는데, 이를 네이피어의 원 또는 네이피어의 오각형이라고 부른다.

네이피어의 원


네이피어의 원을 만드는 방법은 다음과 같다. 먼저, 삼각형의 여섯 부분(세 개의 꼭짓점 각, 세 개의 변에 대한 호 각)을 삼각형의 임의의 순환 주변에서 발생하는 순서대로 쓴다. 예를 들어, 에서 시작하여 시계 방향으로 이동하면 가 된다. 다음으로 에 인접하지 않은 부분(즉, , , )을 보수로 대체한 다음 목록에서 각 를 삭제한다. 나머지 부분은 그림과 같이 오각형 또는 원의 5개의 정렬된 동일한 조각으로 그릴 수 있다.

여기서 세 개의 인접한 부분을 선택하면, 하나(''가운데'' 부분)는 두 부분에 인접하고 다른 두 부분의 반대편에 있다. 10개의 네이피어 규칙은 다음과 같다.

  • 중간 부분의 사인 = 인접 부분의 탄젠트의 곱
  • 중간 부분의 사인 = 반대 부분의 코사인의 곱


이때, 중간 부분에는 사인을, 인접 부분에는 탄젠트를, 반대 부분에는 코사인을 사용한다. 예를 들어, 를 포함하는 부분부터 시작하면 다음과 같다.

:

직각 구면 삼각형에 대한 규칙의 전체 집합은 다음과 같다.[1]



천문학이나 항해술에서는 한 각이 직각인 경우가 많아 위 공식들이 유용하게 활용된다.[19]

7. 사분원 삼각형

네이피어의 기억술에 사용하기 위한 사분 구면 삼각형과 네이피어의 원


사분원 삼각형은 구의 중심에서 한 변이 π|파이영어/2 라디안의 각도를 이루는 구면 삼각형으로 정의된다. 단위 구에서 변의 길이는 π|파이영어/2이다. 단위 구에서 변 ''c''의 길이가 π|파이영어/2인 경우, 나머지 변과 각도를 결정하는 방정식은 이전 절의 직각 구면 삼각형에 대한 규칙을 극 삼각형에 적용하여 얻을 수 있다. 여기서 변 ''a', b', c' ''는, , 등과 같다. [20]

사분원 삼각형의 경우, 네이피어의 원에 π|파이영어 - ''A'', ''B'', ''a'', π|파이영어 - ''C'', ''b'' 를 대입하면 된다.

8. 쌍대 원리

]

일반적으로, 대원의 평면에 수직인 지름의 양 끝을 그 대원의 극이라고 한다. 오른쪽 그림에서 구면 삼각형 ABC의 한 변 BC를 생각하면, 그것에는 두 개의 극이 있지만, 그 중 변 BC에서 볼 때 A와 같은 쪽에 있는 쪽을 A'라고 한다. 마찬가지로 변 CA, AB에 대해서도 극 B', C'를 정할 수 있다. 이와 같이 얻어진 세 점 A', B', C'를 연결하여 새로운 하나의 구면 삼각형 A'B'C'가 얻어진다. 이것을 원래의 구면 삼각형 ABC의 '''극 삼각형'''이라고 한다.

구면 삼각형 A'B'C'가 구면 삼각형 ABC의 극 삼각형이라면, 반대로 구면 삼각형 ABC는 구면 삼각형 A'B'C'의 극 삼각형이다. 또한, 구면 삼각형 A'B'C'가 구면 삼각형 ABC의 극 삼각형이라고 하고, 그 세 변, 삼각을 각각 a', b', c', A', B', C'로 나타내면, a, b, c, A, B, C 사이에는 다음과 같은 관계가 있다[21]:

A'B'C'
식`A' = π - a``B' = π - b``C' = π - c`
a'b'c'
식`a' = π - A``b' = π - B``c' = π - C`



위의 내용을 정리하면, 구면 삼각형의 법칙은 각각의 요소의 마주보는 요소의 보각으로 바꿔도 성립한다. 이것을 '''쌍대 원리'''라고 한다[22]。

구체적인 예를 들면,`cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A` 에서 `cos(π-A) = cos(π-B) cos(π-C) + sin(π-B) sin(π-C) cos (π-a)` 즉, `cos A = -cos Bcos C + sin Bsin Ccos a`가 성립한다.

9. 반정현 함수 (haversine)

반정현 함수(\operatorname{hav})는 항상 양수 값을 가지는 우함수이다.

:\operatorname{hav}x\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \frac{1}{2}(1-\cos x) = \sin^2\frac{x}{2}

반정현 함수의 공식은 구면 삼각법의 코사인 정리를 통해 유도할 수 있다.[23]

:\operatorname{hav}a\ = \operatorname{hav}(b-c) + \sin b \sin c\ \operatorname{hav}A

이는 항해용으로, 구면상의 두 점 사이의 구면을 따라가는 거리를 구할 때 사용되었다. 앞서 언급한 코사인 정리로도 구할 수 있지만, 두 지점 사이가 가까울 때(예: 경도 차이가 0에 가까울 때) \cos x = 0.99999999와 같은 값을 사용하게 되어 계산하기 어려우므로 이 공식을 사용했다.

이 공식을 사용하면, 구의 두 점의 위도가 \varphi_1, \varphi_2이고, 경도가 \lambda_1, \lambda_2일 때, 두 점 사이의 호도 \theta 와의 관계식은 다음과 같다.

:\operatorname{hav}\theta = \operatorname{hav}(\varphi_2 - \varphi_1) + \cos\varphi_2 \cos\varphi_1 \operatorname{hav}(\lambda_2 - \lambda_1)

여기서 구한 \theta에 지구 반지름 약 6371km를 곱하면, 지구 상에서의 대략적인 거리를 알 수 있다.

참조

[1] 서적 Spherical Trigonometry http://www.gutenberg[...] MacMillan 2013-07-28
[2] 서적 Geodesy https://archive.org/[...] Clarendon Press
[3] 서적 Text-Book on Spherical Astronomy https://archive.org/[...] Cambridge University Press
[4] 웹사이트 Spherical Trigonometry 2018-04-08
[5] 간행물 Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors https://www.research[...] Mathematical Association of America 2016-01-10
[6] 서적 A Treatise on Plane and Spherical Trigonometry https://books.google[...] J.B. Lippincott Company
[7] 학술지 Note on the history of certain formulæ in spherical trigonometry
[8] 서적 Connaissance des Tems 1809 https://books.google[...] 2016-05-14
[9] 서적 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio https://books.google[...] 2016-05-14
[10] 서적 A Treatise on Plane and Spherical Trigonometry https://books.google[...] J. B. Lippincott & Co. 2021-07-11
[11] 문서 "Master Math: Trigonometry" Career Press
[12] 웹사이트 Nasir al-Din al-Tusi
[13] 웹사이트 http://math.rice.edu[...]
[14] 서적 Geodesy https://archive.org/[...] Clarendon Press
[15] 학회자료 Some algorithms for polygons on a sphere. https://trs.jpl.nasa[...] NASA JPL 2020-08-07
[16] 웹사이트 Surface area of polygon on sphere or ellipsoid – MATLAB areaint https://www.mathwork[...] 2021-05-01
[17] 서적 数理天文学 恒星社厚生閣
[18] 서적 天体の位置計算 地人書館
[19] 서적 数理天文学 恒星社厚生閣
[20] 서적 数理天文学 恒星社厚生閣
[21] 문서
[22] 서적 数理天文学 恒星社厚生閣
[23] 문서
[24] 서적
[25] 서적 http://www.gutenberg[...]


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