더시터르 공간

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 성질
5. 좌표계
참조

1. 개요

더시터르 공간은 1917년 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타에 의해 독립적으로 발견된 시공간의 한 종류이다. n+1차원 민코프스키 공간의 부분 공간으로 정의되며, 쌍곡면으로 표현된다. 등거리 변환군은 로렌츠 군 O(1, n)이며, 최대 대칭 공간이자 아인슈타인 다양체이다. 펜로즈 그림은 정사각형으로 표현되며, 우주론적 지평선을 가지고 있어 유한한 온도와 엔트로피를 가진다. 정적, FLRW, 평탄, 열린, 닫힌, 더시터르 좌표계 등 다양한 좌표계가 존재한다.

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리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

더시터르 공간
일반 정보
유형	드 시터르 공간
발견자	빌럼 더 시터르
발표 연도	1917년
정의 및 특징
정의	아인슈타인 방정식의 해 진공 해 우주 상수가 양수인 경우
특징	상수 곡률을 가짐 최대 대칭 공간임 로렌츠 다양체임
기하학적 성질
곡률	상수 곡률 (양수)
대칭성	최대 대칭
공간 형태	로렌츠 다양체
수학적 표현
방정식	아인슈타인 방정식 (진공 해)
관련 개념	우주 상수 쌍곡 공간 반 더 시터르 공간
물리학적 의미
응용	우주론 끈 이론
관련 이론	일반 상대성이론 양자장론
관련 항목
관련 항목	반 더 시터르 공간/공간-시간 아인슈타인 다양체 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량 우주 상수 더 시터르 모형 블랙홀 우주론 인플레이션

2. 역사

1917년에 빌럼 더시터르^[6]^[7]와 툴리오 레비치비타^[8]가 독자적으로 발견하였다. 빌럼 더시터르와 알베르트 아인슈타인은 1920년대에 라이덴 대학교에서 우주의 시공간 구조에 대해 함께 연구했다. 더 최근에는 민코프스키 공간 대신 특수 상대성 이론의 설정으로 더시터르 공간을 사용하는 경우가 있는데, 이는 더시터르 상대성이라고 불린다.

3. 정의

''n''차원 더시터르 공간은 ''n''+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. ''n''+1차원 민코프스키 공간 $\mathbb R^{1,n}$ 에서 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

: $ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.$

더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

: $-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 =\alpha^2$

여기서 $\alpha$ 는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더시터르 반지름(de Sitter radius^영어)이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량이며, 로런츠 계량 부호수를 가진다.

더시터르 공간은 두 개의 부정 직교군의 몫 으로 정의될 수 있으며, 이는 더시터르 공간이 비 리만 대칭 공간임을 보여준다.

4. 성질

더 시터르 공간의 등거리 변환군은 로렌츠 군 O(1, ''n'')^영어이다. 따라서 계량은 ''n''(''n''+1)/2개의 독립적인 킬링 벡터장을 가지며 최대로 대칭적이다. 모든 최대로 대칭적인 공간은 상수 곡률을 갖는다. 더 시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.^[4]

: $R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1 \over \alpha^2}\left(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}\right)$

(여기서 리만 곡률 텐서에 대해 $R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} =\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma} -\partial_{\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma} +\Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma} -\Gamma^{\rho}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma}$ 부호 관례를 사용한다.)

더 시터르 공간은 아인슈타인 다양체이며, 리치 텐서는 계량에 비례한다.

: $R_{\mu\nu} = R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu} = \frac{n - 1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}$

이는 더 시터르 공간이 다음과 같은 우주 상수를 갖는 아인슈타인 방정식의 진공 해임을 의미한다.

: $\Lambda = \frac{(n - 1)(n - 2)}{2\alpha^2}.$

더 시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.^[4]

: $R = \frac{n(n - 1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n - 2}\Lambda.$

n = 4^영어인 경우, $\Lambda=3/\alpha^2$ 이고 $R=4\Lambda=12/\alpha^2$ 이다.

드 지터 공간은 1차원 높은 민코프스키 공간의 부분 다양체로 정의할 수 있다. 표준적인 계량

: $ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2$

를 갖는 민코프스키 공간 '''R'''^1,''n''을 취하면, 드 지터 공간은 한 겹의 시트의 쌍곡면

: $-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 = \alpha^2$

에 의해 기술되는 부분 다양체이다. 여기서 $\alpha$ 는 길이의 차원을 갖는 양의 상수이다. 드 지터 공간 위의 계량은 앰비언트 민코프스키 계량으로부터 유도된다. 유도된 계량은 로렌츠적인 부호수를 가지며 비퇴화이다.

드 지터 공간은 두 개의 indefinite orthogonal group^영어(부정 부호 직교군)의 몫 공간 O(1,''n'')/O(1,''n''-1)^영어로도 정의된다. 이 사실은 이 공간이 비리만적인 symmetric space^영어(대칭 공간)임을 나타낸다.

위상수학적으로, 드 지터 공간은 '''R''' × ''S''^''n''−1^영어이다(따라서, ''n'' ≥ 3^영어이라면, 드 지터 공간은 단일 연결이다).

4. 1. 기하학적 성질

더시터르 공간은 동차공간

:

\operatorname{dS}_n=O(1,n)/O(1,n-1)

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(''p'',''q'')는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,''n'') 로런츠 군이다. 그러므로 계량은 ''n''(''n''+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대 대칭 공간(maximally symmetric space^영어)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.^[4]

:

R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

:

R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}

따라서, 더시터르 공간은 우주 상수

\Lambda

를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

:

\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}.

더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.^[4]

:

R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.

4차원 더시터르 공간의 경우

\Lambda=3/\alpha^2

,

R=4\Lambda=12/\alpha^2

이다.

4. 2. 위상수학적 성질

''n''차원 더시터르 공간은

S^{n-1}\times\mathbb R

과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 기본군

\mathbb Z

를 가진다.)

4. 3. 펜로즈 그림

더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간은 위상학적으로

S^{n-1}\times\mathbb R

이므로, 정사각형 내부의 각 점은

S^{n-2}

에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은

S^{n-1}

의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

4. 4. 열역학

더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 '''번치-데이비스 진공'''(Bunch–Davies vacuum^영어)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는 다음과 같다.

:

T=\frac{\hbar}{k_B2\pi\alpha}

^[9]^[10]^[11]

또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이

:

A=\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}

는 유한하다. (여기서

\operatorname{vol}(S^{n-2})

는 반지름이 1인

n-2

차원 초구의 넓이다.)

따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

:

S=\frac{k_Bc^3A}{4\hbar G}=\frac{k_Bc^3\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}}{4\hbar G}

를 계산할 수 있다.^[10]^[11]^[12]

5. 좌표계

더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 흔히 쓰이는 좌표계는 다음과 같다.

정적 좌표계: 사건 지평선(우주론적 지평선)이 존재하며, 이를 '''우주론적 지평선'''이라고 한다. 지평선 안을 관측 가능한 우주라고 한다.
FLRW 좌표계: 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.
평탄 좌표계: 등각 평탄 계량을 얻을 수 있다.
열린 좌표계
닫힌 좌표계: "전역 좌표"라고도 불리며, 펜로즈 도표를 그릴 때 사용된다.
더시터르 좌표계

5. 1. 정적 좌표계

static coordinate system|정적 좌표계^영어에서

(t, r, \ldots)

을 다음과 같이 놓을 수 있다.

:

x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)

:

x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)

:

x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.

여기서

z_i

는 '''R'''^''n''−1 안에서의 표준 매장으로서의 (''n''−2)차원 구면을 나타낸다. 이 좌표들을 사용하여 더시터르 계량을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.

r = \alpha

에서 사건 지평선(우주론적 지평선)이 존재한다. 이를 '''우주론적 지평선'''이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주라고 한다.

5. 2. FLRW 좌표계

더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

''n''차원 FLRW 계량은 다음과 같다.

:

ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2

여기서 공간의 곡률에 따라

d\Sigma^2

는 다음과 같이 주어진다.

공간의 곡률 ( $k$ )	$d\Sigma^2$	설명
$+1$	$d\Omega_{n-1}^2$	n−1차원 초구 계량
$0$	$dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2$	n−1차원 유클리드 공간 계량
$-1$	$dr^2+(\sinh^2r)d\Omega_{n-2}^2$	n−1차원 쌍곡공간 계량

척도인자 $a(t)$ 는 다음과 같다.

공간의 곡률 ( $k$ )	$a(t)$
$+1$	$a(t)=\alpha\cosh(t/\alpha)$
$0$	$a(t)=\exp(t/\alpha)$
$-1$	$a(t)=\alpha\sinh(t/\alpha)$

5. 3. 평탄 좌표계 (Flat slicing)

다음과 같이 정의한다.^[1]

:

\begin{align}x_0 &= \alpha \sinh\left(\frac{1}{\alpha}t\right) + \frac{1}{2\alpha}r^2 e^{\frac{1}{\alpha}t}, \\x_1 &= \alpha \cosh\left(\frac{1}{\alpha}t\right) - \frac{1}{2\alpha}r^2 e^{\frac{1}{\alpha}t}, \\x_i &= e^{\frac{1}{\alpha}t}y_i, \qquad 2 \leq i \leq n\end{align}

여기서

r^2 = \sum_i y_i^2

이다. 그러면

\left(t, y_i\right)

좌표계에서 계량은 다음과 같다.^[1]

:

ds^{2} = -dt^{2} + e^{2\frac{1}{\alpha}t} dy^{2}

여기서

dy^2 = \sum_i dy_i^2

는

y_i

에 대한 평탄한 계량이다.^[1]

\zeta = \zeta_{\infty} - \alpha e^{-\frac{1}{\alpha}t}

로 설정하면, 등각 평탄 계량을 얻는다.^[1]

:

ds^2 = \frac{\alpha^2}{(\zeta_\infty - \zeta)^2}\left(dy^2 - d\zeta^2\right)

5. 4. 열린 좌표계 (Open slicing)

다음과 같이 정의한다.

:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi,

:

x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha),

:

x_i = \alpha z_i \sinh(t/\alpha) \sinh\xi, \qquad 2 \leq i \leq n

여기서

\sum_i z_i^2 = 1

은 표준 메트릭

\sum_i dz_i^2 = d\Omega_{n-2}^2

를 갖는

S^{n-2}

를 형성한다. 그러면 더시터르 공간의 메트릭은 다음과 같다.

:

ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) dH_{n-1}^2,

여기서

:

dH_{n-1}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi d\Omega_{n-2}^2

는 표준 쌍곡선 메트릭이다.

5. 5. 닫힌 좌표계 (Closed slicing)

다음과 같이 정의한다.^[5]

:

x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha),

:

x_i = \alpha \cosh(t/\alpha) z_i, \qquad 1 \leq i \leq n

여기서

z_i

는

S^{n-1}

을 나타낸다. 그러면 계량은 다음과 같다.

:

ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \cosh^2(t/\alpha) d\Omega_{n-1}^2.

시간 변수를

\tan\left(\frac{1}{2}\eta\right) = \tanh\left(\frac{1}{2\alpha}t\right)

를 통해 등각 시간으로 변경하면 아인슈타인 정적 우주와 등각 동치인 계량을 얻는다.

:

ds^2 = \frac{\alpha^2}{\cos^2\eta}\left(-d\eta^2 + d\Omega_{n-1}^2\right).

이 좌표는 "전역 좌표"라고도 불리며, 더시터르 공간의 최대 확장을 포함하므로, 이를 사용하여 펜로즈 도표를 찾을 수 있다.^[5]

5. 6. 더시터르 좌표계 (dS slicing)

다음과 같이 정의한다.^[1]

:

x_0 = \alpha \sin(\chi/\alpha) \sinh(t/\alpha) \cosh\xi,

:

x_1 = \alpha \cos(\chi/\alpha),

:

x_2 = \alpha \sin(\chi/\alpha) \cosh(t/\alpha),

:

x_i = \alpha z_i \sin(\chi/\alpha) \sinh(t/\alpha) \sinh\xi, \qquad 3 \leq i \leq n

여기서

z_i

는

S^{n-3}

을 나타낸다. 그러면 계량은 다음과 같다.^[1]

:

ds^2 = d\chi^2 + \sin^2(\chi/\alpha) ds_{dS,\alpha,n-1}^2,

여기서

:

ds_{dS,\alpha,n-1}^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) dH_{n-2}^2

는 열린 슬라이싱에서

\alpha

의 곡률 반경을 갖는

n-1

차원 더시터르 공간의 계량이다. 쌍곡 계량은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

dH_{n-2}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi d\Omega_{n-3}^2

이것은 좌표

(t,\xi,\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-3}) \to (i\chi,\xi,it,\theta,\phi_1,\cdots,\phi_{n-4})

하에서 열린 슬라이싱의 해석적 연속이며, 시간적 성질과 공간적 성질이 교환되므로,

x_0

와

x_2

도 교환된다.^[1]

참조

_[1] 논문 On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis https://www.dwc.knaw[...]
_[2] 논문 On the curvature of space https://www.dwc.knaw[...]
_[3] 논문 Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi
_[4] 논문
_[5] 서적 The large scale structure of space–time Cambridge Univ. Press
_[6] 저널 On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein’s latest hypothesis
_[7] 저널 On the curvature of space
_[8] 저널 Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi
_[9] 저널 How hot is the de Sitter space? http://citeseerx.ist[...]
_[10] 저널 Les Houches lectures on de Sitter space
_[11] 서적 On problems in de Sitter spacetime physics: scalar field, black holes and instability http://thep.housing.[...] 2013-05-26
_[12] 저널 Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation

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