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맥스웰 변형력 텐서

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목차

1. 개요

맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 변형력을 나타내는 텐서이다. SI 단위계에서 텐서는 전기장과 자기장의 함수로 정의되며, 가우스 단위계에서는 자화장을 사용하여 표현된다. 이 텐서는 단위 면적당 운동량의 플럭스를 나타내며, 힘과 압력, 전자기장의 운동량과 관련된다. 또한, 로렌츠 힘 법칙과 맥스웰 방정식을 통해 유도되며, 정자기장 및 정전기장에서의 특수한 형태를 갖는다. 맥스웰 변형력 텐서는 고유값과 고유 벡터를 통해 주응력을 분석할 수 있으며, 전자기장 내의 힘과 운동량 보존을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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맥스웰 변형력 텐서
개요
유형2차 텐서
분야전자기학
정의전자기장의 운동량 플럭스 밀도
상세 정보
성분Tᵢⱼ = ε₀(EᵢEⱼ - 1/2 δᵢⱼE²) + (1/μ₀)(BᵢBⱼ - 1/2 δᵢⱼB²)
여기서ε₀는 진공 유전율임
μ₀는 진공 투자율임
E는 전기장 벡터임
B는 자기장 벡터임
δᵢⱼ는 크로네커 델타임
설명전자기장의 운동량 밀도 및 전자기력 계산에 사용됨
관련 항목포인팅 벡터, 전자기 응력

2. 정의 및 표현

물리학에서 '''맥스웰 변형력 텐서'''는 전자기장의 변형력 텐서이다.

로런츠 힘 밀도 \boldsymbol{\mathit{F}}는 다음과 같다.

:\boldsymbol{\mathit{F}}=\rho\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{J}}\times \boldsymbol{\mathit{B}}

여기서 \rho는 전하 밀도이고, \mathbf J는 전류 밀도이다. 이 식은

:T _{ij} = \varepsilon _o E_i E_j + \frac{1}{\mu _0}B_i B_j - \frac{1}{2}\delta _{ij}\left( {\varepsilon _o E^2 + \frac{1}{\mu _0}B^2 } \right)

에 의해

:F_i=\sum _j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}

이라고 쓸 수 있다. 이 T _{ij}를 '''맥스웰 변형력 텐서'''라고 한다.

맥스웰 응력 텐서의 요소 ij는 단위 면적당 단위 시간당 운동량의 단위를 가지며, j축에 수직인 표면을 가로지르는 i축에 평행한 운동량의 플럭스를 단위 시간당 (음의 방향으로) 제공한다. 이러한 단위는 단위 면적당 힘(음의 압력)의 단위로도 볼 수 있으며, 텐서의 ij 요소는 단위 면적당 j축에 수직인 표면에 작용하는 i축에 평행한 힘으로 해석할 수도 있다. 실제로, 대각선 요소는 해당 축에 수직인 미분 면적 요소에 작용하는 장력 (당김)을 제공한다. 이상 기체의 압력으로 인한 힘과 달리, 전자기장 내의 면적 요소는 요소에 수직이 아닌 방향으로도 힘을 느낀다. 이 전단력은 응력 텐서의 비대각선 요소에 의해 주어진다.

최근에 맥스웰 응력 텐서는 반응성 전기역학적 힘을 설명하는 허수 부분을 갖는 보다 일반적인 복소 전자기 응력 텐서의 실수 부분임이 밝혀졌다.[2]

맥스웰 응력의 전장 부분에 관한 발산은 다음과 같다.

여기서 벡터 삼중곱의 공식

을 사용한다. 또한, 나블라의 아래첨자 E는 '''E'''에 작용하는 ('''D'''에 작용하지 않는) 것을 명시하고 있다.

자기장의 부분도 고려하여, 맥스웰 방정식을 사용하면 다음과 같다.

{\partial t}


  • \boldsymbol{B}\times\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
  • \boldsymbol{B}\times\boldsymbol{j} \\

&= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t}

+\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\

\end{align}

}}

이것을 부피 V로 적분하면, 발산 정리를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

좌변은 표면으로부터 유입되는 운동량을 의미한다. 우변 제2항은 분포 전하에 작용하는 로렌츠 힘이며, 부피 내의 분포 전하의 운동량의 시간 변화를 의미한다. 따라서, 우변 제1항은 전자기장의 운동량의 시간 변화로 해석되며,

는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

2. 1. SI 단위계

SI 단위계에서 맥스웰 변형력 텐서 \sigma_{ij}는 다음과 같이 정의된다.

:\sigma_{ij} =

\epsilon_0 E_i E_j + \frac{1}{\mu_0}B_i B_j - \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right)\delta_{ij}



여기서 \epsilon_0는 진공 유전율이고, \mu_0는 진공 투자율이며, E_i와 B_i는 각각 전기장과 자기장의 i번째 성분이고, \delta_{ij}는 크로네커 델타이다.[2]

2. 2. CGS 단위계

: \sigma_{ij} = \frac{1}{4\pi}\left(E_i E_j + H_i H_j - \frac{1}{2}\left(E^2 + H^2\right)\delta_{ij}\right)

여기서 \mathbf{H}는 자화장이다.

2. 3. 텐서 표기법

텐서 표기법을 사용하면 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.

:

\overset{\leftrightarrow}{\boldsymbol{\sigma}} = \frac{1}{4\pi} \left[ \mathbf{E} \otimes \mathbf{E} + \mathbf{H} \otimes \mathbf{H} - \frac{E^2 + H^2}{2}\mathbb{I} \right]



여기서 \otimes는 디아딕 곱이고, 마지막 텐서는 단위 디아드이다.

:\mathbb{I} \equiv \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix} =

\left(\mathbf{\hat x} \otimes \mathbf{\hat x} + \mathbf{\hat y} \otimes \mathbf{\hat y} + \mathbf{\hat z} \otimes \mathbf{\hat z}\right)

[2]

3. 유도

로런츠 힘과 맥스웰 방정식을 이용하여 맥스웰 변형력 텐서를 유도할 수 있다. 맥스웰 변형력 텐서(T _{ij})는 다음과 같이 정의된다.[1]

:T _{ij} = \varepsilon _o E_i E_j + \frac{1}{\mu _0}B_i B_j - \frac{1}{2}\delta _{ij}\left( {\varepsilon _o E^2 + \frac{1}{\mu _0}B^2 } \right)

로런츠 힘 밀도(\boldsymbol{\mathit{F}})는 전하 밀도(\rho), 전류 밀도(\mathbf J), 전기장(\mathbf{E}), 자기장(\mathbf{B})을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

:\boldsymbol{\mathit{F}}=\rho\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{J}}\times \boldsymbol{\mathit{B}}

이 식은 맥스웰 변형력 텐서를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:F_i=\sum _j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}

이와 같이 전자기력은 \mathbf{E}와 \mathbf{B}의 관점에서 표현된다. 벡터 미적분학과 맥스웰 방정식을 사용하여, \mathbf{E}와 \mathbf{B}를 포함하는 항에서 대칭성을 찾고, 맥스웰 응력 텐서를 도입하면 결과를 단순화할 수 있다.[1]

3. 1. 로런츠 힘 밀도

로런츠 힘 법칙에서 시작하여 단위 부피당 힘은 다음과 같이 주어진다.[1]

:\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}

여기서 \rho는 전하 밀도이고, \mathbf J는 전류 밀도이다.

가우스 법칙과 앙페르의 주회 법칙을 사용하여, \rho와 \mathbf{J}는 필드 \mathbf{E}와 \mathbf{B}로 대체할 수 있다. 그 결과, 전자기력은 \mathbf{E}와 \mathbf{B}의 관점에서 표현된다. 벡터 미적분학과 맥스웰 방정식을 사용하여, \mathbf{E}와 \mathbf{B}를 포함하는 항에서 대칭성을 찾고, 맥스웰 응력 텐서를 도입하면 결과를 단순화할 수 있다.[1]

최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{f} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial\mathbf{S}}{\partial t}\,

여기서 포인팅 벡터는 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times\mathbf{B}이다.

위 식에서 우변의 두 번째 항은 전자기장 운동량 밀도의 시간 미분으로 해석될 수 있고, 첫 번째 항은 질량 입자의 운동량 밀도의 시간 미분이다. 이 방정식은 고전 전자기학에서 운동량 보존 법칙을 나타낸다.[1]

3. 2. 맥스웰 방정식을 이용한 변환

(패러데이 유도 법칙)\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}앙페르 회로 법칙 (진공에서)
(맥스웰의 수정 포함)\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\



로런츠 힘 법칙에서 단위 부피당 힘은 다음과 같다.

:\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}

가우스 법칙과 앙페르 회로 법칙을 사용하여 \rho와 \mathbf{J}를 \mathbf{E}와 \mathbf{B}로 나타내면 다음과 같다.

:

\mathbf{f} = \varepsilon_0\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}\right)\mathbf{E} +

\frac{1}{\mu_0}\left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right) \times \mathbf{B} -

\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}



곱 규칙과 패러데이 유도 법칙을 사용하여 시간 미분 항을 포인팅 벡터로 표현하면,

:

\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) =

\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})



\mathbf{f}는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:\mathbf{f} =

\varepsilon_0\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}\right)\mathbf{E} +

\frac{1}{\mu_0}\left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right) \times \mathbf{B} -

\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right) -

\varepsilon_0\mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})



\mathbf{E}와 \mathbf{B}가 있는 항을 수집하면,

:

\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\right] +

\frac{1}{\mu_0}\left[-\mathbf{B} \times \left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right)\right] -

\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).



자기학에 대한 가우스 법칙에 의해 \left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}\right)\mathbf{B}를 삽입하면,

:

\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\right] +

\frac{1}{\mu_0}\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B} \times \left(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}\right)\right] -

\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).



벡터 미적분학 항등식

:

\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}) =

\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}



를 사용하여 식을 정리하면,

:

\mathbf{f} = \varepsilon_0\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}\right] +

\frac{1}{\mu_0}\left[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{B}\right] -

\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2\right) -

\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \left(\mathbf{E} \times \mathbf{B}\right).



'''맥스웰 변형력 텐서''' \sigma_{ij}를 다음과 같이 정의하면,

:

\sigma_{ij} \equiv \varepsilon_0\left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij}E^2\right) +

\frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij}B^2\right)



최종적으로 \mathbf{f}는 맥스웰 변형력 텐서의 발산으로 표현할 수 있다.

:\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{f} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial\mathbf{S}}{\partial t}

여기서 포인팅 벡터 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times\mathbf{B}는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

3. 3. 운동량 보존 법칙과의 관계

맥스웰 변형력 텐서의 발산은 전자기장의 운동량 밀도의 시간 변화율과 전자기력 밀도의 합과 같다. 이는 전자기장과 전하, 전류 사이의 운동량 보존을 나타낸다.

:\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{f} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial\mathbf{S}}{\partial t}\,

여기서 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}는 포인팅 벡터로, 전자기장의 에너지 흐름 밀도를 나타낸다.[1] 위 식에서 우변의 두 번째 항은 전자기장 운동량 밀도의 시간 미분이고, 첫 번째 항은 질량 입자의 운동량 밀도의 시간 미분이다.

이 관계에서 \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma}는 운동량 흐름 밀도이며, 포인팅 정리에서 \mathbf{S}와 유사한 역할을 한다.

전자기장의 운동량 밀도는 다음과 같이 주어진다.

:\boldsymbol{g} = \boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B}

4. 정자기장 및 정전기장에서의 맥스웰 변형력 텐서

정자기장 및 정전기장에서 맥스웰 변형력 텐서는 특수한 형태로 나타난다.

정자기장의 경우, 자기장만 존재하며(모터에서 흔히 볼 수 있음) SI 단위계에서 방정식은 다음과 같이 표현된다.[1]

:\sigma_{ij} = \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{ij} \,.

원통형 물체(예: 모터 회전자)의 경우, 식은 더욱 단순화된다.[1]

:\sigma_{rt} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_t - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{rt} \,.

여기서 r은 반경 방향(원통 바깥쪽)의 전단력, t는 접선 방향(원통 둘레)의 전단력이다. 모터를 회전시키는 힘은 접선 방향의 힘이다. B_r은 반경 방향의 자속 밀도, B_t는 접선 방향의 자속 밀도이다.[1]

정전기장의 경우, 정전기학에서 자기장의 효과는 없고, 자기장은 0이다(\mathbf{B} = \mathbf{0}). 이때 얻어지는 '정전기적 맥스웰 응력 텐서'는 성분 형태로 다음과 같다.

:\sigma_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j - \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\delta_{ij}

기호 형태로는 다음과 같다.

:\boldsymbol{\sigma} = \varepsilon_0\mathbf{E} \otimes \mathbf{E} - \frac{1}{2}\varepsilon_0(\mathbf{E} \cdot \mathbf{E})\mathbf{I}

여기서 \mathbf{I}는 항등 텐서(보통 3\times3)이다.

4. 1. 정자기장 (Magnetostatics)

자기장만 존재하는 경우(예를 들어 모터에서 대부분 그러하다)에는 일부 항이 사라지고, SI 단위계에서 방정식은 다음과 같다.[1]

:\sigma_{ij} = \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{ij} \,.

원통형 물체(예: 모터의 회전자)의 경우, 이는 더욱 단순화되어 다음과 같다.[1]

:\sigma_{rt} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_t - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{rt} \,.

여기서 r은 반경 방향(원통 밖으로)의 전단력이며, t는 접선 방향(원통 주위)의 전단력이다. 모터를 회전시키는 것은 접선 방향의 힘이다. B_r은 반경 방향의 자속 밀도이고, B_t는 접선 방향의 자속 밀도이다.[1]

4. 2. 정전기장 (Electrostatics)

정전기학에서 자기장의 효과는 나타나지 않는다. 이 경우 자기장은 사라지며, 즉 \mathbf{B} = \mathbf{0}이고, ''정전기적 맥스웰 응력 텐서''를 얻는다. 이는 성분 형태로 다음과 같이 주어진다.

:\sigma_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j - \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\delta_{ij}

그리고 기호 형태로 다음과 같이 주어진다.

:\boldsymbol{\sigma} = \varepsilon_0\mathbf{E} \otimes \mathbf{E} - \frac{1}{2}\varepsilon_0(\mathbf{E} \cdot \mathbf{E})\mathbf{I}

여기서 \mathbf{I}는 적절한 항등 텐서 \big(보통 3\times3\big)이다.

5. 물리적 의미 및 응용

로런츠 힘 밀도 \boldsymbol{\mathit{F}}는 전하 밀도 \rho와 전류 밀도 \mathbf J를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\boldsymbol{\mathit{F}}=\rho\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{J}}\times \boldsymbol{\mathit{B}}

이 식은 맥스웰 변형력 텐서 T _{ij}를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:F_i=\sum _j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}

여기서 T _{ij}는 다음과 같이 정의된다.

:T _{ij} = \varepsilon _o E_i E_j + \frac{1}B_i B_j - \frac{1}{2}\delta _{ij}\left( {\varepsilon _o E^2 + \frac{1}B^2 } \right)

맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 운동량과 관련된 물리량을 나타내는 데 사용된다. 텐서의 발산을 통해 전자기장의 운동량 밀도를 유도할 수 있으며, 텐서의 고유값과 고유벡터는 주응력과 그 방향을 나타낸다.

5. 1. 힘과 압력

맥스웰 변형력 텐서의 요소 ij는 단위 면적당 단위 시간당 운동량의 단위를 가지며, j축에 수직인 표면을 가로지르는 i축에 평행한 운동량의 플럭스(단위 시간당, 음의 방향)를 나타낸다.

이러한 단위는 단위 면적당 힘(음의 압력)의 단위로도 볼 수 있으며, 텐서의 ij 요소는 단위 면적당 j축에 수직인 표면에 작용하는 i축에 평행한 힘으로 해석할 수도 있다. 실제로, 대각선 요소는 해당 축에 수직인 미분 면적 요소에 작용하는 장력(당기는 힘)을 나타낸다. 이상 기체의 압력으로 인한 힘과 달리, 전자기장 내의 면적 요소는 요소에 수직이 아닌 방향으로도 힘을 느낀다. 이 전단력은 응력 텐서의 비대각선 요소에 의해 주어진다.[2]

5. 2. 전자기장의 운동량

로런츠 힘 밀도 \boldsymbol{\mathit{F}}는 다음과 같다.

:\boldsymbol{\mathit{F}}=\rho\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{J}}\times \boldsymbol{\mathit{B}}

여기서 \rho는 전하 밀도이고, \mathbf J는 전류 밀도다. 이 식은

:T _{ij} = \varepsilon _o E_i E_j + \frac{1}B_i B_j - \frac{1}{2}\delta _{ij}\left( {\varepsilon _o E^2 + \frac{1}B^2 } \right)

에 의해

:F_i=\sum _j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}

이라고 쓸 수 있다. 이 T _{ij}를 '''맥스웰 변형력 텐서'''라고 한다.

맥스웰 변형력 텐서의 발산을 구하면 다음과 같다.

:\begin{align}

\nabla\cdot\mathrm{T}

&= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E}
+(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H}
&= \rho\boldsymbol{E}

+\boldsymbol{D}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
&= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t}

+\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\

\end{align}

이것을 부피 V로 적분하면, 발산 정리를 사용하여

:\oint_{\partial V}d\boldsymbol{S}\cdot\mathrm{T}

=\frac{\partial}{\partial t}\int_V (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})dV

+\int_V (\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B})dV

이 된다. 좌변은 표면으로부터 유입되는 운동량을 의미한다. 우변 제2항은 분포 전하에 작용하는 로런츠 힘이며, 부피 내의 분포 전하의 운동량의 시간 변화를 의미한다.

따라서 우변 제1항은 전자기장의 운동량의 시간 변화로 해석되며,

:\boldsymbol{g} = \boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B}

는 전자기장의 운동량 밀도를 나타낸다.

5. 3. 고유값과 고유벡터

맥스웰 응력 텐서의 고유값은 주응력을 나타내고, 고유 벡터는 주응력의 방향을 나타낸다.

진공에서의 맥스웰 응력 텐서 '''T'''의 고유값 λ는 다음과 같다.

:\{ \lambda \} = \left\{ - \frac{ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 }{2} ,~ \pm \sqrt{ \left( \frac{ \epsilon_0 E^2 - B^2 / \mu_0 }{2} \right)^2 + \left( \frac{\epsilon_0}{\mu_0} \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{B} \right)^2} \right\}

이러한 고유값은 행렬식 보조정리를 셔먼-모리슨 공식과 함께 반복적으로 적용하여 얻는다.

전장 E(또는 자장 B)만 있는 경우, 고유값 λ와 고유 벡터 v는 다음과 같다.

:\{ \lambda \} = \left\{ - \frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} ,~ -\frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} ,~ +\frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} \right\}

:\{ \boldsymbol{v} \} = \left\{ \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}_y ,~ -\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}_z ,~ \boldsymbol{E} E_x \right\}

5. 4. 응용 분야

맥스웰 변형력 텐서는 로런츠 힘 밀도를 나타내는 식으로 정의된다. 로런츠 힘 밀도 \boldsymbol{\mathit{F}}는 다음과 같이 표현된다.

:\boldsymbol{\mathit{F}}=\rho\boldsymbol{\mathit{E}}+\boldsymbol{\mathit{J}}\times \boldsymbol{\mathit{B}}

여기서 \rho는 전하 밀도이고, \mathbf J는 전류 밀도이다. 이 식은 맥스웰 변형력 텐서 T _{ij}를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:F_i=\sum _j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}

이때, 맥스웰 변형력 텐서 T _{ij}는 다음과 같이 정의된다.

:T _{ij} = \varepsilon _o E_i E_j + \frac{1}B_i B_j - \frac{1}{2}\delta _{ij}\left( {\varepsilon _o E^2 + \frac{1}B^2 } \right)

참조

[1] 서적 Magnetic Actuators and Sensors https://books.google[...] John Wiley & Sons 2014-01-13
[2] 논문 The complex Maxwell stress tensor theorem: The imaginary stress tensor and the reactive strength of orbital momentum. A novel scenery underlying electromagnetic optical forces 2022-10-12


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