디리클레 지표

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1. 개요

디리클레 지표는 정수에서 복소수로 가는 함수로, 특정 조건을 만족하는 곱셈적 수론 함수이다. 법(modulus) k에 대해 서로소인 정수에 대해서만 정의되며, 주기성, 서로소 조건, 곱셈성을 만족한다. 디리클레 지표는 군 준동형의 한 예시이며, 디리클레 L-함수, 모듈 형식, 가우스 합, 야코비 합, 클로스터만 합 등 다양한 수학적 개념과 연결된다. 디리클레 지표는 1831년 디리클레에 의해 도입되었으며, 디리클레 등차수열 정리를 증명하는 데 사용되었다.

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디리클레 지표
디리클레 지표
유형	수론 함수
분야	수론
정의
기호	χ(n)
정의	χ(n + k) = χ(n)
성질
쌍대	Ĝ = Hom(G, U(1))
직교성	합 Σχ(n)
예시	자코비 기호

2. 정의

정수론에서 '''디리클레 지표'''(Dirichlet character)는 군 $(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*$ 에서 $\mathbb C^*$ 로 가는 군 준동형을 확장하여 정의하는 수론적 함수이다. 여기서 $k$ 는 자연수이고, $(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*$ 는 법 $k$ 에 대한 기약잉여계로, $k$ 와 서로소인 합동류들이 정수의 곱셈에 대해 이루는 아벨 군이다. $\mathbb C^* = \mathbb C \setminus \{0\}$ 는 0이 아닌 복소수들이 곱셈에 대해 이루는 아벨 군이다.

군 준동형 $\chi\colon(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*\to\mathbb C^*$ 가 주어졌을 때, 이를 정수 전체를 정의역으로 하는 함수 $\hat\chi\colon\mathbb Z\to\mathbb C$ 로 다음과 같이 확장할 수 있다.

만약 정수 $n$ 이 $k$ 와 서로소이면 ( $\gcd(n, k) = 1$ ), $\hat\chi(n) = \chi([n]_k)$ 로 정의한다. 여기서 $[n]_k$ 는 $n$ 이 속하는 법 $k$ 에 대한 합동류이다.
만약 정수 $n$ 이 $k$ 와 서로소가 아니면 ( $\gcd(n, k) > 1$ ), $\hat\chi(n) = 0$ 으로 정의한다.

이렇게 정의된 함수

\hat\chi

를 법

k

의 '''디리클레 지표'''라고 부른다. 종종 편의상

\hat\chi

대신

\chi

로 표기하기도 한다.

특별한 예시는 다음과 같다.

모든 정수 $n$ 에 대해 $\chi(n) = 1$ 로 정의되는 함수는 법 1에 대한 '''자명한 지표'''(trivial character)이다.
소수 $p$ 에 대해, 르장드르 기호 $\left( \frac{a}{p} \right)$ 는 $a$ 를 변수로 볼 때 법 $p$ 의 디리클레 지표이다.

2. 1. 성질

어떤 자연수

N

에 대해, 정수에서 복소수로 가는 함수

\chi

가 다음 네 가지 성질을 만족할 때, 이를 '''법

N

의 디리클레 지표'''라고 한다.

$a \equiv b \pmod{N}$ 이면 $\chi (a) = \chi (b)$ (주기성)
모든 정수 $a, b$ 에 대해 $\chi(ab) = \chi(a) \chi(b)$ (완전 곱셈성)
$\chi(1) = 1$
$a$ 와 $N$ 이 서로소가 아니면 $\chi (a) = 0$ (서로소 조건)

이 조건들 중 주기성, 완전 곱셈성, 그리고

a

와

N

이 서로소임과

\chi(a)\ne0

임이 동치라는 세 조건을 만족하는 함수는 항상 디리클레 지표가 된다.

"지표"라는 이름은 이 함수가 군 지표의 개념과 관련이 깊기 때문에 붙여졌다. 군 지표는 일반적으로 곱셈 군

G

에서 0이 아닌 복소수들의 곱셈군

\mathbb{C}^\times

으로 가는 군 준동형

\eta: G\rightarrow \mathbb{C}^\times

를 의미한다. 즉, 군의 원소

g, h

에 대해

\eta(gh)=\eta(g)\eta(h)

를 만족하는 함수이다.^[7]

법

N

에 대한 디리클레 지표는

N > 1

일 때,

N

과 서로소인 합동류들의 곱셈 아벨 군인

(\mathbb Z/N\mathbb Z)^*

에서

\mathbb C^*

로 가는 군 지표

\rho:(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times\rightarrow \mathbb{C}^\times

를 정수 전체를 정의역으로 하는 수론적 함수

\chi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}

로 확장한 것으로 볼 수 있다.^[10] 구체적인 확장 방식은 다음과 같다.

:

\chi(a)=\begin{cases}\rho([a])&\text{if } (a,N)= 1 \text{ (즉, } [a]\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \text{)}\\0 &\text{if } (a,N)> 1 \text{ (즉, } [a]\not\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \text{)}\end{cases}

여기서

[a]

는 정수

a

를 포함하는 법

N

에 대한 잉여류

\{x \in \mathbb{Z} : x \equiv a \pmod N\}

를 나타낸다.

반대로, 법

N

에 대한 디리클레 지표

\chi

가 주어지면,

N

과 서로소인 정수

a

에 대해

\rho([a]) = \chi(a)

로 정의하여 군

(\mathbb Z/N\mathbb Z)^*

의 지표

\rho

를 얻을 수 있다.

군

(\mathbb Z/N\mathbb Z)^*

는 오일러의 파이 함수

\phi(N)

개의 원소를 가지는 유한군이며 아벨 군이다.^[8] 유한 아벨 군의 지표에 대한 몇 가지 일반적인 성질이 알려져 있다.^[9]

3. 표기법

$\phi(n)$ 은 오일러 피 함수이다.
$\zeta_n$ 은 복소수 원시 단위근이다. 즉, $\zeta_n^n=1$ 이지만, $1 \le k < n$ 인 모든 정수 $k$ 에 대해 $\zeta_n^k \ne 1$ 이다.
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 는 법 m에 대한 곱셈 군(또는 단위군)이다. 이 군의 위수(원소 개수)는 $\phi(m)$ 이다.
$\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}$ 는 법 $m$ 에 대한 디리클레 지표들의 군이다.
$p, p_k,$ 등은 소수를 나타낸다.
$(m,n)$ 은 $m$ 과 $n$ 의 최대공약수 $\gcd(m,n)$ 를 나타내는 표준적인^[5] 약어^[6]이다.
$\chi(a), \chi'(a), \chi_r(a),$ 등은 디리클레 지표를 나타낸다. (소문자 그리스 문자 키(χ)는 "지표"를 나타낸다.)

디리클레 지표의 모듈러스(법)를 포함하는 표준적인 표기법은 없다. 많은 문맥, 예를 들어 디리클레 등차수열 정리의 증명에서는 모듈러스가 고정되어 있다. 그러나 이 문서와 같이 다른 모듈러스의 지표가 함께 나타나는 경우에는 다른 표기법이 필요하다. 이 문서에서는 적절한 경우 브라이언 콘리(Brian Conrey)가 소개하고 LMFDB(L-함수와 모듈러 형식 데이터베이스)에서 사용하는 콘리 표기법의 변형을 사용한다.

이 표기법에서 모듈러스

m

에 대한 지표는

\chi_{m, t}(a)

로 표시된다. 여기서 인덱스

t

는 아래 #지표 군 섹션에서 설명하는 방식으로 결정된다. 이 표기법에서

\chi_{m,\_}(a)

는 특정되지 않은 임의의 지표를 나타내며,

\chi_{m,1}(a)

는 법

m

에 대한 주 지표(principal character)를 나타낸다.

"지표"라는 단어는 수학에서 여러 의미로 사용된다. 이 문서에서의 지표는 곱셈적으로 표기된 군

G

에서 복소수의 곱셈 군

\mathbb{C}^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}

으로 가는 준동형 사상을 의미한다. 즉, 함수

\eta: G \to \mathbb{C}^\times

가 모든

g, h \in G

에 대해 다음 조건을 만족하는 경우이다.

:

\eta(gh) = \eta(g)\eta(h)

:

\eta(g^{-1}) = \eta(g)^{-1}

군

G

의 모든 지표들의 집합은

\widehat{G}

로 표기한다. 두 지표

\eta, \theta

의 곱을 점별 곱셈

(\eta\theta)(a) = \eta(a)\theta(a)

으로 정의하고, 항등원을 모든

a \in G

에 대해

\eta_0(a)=1

인 자명 지표

\eta_0

로 정의하며, 지표

\eta

의 역원을

\eta^{-1}(a) = \eta(a)^{-1}

(복소수 역수)로 정의하면,

\widehat{G}

는 아벨 군이 된다.^[7]

만약

A

가 유한 아벨 군이라면,^[8] 군

A

와 그 지표 군

\widehat{A}

사이에는 동형 사상

A \cong \widehat{A}

이 존재하며, 다음과 같은 직교 관계가 성립한다.^[9]

:

\sum_{a\in A} \eta(a)=\begin{cases}|A|&\text{ if  } \eta=\eta_0\\0&\text{ if  } \eta\ne\eta_0\end{cases}

:

\sum_{\eta\in\widehat{A}}\eta(a)=\begin{cases}|A|&\text{ if  } a=1 \text{ (군 } A\text{의 항등원)}\\0&\text{ if  } a\ne 1\end{cases}

유한 아벨 군

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

의 원소는

(a,m)=1

인 합동류

[a]=\{x \in \mathbb{Z} \mid x\equiv a\pmod m\}

이다.

군

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

의 지표

\rho:(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\rightarrow \mathbb{C}^\times

는 다음과 같이 정의하여 정수 전체에서 정의된 함수인 디리클레 지표

\chi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{C}

로 확장될 수 있다.

:

\chi(a)=\begin{cases}0 &\text{if } (a,m)> 1 \quad (\text{즉, } [a]\not\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times)\\\rho([a])&\text{if } (a,m)= 1 \quad (\text{즉, } [a]\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times)\end{cases}

반대로, 법

m

에 대한 디리클레 지표

\chi

가 주어지면,

(a,m)=1

인

a

에 대해

\rho([a]) = \chi(a)

로 정의하여

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

의 지표

\rho

를 얻을 수 있다.

Davenport^[10]는 디리클레 지표를 아벨 군 지표의 특수한 경우로 간주할 수 있다고 언급했다. 그러나 이 문서에서는 디리클레의 접근 방식을 따라 직접적이고 구성적인 설명을 제공한다. 이는 부분적으로 역사적인 이유(디리클레의 연구가 군 이론 발전보다 수십 년 앞섰다는 점)와 수학적인 이유(해당 군

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

가 일반적인 아벨 군 이론만으로는 가려질 수 있는 단순하고 흥미로운 구조를 가지고 있다는 점) 때문이다.

4. 디리클레 지표의 분류

디리클레 지표는 여러 기준에 따라 분류할 수 있다. 주요 분류 기준은 다음과 같다.

'''도수(conductor)''': 지표의 '실질적인' 주기를 나타내는 값이다.^[33] 도수가 정의된 모듈러스와 같으면 '''원시 지표'''라고 하며, 모듈러스보다 작으면 '''비원시 지표''' 또는 '''유도된 지표'''라고 한다.
'''홀짝성(parity)''': 지표 $\chi$ 에 대해 $\chi(-1)$ 의 값에 따라 분류한다. $\chi(-1)=1$ 이면 '''짝수 지표''', $\chi(-1)=-1$ 이면 '''홀수 지표'''라고 한다.
'''차수(order)''': 지표를 곱셈군 $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}$ 의 원소로 보았을 때, 그 원소의 차수를 의미한다. 즉, $\chi^n = \chi_0$ (주 지표)를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 이다.
'''실수/복소수 여부''': 지표의 모든 값( $\chi(a)$ )이 실수(0, 1, -1)이면 '''실수 지표''' 또는 '''이차 지표'''라고 하며, 그렇지 않으면 '''복소수 지표''' 또는 '''허수 지표'''라고 한다.

각 분류 기준에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 설명한다.

4. 1. 도수, 원시 지표, 유도된 지표

모듈러스 ''q''의 지표 χ가 있다고 하자. 만약 어떤 양의 정수 ''d''가 존재하여, ''q''와 서로소인 모든 정수 ''m'', ''n''에 대해 ''m'' ≡ ''n'' (mod ''d'')이면 χ(''m'') = χ(''n'')을 만족할 때, χ는 '''준주기 ''d''를 갖는다'''고 한다.^[32] 예를 들어, 모듈러스 2의 유일한 디리클레 지표인 χ_2,1은 준주기 1을 갖는다. (이 지표의 주기는 2이다.)

지표 χ가 준주기적인 성질을 만족하는 가장 작은 양의 정수를 χ의 '''도수'''(conductor)라고 부른다.^[33] 즉, 도수는 지표의 '실질적인' 주기를 나타내는 값이다. 예를 들어, χ_2,1의 도수는 1이다.

법 16에 대한 지표들의 도수를 살펴보자.

법 16에 대한 지표 예시^[31]
지표	1	3	5	7	9	11	13	15
χ_16,3	1	-i	-i	1	-1	i	i	-1
χ_16,9	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
χ_16,15	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1

χ_16,3의 도수는 16이다. 반면 χ_16,9는 준주기 8을 가지므로 도수는 8이고, χ_16,15는 준주기 4를 가지므로 도수는 4이다.

법 15에 대한 지표의 경우, 0이 아닌 값들의 가장 작은 주기가 도수가 된다.

법 15에 대한 지표 예시
지표	1	2	4	7	8	11	13	14
χ_15,8	1	i	-1	-i	-i	-1	i	1
χ_15,11	1	-1	1	1	-1	-1	1	-1
χ_15,13	1	-i	-1	-i	i	1	i	-1

χ_15,8의 도수는 15이다. χ_15,11의 0이 아닌 값들은 주기 3을 가지므로 도수는 3이고, χ_15,13의 0이 아닌 값들은 주기 5를 가지므로 도수는 5이다.

지표의 도수가 정의된 모듈러스와 같으면 그 지표를 '''원시 지표'''(primitive character)라고 한다. 만약 도수가 모듈러스보다 작으면 '''비원시 지표'''(non-primitive character)라고 한다. 비원시 지표는 그 도수와 같은 모듈러스를 갖는 (원시) 지표로부터 '''유도되었다'''(induced)고 표현한다.

χ_16,3은 도수가 16이므로 원시 지표이다.
χ_16,9는 도수가 8이므로 비원시 지표이며, 모듈러스 8의 지표 χ_8,5로부터 유도되었다. (χ_16,9 = χ_8,5)
χ_16,15는 도수가 4이므로 비원시 지표이며, 모듈러스 4의 지표 χ_4,3으로부터 유도되었다. (χ_16,15 = χ_4,3)
χ_8,7 역시 도수가 4이므로 비원시 지표이며, χ_4,3으로부터 유도되었다. (χ_8,7 = χ_4,3)
χ_15,8은 도수가 15이므로 원시 지표이다.
χ_15,11은 도수가 3이므로 비원시 지표이며, 모듈러스 3의 지표 χ_3,2로부터 유도되었다.
χ_15,13은 도수가 5이므로 비원시 지표이며, 모듈러스 5의 지표 χ_5,3으로부터 유도되었다.

주 지표 χ₀는 항상 도수가 1이므로, 모듈러스가 1보다 큰 경우에는 항상 비원시 지표이다.^[34]

모듈러스 ''m''이 소수 거듭제곱들의 곱 ''m'' = ''q''₁''q''₂...으로 표현될 때, 지표 χ_''m'',''r''은 각 소수 거듭제곱 모듈러스에 대한 지표들의 곱 χ_''m'',''r'' = χ_{''q''₁,''r''}χ_{''q''₂,''r''}...으로 나타낼 수 있다. 이 지표 χ_''m'',''r''가 원시 지표가 될 필요충분조건은 곱을 구성하는 각 인수 지표 χ_{''q''_i,''r''}가 모두 원시 지표인 것이다.^[35]

원시 지표는 L-함수^[36]나 모듈러 형식 이론 등 수론의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 관련 공식을 단순화하거나 이론을 전개하는 데 필수적이다.

4. 2. 홀짝성

\chi(a)

는

\chi(-1)=1

일 경우 '''짝수''' 지표라고 하며,

\chi(-1)=-1

일 경우 '''홀수''' 지표라고 한다.

이러한 지표의 홀짝성 구분은 디리클레 L-함수의 함수 방정식에서 중요한 의미를 가진다.

4. 3. 차수

주어진 법

m

에 대한 디리클레 지표들의 집합은 점별 곱셈 연산(

\chi\chi'(a) = \chi(a)\chi'(a)

)에 대해 유한 아벨 군

\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}

을 이룬다.^[12] 이 군에서 항등원은 주 지표

\chi_0

이고, 각 지표

\chi

의 역원은 그것의 복소 켤레인

\overline{\chi}

이다 (

\chi\overline{\chi}=\chi_0

).

디리클레 지표

\chi

의 차수는 군

\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}

에서 군 원소로서의 차수를 의미한다. 즉, 등식

\chi^n = \chi_0

를 만족시키는 가장 작은 양의 정수

n

이 지표

\chi

의 차수이다.

주 지표 $\chi_0$ 는 차수가 1이다.
주 지표가 아닌 실수 문자(즉, $\chi = \overline{\chi}$ 를 만족하는 지표)는 차수가 2이다.
허수 문자(즉, $\chi \ne \overline{\chi}$ 인 지표)는 차수가 3 이상이다.

라그랑주의 정리에 따르면, 모든 지표의 차수는 군

\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}

의 위수(order), 즉 오일러 파이 함수 값인

\phi(m)

을 나누어야 한다.

4. 4. 실수 지표

디리클레 지표

\chi(a)

의 모든 값이 실수일 때 (즉, 0, 1, -1 중 하나일 때) 그 지표를 실수 지표 또는 이차 지표라고 부른다. 실수 지표가 아닌 경우는 복소수 지표 또는 허수 지표라고 한다.

지표

\chi

가 실수 지표가 될 필요충분조건은

\chi^2 = \chi_0

이다. 여기서

\chi_0

는 주 지표이다.

실수 지표는 크로네커 기호

\left(\frac{D}{\bullet}\right)

형태로 나타낼 수 있다.^[40] 예를 들어, 주 지표는 항상 실수 지표이며 다음과 같이 쓸 수 있다.^[41]^[42]

\chi_{m,1}=\left(\frac{m^2}{\bullet}\right)

.

디리클레는 L-함수의 값

L(1,\chi)

가 0이 아님을 증명할 때, 초기 증명(소수 법에 대해서만 유효)에서는 지표

\chi

가 실수인 경우와 복소수인 경우를 나누어 접근했다. 이후 모든 법에 대해 유효한 증명은 그의 유수 공식에 기반한다.^[38]^[39]

법

m

이 기본 판별식의 절댓값일 때 실수 원시 지표가 존재하며 (단,

m

이 8의 배수일 때는 두 개 존재한다), 그렇지 않은 경우 원시 지표가 존재한다면 허수 지표이다.^[35]^[43]

다음은 실수 지표의 몇 가지 예시이다.

주 지표 (항상 실수):
$\chi_{4,1}=\left(\frac{4}{\bullet}\right)$
$\chi_{5,1}=\left(\frac{25}{\bullet}\right)$
$\chi_{8,1}=\left(\frac{4}{\bullet}\right)$
$\chi_{9,1}=\left(\frac{9}{\bullet}\right)$

실수 원시 지표:
$\chi_{3,2}=\left(\frac{-3}{\bullet}\right)$
$\chi_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet}\right)$
$\chi_{5,4}=\left(\frac{5}{\bullet}\right)$
$\chi_{7,6}=\left(\frac{-7}{\bullet}\right)$
$\chi_{8,3}=\left(\frac{-8}{\bullet}\right)$
$\chi_{8,5}=\left(\frac{8}{\bullet}\right)$
$\chi_{15,14}=\left(\frac{-15}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,5}=\left(\frac{-24}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,11}=\left(\frac{24}{\bullet}\right)$

실수 비원시 지표:
$\chi_{8,7}=\chi_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet}\right)$
$\chi_{9,8}=\chi_{3,2}=\left(\frac{-3}{\bullet}\right)$
$\chi_{15,4}=\chi_{5,4}\chi_{3,1}=\left(\frac{45}{\bullet}\right)$
$\chi_{15,11}=\chi_{3,2}\chi_{5,1}=\left(\frac{-75}{\bullet}\right)$
$\chi_{16,7}=\chi_{8,3}=\left(\frac{-8}{\bullet}\right)$
$\chi_{16,9}=\chi_{8,5}=\left(\frac{8}{\bullet}\right)$
$\chi_{16,15}=\chi_{4,3}=\left(\frac{-4}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,7}=\chi_{8,7}\chi_{3,1}=\chi_{4,3}\chi_{3,1}=\left(\frac{-36}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,13}=\chi_{8,5}\chi_{3,1}=\left(\frac{72}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,17}=\chi_{3,2}\chi_{8,1}=\left(\frac{-12}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,19}=\chi_{8,3}\chi_{3,1}=\left(\frac{-72}{\bullet}\right)$
$\chi_{24,23}=\chi_{8,7}\chi_{3,2}=\chi_{4,3}\chi_{3,2}=\left(\frac{12}{\bullet}\right)$

르장드르 기호

\left( \frac{a}{p} \right)

는 변수 ''a''에 대한 함수로 볼 때, 소수 법 ''p''에 대한 디리클레 지표이며, 이는 실수 지표의 한 예이다.

5. 디리클레 지표 군

정수론에서 주어진 법 $m$ 에 대한 디리클레 지표들의 집합은 특정 연산에 대해 유한 아벨 군을 형성한다.

일반적으로 군론에서 군 $G$ 의 지표는 $G$ 에서 복소수 체의 곱셈군 $\mathbb{C}^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ 으로 가는 준동형 사상 $\eta: G \to \mathbb{C}^\times$ 를 의미한다. 즉, 모든 $g, h \in G$ 에 대해 $\eta(gh) = \eta(g)\eta(h)$ 를 만족한다. 이러한 지표들의 집합을 $\widehat{G}$ 로 표기한다. 두 지표 $\eta, \theta \in \widehat{G}$ 의 곱을 점별 곱셈 $(\eta\theta)(a) = \eta(a)\theta(a)$ 으로 정의하고, 항등원을 모든 $a \in G$ 에 대해 $\eta_0(a) = 1$ 인 자명 지표 $\eta_0$ 로, 역원을 $\eta^{-1}(a) = \eta(a)^{-1}$ 로 정의하면, $\widehat{G}$ 는 아벨 군이 된다.^[7] 만약 $G$ 가 유한 아벨 군이면, 지표군 $\widehat{G}$ 역시 유한 아벨 군이며, 그 크기는 $|G|$ 와 같다. 즉, $|\widehat{G}| = |G|$ 이며, 군 $G$ 와 그 지표군 $\widehat{G}$ 는 서로 동형이다 ( $G \cong \widehat{G}$ ).^[8] 또한 다음과 같은 직교성 관계가 성립한다.^[9]

: $\sum_{a\in G} \eta(a)=\begin{cases}|G|&\text{ if } \eta=\eta_0\\0&\text{ if } \eta\ne\eta_0\end{cases}$ 그리고 $\sum_{\eta\in\widehat{G}}\eta(a)=\begin{cases}|G|&\text{ if } a=1_G \text{ (G의 항등원)}\\0&\text{ if } a\ne 1_G.\end{cases}$

디리클레 지표는 이러한 군 지표 개념을 정수론적 맥락에 적용한 것이다. 법 $m$ 에 대한 디리클레 지표 $\chi: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ 는 곱셈군 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 의 지표 $\rho: (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^\times$ 를 확장하여 정의된다. 구체적으로, $\gcd(a, m) = 1$ 일 때 $\chi(a) = \rho([a])$ 이고, $\gcd(a, m) > 1$ 일 때 $\chi(a) = 0$ 으로 정의한다. 여기서 $[a]$ 는 $a$ 를 포함하는 법 $m$ 에 대한 합동류이다.

법 $m$ 에 대한 디리클레 지표들의 집합은 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 의 지표군 $\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}$ 과 자연스럽게 동일시될 수 있다. 이 집합은 다음과 같은 연산과 성질을 통해 유한 아벨 군을 이룬다.

1. 곱셈 연산: 두 디리클레 지표 $\chi, \chi'$ 의 곱 $\chi\chi'$ 은 모든 정수 $a$ 에 대해 $(\chi\chi')(a) = \chi(a)\chi'(a)$ 로 정의된다. 이렇게 정의된 $\chi\chi'$ 역시 법 $m$ 에 대한 디리클레 지표가 된다.^[12]

2. 항등원: 주 지표 $\chi_0$ 는 곱셈에 대한 항등원 역할을 한다. 즉, 모든 지표 $\chi$ 에 대해 $\chi\chi_0 = \chi_0\chi = \chi$ 이다. 주 지표는 $\gcd(a, m) = 1$ 이면 $\chi_0(a) = 1$ , $\gcd(a, m) > 1$ 이면 $\chi_0(a) = 0$ 으로 정의된다.

3. 역원: 각 디리클레 지표 $\chi$ 에 대해 그 복소켤레 $\overline{\chi}$ 는 곱셈에 대한 역원이다. $\overline{\chi}(a) = \overline{\chi(a)}$ 로 정의되며, 이는 $\gcd(a, m) = 1$ 일 때 $\chi(a^{-1})$ 과 같다 ( $a^{-1}$ 는 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 에서 $a$ 의 곱셈 역원). 모든 정수 $a$ 에 대해 $(\chi\overline{\chi})(a) = \chi(a)\overline{\chi(a)} = |\chi(a)|^2$ 이며, 이는 $\gcd(a, m) = 1$ 이면 1, $\gcd(a, m) > 1$ 이면 0이므로 $\chi\overline{\chi} = \chi_0$ 이다.

4. 결합법칙과 교환법칙: 복소수의 곱셈이 결합법칙과 교환법칙을 만족하므로, 지표의 점별 곱셈 역시 이를 만족한다.

따라서 법 $m$ 에 대한 디리클레 지표들의 집합은 위의 곱셈 연산에 대해 아벨 군을 이룬다. 이 군의 크기(원소의 개수)는 곱셈군 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 의 크기와 같은 $\phi(m)$ 이다 (오일러 파이 함수). 각 지표 $\chi$ 에 대해 $\gcd(a, m) = 1$ 이면 $\chi(a)$ 는 $\phi(m)$ 차 단위근이며, $\chi(1) = 1$ 이다.^[11]

이 디리클레 지표 군의 구체적인 구조는 법 $m$ 의 소인수분해 형태에 따라 결정되며, 이는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.^[13]

5. 1. 홀수 소수 거듭제곱

만약

q=p^k

가 홀수 소수의 거듭제곱이면, 곱셈군

(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times

는 위수가

\phi(q)

인 순환군이다. 이 군의 생성자를 법

q

에 대한 원시근이라고 부른다.^[14]

g_q

를 법

q

에 대한 원시근이라고 하자.

(a,q)=1

인 정수

a

에 대해, 함수

\nu_q(a)

(

a

의 '''지수''')를 다음 합동식을 만족하는 유일한 정수로 정의한다.

:

a\equiv g_q^{\nu_q(a)}\pmod {q},

:

0\le\nu_q(a)<\phi(q).

이때,

(ab,q)=1

인 두 정수

a, b

에 대해

a \equiv b\pmod{q}

일 필요충분조건은

\nu_q(a)=\nu_q(b)

이다.

디리클레 지표

\chi

는 곱셈적이므로,

(a,q)=1

이면

\chi(a)=\chi(g_q^{\nu_q(a)})=\chi(g_q)^{\nu_q(a)}

이다. 따라서 지표

\chi

는 원시근

g_q

에서의 값

\chi(g_q)

에 의해 완전히 결정된다.

\omega_q= \zeta_{\phi(q)} = e^{2\pi i / \phi(q)}

를

1

의 원시

\phi(q)

제곱근이라고 하자. 지표의 성질에 따라

\chi(g_q)

는

\phi(q)

제곱하면

1

이 되어야 하므로,

\chi(g_q)

가 될 수 있는 값은 다음과 같은

\phi(q)

개의 단위근 중 하나이다.

:

\omega_q, \omega_q^2, \dots, \omega_q^{\phi(q)}=1.

이

\phi(q)

개의 서로 다른 값들은 각각 법

q

에 대한

\phi(q)

개의 서로 다른 디리클레 지표를 생성한다.

(r,q)=1

인 각

r

에 대해, 지표

\chi_{q,r}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\chi_{q,r}(a)=\begin{cases}\omega_q^{\nu_q(r)\nu_q(a)}&\text{if } \gcd(a,q)=1 \\0 &\text{if } \gcd(a,q)>1.\end{cases}

이렇게 정의된

\chi_{q,r}

는 모든 정수

a, b

에 대해 곱셈 성질

\chi_{q,r}(a)\chi_{q,r}(b)=\chi_{q,r}(ab)

를 만족하므로 디리클레 지표가 된다. 또한,

(rs,q)=1

일 때 모든

a

에 대해 다음 성질이 성립한다.

:

\chi_{q,r}(a)\chi_{q,s}(a)=\chi_{q,rs}(a).

이는 지표군

\widehat{(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times}

과 곱셈군

(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times

사이의 명시적인 동형사상

\widehat{(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times}\cong(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^\times

을 보여준다.

5. 2. 2의 거듭제곱

q=2

일 때, 곱셈군

(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times

는 원소 {1}만을 가지는 자명군이다.

q=4

일 때,

(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times

는 {1, 3}을 원소로 가지는 2차 순환군이며, 3이 생성원이 된다.

q = 2^k

이고

k \ge 3

일 때 (즉,

q=8, 16, 32, ...

), 법

q

에 대한 원시근은 존재하지 않는다. 이 경우 곱셈군

(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times

는 φ(q) =

2^{k-1}

개의 원소를 가지며, 그 구조는 -1에 의해 생성되는 2차 순환군(

C_2

)과 5에 의해 생성되는

\frac{\phi(q)}{2} = 2^{k-2}

차 순환군(

C_{2^{k-2}}

)의 직접곱이다. 즉,

(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \cong C_2 \times C_{2^{k-2}}

이다.^[15] 이는 모든 홀수

a

를

a \equiv (-1)^x 5^y \pmod{q}

형태로 유일하게 나타낼 수 있음을 의미한다. 여기서 5의 거듭제곱은

\pmod{4}

에 대해 1과 합동인 원소들을 생성하고, -1을 곱한 값들은

\pmod{4}

에 대해 3과 합동인 원소들을 생성한다.

예를 들어,

$\pmod{8}$ 에서 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{1, 3, 5, 7\}$ 이다. $5^1\equiv 5,\;5^2\equiv 1$ 이고, $-1 \equiv 7 \pmod{8}$ 이다. 따라서 원소들은 $5^0=1, 5^1=5, (-1)5^0=7, (-1)5^1=3$ 으로 표현된다. 군의 구조는 $C_2 \times C_2$ 이다.
$\pmod{16}$ 에서 $(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times$ 는 8개의 원소를 가진다. $5^1\equiv 5,\;5^2\equiv 9,\;5^3\equiv 13,\;5^4\equiv 1$ 이고, $-1 \equiv 15 \pmod{16}$ 이다. 군의 구조는 $C_2 \times C_4$ 이다.
$\pmod{32}$ 에서 $(\mathbb{Z}/32\mathbb{Z})^\times$ 는 16개의 원소를 가진다. $5^1\equiv 5,\;5^2\equiv 25,\;5^3\equiv 29,\;5^4\equiv 17,\;5^5\equiv 21,\;5^6\equiv 9,\;5^7\equiv 13,\;5^8\equiv 1$ 이고, $-1 \equiv 31 \pmod{32}$ 이다. 군의 구조는 $C_2 \times C_8$ 이다.

q=2^k, \;\;k\ge3

일 때, 임의의 홀수

a

에 대해 다음을 만족하는 유일한 지수

\nu_0(a) \in \{0, 1\}

와

\nu_q(a) \in \{0, 1, ..., \frac{\phi(q)}{2}-1\}

가 존재한다.

:

a\equiv(-1)^{\nu_0(a)}5^{\nu_q(a)}\pmod{q}

두 홀수

a, b

에 대해

a\equiv b\pmod{q}

가 성립할 필요충분조건은

\nu_0(a)=\nu_0(b)

이고

\nu_q(a)=\nu_q(b)

인 것이다.

홀수

a

에 대한 디리클레 지표

\chi(a)

의 값은

\chi(-1)

과

\chi(5)

의 값에 의해 결정된다. 지표의 성질에 의해

\chi(-1)^2 = \chi((-1)^2) = \chi(1) = 1

이므로

\chi(-1) = \pm 1

이어야 한다. 또한

\chi(5)^{\phi(q)/2} = \chi(5^{2^{k-2}})

인데,

5^{2^{k-2}} \equiv 1 \pmod{q}

이므로

\chi(5)

는 1의

\frac{\phi(q)}{2}

제곱근이어야 한다.

\omega_q = e^{2\pi i / (\phi(q)/2)} = \zeta_{\frac{\phi(q)}{2}}

를 1의 원시 \frac{\phi(q)}{2}제곱근이라고 하자. 그러면

\chi(-1)

은

\pm 1

중 하나이고,

\chi(5)

는

\omega_q^j

(단,

j=0, 1, ..., \frac{\phi(q)}{2}-1

) 중 하나이다. 이들의 조합으로 총

2 \times \frac{\phi(q)}{2} = \phi(q)

개의 서로 다른 지표가 정의된다. 구체적으로, 각 홀수

r

에 대응하는 지표

\chi_{q,r}

을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\chi_{q,r}(a)=\begin{cases}0 &\text{if } a\text{ is even}\\(-1)^{\nu_0(r)\nu_0(a)}\omega_q^{\nu_q(r)\nu_q(a)}&\text{if } a \text{ is odd}.\end{cases}

여기서

\chi_{q,r}(-1) = (-1)^{\nu_0(r)}

이고

\chi_{q,r}(5) = \omega_q^{\nu_q(r)}

이다.

이렇게 정의된

\chi_{q,r}

은 모든 정수

a, b

에 대해 곱셈적 성질

\chi_{q,r}(a)\chi_{q,r}(b)=\chi_{q,r}(ab)

를 만족하므로 디리클레 지표이다. 또한, 임의의 홀수

r, s

에 대해

\chi_{q,r}(a)\chi_{q,s}(a)=\chi_{q,rs}(a)

가 성립한다. 이는 지표들의 집합인 지표군

\widehat{(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})^\times}

이 원래의 곱셈군

(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})^\times

와 동형임을 보여준다:

\widehat{(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})^\times}\cong (\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})^\times.

5. 3. 소수 거듭제곱의 곱

m

을 소수 거듭제곱으로 소인수분해한 것을

m=p_1^{m_1}p_2^{m_2} \cdots p_k^{m_k} = q_1q_2 \cdots q_k

라고 하고,

p_1 라고 하자. 법 m 에 대한 가역원의 군 (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times 은 법 q_i 에 대한 군들의 직접 곱과 동형이다.

^[16]

:

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \cong(\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z})^\times \times(\mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z})^\times \times \dots \times(\mathbb{Z}/q_k\mathbb{Z})^\times .

이는 다음 두 가지를 의미한다.

#

a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

와

k

-튜플

(a_1, a_2,\dots, a_k)

사이에는 일대일 대응이 존재한다. 여기서 각

a_i

는

a_i\in(\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z})^\times

이다.

# 법

m

에 대한 곱셈은

k

-튜플의 좌표별 곱셈에 해당한다. 즉,

ab\equiv c\pmod{m}

은

(a_1,a_2,\dots,a_k)\times(b_1,b_2,\dots,b_k)=(c_1,c_2,\dots,c_k)

(여기서

c_i\equiv a_ib_i\pmod{q_i}

) 와 같다.

중국인의 나머지 정리에 따르면,

a_i

는 단순히

a_i\equiv a\pmod{q_i}

를 만족한다.

또한, 다음과 같은 부분군

G_i<(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

이 존재한다.^[17]

:

G_i\cong(\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z})^\times

이고,

:

G_i\equiv\begin{cases}(\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z})^\times &\pmod q_i\\\{1\}&\pmod q_j, j\ne i.\end{cases}

그러면

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \cong G_1\times G_2\times...\times G_k

이고, 모든

a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

는

k

-튜플

(a_1, a_2,...a_k)

에 해당하며, 여기서

a_i\in G_i

이고

a_i\equiv a\pmod{q_i}

이다. 모든

a\in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

는

a =a_1a_2...a_k

와 같이 유일하게 인수분해될 수 있다.^[18]^[19]

법

m

에 대한 지표

\chi_{m,\_}

가 부분군

G_i

에서 정의될 때, 이는 법

q_i

에 대한 지표

\chi_{q_i,\_}

와 동일하다. 따라서,

:

\chi_{m,\_}(a)=\chi_{m,\_}(a_1a_2...a_k)=\chi_{m,\_}(a_1)\chi_{m,\_}(a_2)...\chi_{m,\_}(a_k)=\chi_{q_1,\_}(a_1)\chi_{q_2,\_}(a_2)...\chi_{q_k,\_}(a_k)

이는 법

m

에 대한 모든 지표가 법

q_i

에 대한 지표들의 곱으로 표현될 수 있음을 보여준다.

(t,m)=1

인

t

에 대해 다음과 같이 정의한다.^[20]

:

\chi_{m,t}=\chi_{q_1,t}\chi_{q_2,t}...\chi_{q_k,t}

그러면

(rs,m)=1

일 때, 모든

a

와

b

에 대해 다음이 성립한다.^[21]

:

\chi_{m,r}(a)\chi_{m,r}(b)=\chi_{m,r}(ab)

(이는

\chi_{m,r}

이 지표임을 보여준다)

:

\chi_{m,r}(a)\chi_{m,s}(a)=\chi_{m,rs}(a)

(이는 동형사상

\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

을 보여준다)

법

m

에 대한 디리클레 지표는 총

\phi(m)

개 존재하며 (오일러 피 함수), 이를

\chi_{m,r}

로 표기한다. 여기서

\chi_{m,r}=\chi_{m,s}

인 것은

r\equiv s\pmod{m}

인 것과 동치이다. 항등식

\chi_{m,r}(a)\chi_{m,s}(a)=\chi_{m,rs}(a)\;

는 동형사상

\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

을 나타낸다.^[22]

결론적으로, 법

m

에 대한 각 지표는

m

을 나누는 소수 거듭제곱

q_i

에 대한 지표들의 곱으로 유일하게 인수분해된다.

:

\chi_{m,r}=\chi_{q_1,r}\chi_{q_2,r}...\chi_{q_k,r}

만약

m=m_1m_2

이고

(m_1,m_2)=1

(서로소)이면, 곱

\chi_{m_1,r}\chi_{m_2,s}

는 지표

\chi_{m,t}

와 같다. 여기서

t

는

t\equiv r\pmod{m_1}

및

t\equiv s\pmod{m_2}

를 만족하는 값이다.

또한 다음과 같은 성질도 성립한다.^[23]^[24]

\chi_{m,r}(s)=\chi_{m,s}(r)

6. 직교성

법 $m$ 에 대한 디리클레 지표들의 집합은 유한 아벨 군을 이루며, 다음과 같은 두 가지 중요한 직교 관계를 만족한다.^[25]

1. 지표에 대한 합: 주어진 법 $m$ 에 대한 모든 디리클레 지표 $\chi$ 에 대해, 법 m에 대해 서로소인 합동류 $a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 에 대한 $\chi(a)$ 값들의 합은 다음과 같다.

: $\sum_{a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times} \chi(a)= \begin{cases} \phi(m)&\text{ if }\;\chi=\chi_0\\ 0&\text{ if }\;\chi\ne\chi_0 \end{cases}$

여기서 $\chi_0$ 는 주 지표이고, $\phi(m)$ 은 오일러 파이 함수이다.

만약 $\chi$ 가 주 지표 $\chi_0$ 이면, 합의 각 항은 1이고 항의 개수는 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 의 크기인 $\phi(m)$ 개이므로, 합은 $\phi(m)$ 이 된다.
만약 $\chi$ 가 주 지표가 아니면, $\chi(a^*) \ne 1$ 인 $a^* \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ 가 존재한다.^[26] 합 $\sum_{a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times} \chi(a)$ 에 $\chi(a^*)$ 를 곱하면, $\chi$ 의 완전 곱셈성에 의해 다음과 같다.

:

\chi(a^*)\sum_{a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times} \chi(a) = \sum_{a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times} \chi(a^*a)

a

가

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

의 모든 원소를 거치면

a^*a

역시 모든 원소를 거치므로,^[27] 우변의 합은 원래 합과 같다. 즉,

\chi(a^*)\sum \chi(a) = \sum \chi(a)

이다. 이를 정리하면

(\chi(a^*)-1)\sum \chi(a) = 0

이 되고,

\chi(a^*) \ne 1

이므로 합

\sum_{a\in(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times} \chi(a)

는 0이어야 한다.

2. 원소에 대한 합: 주어진 합동류 원소

a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times

에 대해, 법

m

에 대한 모든 디리클레 지표

\chi \in \widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}

(즉, 지표군의 원소)에 대한

\chi(a)

값들의 합은 다음과 같다.

:

\sum_{\chi\in\widehat{(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times}}\chi(a)=    \begin{cases}    \phi(m)&\text{ if  }\;a\equiv 1\pmod{m}\\    0&\text{ if  }\;a\not\equiv 1\pmod{m}.    \end{cases}

만약 $a \equiv 1 \pmod{m}$ 이면, 모든 지표 $\chi$ 에 대해 $\chi(a) = \chi(1) = 1$ 이다. 지표의 개수는 $\phi(m)$ 개이므로 합은 $\phi(m)$ 이다.
만약 $a \not\equiv 1 \pmod{m}$ 이면, $\chi^*(a) \ne 1$ 인 지표 $\chi^*$ 가 존재한다는 보조정리가 필요하다.^[28] 이 보조정리를 이용하면 첫 번째 직교 관계 증명과 유사한 방식으로 합이 0임을 보일 수 있다.

이 두 직교 관계는 군 표현론에서 나타나는 일반적인 직교 관계의 중요한 예시이다.

직교성의 중요한 응용 중 하나는 특정 합동류에 속하는 정수만을 식별하는 지시 함수를 구성하는 것이다.

(a,m)=1

일 때, 함수

f_a(n)

을 다음과 같이 정의한다.

:

f_a(n)=\frac{1}{\phi(m)} \sum_{\chi} \overline{\chi}(a) \chi(n)

여기서

\overline{\chi}(a)

는

\chi(a)

의 복소켤레이며,

\chi(a^{-1})

와 같다 (

a^{-1}

는 법

m

에 대한

a

의 곱셈 역원).

\chi

의 완전 곱셈성을 이용하면

\overline{\chi}(a) \chi(n) = \chi(a^{-1})\chi(n) = \chi(a^{-1}n)

이므로, 위 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

f_a(n) = \frac{1}{\phi(m)} \sum_{\chi} \chi(a^{-1}n)

이제 두 번째 직교 관계를

a^{-1}n

에 적용하면,

:

\sum_{\chi} \chi(a^{-1}n) = \begin{cases} \phi(m), & \text{if } a^{-1}n \equiv 1 \pmod{m} \\ 0, & \text{if } a^{-1}n \not\equiv 1 \pmod{m}\end{cases}

a^{-1}n \equiv 1 \pmod{m}

은

n \equiv a \pmod{m}

과 동치이므로, 최종적으로 다음을 얻는다.

:

f_a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv a \pmod{m} \\ 0, & \text{if } n\not\equiv a\pmod{m}\end{cases}

즉,

f_a(n)

은 정수

n

이 법

m

에 대해

a

와 합동일 때만 1의 값을 갖고, 그렇지 않으면 0의 값을 갖는 합동류

[a]_m

의 지시 함수이다. 이 함수 구성은 디리클레 등차수열 정리의 증명에서 핵심적인 역할을 한다.^[29]^[30]

7. 응용

디리클레 지표는 정수론, 특히 해석적 수론의 여러 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 주요 응용 분야는 다음과 같다.

디리클레 L-함수: 모든 디리클레 지표 $\chi$ 에 대해 대응하는 L-함수 $L(s,\chi)$ 를 정의할 수 있다. 이는 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 증명의 핵심 요소였으며^[36], 해석적 연속을 통해 복소평면 전체로 확장될 수 있다. 원시 지표는 L-함수의 이론을 단순화하는 데 도움을 준다.
모듈 형식: 모듈 형식 이론에서 디리클레 지표는 모듈 형식의 변환 속성을 나타내거나^[45], 기존 모듈 형식으로부터 새로운 모듈 형식을 구성하는 데 사용된다.^[44]^[46] 세타 함수와도 관련이 있다.
가우스 합: 디리클레 지표 $\chi$ 의 가우스 합 $G(\chi)$ 는 L-함수의 함수 방정식에서 중요한 역할을 한다.
야코비 합: 소수 $p$ 를 법으로 하는 두 디리클레 지표 $\chi, \psi$ 에 대해 정의되는 야코비 합 $J(\chi, \psi)$ 는 가우스 합과 관련이 있다.
클로스터만 합: 디리클레 지표를 이용하여 일반화된 클로스터만 합 $K(a,b,\chi)$ 을 정의할 수 있으며, 이는 특수한 경우 가우스 합과 일치한다.^[47]

7. 1. L-함수

모든 디리클레 지표

\chi

에 대하여, 이에 대응하는 L-함수를 정의할 수 있다. 이를 '''디리클레 L-함수'''라고 하며, 다음과 같은 디리클레 L-급수로 정의된다.

:

L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s}

이 급수는 복소수

s

의 실수부가 1보다 클 때 (

\mathfrak{R}s >1

) 수렴한다. 또한, 해석적 연속을 통해

s

에 대한 메로모르픽 함수로 확장될 수 있다.

원시 지표(primitive character)는 L-함수^[36] 및 모듈러 형식 이론에서 수식을 더 간단하게 만드는 데 사용된다.

디리클레 지표

\chi

는

\chi(-1)=1

일 경우 '''짝수 지표'''(even character),

\chi(-1)=-1

일 경우 '''홀수 지표'''(odd character)라고 부른다. 이러한 구분은 디리클레 L-함수의 함수 방정식에서 중요한 역할을 한다.

디리클레는 1837년 발표한 논문에서 등차수열의 소수분포에 관한 정리를 증명하기 위해 디리클레 지표와 함께 L-함수를 처음 도입했다.

7. 2. 모듈 형식 및 함수

디리클레 지표는 모듈 형식과 함수의 이론에서 여러 곳에 나타난다. 대표적인 예는 다음과 같다.^[44]

법

M

에 대한 디리클레 지표

\chi\in\widehat{(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times}

와 원시적인(primitive) 법

N

에 대한 디리클레 지표

\chi_1\in\widehat{(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times}

가 있다고 가정하자.

만약 가중치(weight)

k

, 레벨(level)

M

, 지표(character)

\chi

인 모듈 형식

f(z)

가 다음과 같이 푸리에 급수로 표현된다고 하자.^[45]

:

f(z)=\sum a_n z^n\in M_k(M,\chi)

이때, 지표

\chi_1

을 이용하여 새로운 함수

f_{\chi_1}(z)

를 다음과 같이 정의할 수 있다.^[46]

:

f_{\chi_1}(z)=\sum\chi_1(n)a_nz^n

그러면 이 함수

f_{\chi_1}(z)

는 가중치

k

, 레벨

MN^2

, 지표

\chi\chi_1^2

인 모듈 형식이 된다.

:

f_{\chi_1}(z)\in M_k(MN^2,\chi\chi_1^2)

특히, 만약 원래 함수

f(z)

가 첨점 형식(cusp form)이면, 새롭게 정의된 함수

f_{\chi_1}(z)

도 첨점 형식이다.

다른 예로는 디리클레 지표의 세타 급수가 있다.

7. 3. 가우스 합

법 N에 대한 디리클레 지표 χ의 가우스 합 G(χ)는 다음과 같이 정의된다.

:

G(\chi)=\sum_{a=1}^N\chi(a)e^\frac{2\pi ia}{N}.

이 값은 디리클레 L-함수의 함수 방정식에 중요한 요소로 등장한다.

7. 4. 야코비 합

만약

\chi

와

\psi

가 소수

p

를 법으로 하는 디리클레 지표라면, 야코비 합은 다음과 같이 정의된다.

:

J(\chi,\psi) = \sum_{a=2}^{p-1} \chi(a) \psi(1 - a).

야코비 합은 가우스 합의 곱으로 인수분해될 수 있다.

7. 5. 클로스터만 합

\chi

가 법

q

에 대한 디리클레 지표이고

\zeta = e^\frac{2\pi i}{q}

일 때, 클로스터만 합

K(a,b,\chi)

는 다음과 같이 정의된다.^[47]

:

K(a,b,\chi)=\sum_{r\in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times}\chi(r)\zeta^{ar+\frac{b}{r}}.

만약

b=0

이면, 이 합은 가우스 합이 된다.

8. 역사

페터 구스타프 르죈 디리클레가 디리클레 등차수열 정리를 증명하기 위하여 1831년에 도입하였다.

참조

_[1] 문서 This is the standard definition
_[2] 문서 Note the special case of modulus 1: the unique character mod 1 is the constant 1; all other characters are 0 at 0
_[3] 문서
_[4] 문서 An English translation is in External Links
_[5] 문서 Used in Davenport, Landau, Ireland and Rosen
_[6] 문서 " $(rs,m)=1$ is equivalent to $\gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1$ "
_[7] 문서 See [[Multiplicative character]]
_[8] 문서
_[9] 문서 See [[Character group#Orthogonality of characters]]
_[10] 문서
_[11] 문서 These properties are derived in all introductions to the subject
_[12] 문서 In general, the product of a character mod $m$ and a character mod $n$ is a character mod $\operatorname{lcm}(m,n)$
_[13] 문서 Except for the use of the modified Conrie labeling, this section follows
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_[16] 문서 See [[Multiplicative group of integers modulo n#General composite numbers|group of units]] for details
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_[19] 문서 For example let $m=40, q_1=8, q_2=5.$ Then $G_1=\{1,11,21,31\}$ and $G_2=\{1,9,17,33\}.$ The factorization of the elements of $(\mathbb{Z}/40\mathbb{Z})^\times$ is
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_[21] 문서 Because these formulas are true for each factor.
_[22] 문서 This is true for all finite abelian groups: $A\cong\hat{A}$
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_[24] 문서 This is the same thing as saying that the n-th column and the n-th row in the tables of nonzero values are the same.
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_[30] 문서 Note that if $g:(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\rightarrow\mathbb{C}$ is any function
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_[36] 서적 L(s,χ)의 함수 방정식
_[37] 수학 Legendre symbol
_[38] 서적
_[39] 서적
_[40] 서적
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_[45] 수학 f(z) ∈ M_k(M,χ)
_[46] 수학 twist of f by χ_1
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_[48] 서적
_[49] 미분류
_[50] 미분류
_[51] 미분류

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