무한 원숭이 정리

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1. 개요

무한 원숭이 정리는 무한한 시간 동안 무작위로 문자를 입력하면 결국 셰익스피어의 작품과 같은 특정 텍스트를 생성할 수 있다는 확률적 사고 실험이다. 이 정리는 수학적 증명과 문자열, 확률 등을 통해 설명되며, 셰익스피어 희곡에 적용될 수 있다. 현실적으로는 관측 가능한 우주 내 원자 수보다 많은 원숭이가 우주의 수명보다 긴 시간 동안 타자를 쳐도 셰익스피어의 작품을 복제할 확률은 극히 낮지만, 수학적으로는 '거의 확실하게' 텍스트를 생성할 수 있다. 이 개념은 통계역학, 문학 이론, 난수 생성 검증 등 다양한 분야에서 응용되며, 대중문화에서도 널리 활용된다. RFC 2795는 만우절 RFC로, 무한 원숭이 프로토콜을 제안하는 장난스러운 문서이다.

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무한 원숭이 정리
기본 정보
이름	무한 원숭이 정리
영어 이름	Infinite monkey theorem
설명	무작위로 키보드를 두드리는 원숭이가 무한한 시간 동안 타이핑을 계속하면 특정 문서를 칠 확률이 1에 가깝다는 확률론적 개념
내용
핵심 내용	무한한 시간과 자원이 주어진다면, 원숭이가 무작위로 키보드를 두드려도 셰익스피어의 작품과 같은 특정 텍스트를 생성할 확률은 1에 수렴한다.
의미	매우 낮은 확률의 사건이라도 무한한 시도 횟수 안에서는 반드시 일어난다. 조합론적 폭발
역사적 맥락	에밀 보렐의 1913년 저서에 등장 아리스토텔레스의 《생성에 대하여》와 키케로의 《신(神)의 본성에 관하여》에서 유사한 아이디어 발견
다른 이름	무한 타자기 정리
철학적 의미	가능성의 무한성 우연과 필연의 관계
수학적 의미
확률	원숭이가 특정 문자를 칠 확률은 1/글자 수이다. 따라서 n개의 문자로 이루어진 특정 문구를 칠 확률은 (1/글자 수)^n이다.
무한	원숭이가 무한한 시간 동안 타이핑을 한다면, 특정 문구를 칠 확률은 1에 수렴한다.
응용
정보 이론	무작위 데이터 생성의 가능성
진화 생물학	돌연변이와 자연 선택의 역할
예술	무작위성의 미학
비판
현실성	실제로 원숭이가 셰익스피어 작품을 만들어낼 가능성은 극히 낮다.
효율성	무작위적인 시도보다 체계적인 방법이 더 효율적이다.
대중문화 속의 무한 원숭이 정리
영화	콘스탄트 가드너 (2006), 이터널 선샤인 (2004)
소설	《우주의 영웅》, 《마음의 아이》
기타	인터넷 밈으로 활용 컴퓨터 프로그램으로 구현

2. 수학적 증명 및 설명

이 "정리"는 거대하지만 유한한 수를 상상함으로써 무한에 관한 이론을 다루는 것의 위험성, 그리고 무한을 상상함으로써 거대한 수를 다루는 것의 위험성에 대해 시사점을 제공한다. 원숭이가 타자기를 쳐서 특정 텍스트를 얻을 확률은, 예를 들어 『햄릿』 정도의 길이라면, 극히 작아진다. 우주의 나이에 필적하는 시간을 들여도, 실제로 그런 일이 일어날 가능성은 거의 없다. 그러나, 정리는 "충분히 긴" 시간을 들이면 "거의 확실"하게 그렇게 된다고 주장한다.^[80]

정리의 주장에 포함된 "충분히 긴", "거의 확실"과 같은 말은 확률론 및 그 기초가 되는 해석학에서 엄밀하게 정의된 용어이며, 따라서 정리의 주장은 수학적으로 의미 있는 주장이다. "거의 확실하게"라는 말은 측도론에 기초한 확률론에서 사용되는 단어이며, 주장의 내용을 정확하게 이해하거나 증명하려면 측도론을 필요로 한다.

이야기를 간단하게 하기 위해, 타자기의 키가 100개 있다고 가정한다 (이는 실제 키 배열에서의 수에 가깝다). 예를 들어 "monkey"라는 단어는 6글자이므로, 무작위로 키를 두드려 "monkey"라고 타이핑될 확률은 다음과 같다.

: $\begin{align} \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} &= \left( \frac{1}{100} \right)^6 &=\frac{1}{1000000000000}\end{align}$ (1조분의 1)

이것은 매우 작은 확률이지만 0은 아니므로, 원숭이가 "무작위로 6개의 키를 친다"라는 조작을 매우 많이 반복하면 "monkey"라는 문자열이 타이핑될 확률은 100%에 매우 가까워진다.

문자 수가 7개, 8개로 늘어날 때마다 그 문장이 쳐질 확률은 줄어들지만, 0이 아니므로, 7글자든 8글자든 끈기 있게 무작위로 키를 계속 치면 언젠가는 그 문장이 쳐진다. 마찬가지로, 셰익스피어의 저작처럼 몇만 자나 포함된 긴 글이라도 언젠가는 쳐지게 된다.

하지만 문장의 문자 수가 증가할수록 그 문장이 쳐질 확률은 지수 함수적으로 감소하며, 그러한 문자열이 나타나는 데 필요한 시간의 기대값은 엄청난 속도로 상승한다(지수 시간 참조). 예를 들어 1초에 10만 자를 칠 수 있어도, 단 100자의 문장을 치는 데 필요한 시간은 100억 년의 1무량대수 배인 1000경 배(10⁹⁷년)가 된다. 원숭이가 『햄릿』을 치는 데 걸리는 시간은 이보다 훨씬 길다. 이론상 유한한 시간 안에 원숭이는 어떤 문장이든 칠 수 있지만, 그에 필요한 시간은 상상을 초월할 정도로 크다.

이처럼 인간의 직관으로는 있을 수 없다고 생각되지만, 수학 정리상으로는 무한 원숭이 정리가 당연하게 성립한다.

햄릿이 20만 자라고 가정하면, 그것이 쳐질 확률은 100분의 1을 20만 제곱한 값이다. 그 분모인 100²⁰⁰⁰⁰⁰은 그레이엄 수에 비하면 0에 가까울 정도로 작은 수치이다. 그리고 "충분히 긴"은 그 그레이엄 수조차 0에 가까울 정도로 큰 수치를 정의하고 있다. 그러므로 확률 분모 100²⁰⁰⁰⁰⁰은 순식간에 흡수되어, 햄릿은 "충분히 긴" 시간 안에 거의 확실하게 원숭이에 의해 타자기로 쳐지게 된다.

2. 1. 직접 증명

두 사건이 확률적으로 독립일 경우(두 사건이 서로의 결과에 영향을 주지 않음), 두 사건이 동시에 일어날 확률은 두 확률의 곱과 같다.

타자기에 50개의 키가 있고, 입력해야 하는 단어가 banana라고 할 때, 'b'를 칠 확률은

\textstyle \frac 1 {50}

이다. 마찬가지로, 'a'를 칠 확률도

\textstyle \frac 1 {50}

이며, 다른 문자들도 이와 같다. 따라서 'banana'라는 단어를 입력할 확률은

\textstyle \frac 1 {50} \times \frac 1 {50} \times \frac 1 {50} \times \frac 1 {50} \times \frac 1 {50} \times \frac 1 {50} = \frac{1}{50^6}

이다. 6개의 입력된 알파벳이 'banana'일 확률은 역시

\textstyle \frac{1}{50^6}

이다.

위와 같이 'banana'를 입력하지 못할 확률은

\textstyle 1-\frac{1}{50^6}

이다. 각 사건은 독립이므로,

n

블록의 단어를 연속으로 치고 'banana'를 한 번도 입력하지 못할 확률

\textstyle X_n

은

\textstyle X_n=\left(1-\frac{1}{50^6}\right)^n

이다.

n

이 커질수록

X_n

는 작아진다.

n

이 백만일 때는

X_n = 99.99\%

이지만,

n

이 백억일 때는 53%이며, 천억일 때는 0.17%이다. 이와 같이

n

이 무한으로 접근할수록

X_n

의 극한값은 0에 근접한다. 다시 말하면,

n

값이 증가할수록

X_n

은 작아진다.^[80]

2. 2. 셰익스피어 희곡에 대한 적용

타자기에 70가지 키가 있다고 가정하고, 원숭이가 셰익스피어의 희곡을 무작위로 입력하는 상황을 생각해 보자. 셰익스피어 희곡은 14편이고, 한 권은 약 400페이지, 한 페이지당 약 3600개의 문자가 있으므로, 희곡 전체는 대략 20,160,000자이다. 원숭이 한 마리가 70개의 문자 중 하나를 무작위로 골라 20,160,000자의 희곡을 입력할 가능성은

\frac{1}{70^{20160000}}

에 불과하다. 이는

3.2607...\times10^{-37197177}

정도로 극히 희박한 확률이지만, 원숭이의 수가 늘어나면 그 가능성은 100%에 가깝게 증가한다.^[80]

2. 3. 무한 문자열

위의 두 정의는 더 일반적이고 간단하게 표현될 수 있으며, 문자열을 이용해서 가능하다. 다음과 같이 더 일반적이고 간결하게, 유한한 알파벳에서 선택된 문자들의 시퀀스인 문자열의 관점에서 표현할 수 있다.

각 문자가 균등하게 무작위로 선택된 무한 문자열이 주어지면, 임의의 주어진 유한 문자열은 거의 확실하게 어떤 위치에서 부분 문자열로 나타난다.
각 문자열의 각 문자가 균등하게 무작위로 선택된 무한 문자열의 무한 시퀀스가 주어지면, 임의의 주어진 유한 문자열은 거의 확실하게 이러한 문자열 중 하나의 접두사로 나타난다.

두 경우 모두 두 번째 보렐-칸텔리 보조정리에서 쉽게 파생된다. 두 번째 정리에 대해, ''E''_''k''를 ''k''번째 문자열이 주어진 텍스트로 시작하는 사건이라고 하자. 이것은 발생할 고정된 0이 아닌 확률 ''p''를 가지기 때문에, ''E''_''k''는 독립적이며, 아래의 합은 발산한다.

:

\sum_{k=1}^\infty P(E_k) = \sum_{k=1}^\infty p = \infty,

무한히 많은 ''E''_''k''가 발생할 확률은 1이다. 첫 번째 정리는 유사하게 증명된다. 무작위 문자열을 원하는 텍스트의 크기와 일치하는 겹치지 않는 블록으로 나누고 ''E''_''k''를 ''k''번째 블록이 원하는 문자열과 같아지는 사건으로 만들 수 있다.^[3]

2. 4. 확률

두 사건이 통계적 독립일 경우, 두 사건 모두 일어날 확률은 각 사건이 독립적으로 일어날 확률의 곱과 같다. 예를 들어, 50개의 키가 있는 타자기로 '바나나'라는 단어를 칠 확률을 생각해 보자. 키가 무작위로, 그리고 독립적으로 눌러진다고 가정하면, 첫 글자가 'b'일 확률은 1/50, 두 번째 글자가 'a'일 확률도 1/50이며, 이런 식으로 계속된다. 따라서 처음 여섯 글자가 '바나나'가 될 확률은 (1/50)⁶ = 1/15,625,000,000이다. 이는 150억 분의 1보다 작지만 0은 아니다.

6개의 글자 묶음에서 '바나나'를 치지 않을 확률은 1 − (1/50)⁶이다. 각 묶음은 독립적으로 입력되므로, 처음 n개의 6글자 묶음에서 '바나나'를 입력하지 않을 확률 X_n은 다음과 같다.

:

X_n=\left(1-\frac{1}{50^6}\right)^n.

n이 증가함에 따라 X_n은 작아진다. n = 100만일 때 X_n은 대략 0.9999이고, n = 100억일 때 X_n은 대략 0.53이며, n = 1000억일 때 약 0.0017이다. n이 무한대에 가까워짐에 따라 확률 X_n은 0에 접근한다. 즉, n을 충분히 크게 함으로써 X_n을 원하는 만큼 작게 만들 수 있으며, '바나나'를 입력할 확률은 100%에 접근한다.

그러나 물리적으로 의미 있는 수의 원숭이들이 물리적으로 의미 있는 시간 동안 타자를 치는 경우 결과는 정반대가 된다.

구두점, 공백, 대문자를 무시하고 원숭이가 무작위로 문자를 타자 칠 때, 햄릿의 첫 글자를 올바르게 칠 확률은 1/26이다. 첫 두 글자를 칠 확률은 1/676 (1/26 × 1/26)이다. 확률은 지수적으로 줄어들기 때문에, 20글자만 되어도 1/26²⁰, 즉 1/19,928,148,895,209,409,152,340,197,376 (거의 2 × 10²⁸) 분의 1의 확률밖에 되지 않는다. ''햄릿''의 전체 텍스트는 대략 130,000개의 문자를 포함하고 있으므로, 첫 시도에서 텍스트를 맞출 확률은 대략 1/3.4 × 10^183,946이다.

키텔과 크로머는 열역학 교과서에서 "따라서 ''햄릿''의 확률은 사건의 어떤 운용 가능한 의미에서도 0이며...", 원숭이가 결국 성공해야 한다는 진술은 "아주, 아주 큰 숫자에 대해 오해의 소지가 있는 결론을 내린다."라고 말했다.

2. 5. 거의 확실하게

무한히 무작위로 생성된 텍스트 문자열이 특정 유한 부분 문자열을 포함할 확률은 1이다. 그러나 이것이 부분 문자열이 나타나지 않는 것이 "불가능"하다는 것을 의미하지는 않는다.^[2] 부분 문자열이 나타나지 않을 사전 확률은 0이지만, 그럼에도 불구하고 불가능한 것은 아니다. 예를 들어, 불멸의 원숭이는 첫 글자로 G, 두 번째 글자로 G를 입력하고 그 이후 모든 글자로 G를 입력하여 무한히 G 문자열을 생성할 수 있다. 원숭이가 다른 것을 입력하도록 강요될 필요는 없다. (그렇지 않다고 가정하는 것은 도박사의 오류를 범하는 것이다.) 무작위로 생성된 유한 문자열이 아무리 길더라도, 동일한 문자가 반복되어 구성될 가능성은 작지만 0이 아니다. 이 가능성은 문자열의 길이가 무한대에 가까워질수록 0에 가까워진다. 이러한 단조로운 시퀀스(예: GGGGG...)에는 특별한 점이 없지만 설명하기 쉽다. 동일한 사실이 "RGRGRG"가 영원히 반복되거나 "a-b-aa-bb-aaa-bbb-..." 또는 "3, 6, 9, 12..."와 같이 이름을 붙일 수 있는 특정 시퀀스에도 적용된다.

가상적인 원숭이가 숫자와 구두점을 포함하여 90개의 동일한 가능성을 가진 키가 있는 타자기를 가지고 있다면, 처음 입력된 키는 "3.14"(파이의 처음 세 파이의 숫자)와 같은 확률이 (1/90)⁴, 즉 1/65,610,000이다. 마찬가지로 "GGGG", "mATh", 또는 "q%8e"와 같이 타자기가 허용하는 다른 네 개의 문자로 구성된 문자열도 동일한 확률을 갖는다. 100개의 무작위로 입력된 키가 파이의 처음 99자리 숫자(구분 기호 키 포함) 또는 해당 길이의 다른 ''특정'' 시퀀스로 구성될 확률은 훨씬 낮다: (1/90)¹⁰⁰. 원숭이에게 할당된 텍스트 길이가 무한하다면, 파이의 숫자만 입력할 확률은 0이며, 이는 G만 입력할 확률(또한 확률 0)과 마찬가지로 ''가능하다''(수학적으로 확률이 있다).

이는 ''햄릿''의 특정 버전 다음에 끝없이 반복되는 복사본을 입력하는 경우에도 적용된다. 또는 ''햄릿'' 다음에 파이의 모든 숫자를 즉시 입력하는 경우에도 적용된다. 이러한 특정 문자열은 동일하게 무한대의 길이를 가지며, 사고 실험의 조건에 의해 금지되지 않으며, 각각 사전 확률이 0이다. 사실, 불멸의 원숭이가 입력하는 ''모든'' 특정 무한 시퀀스는 원숭이가 무언가를 입력해야 함에도 불구하고, ''0''의 사전 확률을 가진다.^[2]

이것은 무작위 텍스트의 유한 문자열이 길어질수록 특정 문자열이 ''될'' 확률이 점점 낮아진다는 원리의 확장이다(비록 모든 특정 문자열이 동일하게 발생하기 어렵더라도). 이 확률은 문자열이 무한대에 가까워질수록 0에 가까워진다. 따라서 90개의 키보드에서 원숭이가 파이의 모든 숫자와 같이 끝없이 긴 문자열을 입력할 확률은 (1/90)^∞이며, 이는 (1/∞)와 같으며, 본질적으로 0이다. 동시에, 시퀀스가 특정 부분 시퀀스(예: MONKEY라는 단어, 또는 파이의 12번째부터 999번째 숫자, 또는 킹 제임스 성경 버전)를 ''포함할'' 확률은 총 문자열이 증가함에 따라 증가한다. 이 확률은 총 문자열이 무한대에 가까워질수록 1에 가까워지며, 따라서 원래 정리는 옳다.

2. 6. 문자열과 숫자 사이의 대응

이 사고 실험을 단순화하기 위해, 원숭이가 1과 0 두 개의 키만 있는 타자기를 가지고 있다고 가정한다. 이 경우 원숭이가 무한히 긴 문자열을 치게 되는데, 이 문자열은 0과 1 사이의 실수를 이진 표기로 나타낸 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 문자열 "101010..."은 0.101010...₂ = 2/3에 해당한다.

여기서 정규수라는 개념을 도입할 수 있다. 정규수는 0과 1이 모든 가능한 패턴으로 균등하게 나타나는 수를 의미한다. 예를 들어, 0.101100111000...₂ 와 같이 0과 1이 무작위로 나타나는 수는 정규수일 가능성이 높다.

원숭이가 무한히 긴 문자열을 칠 때, 이 문자열이 정규수에 해당할 확률은 1이다. 즉, 원숭이가 무작위로 키를 누르는 행위는 거의 확실하게 정규수를 만들어낸다. 이는 무한히 많은 0과 1의 나열에서 특정 패턴이 나타나지 않을 확률이 극히 작기 때문이다.

3. 역사

확률론자들이 이 정리를 알고 있는 한 형태는 에밀 보렐의 1913년 논문 "''Mécanique Statique et Irréversibilité''"('정적 역학 및 비가역성')^[6]와 1914년 그의 저서 "Le Hasard"에 등장하는 "타자(打字)를 하는" 원숭이(; 프랑스어 단어 ''singe''는 원숭이와 유인원을 모두 포함한다)이다.^[7] 보렐은 백만 마리의 원숭이가 하루 10시간 동안 타자를 친다면, 그들이 만들어내는 결과물이 세계에서 가장 부유한 도서관의 모든 책과 정확히 일치할 가능성은 극히 낮지만, 통계역학의 법칙이 잠시라도 위반될 가능성은 더욱 낮다고 말했다.

아서 에딩턴은 1928년 저서 "물리적 세계의 본성"에서 보렐의 이미지를 더욱 발전시켰다. 그는 "만약 내가 손가락으로 타자기 자판을 아무렇게나 치면, 나의 낙서가 이해할 수 있는 문장이 될 수도 있다. 만약 원숭이 군대가 타자기를 두드린다면, 그들은 대영 박물관의 모든 책을 쓸 수도 있을 것이다. 그렇게 될 가능성은 분자들이 용기의 반으로 돌아갈 가능성보다 훨씬 더 유리하다."라고 썼다.^[8]^[9]

1939년 에세이 "총체적 도서관"에서 아르헨티나 작가 호르헤 루이스 보르헤스는 무한 원숭이 개념의 기원을 아리스토텔레스의 ''형이상학''으로 거슬러 올라갔다. 레우키포스는 세계가 원자의 무작위 결합을 통해 생겨났다고 주장했는데, 아리스토텔레스는 원자 자체가 균질하며 원자의 가능한 배열은 모양, 위치, 순서에서만 차이가 있다고 언급했다. 그리스 철학자는 그의 저서 ''생성과 부패에 관하여''에서 이 점을 비극과 희극이 동일한 "원자", 즉 알파벳 문자로 구성되는 방식에 비유했다.^[10] 3세기 후, 키케로는 ''신들의 본성에 관하여''(De natura deorum)에서 에피쿠로스 학파의 원자론자의 세계관에 반박하며 "금이나 다른 물질로 만들어진 스물한 개의 문자가 땅에 던져지면, 그것들이 에니우스의 ''연대기''를 읽을 수 있도록 배열될 것이라고 믿는 것과 같다."라고 주장했다.^[11]

보르헤스는 이 주장의 역사를 블레즈 파스칼과 조나단 스위프트를 거쳐 추적하며,^[12] 당시 어휘가 바뀌었음을 지적했다. 1939년까지 표현은 "타자기를 갖춘 반 다스의 원숭이들이 몇몇 영겁의 시간을 거치면 대영 박물관의 모든 책을 만들어낼 것이다"였다.(보르헤스는 "엄밀히 말하면 불멸의 원숭이 한 마리면 충분하다"고 덧붙였다.)^[57]

제임스 진스는 1931년 저서 "''The Mysterious Universe''"에서 원숭이 비유의 기원은 "헉슬리"(아마도 토마스 헨리 헉슬리를 가리키는 것으로 보임)에 있다고 했으나, 이는 오해이다.^[40] 오늘날에는 1860년 6월 30일 옥스퍼드에서 개최된 영국 과학 진흥 협회에서 헉슬리가 찰스 다윈의 『종의 기원』을 둘러싸고 국교회 옥스퍼드 주교 새뮤얼 윌버포스와 벌인 논쟁(1860년 옥스퍼드 진화 논쟁)에서 헉슬리가 예를 든 것이라고 말해지는 경우가 있는데, 이는 근거가 부족할 뿐만 아니라 1860년대에는 타자기가 아직 등장하지 않았다는 사실이 있으므로 믿기 어렵다.^[41]

3. 1. 통계역학

에밀 보렐과 아서 에딩턴은 통계역학의 기초를 설명하기 위해 무한 원숭이 정리를 사용했다. 보렐은 1913년 논문 "''Mécanique Statistique et Irréversibilité^프랑스어''"(정적 역학 및 비가역성^한국어)^[6]와 1914년 저서 "''Le Hasard^프랑스어''"^[7]에서 "타자(打字)를 하는 원숭이"()라는 표현을 사용했다. 그는 백만 마리의 원숭이가 하루 10시간 동안 타자를 친다면, 그들이 만들어내는 결과물이 세계에서 가장 부유한 도서관의 모든 책과 정확히 일치할 가능성은 극히 낮지만, 통계 역학의 법칙이 잠시라도 위반될 가능성은 훨씬 더 낮다고 말했다.^[70]

아서 에딩턴은 1928년 저서 "물리적 세계의 본성"에서 보렐의 이미지를 더욱 발전시켰다. 그는 "만약 원숭이 군대가 타자기를 두드린다면, 그들은 대영 박물관의 모든 책을 쓸 수도 있을 것이다. 그렇게 될 가능성은 분자들이 용기의 반으로 돌아갈 가능성보다 훨씬 더 유리하다."라고 썼다.^[8]^[9]^[71]

이러한 이미지는 매우 많은 수의 원숭이가 오랜 시간 동안 작업하여 상당한 작품을 만들어내는 희소성과, 이보다 훨씬 더 큰 특정 물리적 현상의 희소성을 비교하도록 한다. 즉, 원숭이의 성공보다 훨씬 덜 발생할 가능성이 있는 물리적 과정은 사실상 불가능하며, 그러한 과정은 절대 일어나지 않을 것이라고 말할 수 있다.^[4]

찰스 키텔과 허버트 크레이머는 열역학 교과서의 연습 문제에서 원숭이가 햄릿을 쳐낼 확률에 대해 질문하며, "햄릿의 확률은 어떤 실제적인 사건이라는 의미에서도 0이다"라고 하였다.^[72]

3. 2. 기원과 "총체적 도서관"

singes dactylographes^프랑스어(타자를 치는 원숭이; 프랑스어 단어 singe^프랑스어는 원숭이와 유인원을 모두 포함한다)라는 표현이 등장하는, 확률론자들이 알고 있는 한 형태의 이 정리는 에밀 보렐의 1913년 논문 "''Mécanique Statique et Irréversibilité^프랑스어''"('정적 역학 및 비가역성')^[6]와 1914년 그의 저서 "Le Hasard"에 등장한다.^[7] 보렐의 "원숭이"는 실제 원숭이가 아니라, 크고 무작위적인 문자열을 생성하는 상상적인 방법에 대한 비유였다. 보렐은 백만 마리의 원숭이가 하루 10시간 동안 타자를 친다면, 그들이 만들어내는 결과물이 세계에서 가장 부유한 도서관의 모든 책과 정확히 일치할 가능성은 극히 낮지만, 통계 역학의 법칙이 잠시라도 위반될 가능성은 더욱 낮다고 말했다.

아서 에딩턴은 "물리적 세계의 본성"(1928)에서 보렐의 이미지를 더욱 발전시켰다. 그는 "만약 내가 손가락으로 타자기 자판을 아무렇게나 치면, 나의 낙서가 이해할 수 있는 문장이 될 수도 있다. 만약 원숭이 군대가 타자기를 두드린다면, 그들은 대영 박물관의 모든 책을 쓸 수도 있을 것이다. 그렇게 될 가능성은 분자들이 용기의 반으로 돌아갈 가능성보다 훨씬 더 유리하다."라고 썼다. 이러한 이미지는 독자에게 크지만 유한한 수의 원숭이가 크지만 유한한 시간 동안 작업하여 상당한 작품을 만들어내는 것의 믿을 수 없는 희소성과, 이보다 훨씬 더 큰 특정 물리적 현상의 희소성을 비교하도록 유도한다.

1939년 에세이 "총체적 도서관"에서 아르헨티나 작가 호르헤 루이스 보르헤스는 무한 원숭이 개념의 기원을 아리스토텔레스의 ''형이상학''으로 거슬러 올라갔다. 레우키포스는 세계가 원자의 무작위 결합을 통해 생겨났다고 주장했는데, 아리스토텔레스는 원자 자체가 균질하며 원자의 가능한 배열은 모양, 위치, 순서에서만 차이가 있다고 언급했다. 그리스 철학자는 그의 저서 ''생성과 부패에 관하여''에서 이 점을 비극과 희극이 동일한 "원자", 즉 알파벳 문자로 구성되는 방식에 비유했다.^[10] 3세기 후, 키케로는 ''신들의 본성에 관하여''(De natura deorum)에서 에피쿠로스 학파의 원자론자의 세계관에 반박하며 "금이나 다른 물질로 만들어진 스물한 개의 문자가 땅에 던져지면, 그것들이 에니우스의 ''연대기''를 읽을 수 있도록 배열될 것이라고 믿는 것과 같다."라고 주장했다.

보르헤스는 이 주장의 역사를 블레즈 파스칼과 조나단 스위프트를 거쳐 추적하며,^[12] 당시 어휘가 바뀌었음을 지적했다. 1939년까지 표현은 "타자기를 갖춘 반 다스의 원숭이들이 몇몇 영겁의 시간을 거치면 대영 박물관의 모든 책을 만들어낼 것이다"였다.(보르헤스는 "엄밀히 말하면 불멸의 원숭이 한 마리면 충분하다"고 덧붙였다.) 보르헤스는 이 사업을 최대한 확장했을 때 이 총체적 도서관의 내용을 상상하며, "모든 것이 맹목적인 책에 담길 것이다. 모든 것: 미래의 상세한 역사, 아이스킬로스의 ''이집트인들'', 갠지스 강의 물이 매의 비행을 반영한 정확한 횟수, [...] 정리의 증명, [...]" 등을 언급했다.

보르헤스의 총체적 도서관 개념은 널리 읽힌 1941년 단편 소설 "바벨의 도서관"의 주요 주제였는데, 이 소설은 알파벳 문자와 몇 개의 구두점 문자로 구성된 모든 가능한 책들을 담고 있는, 서로 연결된 육각형 방으로 구성된 상상할 수 없을 정도로 광대한 도서관을 묘사한다.

; 조나단 스위프트의 『걸리버 여행기』(1726년)

: 걸리버는 발니바비에 들렀을 때 "어떤 무지한 인간이라도 [...] 훌륭하게 철학이나 시, 정치, 법률, 수학, 신학에 관한 서적을 쓸 수 있다"는 선전의 장치(더 엔진)를 견학한다. 장치에는 동국의 언어의 모든 단어가 수납되어 있으며, 그것들을 기계적으로 조합하여 문장과 비슷한 것을 만들어낸다. 장치의 발명자는 이것을 베껴나가면 "모든 기술과 학문에 관한 완전한 백과사전"을 만들 수 있다고 생각한다.^[58] 스위프트는 이 묘사로, 실생활에 도움이 되지 않는 연구에 몰두하는 당시의 과학계를 풍자하고 있다.

4. 실제 원숭이를 이용한 실험

2002년, 플리머스 대학교 미디어랩 아트(MediaLab Arts) 과정의 강사와 학생들은 영국 예술 위원회로부터 2000GBP의 보조금을 받아 실제 원숭이들의 문학적 결과물을 연구했다. 이들은 5월 1일부터 6월 22일까지 영국 데번 주 페인턴 동물원에 있는 6마리의 술라웨시 검정원숭이 사육장에 컴퓨터 키보드를 설치하고, 웹사이트에서 결과를 방송하기 위한 무선 링크를 연결했다.^[14]

원숭이들은 총 5페이지 분량의 결과물을 생성했는데, 그 내용은 대부분 "S"라는 글자로 이루어져 있었다.^[15] 우두머리 수컷은 돌로 키보드를 두드렸고, 다른 원숭이들은 기계에 소변을 보고 대변을 보았다.^[16] 대학교 디지털 예술 기술 연구소(i-DAT)의 소장인 마이크 필립스(Mike Phillips)는 예술가들의 지원을 받은 이 프로젝트가 주로 퍼포먼스 아트였으며, 그들은 이로부터 "엄청나게 많은" 것을 배웠다고 말했다. 그는 원숭이들이 "무작위 생성기가 아니다. 그들은 그보다 더 복잡하다. ... 그들은 화면에 상당히 관심이 있었고, 글자를 칠 때 뭔가 일어나는 것을 보았다. 거기에는 의도가 있었다."라고 결론 내렸다.^[14]^[17]

5. 응용 및 비판

무한 원숭이 정리는 수학적 확률의 극단적인 예시로, 실제 응용에는 여러 비판과 논쟁이 존재한다.

리처드 도킨스는 저서 《눈먼 시계공》에서 족제비 프로그램을 통해 자연 선택에 의한 진화를 설명하려 했다. 그러나 이는 장기적인 목표가 없는 실제 진화와 달리, 족제비 프로그램은 특정 목표 텍스트를 향해 진행된다는 점에서 불완전한 비유라는 한계가 있다.^[22] 일부 창조론자들은 원숭이가 우연히 햄릿을 타이핑할 수 없듯이, 자연 법칙이 DNA 정보를 생성할 수 없다고 주장한다.^[20] 존 F. 맥아더 목사는 아메바에서 촌충으로의 유전자 돌연변이가 원숭이가 햄릿의 독백을 타이핑하는 것만큼 가능성이 낮다고 주장했다.^[21]

R. G. 콜링우드는 예술은 우연으로 만들어질 수 없다고 주장하며, 원숭이가 타자기를 통해 셰익스피어 작품을 만들 수 있다는 주장을 비판했다.^[26] 반면, 넬슨 굿맨은 캐서린 엘긴과 함께 보르헤스의 『『돈 키호테』의 저자 피에르 메나르』를 예로 들어, 원숭이가 만들어낸 텍스트도 ''돈키호테''의 예시가 될 수 있다고 주장했다.^[27] 제라르 주네트는 굿맨의 주장을 논점 선취의 오류로 일축했다.^[28] 호르헤 J. E. 그라시아는 텍스트의 동일성 문제를 작가의 문제로 확장하여, 원숭이가 『햄릿』을 칠 수 있다면 텍스트는 작가를 필요로 하지 않는 것처럼 보인다고 지적했다.^[29]

조지 마르살리아와 아리프 자만은 난수 생성기의 성능 검증에 무한 원숭이 정리와 유사한 "중첩 m-튜플 검정"을 사용했다. 그들은 이 검정을 "원숭이 검정"이라고 부르면 학생들이 더 흥미를 느낀다는 것을 발견했다.^[32]

5. 1. 진화론 논쟁

리처드 도킨스는 저서 《눈먼 시계공》에서 자연 선택이 무작위적 변이로부터 생물학적 복잡성을 만들어내는 능력을 설명하기 위해 족제비 프로그램을 제시했다.^[22] 이 프로그램은 무작위로 생성된 문구 중 목표 텍스트("METHINKS IT IS LIKE A WEASEL")와 일치하는 부분을 고정하여 다음 세대를 생성하는 방식으로, 약 40세대 만에 목표 문구에 도달했다. 이는 무작위적 변이가 원재료를 제공하고, 누적적 선택이 정보를 부여하는 역할을 한다는 것을 보여준다.

그러나 도킨스는 족제비 프로그램이 진화의 불완전한 비유라고 인정한다. 진화는 장기적인 계획이나 목표가 없지만, 족제비 프로그램은 "먼 이상적 대상"과의 유사성을 기준으로 자손을 선택하기 때문이다. 족제비 프로그램은 무작위적이지 않은 누적적 선택과 무작위적인 단일 단계 선택의 차이를 설명하기 위한 것이다.^[22]

일부 창조론자들은 원숭이가 우연히 햄릿을 타이핑하더라도 의도가 없으므로 햄릿을 생산할 수 없다고 주장하며, 자연 법칙이 DNA의 정보를 생성할 수 없다고 주장한다.^[20] 존 F. 맥아더 목사는 아메바에서 촌충으로의 유전자 돌연변이가 원숭이가 햄릿의 독백을 타이핑하는 것만큼 가능성이 낮다고 주장하며, 진화의 확률을 극복하는 것은 불가능하다고 주장했다.^[21]

5. 2. 문학 이론

R. G. 콜링우드는 1938년, 예술은 우연으로 만들어질 수 없다고 주장하며, 그의 비평가들에게 다음과 같이 비꼬았다.

> "... 어떤 ... 사람들은 이 명제를 부정하며, 만약 원숭이가 타자기를 가지고 놀면 ... 그는 ... 셰익스피어의 완전한 텍스트를 만들어낼 것이라고 지적했다. 아무 할 일 없는 독자라면 확률에 돈을 걸 만한 가치가 생기기까지 얼마나 걸릴지 계산하며 재미있게 시간을 보낼 수 있을 것이다. 하지만 이 제안의 흥미로운 점은 셰익스피어의 '작품'을 책 페이지에 인쇄된 일련의 글자들과 동일시할 수 있는 사람의 정신 상태를 드러낸다는 데에 있다..."^[26]

넬슨 굿맨은 R. G. 콜링우드와 반대 입장을 취하며, 캐서린 엘긴과 함께 보르헤스의 『『돈 키호테』의 저자 피에르 메나르』의 예를 들어 다음과 같이 주장했다.

> "메나르가 쓴 것은 단순히 텍스트의 또 다른 기록일 뿐이다. 우리 중 누구라도, 인쇄기와 복사기와 마찬가지로 똑같은 것을 할 수 있다. 사실, 무한히 많은 원숭이들이 있다면 ... 결국 텍스트의 복제본을 만들어낼 것이라고 한다. 우리는 그 복제본이 세르반테스의 원고, 메나르의 원고, 그리고 지금까지 인쇄되었거나 앞으로 인쇄될 책의 각 복사본과 마찬가지로 작품, ''돈키호테''의 예시가 될 것이라고 주장한다."^[27]

굿맨은 다른 저서에서 "원숭이가 무작위로 복사본을 만들었다고 가정해도 아무런 차이가 없다. 그것은 동일한 텍스트이며, 모든 동일한 해석에 열려 있다."라고 덧붙였다.^[28] 제라르 주네트는 굿맨의 주장을 논점 선취의 오류로 일축했다.^[28]

호르헤 J. E. 그라시아는 텍스트의 동일성에 대한 질문은 작가에 대한 더 큰 질문으로 이어진다고 보았다. 만약 원숭이가 의미를 가질 의도가 없고, 따라서 작가로서의 자격을 잃었음에도 불구하고 『햄릿』을 칠 수 있다면, 텍스트는 작가를 필요로 하지 않는 것처럼 보인다. 가능한 해결책으로는 그 텍스트를 발견하고 『햄릿』으로 식별하는 사람이 작가라고 말하는 것, 또는 셰익스피어가 작가이고 원숭이가 그의 대리인이며 발견자는 단지 텍스트의 사용자라고 말하는 것이 있다. 그러나 이러한 해결책은 텍스트가 다른 행위자들과 별개의 의미를 갖는다는 점에서 자체적인 어려움을 가진다. 만약 원숭이가 셰익스피어가 태어나기 전에 작동한다면, 또는 셰익스피어가 결코 태어나지 않는다면, 또는 아무도 원숭이의 타자 원고를 발견하지 못한다면 어떻게 될까?^[29]

5. 3. 난수 생성 검증

이상적인 원숭이가 특정 문자열을 얼마나 자주 입력할 것으로 예상되는지에 대한 통계적 질문은 난수 생성기의 실제 성능을 검증하는 방법으로 이어진다. 이러한 검정 방법은 단순한 것부터 "매우 정교한" 것까지 다양하다. 컴퓨터 과학 교수 조지 마르살리아(George Marsaglia)와 아리프 자만(Arif Zaman)은 강의에서 이러한 검정 범주를 "중첩 m-튜플 검정"이라고 불렀는데, 이는 무작위 시퀀스에서 연속적인 요소들의 중첩 m-튜플과 관련이 있기 때문이다.^[32] 그러나 그들은 학생들에게 이 개념을 설명할 때 "원숭이 검정"이라고 부르는 것이 더 흥미를 유발한다는 것을 발견했다. 그들은 1993년에 다양한 난수 생성기에 대한 검정 종류와 그 결과에 대한 보고서를 발표했다.^[32]

6. 대중문화 속 무한 원숭이 정리

무한 원숭이 정리와 관련된 이미지는 확률의 수리(數理)를 일반 대중에게 설명할 때 사용되는 상투어가 되었으며, 공식적인 교육보다는 대중문화를 통해 널리 알려지게 되었다.^[47]

1996년 로버트 윌렌스키는 "우리는 백만 마리의 원숭이가 백만 대의 키보드로 셰익스피어의 전집을 만들 수 있다는 말을 들었지만, 이제 인터넷 덕분에 그것이 사실이 아니라는 것을 알게 되었습니다."라는 문구를 인용했다.^[33]^[34] 2002년 워싱턴 포스트지 기사에는 "적지 않은 사람들이, 무한히 많은 수의 원숭이가 무한히 많은 타자기와 무한한 시간을 들인다면 언젠가 셰익스피어의 작품을 완성될지도 모른다는 생각을 즐긴다"라고 적혀 있었다.^[49] 2003년, 영국 예술 위원회가 실제 원숭이와 컴퓨터 키보드를 사용한 실험에 자금을 지원하여 화제가 되었고, 이 사실은 널리 보도되었다.^[50] 2007년, 와이어드지는 이 정리를 "역사상 8대 사고 실험" 중 하나로 꼽았다.^[51]

미국 극작가 데이비드 아이브스의 단편 1막 연극 ''Words, Words, Words'' (컬렉션 ''All in the Timing''에 수록)는 무한 원숭이 정리의 개념을 풍자한다.

이 "정리"는 거대하지만 유한한 수를 상상함으로써 무한에 관한 이론을 다루는 것의 위험성, 그리고 무한을 상상함으로써 거대한 수를 다루는 것의 위험성에 대해 시사점을 제공한다.

7. 한국 사회와 무한 원숭이 정리

이 "정리"는 거대하지만 유한한 수를 상상함으로써 무한에 관한 이론을 다루는 것의 위험성, 그리고 무한을 상상함으로써 거대한 수를 다루는 것의 위험성에 대해 시사점을 제공한다. 원숭이의 타건으로 소망하는 텍스트를 얻을 확률은 극히 작아진다. 예를 들어 『햄릿』 정도의 길이로 치면, 우주의 나이에 필적하는 시간을 들여도, 실제로 그런 일이 일어날 가망성은 거의 없다. 그러나, 정리는 "충분히 긴" 시간을 들이면 "거의 확실"하게 그렇게 된다고 주장한다.

이 정리를 비유하는 이야기에는 다양한 변형이 존재한다.^[1] 타이피스트를 여러 명, 더 나아가 무한의 수로 확장한 것도 있으며, 목표로 하는 문장량을 도서관의 장서 전체로 하는 것부터 단 하나의 문장으로 하는 것까지 있다.^[1] 정리가 엄밀하게 기술되기 훨씬 전부터, 실질적으로 정리에 관련된 착상을 많은 사람들이 얻고 있었다.^[1] 그 역사는 아리스토텔레스의 『생성 소멸론』이나 키케로의 『신들의 본성에 관하여』까지 거슬러 올라가며, 블레즈 파스칼, 조너선 스위프트 등을 거쳐, 타자기를 소도구로 사용하는 현대의 여러 명제에까지 이어진다.^[1] 20세기 초, 에밀 보렐과 아서 에딩턴은, 통계역학의 기초에 있어서의 암묵적인 타임 스케일에 대해 설명하기 위해, 이 정리를 사용했다.^[1] 또한, 기독교 옹호론자(창조론자)와 리처드 도킨스 모두, 이 정리의 원숭이를 진화의 비유로서 사용하는 것은 타당하다고 주장하고 있다.^[1]

현대에도, 타건하는 원숭이에 대한 대중적인 관심은 끊이지 않고, 수많은 문학 작품, 텔레비전과 라디오, 음악, 인터넷 상에서 계속해서 다루어지고 있다.^[2] 2003년, 6마리의 검은꼬리원숭이를 사용한 실험이 행해졌는데, 이 원숭이들이 문학계에 가져다 준 것은, 거의 "S"자만으로 이루어진 5페이지 분량의 텍스트 뿐이었다.^[2]

8. RFC 2795 무한 원숭이 프로토콜 스위트

2000년 4월 1일 만우절에 S. Christey가 제안한 만우절 RFC의 일종으로, 무한 원숭이 프로토콜에 관련된 장난으로 만들어진 RFC이다. 주 내용은 무한 수의 원숭이를 사용하여 윌리엄 셰익스피어의 희곡이나 멋진 텔레비전 쇼가 만들어졌는지를 검증하는 프로토콜을 제안하는 것이다.

RFC 2795는 무한 수의 원숭이를 관리해 주는 ZOO(Zone Operations Organizations, 지역 작업 기구)를 비롯한 통신 및 제어 프로토콜을 정의하고 있다. 하지만 모든 제안은 말장난인데, 일례로 ZOO는 영어로 동물원을 뜻하고, 동물원은 실제로 원숭이를 사육하는 장소이다. RFC 2795는 RFC 1149와는 달리 실제로 구현된 적이 없으며, 무한 수의 원숭이 혹은 영생을 누리는 원숭이 어느 것도 가능하지 않기 때문에 앞으로의 구현 역시 요원해 보인다.

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