방향 (다양체)

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
4. 성질
5. 벡터 다발의 방향
6. 관련 개념
- 6.1. 로렌츠 기하학
참조

1. 개요

방향(orientation)은 유클리드 공간 내의 곡면에서 이차원 도형이 곡면 위를 움직여 출발점으로 돌아왔을 때 거울상이 될 수 없는 경우를 의미하며, 추상적인 곡면(이차원 다양체)에서는 시계 방향 회전을 일관성 있게 정의할 수 있는 경우를 뜻한다. 방향이 가능한 곡면을 '방향 가능'하다고 하고, 그렇지 않은 경우를 '방향 불가능'이라고 한다. 방향 가능성은 다양체의 위상수학적 성질과 관련되며, 미분다양체와 벡터 다발의 구조와도 연결된다. 로렌츠 기하학에서는 시공간의 인과 구조와 관련하여 공간 방향성과 시간 방향성을 다룬다. 한국 수학 교육에서는 유클리드 공간 상의 벡터, 행렬, 행렬식을 통해 방향 개념을 다루며, 선형대수학과 다변수 미적분학에서 중요한 역할을 한다.

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방향 (다양체)

2. 정의

방향(Orientation)은 위상다양체, 미분다양체, 곡면 등에서 서로 다른 방식으로 정의된다.

위상다양체: 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형인 공간이다. 각 점에서의 국소 방향은 상대 호몰로지 군의 생성원으로 정의된다. 다양체 전체의 방향은 이러한 국소 방향들이 일관되게 선택되는 것을 의미한다. 1차원 다양체에서 국소 방향은 점 근처의 왼쪽과 오른쪽을 선택하는 것이고, 2차원 다양체에서는 시계 방향과 반시계 방향을 선택하는 것이다.
미분다양체: 매끄러운 다양체로, 방향은 0이 아닌 최고차 미분 형식(부피 형식)의 동치류로 정의된다. 이는 각 점에서의 좌표계 선택(오른손/왼손)과 관련된다.
곡면: 유클리드 공간 '''R'''³에 놓인 2차원 다양체이다. 방향은 각 점에서 연속적으로 변하는 법선 벡터의 선택으로 정의된다. 뫼비우스의 띠와 같이 방향을 정할 수 없는 곡면도 존재한다. thumb

2. 1. 위상다양체의 방향

M

이

n

차원 위상다양체일 때, 모든 점

x\in M

에 대하여 상대 호몰로지 군

\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})

은 다음과 같다.

:

\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\}) \cong \operatorname H_n(\mathbb R^n / (\mathbb R^n \setminus\{0\}) ) \cong \operatorname H_n(\mathbb S^n) \cong \mathbb Z

이는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이기 때문이다.

이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층

\omega_M

이 존재한다. 이를

M

의 '''방향층'''(orientation sheaf^영어)이라고 한다.

점

x\in M

에서의 '''국소 방향'''(local orientation^영어)은 무한 순환군

\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})

의 두 생성원 가운데 하나이다. 즉, 점

x

근방에서의 "회전 방향"을 나타낸다.^[4]

M

위의 '''방향'''은 방향층

\omega_M

의 단면 가운데, 각 점

x\in X

에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 다음의 데이터로 구성된다.

열린 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ . 또한, 각 $i\in I$ 에 대하여 $U_i$ 가 축약 가능 공간이라고 가정한다.
* 이에 따라, 임의의 $i\in I$ 에 대하여, $U_i$ 속의 임의의 두 점 $x,y\in U_i$ 에 대하여, 표준적인 군 동형 사상 $\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\}) \cong \operatorname H_n(M,M\setminus\{y\})$ 가 존재한다.
각 $i\in I$ 및 $U_i$ 속의 임의의 점 $x\in M$ 에 대하여, 국소 방향 $e_x \in \operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})$ . 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의 $x'\in U_i$ 속에 $(x',i)$ 에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.

이때 다음 조건이 만족되어야 한다.

임의의 $i,j\in I$ 및 $x\in U_i \cap U_j$ 에 대하여, $(x,i)$ 에서의 국소 방향이 $(x,j)$ 에서의 국소 방향과 일치한다.

1차원 다양체에서 점 ''p'' 주변의 국소적 방향은 해당 점 근처의 왼쪽과 오른쪽의 선택에 해당한다. 2차원 다양체에서는 시계 방향과 시계 반대 방향의 선택에 해당한다.

특이 호몰로지를 사용하면, 점 p에서의 n차 상대 호몰로지|en|relative homology^한국어군

:

H_n(M, M\setminus\{p\}; \mathbb{Z})

의 생성원의 선택에 의해 점 p에서의 국소 방향이 결정된다. 다양체가 방향을 정할 수 있다는 것은, 다양체 전체를 통해 일관적으로 국소 방향을 선택할 수 있는 경우를 말한다.^[4]

2. 2. 미분다양체의 방향

M^영어이 n^영어차원 매끄러운 다양체일 때, M^영어 위의 '''방향'''은 항상 0이 아닌 n^영어차 미분 형식의 동치류이다. 두 n^영어차 미분 형식 α^영어, β^영어에 대해 α=fβ^영어이고, f^영어가 매끄러운 함수이며 항상 0이 아니라면 α∼β^영어로 간주한다.^[8]

이는 M^영어 위의 각 점에서 "오른손 좌표계"와 "왼손 좌표계"를 선택하는 것으로 생각할 수 있다. M^영어이 방향성을 가질 수 있다는 것은 "오른손 좌표계"가 각 좌표의 붙임이 되는 좌표 변환이 존재하는 경우를 말한다. 더 자세히 말하면, 다양체가 양의 야코비 행렬식을 갖는 전이 함수가 되는 좌표 붙임을 가지고 있을 때, 그 다양체를 방향성을 가질 수 있다고 말한다. 그러한 최대의 좌표 붙임은 다양체의 방향성을 정의하므로, 그러한 붙임을 가진 다양체를 '''방향성을 가질 수 있는 다양체'''라고 한다.^[8]

n^영어차원 미분 가능 다양체는 다양체 위의 모든 점에서 방향성을 가질 수 있는 접벡터의 기저의 일관성을 갖는 선택이 존재할 때 방향성을 가질 수 있다고 한다. 이는 다양하게 정식화할 수 있는데, 한 방법은 M^영어이 부피 형식을 갖게 하는 것이다. 부피 형식은 다양체 위의 모든 점에서 0이 아닌 차수 n^영어의 미분 형식이며, 그러한 n^영어-형식이 주어지면 좌표의 붙임은 ω^영어를 방향성을 가질 수 있는 '''R'''^{n^영어} 위의 유클리드 부피 형식의 정수배로 사상하는 국소 미분 동상으로 구성된다.^[8]

2. 3. 곡면의 방향

유클리드 공간 '''R'''³ 내의 곡면 S는, 이차원 도형(20px)이 곡면 위를 돌아다녀서 출발점으로 돌아왔을 때, 거울상(20px)이 될 수 없는 경우 '''방향 가능'''이라고 한다. 그렇지 않은 경우를 '''방향 불가능'''이라고 한다. 추상적인 곡면(즉, 이차원 다양체)이 방향 가능하다는 것은, 연속적으로 움직여 일관성 있게 곡면 위에 시계 방향 회전을 정의할 수 있는 경우를 말한다. 말하자면, 곡면 위의 어떤 방향의 루프를 (자기 교차 없이) 반대 방향의 루프로 연속 변형할 수 없는 경우, 방향 가능이라고 한다. 이 사실은 곡면이 뫼비우스의 띠에 위상 동형인 부분 집합을 포함하지 않는가 하는 질문과 동치이다. 따라서 곡면에 대해 뫼비우스의 띠는 방향 불가능성의 모든 근원이라고 생각할 수 있다.

방향 가능한 곡면에서, "시계 방향"(시계 반대 방향과 상반되는 것)을 일관성 있게 선택한 것을 '''방향'''이라고 하며, 그 곡면은 '''방향이 정해졌다'''고 한다. 유클리드 공간 내에 매립된 곡면에 대해, 모든 점에서 연속적으로 변화하는 곡면에 대한 법선 '''n'''의 선택에 의해, 방향이 특정된다. 법선 벡터가 모두 존재할 때는 항상, 두 가지 방법( '''n''' 또는 −'''n''')을 선택할 수 있다. 더 일반적으로, 방향 가능한 곡면은 정확히 두 가지 방향 지정을 할 수 있으며, 방향이 ''정해진'' 곡면과 방향이 ''가능한'' 곡면의 차이는 미묘하고 모호할 수 있다. 방향 가능한 곡면은, 방향을 넣을 수 있는 곡면을 의미하는 반면, 방향이 정해진 곡면은, 방향 가능 위에, 두 개의 가능한 방향 중 하나가 선택된 데이터를 가지고 있는 곡면을 말한다.

thumb

;예

물리적인 세계에서 마주치는 곡면의 대부분은 방향 가능하다. 예를 들어, 구, 평면, 토러스는 방향 가능하다. 그러나, 뫼비우스의 띠나 real projective plane|실 사영 평면^영어 또는 클라인 병은 방향 불가능하다. 그것들은 3차원에 가시화되도록 모두 면을 하나밖에 갖지 않는다. 실 사영 평면이나 클라인 병은, '''R'''³ 에 매립할 수는 없으며, 단지, 깔끔하게 교차시켜 침입(immersed)할 수 있을 뿐이다.

매립된 곡면은 국소적으로 항상 두 개의 면을 가지고 있다는 것을 주의하면, 면이 하나인 곡면을 기어 다니는 근시의 개미는, 거기에 "또 다른 면"이 있다고 생각할 것이다. 면이 하나라는 것의 본질은, 개미가 곡면에서 튀어나오거나 가장자리를 통과하지 않고, 단순하게 곡면 위를 어디까지나 기어가는 것으로, "또 다른 면"에 도달할 수 있다는 것이다.

일반적으로, 방향 가능하다는 성질은, 두 개의 면을 가지고 있다는 성질과 동치이지 않지만, 그러나, 주변의 공간(위의 '''R'''³ 과 같은)이 방향 가능한 경우에는, 이 사실이 동치가 된다. 예를 들어,

K^2

를 클라인 병이라고 하면,

:

K^2 \times S^1

에 토러스를 매립하여, 1개의 면을 갖도록 할 수 있으며, 같은 주변 공간 안의 클라인 병은, 2개의 면을 가질 수 있게 된다.

;삼각 분할에 의한 방향 지정

어떤 곡면도 삼각 분할—즉, 다수의 삼각형으로의 분할로, 어느 변도 다른 하나의 변에 부착되는 것—을 가지고 있다. 각 삼각형은, 둘레의 방향을 선택하고, 각 변의 방향을 그것에 준하는 것으로 함으로써 방향이 지정된다. 접합되어 인접한 두 변이 반대 방향을 가리키고 있다면, 이 곡면의 방향이 결정된다. 곡면이 방향 가능할 때는, 그러한 선택이 가능하며, 그 경우에는 정확히 두 개의 방향이 존재한다.

도형 20px이, 거울상으로 바뀌지 않도록, 곡면의 모든 점 위에 일관성 있게 배치할 수 있다면, 이 사실은 삼각 분할로 만들어진 삼각형들에게 위의 의미에서의 방향을 유도한다. 각 삼각형의 방향은, 내부에 있는 "도형"의 색을 빨강-녹색-파랑의 순서로 따라가는 것을 선택하면 된다.

이 방법은, 단체 분할(삼각 분할의 고차원적 일반화)을 가진 모든 n차원 다양체로 일반화할 수 있다. 그러나, 4차원 다양체에는 단체 분할을 갖지 않는 것도 존재하며, 일반적으로, n > 4에 대해서는 동치가 아닌 삼각 분할을 가질 수도 있다.

3. 연산

같은 차원의 두 다양체 $M$ , $N$ 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합 $M \sqcup N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 $M$ , $N$ 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간 $M \times N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체 $M$ 의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)

4. 성질

다양체 ''M''은 제1 슈티펠-휘트니류 $w_1(M) \in H^1(M; \mathbf{Z}/2)$ 가 사라질 때에만 가향 가능하다. 특히, '''Z'''/2 계수를 갖는 제1 코호몰로지 군이 0이면 다양체는 가향 가능하다. 게다가, ''M''이 가향 가능하고 $w_1$ 이 사라지면, $H^0(M; \mathbf{Z}/2)$ 는 가향의 선택을 매개변수화한다.^[5] 가향 가능성에 대한 이러한 특징은 접다발뿐만 아니라 ''M'' 위의 벡터 다발의 가향의 가향 가능성으로도 확장된다.

4. 1. 경계다양체

n^영어차원 경계다양체

(M,\partial M)

의 내부

M \setminus \partial M

는 n^영어차원 다양체를 이루며,

\partial M

은 n-1^영어차원 다양체를 이룬다.

M\setminus \partial M

의 방향이 주어졌을 때, 이는

\partial M

의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.

만약 ''M''이 경계를 가진 다양체라면, ''M''의 방향은 그 내부의 방향으로 정의된다. 이러한 방향은 ∂''M''의 방향을 유도한다. ''M''의 방향이 고정되어 있다고 가정하고, 를 ''M''의 경계점에서의 차트라고 하자. 이 차트는 ''M''의 내부에 제한될 때 선택된 방향을 가진 아틀라스에 속한다. 이 차트를 ∂''M''에 제한하면 ∂''M''의 차트가 된다. 이러한 차트들은 ∂''M''에 대한 방향을 가진 아틀라스를 형성한다.

''M''이 매끄러울 때, ∂''M''의 각 점 ''p''에서 ''M''의 접다발을 ∂''M''에 제한한 것은 와 동형이다. 여기서 '''R'''의 인자는 안쪽을 가리키는 법선 벡터로 설명된다. ''T''_''p''∂''M''의 방향은 ''T''_''p''∂''M''의 기저가 안쪽을 가리키는 법선 벡터와 결합될 때 ''T''_''p''''M''의 방향을 가진 기저를 정의하는 경우에만 양의 방향을 가지도록 정의된다.

4. 2. 복소다양체

모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로,

n

차원 복소다양체

M

의 열린 덮개

(U_i)_{i\in I}

의 복소수 국소 좌표계

:

(\phi_i \colon U_i\to \mathbb C^n)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

:

\phi_j \circ \phi_i^{-1} \colon \phi_i^{-1}(U_i\cap U_j) \to \mathbb C^n

는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는

M

의 방향을 정의한다.

4. 3. 가향성과 호몰로지

폐곡면 ''S''의 제1 호몰로지 군을 ''H''₁(''S'')로 나타낼 때, ''S''가 가향 가능할 필요충분조건은 ''H''₁(''S'')가 비틀림 부분군을 갖지 않는 것이다. 더 정확히 말하면, ''S''가 가향 가능하면 ''H''₁(''S'')는 자유 아벨 군이고, 그렇지 않으면 ''H''₁(''S'') = ''F'' + '''Z'''/2'''Z'''이며, 여기서 ''F''는 자유 아벨 군이고, '''Z'''/2'''Z''' 인자는 ''S''에 매립된 뫼비우스 띠의 중간 곡선에 의해 생성된다.

4. 4. 방향 이중 덮개

비가향 다양체에 대해서도, 방향 이중 덮개를 구성하여 가향 다양체를 얻을 수 있다. 이는 위상수학에서 중요한 도구로 사용된다.

연결된 다양체 ''M''에 대해,

M^*

를

(x,o)

쌍의 집합으로 정의한다. 여기서

x

는

M

의 점이고,

o

는

x

에서의 방향이다.

M

이 매끄러운 다양체라면 한 점에서 접공간에 방향을 선택할 수 있고, 특이 호몰로지를 사용하면 방향을 정의할 수 있다.

M

의 모든 열린 가향 부분 집합에 대해, 해당 쌍의 집합을

M^*

의 열린 집합으로 정의하면

M^*

에 위상이 부여된다. 이때

(x,o)

를

x

로 보내는 투영은 2대1 덮개 사상이 된다. 이 덮개 공간을 '''가향 이중 덮개'''라고 부르며, 항상 가향이다.

M^*

는

M

이 가향적이지 않을 때에만 연결된다.

방향 이중 덮개를 구성하는 또 다른 방법은 밑점을 기준으로 하는 루프를 방향 보존 루프와 방향 반전 루프로 나누는 것이다. 방향 보존 루프는 기본군의 부분군을 생성하는데, 이 부분군은 전체 군이거나 지수가 2이다. 지수가 2인 경우, 이 부분군은 연결된 이중 덮개에 해당하며, 이 덮개는 가향적이다. 전체 군인 경우에는

M

의 두 개의 사본을 가져오는데, 각각은 다른 방향에 해당한다.

5. 벡터 다발의 방향

실 벡터 다발은 기본적으로 GL(n)을 구조군으로 가지며, 양의 행렬식을 갖는 행렬인 $GL^{+}(n)$ 으로 구조군이 축소될 때, '''방향 가역'''이라고 불린다. 접다발의 경우, 기저 다양체가 방향 가능하면 이 축소가 항상 가능하며, 실제로 이것은 매끄러운 실 다양체의 방향 가능성을 정의하는 편리한 방법을 제공한다. 매끄러운 다양체는 그 접다발이 (벡터 다발로서) 방향 가능할 경우 방향 가능하다고 정의된다. 자체적으로 다양체로서, 접다발은 비방향 가능 다양체에서도 ''항상'' 방향 가능하다는 점에 유의해야 한다.

6. 관련 개념

방향화 가능성 개념은 일반 선형군의 위상수학에서 유도된다. 실수 벡터 공간의 가역 변환은 방향을 보존하거나 반전하는 두 가지 경우로 나뉜다. 이는 구면의 자기 호모토피 동치 공간이 두 개의 연결 성분을 갖는 것과 유사하게, 미분 가능 다양체 및 위상 다양체에도 적용된다.

대칭군에서 이와 비슷한 개념은 짝 치환으로 이루어진 교대군이다.

6. 1. 로렌츠 기하학

로렌츠 기하학에는 공간 방향성과 시간 방향성, 두 가지 종류의 방향성이 있다. 이것들은 시공간의 인과 구조에서 중요한 역할을 한다.^[6] 일반 상대성 이론에서 시공간 다양체는 두 명의 오른손잡이 관찰자가 같은 시공간점에서 로켓을 타고 출발하여 다른 지점에서 다시 만났을 때 서로에 대해 오른손잡이 상태를 유지하면 공간 방향성을 가진다. 시공간이 시간 방향성을 가지면 두 관찰자는 만나는 두 지점에서 시간의 방향에 대해 항상 동의한다. 사실, 시공간은 두 관찰자가 두 만남 중 어느 것이 먼저였는지 동의할 수 있을 때 그리고 그 때만 시간 방향성을 가진다.^[7]

형식적으로 유사 직교군 O(''p'',''q'')는 두 개의 문자를 갖는다. 공간 방향 문자 σ₊와 시간 방향 문자 σ₋이다.

:

\sigma_{\pm} : \operatorname{O}(p, q)\to \{-1, +1\}.

이들의 곱 σ = σ₊σ₋는 방향 문자 값을 갖는 행렬식이다. 유사 리만 다양체의 공간 방향성은 연관 다발의 단면으로 식별된다.

:

\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_+} \{-1,+1\}

여기서 O(''M'')는 유사 직교 틀의 다발이다. 마찬가지로, 시간 방향성은 연관 다발의 단면이다.

:

\operatorname{O}(M) \times_{\sigma_-} \{-1,+1\}.

참조

_[1] 서적 Modern multidimensional calculus https://books.google[...] Addison-Wesley 1963
_[2] 서적 Calculus on Manifolds HarperCollins
_[3] 서적 Algebraic Topology Cambridge University Press
_[4] 간행물
_[5] 서적 Spin Geometry Princeton University Press
_[6] 서적 The Large Scale Structure of Space-Time Cambridge University Press
_[7] 논문 The Orientability of Spacetime http://www.iop.org/E[...]
_[8] 서적 Calculus on Manifolds HarperCollins
_[9] 서적 The Large Scale Structure of Space-Time Cambridge University Press
_[10] 논문 The Orientability of Spacetime http://www.iop.org/E[...]

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