베타 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 미분
5. 특수값
6. 불완전 베타 함수
7. 다변수 베타 함수
8. 응용
9. 소프트웨어 구현
참조

1. 개요

베타 함수는 다음과 같이 정의되는 특수한 수학 함수이다.

$\operatorname B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

베타 함수는 감마 함수와의 관계, 다양한 적분 표현, 급수 표현, 무한 곱 표현 등 여러 가지 성질을 가지며, 대칭성을 띤다. 이항 계수를 일반화한 것으로 볼 수 있으며, 불완전 베타 함수, 다변수 베타 함수로 확장된다. 끈 이론, 통계학 등 다양한 분야에 응용되며, 여러 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지에서 구현되어 사용된다.

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베타 함수
수학 정보
종류	특수 함수
기호	Β(x, y)
정의	Β(x, y) = ∫01 tx-1(1-t)y-1 dt (Re(x) > 0, Re(y) > 0)
다른 표현	Β(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y)
성질	대칭성: "Β(x, y) = Β(y, x)" 관계식: "Β(x, y) = Β(x, y+1) + Β(x+1, y)"
일반 정보
이름	베타 함수
영어 이름	Beta function

2. 정의

실수부가 0보다 큰 복소수 x, y에 대해 베타 함수 $\operatorname B(x,y)$ 는 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\operatorname B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

감마 함수와 함께 '''오일러 적분'''(Euler integral)이라고도 부른다.^[1]

3. 성질

베타 함수는 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.^[1]

'''대칭성''': 모든 입력 $z_1$ , $z_2$ 에 대해 $\Beta(z_1, z_2) = \Beta(z_2, z_1)$ 이 성립한다.
'''감마 함수와의 관계''': $\operatorname B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ 가 성립한다. 여기서 $\Gamma(x)$ 는 감마 함수이다.
'''이항 계수와의 관계''': m (또는 대칭성에 의해 n)이 양의 정수일 때, $\Beta(m,n) =\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \frac{m + n}{mn} \Bigg/ \binom{m + n}{m}$ 가 성립한다.
'''다양한 적분 표현''':

:

\Beta(x,\, y) =2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,{\rm d}\theta

:

\Beta(x,\, y) =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,{\rm d}t

'''급수 표현''':^[3]

:

\Beta(x, y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{y(y-1)(y-2)\cdots(y-n)}{n! (x+n)}

'''무한 곱 표현''':^[3]

:

\Beta(x, y) = \frac{x+y}{xy} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{xy}{n(x+y+n)}\right)^{-1}

'''포흐하머 표시''':^[2] Pochhammer contour|포흐하머 적분 경로^영어를 취하면, 다음 포흐하머 표시가 성립한다.

:

\left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\Beta(x,\, y)=\int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, {\rm d}\zeta

'''점근적 성질''': 스털링 근사에 의해, 복소수 x, y의 실수부가 충분히 큰 양의 값일 때, 다음과 같다.

:

\Beta(x,\, y) \sim \sqrt{2\pi} \frac{x^{x-1/2}\, y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}

x가 충분히 크고 y가 고정되어 있을 때는 다음과 같다.

:

\Beta(x,\, y) \sim \mathrm{\Gamma}(y)\,x^{-y}

베타 함수는 다음과 같은 관계식들을 만족한다.

$x\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x+1,\, y)$
$\Beta(x,\, y) =\Beta(x+1,\, y) +\Beta(x,\, y+1)$
$(x+y)\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x,\, y)$
$\Beta(x,\, x) =2^{1-2x} \Beta\left(\frac{1}{2},\,x\right)$
$\Beta(x,\, y)\,\Beta(x+y,\, z) =\Beta(y,\, z)\,\Beta(y+z,\,x) =\Beta(z,\, x)\,\Beta(z+x,\,y)$

3. 1. 대칭성

베타 함수는 대칭 함수이므로, 모든 입력

z_1

및

z_2

에 대해

\Beta(z_1, z_2) = \Beta(z_2, z_1)

가 성립한다.^[1]

3. 2. 감마 함수와의 관계

베타 함수는 감마 함수와 밀접한 관계를 가진다.^[1]

:

\operatorname B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

여기에서

\Gamma(x)

는 감마 함수이다.

증명은 다음과 같다.

:

\begin{align}\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{u=0}^\infty\ e^{-u} u^{z_1-1}\,du \cdot\int_{v=0}^\infty\ e^{-v} v^{z_2-1}\,dv \\[6pt]&=\int_{v=0}^\infty\int_{u=0}^\infty\ e^{-u-v} u^{z_1-1}v^{z_2-1}\, du \,dv.\end{align}

변수를

u=st

및

v=s(1-t)

로 변경한다.

u+v=s

이고

u/(u+v)=t

이기 때문이다. 그러면

s

에 대한 적분 한계는 0에서 ∞이고,

t

에 대한 적분 한계는 0에서 1이 된다. 따라서

:

\begin{align}\Gamma(z_1)\Gamma(z_2) &= \int_{s=0}^\infty\int_{t=0}^1 e^{-s} (st)^{z_1-1}(s(1-t))^{z_2-1}s\,dt \,ds \\[6pt]&= \int_{s=0}^\infty e^{-s}s^{z_1+z_2-1} \,ds\cdot\int_{t=0}^1 t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt\\&=\Gamma(z_1+z_2) \cdot \Beta(z_1,z_2).\end{align}

양변을

\Gamma(z_1+z_2)

로 나누면 원하는 결과를 얻는다.

이 등식은 컨볼루션의 적분에 대한 등식의 특별한 경우로 볼 수 있다. 다음을 취하면

:

\begin{align}f(u)&:=e^{-u} u^{z_1-1} 1_{\R_+} \\ g(u)&:=e^{-u} u^{z_2-1} 1_{\R_+}, \end{align}

다음이 성립한다.

:

\Gamma(z_1) \Gamma(z_2) = \int_{\R}f(u)\,du\cdot \int_{\R} g(u) \,du = \int_{\R}(f*g)(u)\,du =\Beta(z_1,z_2)\,\Gamma(z_1+z_2).

이 관계의 유도에 대해서는 ''The Gamma Function'', 18–19 페이지^[2]를 참조하라.

m

(또는 대칭성에 의해

n

)이 양의 정수일 때, 감마 함수

\Gamma

의 정의에 따라^[1]

:

\Beta(m,n) =\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \frac{m + n}{mn} \Bigg/ \binom{m + n}{m}

이 관계를 유도하기 위해, 두 팩토리얼의 곱을 적분으로 나타낸다. 이들은 두 개의 독립적인 변수에 대한 적분이므로, 반복 적분으로 결합할 수 있다.

3. 3. 이항 계수와의 관계

베타 함수는 이항 계수와 밀접한 관련이 있다. m (또는 대칭성에 의해 n)이 양의 정수일 때, 감마 함수의 정의에 따라,^[1]

:

\Beta(m,n) =\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \frac{m + n}{mn} \Bigg/ \binom{m + n}{m}

3. 4. 다양한 적분 표현

다음은 베타 함수의 다양한 적분 표현이다.^[1]

:

\Beta(x,\, y) =2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,{\rm d}\theta.

:

\Beta(x,\, y) =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,{\rm d}t.

:

\Beta(x,\, y) =\frac{1}{2^{x+y-1}} \int_{-1}^{1} (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} \,{\rm d}t.

3. 5. 급수 표현

베타 함수는 다음과 같은 무한 급수로 표현될 수 있다.^[3]

:

\Beta(x, y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{y(y-1)(y-2)\cdots(y-n)}{n! (x+n)}

3. 6. 무한 곱 표현

Beta function^영어는 다음과 같은 무한 곱으로 표현될 수 있다.^[3]

:

\Beta(x, y) = \frac{x+y}{xy} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{xy}{n(x+y+n)}\right)^{-1}.

3. 7. 함수 등식

베타 함수는 대칭 함수이므로, 모든 입력

z_1

및

z_2

에 대해 다음이 성립한다.^[1]

:

\Beta(z_1,z_2) = \Beta(z_2,z_1)

베타 함수의 주요 속성은 감마 함수와의 관계이다.^[1]

:

\Beta(z_1,z_2)=\frac{\Gamma(z_1)\,\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}

베타 함수는 이항 계수와도 관련이 있다. (또는 대칭성에 의해 )이 양의 정수일 때,^[1]

:

\Beta(m,n) =\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!} = \frac{m + n}{mn} \Bigg/ \binom{m + n}{m}

베타 함수를 정의하는 적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\Beta(z_1,z_2) &= 2\int_0^{\pi / 2}(\sin\theta)^{2z_1-1}(\cos\theta)^{2z_2-1}\,d\theta, \\[6pt]&= \int_0^\infty\frac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}\,dt, \\[6pt]&= n\int_0^1t^{nz_1-1}(1-t^n)^{z_2-1}\,dt, \\&= (1-a)^{z_2} \int_0^1 \frac{(1-t)^{z_1-1}t^{z_2-1}}{(1-at)^{z_1+z_2}}dt \qquad \text{for any } a\in\mathbb{R}_{\leq 1},\end{align}

두 번째에서 세 번째 항으로 넘어가는 식에서 은 임의의 양의 실수이다. 첫 번째 적분에서 두 번째 적분으로 넘어가려면

t = \tan^2(\theta)

로 치환한다.

베타 함수는 무한 합으로 쓸 수 있다.^[3]

:

\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-x)_n}{(y+n)\,n!}

(여기서

(x)_n

은 상승 팩토리얼이다.)

그리고 무한 곱으로 쓸 수 있다.

:

\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}.

베타 함수는 파스칼의 항등식과 유사한 다음 항등식을 만족한다.

:

\Beta(x,y) = \Beta(x, y+1) + \Beta(x+1, y)

그리고 한 좌표에 대한 간단한 재귀 관계는 다음과 같다.

:

\Beta(x+1,y) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{x}{x+y}, \quad \Beta(x,y+1) = \Beta(x, y) \cdot \dfrac{y}{x+y}.

^[4]

x, y \geq 1

의 경우, 베타 함수는 컨볼루션으로 나타낼 수 있다.

:

\Beta(x,y) \cdot\left(t \mapsto t_+^{x+y-1}\right) = \Big(t \mapsto t_+^{x-1}\Big) * \Big(t \mapsto t_+^{y-1}\Big)

특정 지점에서의 계산은 단순화될 수 있다. 예를 들어,

:

\Beta(1,x) = \dfrac{1}{x}

:

\Beta(x,1-x) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}, \qquad x \not \in \mathbb{Z}

^[5]

이 마지막 공식에서

x = \frac{1}{2}

를 취하면

\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}

가 된다.

이것을 베타 함수의 곱에 대한 이변량 항등식으로 일반화하면 다음과 같다.

:

\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \frac{\pi}{x \sin(\pi y)} .

베타 함수에 대한 오일러 적분은 포흐아머 윤곽선에 대한 적분으로 변환될 수 있다.

:

\left(1-e^{2\pi i\alpha}\right)\left(1-e^{2\pi i\beta}\right)\Beta(\alpha,\beta) =\int_C t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} \, dt.

이 포흐아머 윤곽선 적분은 모든 및 값에 대해 수렴하므로 베타 함수의 해석적 연속을 제공한다.

정수에 대한 감마 함수가 팩토리얼을 설명하는 것처럼, 베타 함수는 인덱스를 조정한 후 이항 계수를 정의할 수 있다.

:

\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)\,\Beta(n-k+1, k+1)}.

또한, 정수 의 경우, 는 의 연속적인 값에 대한 닫힌 형태의 보간 함수를 제공하기 위해 인수분해될 수 있다.

:

\binom{n}{k} = (-1)^n\, n! \cdot\frac{\sin (\pi k)}{\pi \displaystyle\prod_{i=0}^n (k-i)}.

베타 함수는 다음 관계식을 만족한다.

$x\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x+1,\, y).$

$\Beta(x,\, y) =\Beta(x+1,\, y) +\Beta(x,\, y+1).$

$(x+y)\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x,\, y).$

$\Beta(x,\, x) =2^{1-2x} \Beta\left(\frac{1}{2},\,x\right).$

$\Beta(x,\, y)\,\Beta(x+y,\, z) =\Beta(y,\, z)\,\Beta(y+z,\,x) =\Beta(z,\, x)\,\Beta(z+x,\,y).$

3. 8. 포흐하머 표시

Pochhammer contour|포흐하머 적분 경로^영어를 취하면, 다음의 '''포흐하머 표시'''가 성립한다.^[2]

:

\left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\Beta(x,\, y)=\int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, {\rm d}\zeta.

3. 9. 평가

스털링 근사에 의해, 복소수 x, y의 실수부가 충분히 큰 양의 값일 때, 다음과 같다.

:

\Beta(x,\, y) \sim \sqrt{2\pi} \frac{x^{x-1/2}\, y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}.

x가 충분히 크고 y가 고정되어 있을 때는 다음과 같다.

:

\Beta(x,\, y) \sim \mathrm{\Gamma}(y)\,x^{-y}.

4. 미분

다음이 성립한다.

: $\frac{\partial}{\partial z_1} \mathrm{B}(z_1, z_2) = \mathrm{B}(z_1, z_2) \left( \frac{\Gamma'(z_1)}{\Gamma(z_1)} - \frac{\Gamma'(z_1 + z_2)}{\Gamma(z_1 + z_2)} \right) = \mathrm{B}(z_1, z_2) \big(\psi(z_1) - \psi(z_1 + z_2)\big),$

: $\frac{\partial}{\partial z_m} \mathrm{B}(z_1, z_2, \dots, z_n) = \mathrm{B}(z_1, z_2, \dots, z_n) \left(\psi(z_m) - \psi\left( \sum_{k=1}^n z_k \right)\right), \quad 1\le m\le n,$

여기서 $\psi(z)$ 는 디감마 함수를 나타낸다.

5. 특수값

베타 함수는 특정 값에서 감마 함수나 삼각 함수를 통해 그 값을 나타낼 수 있다.^[5]

$\Beta(1,\, x) = \frac{1}{x}.$
$\Beta(x,\, 1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \qquad (x\notin \mathbb{Z}).$
$\Beta\left(\frac{1}{2},\, x\right) = \frac{2^{2x-1}\{\Gamma(x)\}^2}{\Gamma(2x)}.$

특히,

\Beta\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right) = \pi.

이다.

0 이상의 정수

l

,

m

에 대해서는 다음과 같은 공식들이 성립한다.

$\Beta(l+1,\, m+1) =\frac{l!\,m!}{(l+m+1)!} = \frac{1}{(l+m+1)\dbinom{l+m}{m}}.$
$\Beta\left(l+\frac{1}{2},\, m+1\right) =\frac{2^{2m+1}\, (2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!} =\frac{2\, (2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}.$
$\Beta\left(l+\frac{1}{2},\, m+\frac{1}{2}\right) =\frac{\pi\, (2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\, l!\,m!\,(l+m)!} =\frac{\pi\, (2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}.$

6. 불완전 베타 함수

불완전 베타 함수는 베타 함수의 일반화로, 다음과 같이 정의된다.^[7]^[8]

: $\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.$

x = 1일 때, 불완전 베타 함수는 완전 베타 함수와 일치한다. 두 함수 간의 관계는 감마 함수와 그 일반화인 불완전 감마 함수 사이의 관계와 같다. 양의 정수 a와 b에 대해, 불완전 베타 함수는 유리 계수를 갖는 a + b - 1차 다항식이 된다.

$t = \sin^2\theta$ 및 $t = \frac1{1+s}$ 를 대입하여 다음을 증명할 수 있다.

: $\Beta(x;\,a,b) = 2 \int_0^{\arcsin \sqrt x} \sin^{2a-1\!}\theta\cos^{2b-1\!}\theta\,\mathrm d\theta = \int_{\frac{1-x}x}^\infty \frac{s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}\,\mathrm ds$

정규화된 불완전 베타 함수 (또는 줄여서 정규화된 베타 함수)는 불완전 베타 함수와 완전 베타 함수를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

: $I_x(a,b) = \frac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}.$

정규화된 불완전 베타 함수는 베타 분포의 누적 분포 함수이며, 단일 성공 확률 p와 베르누이 시행 횟수 n을 갖는 이항 분포를 따르는 확률 변수 X의 누적 분포 함수 $F(k;\,n,p)$ 와 관련이 있다.

: $F(k;\,n,p) = \Pr\left(X \le k\right) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k).$

7. 다변수 베타 함수

베타 함수는 둘 이상의 인수를 갖는 함수로 확장될 수 있다.

: $\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \frac{\Gamma(\alpha_1)\,\Gamma(\alpha_2) \cdots \Gamma(\alpha_n)}{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)} .$

이 다변량 베타 함수는 디리클레 분포의 정의에 사용된다. 이것은 다항 계수와 이항 계수 사이의 관계와 유사하다. 예를 들어, 파스칼의 항등식과 유사한 다음 관계가 성립한다.

: $\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n) = \Beta(\alpha_1+1,\alpha_2,\ldots\alpha_n)+\Beta(\alpha_1,\alpha_2+1,\ldots\alpha_n)+\cdots+\Beta(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n+1) .$

8. 응용

베타 함수는 레지 궤도의 산란 진폭을 계산하고 나타내는 데 유용하다. 또한, 최초로 알려진 산란 진폭으로, 가브리엘 베네치아노에 의해 처음 추측된 끈 이론에서 발견되었다.^[1] 일종의 확률적 항아리 과정인 선호적 부착 과정의 이론에도 나타난다. 베타 함수는 베타 분포 및 베타 소수 분포와 같이 통계학에서도 중요하다.

9. 소프트웨어 구현

베타 함수는 여러 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지에서 구현되어 제공된다.

스프레드시트나 컴퓨터 대수 시스템에 포함된 함수를 사용하여 완전 및 불완전 베타 함수 값을 계산할 수 있다.

예를 들어, Microsoft Excel에서 완전 베타 함수는 `GammaLn` 함수를 사용하여 계산할 수 있다.

:값 = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Python의 SciPy 패키지에서는 `special.gammaln`를 사용한다.

불완전 베타 함수는 연분수 확장을 사용하여 계산한다. ([https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/specfunc.html#incomplete-beta-function GNU Octave])

다음은 불완전 베타 함수가 구현된 주요 프로그래밍 언어 및 소프트웨어 패키지 목록이다.

소프트웨어/프로그래밍 언어	함수명	비고
MATLAB 및 GNU Octave	`betainc`	불완전 베타 함수
R	`pbeta`	베타 분포의 확률
SymPy	`betainc`
SciPy	`special.betainc`	정규화된 불완전 베타 함수 (누적 베타 분포). 실제 불완전 베타 함수를 얻으려면 `special.betainc`의 결과를 해당 `beta` 함수에서 반환된 값으로 곱해야 한다.
Mathematica	`Beta[x, a, b]`	$\Beta(x;\,a,b)$
Mathematica	`BetaRegularized[x, a, b]`	$I_x(a,b)$

참조

_[1] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables https://archive.org/[...] Dover Publications
_[2] 간행물 The Gamma Function http://www.plouffe.f[...] 2016-11-11
_[3] 웹사이트 Beta function : Series representations (Formula 06.18.06.0007) https://functions.wo[...]
_[4] 간행물 Probabilistic Methods for High-Resolution Metagenomics https://helda.helsin[...] Unigrafia
_[5] 웹사이트 Euler's Reflection Formula - ProofWiki https://proofwiki.or[...] 2020-09-02
_[6] 문서 Beta Function
_[7] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications
_[8] 문서 Incomplete beta functions

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