불완전 감마 함수

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1. 개요

불완전 감마 함수는 감마 함수의 변형으로, 상부 불완전 감마 함수와 하부 불완전 감마 함수로 나뉜다. 이 함수들은 복소수 매개변수 s와 실수 x를 사용하여 정의되며, 적분 형태로 표현된다. 불완전 감마 함수는 급수 전개, 연분수 전개, 다른 특수 함수와의 관계 등을 통해 계산할 수 있으며, 정규화 감마 함수와 같은 관련 함수를 정의하는 데 사용된다. 확률론, 통계학 등 다양한 분야에서 활용되며, 소프트웨어적으로도 구현되어 있다.

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불완전 감마 함수
개요
함수 종류	특수 함수
정의	감마 함수의 일반화
기호	γ(s, x), Γ(s, x)
변수	s (복소수) x (복소수)
다른 이름	부분 감마 함수, 르장드르 적분
정의
불완전 감마 함수 (lower)	γ(s, x) = ∫₀ˣ t^(s-1)e^(-t) dt
불완전 감마 함수 (upper)	Γ(s, x) = ∫ₓ^∞ t^(s-1)e^(-t) dt
관계	Γ(s) = γ(s, x) + Γ(s, x)
성질
s가 정수일 때 (lower)	γ(n, x) = (n-1)! * (1 - e^(-x) * Σ(x^i / i!), i = 0부터 n-1까지)
s가 정수일 때 (upper)	Γ(n, x) = (n-1)! * e^(-x) * Σ(x^i / i!, i = 0부터 n-1까지)
관련 함수
관련 함수	감마 함수, 지수 적분 함수, 오차 함수

2. 정의

불완전 감마 함수에는 감마 함수의 적분 구간 [0, ∞]을 둘로 나누어 정의되는 두 종류가 있다.

'''제1종 불완전 감마 함수''' $\gamma(a,x)$
'''제2종 불완전 감마 함수''' $\Gamma(a,x)$

0 이상의 실수 ''x''와 실수부가 양수인 복소수 ''a''에 대해 정의된다.^[1]

2. 1. 하부 불완전 감마 함수

lower incomplete gamma function^영어는 다음과 같이 정의된다.

:

\gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

여기서 ''s''는 복소수 매개변수이며, ''s''의 실수부는 양수이다.

2. 2. 상부 불완전 감마 함수

'''상부 불완전 감마 함수'''(上部不完全Γ函數, upper incomplete gamma function^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

여기서

s

는 복소수 매개변수이며,

s

의 실수부는 양수이다.^[1]

s

또는

z

에 대한 정칙 함수 확장은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)

점

(s, z)

에서 우변이 존재하는 경우,

\gamma

가 다가 함수이므로,

\Gamma

에도 동일하게 적용되지만, 주값을 제한하면

\Gamma

의 단일 값의 주 분기가 생성된다.

s \to 0

일 때 상부 불완전 감마 함수에 대한 극한 함수는 다음과 같다.^[9]

:

\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma - \ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}

이는 지수 적분

E_1(z)

로도 알려져 있다.^[10]

점화 관계를 통해, 양의 정수

n

에 대한

\Gamma(-n, z)

의 값은 이 결과로부터 파생될 수 있다.^[11]

:

\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + \left(-1\right)^n \Gamma(0, z)\right)

따라서 상부 불완전 감마 함수는 모든

s

와

z \ne 0

에 대해

z

와

s

모두에 대해 존재하고 정칙 함수임이 입증된다.

\Gamma(s, z)

는 다음과 같은 성질을 갖는다.

고정된 양의 정수 $s$ 에 대해 $z$ 에서 전체 함수이다.
고정된 $s$ 가 0이 아니고 양의 정수가 아닌 경우, $z$ 에서 다가 정칙 함수이며, $z = 0$ 에서 분기점을 갖는다.
$s$ 가 양의 실수부를 갖고 $z = 0$ 일 때 $\Gamma(s)$ 와 같다 ( $(s_i,z_i) \to (s, 0)$ 일 때의 극한). 그러나 이는 해석적 연속이 아닌 연속 확장이다 (실수 $s < 0$ 에 대해서는 성립하지 않는다).
각 분기에서 고정된 $z \ne 0$ 에 대해 $s$ 에서 전체 함수이다.

3. 성질

다음은 불완전 감마 함수의 성질이다.

정의: 지수 적분
erf: 오차 함수
erfc: 상보 오차 함수이며, erfc(x) = 1 - erf(x)

:

\begin{align}\Gamma(0, x) &= -\operatorname{Ei}(-x) \quad \text{ for } x > 0 \\\Gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erfc} \left( \sqrt x \right) \\\gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erf}  \left( \sqrt x \right) \\\Gamma(1,x) &= e^{-x} \\\gamma(1,x) &= 1 - e^{-x}\end{align}

3. 1. 감마 함수와의 관계

감마 함수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

:

\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)

부분적분을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\Gamma(s,x)= (s-1)\Gamma(s-1,x) + x^{s-1} e^{-x}

:

\gamma(s,x) =(s-1)\gamma(s-1,x) - x^{s-1} e^{-x}

부분 적분법에 의해 다음의 점화 관계를 얻을 수 있다.

:

\Gamma(s+1,x) = s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}

:

\gamma(s+1,x) = s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}.

일반 감마 함수는 다음과 같이 정의되므로

:

\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt

다음이 성립한다.

:

\Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s,x)

:

\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).

또한, 불완전 감마 함수의 정의식에 부분 적분을 사용하면

:

\begin{align}\gamma(a+1,x) &= a \gamma(a,x) - x^a e^{-x} \\\Gamma(a+1,x) &= a \Gamma(a,x) + x^a e^{-x}\end{align}

라는 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다.

게다가, 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\begin{align}\Gamma(a, 0) &= \Gamma(a) \\\gamma(a, x) &\to \Gamma(a) \quad (x \to \infty) \\\Gamma(0, x) &= -\operatorname{Ei}(-x) \quad \text{ for } x > 0 \\\Gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erfc} \left( \sqrt x \right) \\\gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erf}  \left( \sqrt x \right) \\\Gamma(1,x) &= e^{-x} \\\gamma(1,x) &= 1 - e^{-x}\end{align}

여기서,

Ei : 지수 적분
erf : 오차 함수
erfc : 상보 오차 함수이며, erfc(x) = 1 - erf(x)이다.

3. 2. 점화 관계

부분 적분을 이용하면 다음과 같은 점화 관계를 얻을 수 있다.^[1]

:

\Gamma(s+1,x) = s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}

:

\gamma(s+1,x) = s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}

3. 3. 극한

일반 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt

따라서 다음이 성립한다.

:

\Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s,x)

:

\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).

또한, 다음 식이 성립한다.

:

\begin{align}\Gamma(a, 0) &= \Gamma(a) \\\gamma(a, x) &\to \Gamma(a) \quad (x \to \infty) \\\Gamma(0, x) &= -\operatorname{Ei}(-x) \quad \text{ for } x > 0 \\\Gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erfc} \left( \sqrt x \right) \\\gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erf}  \left( \sqrt x \right) \\\Gamma(1,x) &= e^{-x} \\\gamma(1,x) &= 1 - e^{-x}\end{align}

여기서,

Ei는 지수 적분이다.
erf는 오차 함수이다.
erfc는 상보 오차 함수이며, erfc(''x'') = 1 - erf(''x'')이다.

3. 4. 복소수 값으로의 확장

아래 불완전 감마 함수와 위 불완전 감마 함수는 실수 양수 s와 x에 대해 위에서 정의된 바와 같이, 복소수 x와 s의 거의 모든 조합에 대해 정의된, x와 s 모두에 대한 정칙 함수로 전개될 수 있다.^[1] 복소 해석은 실수 불완전 감마 함수의 성질이 정칙 대응물로 어떻게 확장되는지를 보여준다.

3. 5. 특수 값

$\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}$ (여기서 $s$ 는 양의 정수)^[12]
$\Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0$
$\Gamma(0,x) = -\operatorname{Ei}(-x)$ ( $x > 0$ , Ei)
$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erfc}\left(\sqrt x\right)$ (상보 오차 함수 erfc)
$\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)$ (오차 함수 erf)
$\Gamma(1,x) = e^{-x}$
$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x}$
$\Gamma(s,x) = x^s \operatorname{E}_{1-s}(x)$ (일반화 지수 적분 $\operatorname{E}_n$ )

3. 6. 점근적 거동

$x \to 0$ 일 때, $\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}$ 이다.
$x \to \infty$ 일 때, $\gamma(s,x) \to \Gamma(s)$ 이다.
$x \to \infty$ 일 때, $\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1$ 이다.

4. 미분

불완전 감마 함수는 다음과 같이 미분할 수 있다.^[23]

$x$ 에 대한 미분은 #x에 대한 미분을 참고하라.
$s$ 에 대한 미분은 #s에 대한 미분을 참고하라.

여기서 함수

T(m,s,x)

는 메이어 G-함수의 특수한 경우이며, 모든 연속적인 도함수를 표현하는 데 사용될 수 있다.

4. 1. x에 대한 미분

:

\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - \frac{x^{s-1}}{e^x}

^[23]

4. 2. s에 대한 미분

\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)

^[23]

\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]

\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)

,

P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.

여기서

T(m,s,x)

는 메이어 G-함수의 특수한 경우이다.

5. 계산 및 활용

불완전 감마 함수는 급수 전개, 연분수 전개 등 다양한 방법을 통해 계산하고 활용할 수 있다.

가우스의 연분수는 실제 수치 값을 계산하는 데 유용하다.^[16] 하부 불완전 감마 함수 $\gamma(s, z)$와 상부 불완전 감마 함수 $\Gamma(s, z)$는 다음과 같은 연분수 전개를 갖는다.

: $\gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z}{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.$

(단, $s$가 음의 정수가 아닌 경우, 모든 복소수 $z$에 대해 수렴한다.)

: $\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}$

: $\Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}}$

정규화된 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}P(s,x) &= \frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)}, \\[1ex]Q(s,x) &= \frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).\end{align}$

$P(s,x)$는 모양 모수 $s$와 척도 모수 1을 갖는 감마 확률 변수의 누적 분포 함수이다.^[17]^[18] $s$가 정수일 때, $Q(s+1, \lambda)$는 푸아송 확률 변수의 누적 분포 함수와 관련된다.

불완전 감마 함수는 Mathematica, Maple, MATLAB, R 등 다양한 컴퓨터 대수 시스템과 엑셀, 파이썬 라이브러리 등에서 구현되어 제공된다.

5. 1. 급수 전개

아래 감마 함수는 다음과 같은 거듭제곱 급수 전개를 사용하여 평가할 수 있다.^[15]

:

\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}

여기서

s^{\overline{k+1}}

는 포흐아머 기호이다.

또 다른 전개식은 다음과 같다.

:

\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),

여기서 M은 쿠머의 합류형 초기하 함수이다.

5. 2. 연분수 전개

가우스의 연분수는 실제 수치 값을 계산하는데 유용한 전개를 제공한다^[16]:

\gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z}{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.

이 연분수는 $s$가 음의 정수가 아닌 경우, 모든 복소수 $z$에 대해 수렴한다.

상부 불완전 감마 함수는 다음과 같은 연분수를 갖는다^[16]:

\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}

\Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}}

5. 3. 다른 함수와의 관계

z^영어의 실수부가 양수일 때,

:

\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)

여기서

M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots

는 무한한 수렴 반경을 갖는다.

합류 이상 함수를 이용하여 쿠머(Kummer)의 항등식을 적용하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty  \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\&= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du.\end{align}

실제 수치 값을 계산하기 위해, 가우스의 연분수는 유용한 전개를 제공한다.

:

\gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z}{s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}.

이 연분수는 s^영어가 음의 정수가 아닌 경우에만 모든 복소수 z^영어에 대해 수렴한다.

상부 감마 함수는 다음과 같은 연분수를 갖는다.^[16]

:

\Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s}{1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}}

:

\Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}}

5. 4. 정규화 감마 함수

정규화된 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}P(s,x) &= \frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)}, \\[1ex]Q(s,x) &= \frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).\end{align}

P(s,x)

는 감마 확률 변수의 누적 분포 함수로, 모양 모수

s

와 척도 모수 1을 갖는다.^[17]^[18]

s

가 정수일 때,

Q(s+1, \lambda)

는 푸아송 확률 변수의 누적 분포 함수이다. 만약

X

가

\mathrm{Poi}(\lambda)

확률 변수라면, 다음이 성립한다.

:

\Pr(X \leq s) = \sum_{i \leq s} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(s+1,\lambda)}{\Gamma(s+1)} = Q(s+1,\lambda).

이 공식은 반복적인 부분 적분을 통해 유도될 수 있다.

안정 계수 분포의 맥락에서,

s

매개변수는 레비의 안정성 매개변수

\alpha

의 역수로 간주될 수 있다.

:

Q(s,x) = \int_0^\infty e^{\left( -{x^s}/{\nu} \right)} \, \mathfrak{N}_\left(\nu\right)  \, d\nu , \quad (s > 1)

여기서

\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)

는 모양

\alpha = 1/s < 1

의 표준 안정 계수 분포이다.

P(s,x)

와

Q(s, x)

는 scipy에서 `gammainc` 및 `gammaincc`로 구현된다.^[17]^[18]

5. 5. 소프트웨어 구현

불완전 감마 함수는 Mathematica, Maple, MATLAB, R 등 다양한 컴퓨터 대수 시스템에서 사용할 수 있다. 엑셀에서는 감마 함수와 감마 분포 함수를 조합하여 계산할 수 있다.

하부 불완전 함수: `= EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)`
상부 불완전 함수: `= EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))`

이는 감마 분포의 누적 분포 함수의 정의에서 따른다.

파이썬에서는 Scipy 라이브러리가 불완전 감마 함수의 구현을 제공하지만, 첫 번째 인수에 음수 값은 지원하지 않는다. mpmath 라이브러리의 함수는 모든 복소수 인수를 지원한다.

참조

_[1] 웹사이트 DLMF: §8.2 Definitions and Basic Properties ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[2] 웹사이트 DLMF: §8.8 Recurrence Relations and Derivatives ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[3] student handout Complex Analysis http://www.math.wash[...] University of Washington 2011-04-23
_[4] 웹사이트 DLMF: §8.7 Series Expansions ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[5] 웹사이트 Hartogs' Theorem: separate analyticity implies joint https://www-users.cs[...] 2023-12-21
_[6] 웹사이트 Riemann Surfaces http://math.berkeley[...] 2023-12-21
_[7] 웹사이트 DLMF: §5.2 Definitions ‣ Properties ‣ Chapter 5 Gamma Function https://dlmf.nist.go[...]
_[8] 웹사이트 DLMF: §4.4 Special Values and Limits ‣ Logarithm, Exponential, Powers ‣ Chapter 4 Elementary Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[9] 문서 see last eq.
_[10] 웹사이트 DLMF: §8.4 Special Values ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[11] 웹사이트 DLMF: 8.4 Special Values http://dlmf.nist.gov[...]
_[12] 문서 Incomplete Gamma Function https://mathworld.wo[...]
_[13] 서적 Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Springer 1978
_[14] 웹사이트 DLMF: §8.11 Asymptotic Approximations and Expansions ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[15] 웹사이트 DLMF: §8.11 Asymptotic Approximations and Expansions ‣ Incomplete Gamma Functions ‣ Chapter 8 Incomplete Gamma and Related Functions https://dlmf.nist.go[...]
_[16] 문서 p. 263, 6.5.31 http://www.math.sfu.[...]
_[17] 웹사이트 scipy.special.gammainc — SciPy v1.11.4 Manual https://docs.scipy.o[...]
_[18] 웹사이트 scipy.special.gammaincc — SciPy v1.11.4 Manual https://docs.scipy.o[...]
_[19] 간행물 Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions https://doi.org/10.1[...]
_[20] 논문 The generalized integro-exponential function
_[21] arXiv Numerical Evaluation of the Oscillatory Integral over exp(i*pi*x)*x^(1/x) between 1 and infinity
_[22] 간행물 Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions http://www.springerl[...]
_[23] 간행물 Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions http://www.springerl[...]

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