수학적 대상

3. 수학기초론과 역설

수학기초론은 역설을 해결하기 위해 수학적 대상을 집합으로 정의하는 것을 우선시한다. 그러나 이는 실제 수학적 실천과 괴리를 유발할 수 있다.^[1] 이러한 긴장은 전체모임, 집합, 관계 등을 포함하는 더 넓은 범주를 통해 완화될 수 있다.^[1] 이들은 술어 논리의 논의 영역으로서 모델 이론의 기초를 형성하며, 이 관점에서 수학적 대상은 술어 논리의 언어로 표현된 형식 이론(Axiomatic system)의 공리를 만족하는 실체이다.^[1]

4. 범주론적 관점

범주론은 집합을 대상으로, 그 위의 연산을 이러한 대상 간의 사상으로 추상화한다. 이 추상화 수준에서의 수학적 대상은 단순히 해당 그래프의 정점으로 환원된다. 사상으로서의 해당 그래프의 변은 이러한 대상을 변환할 수 있는 방법을 추상화하고, 해당 그래프의 구조는 사상의 합성 법칙에서 부호화된다. 범주는 (일반적으로, 구체적 범주인, 즉 집합의 범주로, 또는 더 일반적으로 적절한 토포스로의 충실망각 함자를 갖는 경우) 몇몇 공리적 이론의 모델 및 그들 사이의 준동형으로 발생하거나, 다른 보다 원시적인 범주로부터 구성될 수 있다. 또한, 범주는 그 기원(provenance)과는 관계없이, 그 자체로 의미를 갖는 추상적 대상으로 연구될 수 있다.

5. 수학 철학에서의 다양한 관점

20세기 초, 칸토어의 연구는 모든 수학적 대상을 집합으로 정의할 수 있다는 관점을 제시했다. 예를 들어, {0, 1} 집합은 비교적 명확하다. 표면적으로 2를 법으로 하는 정수의 군 '''Z'''₂ 역시 두 개의 원소를 가진 집합이지만, 단순히 {0, 1} 집합은 아니다. 이는 2를 법으로 하는 합과 반수의 연산에 의해 '''Z'''₂에 부여된 추가적인 구조를 고려하지 않기 때문이다. 예를 들어, 0과 1 중 어느 것이 덧셈의 항등원인지 어떻게 알 수 있을까? 이 군을 집합으로 체계화하려면 먼저 ({0, 1}, +, -, 0)의 4중항으로 정의하고, 이를 집합으로 나타내는 관례를 따라야 한다.

이러한 접근은 수학의 존재론이 실제 수학적 실천이나 교육 방법에 영향을 받아야 하는지에 대한 근본적인 철학적 질문을 제기한다. 수학자들은 이러한 부호화(encoding)를 연구하지 않으며, 이는 규범적이거나 실용적이지 않다. 대수학 교과서나 교육 과정에서도 이러한 부호화는 다루지 않는다. 따라서 존재론이 실천을 반영해야 한다면, 수학적 대상은 집합으로 환원될 수 없다.

그러나 수학적 존재론의 목적이 수학의 내부 무모순성을 확립하는 것이라면, 수학적 대상은 실제 실천과 관계없이 단일한 방법(예: 집합)으로 정의될 수 있다. 이는 수학기초론의 관점으로, 수학기초론은 역설을 잘 다루는 것을 수학적 실천의 반영보다 우선시하여 수학적 대상을 집합으로 정의하는 것을 정당화해왔다.

이러한 긴장은 두 종류의 대상( 수학적 우주, 집합, 관계)을 구분함으로써 완화될 수 있다. 이는 술어 논리의 논의 영역으로서 모델 이론의 기초를 형성한다. 이 관점에서 수학적 대상은 술어 논리의 언어로 표현된 형식 이론의 공리를 만족하는 실체이다.

이러한 접근 방식은 관계를 연산으로 대체하는 보편 대수로 변형될 수 있다. 여기에서 공리는 방정식 또는 방정식 간의 관계로 나타난다.

더 추상적인 변형은 범주론이다. 범주론은 집합을 대상으로, 연산을 대상 간의 사상으로 추상화한다. 이 수준에서 수학적 대상은 그래프의 정점으로 환원된다. 그래프의 변은 대상을 변환하는 방법을, 그래프의 구조는 사상의 합성 법칙을 나타낸다. 범주는 공리적 이론의 모델 및 준동형으로 발생하거나, 다른 범주로부터 구성될 수 있으며, 자체로 의미를 갖는 추상적 대상으로 연구될 수 있다.

이 외에도 콰인-퍼트넘 필수불가결성 논증, 플라톤주의, 유명론, 논리주의, 형식주의, 구성주의, 구조주의 등 다양한 관점들이 존재한다. (각 관점에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션을 참조)

5. 1. 콰인-퍼트넘 필수불가결성 논증

5. 2. 플라톤주의

• '''플라톤''': 고대 그리스 철학자로, 완벽한 형상 또는 아이디어의 추상적 영역의 존재를 가정하여 플라톤주의의 토대를 마련했다.
• '''쿠르트 괴델''': 20세기의 논리학자이자 수학자로, 모형 이론 연구를 통해 현대 플라톤주의에 큰 영향을 미쳤다.
• '''로저 펜로즈''': 현대 수리물리학자로, 수학적 진리가 추상적 실재의 영역에 존재한다는 플라톤적 관점을 주장했다.^[12]

5. 3. 유명론

• '''넬슨 굿맨'''(Nelson Goodman): 과학 철학 및 유명론 분야에서 활동한 철학자이다. 그는 추상적 대상의 존재에 반대하며, 수학적 대상은 단순히 우리의 언어적 및 기호적 관습의 산물이라고 주장했다.
• '''하트리 필드'''(Hartry Field): 현대 철학의 현대 철학자로, 수학적 진술이 실제 추상적 대상과 일치하지 않는 유용한 허구라고 주장하는 "허구주의"라는 형태의 유명론을 발전시켰다.^[15]

5. 4. 논리주의

• '''고틀로프 프레게''': 프레게는 종종 논리주의의 창시자로 여겨진다. 그의 저서인 ''산술의 기초(Grundgesetze der Arithmetik)''에서 프레게는 산술을 논리적 공리에서 파생할 수 있음을 보여주려 했다. 그는 모든 산술을 논리로 표현하는 것을 목표로 하는 형식 체계를 개발했다. 프레게의 작업은 현대 논리의 많은 부분의 기초를 마련했으며 매우 영향력이 있었지만, 특히 러셀의 역설과 같은 어려움에 직면했는데, 이는 프레게의 체계에서 모순을 드러냈다.^[17]
• '''버트런드 러셀''': 러셀은 앨프레드 노스 화이트헤드와 함께 그들의 기념비적인 저서인 ''수학 원리(Principia Mathematica)''에서 논리주의를 더욱 발전시켰다. 그들은 프레게의 체계가 겪었던 역설을 피하기 위해 유형 이론을 사용하여 일련의 논리적 공리로부터 모든 수학을 파생하려 했다. 비록 ''수학 원리''는 엄청난 영향을 미쳤지만, 모든 수학을 논리로 환원하려는 노력은 결국 불완전한 것으로 여겨졌다. 그러나 이는 수학적 논리와 분석 철학의 발전에 기여했다.^[18]

5. 5. 형식주의

• '''다비트 힐베르트''': 20세기 초의 선도적인 수학자 힐베르트는 수학의 기초로서 형식주의의 가장 저명한 옹호자 중 한 명이다(힐베르트 프로그램 참조). 그는 수학이 형식적인 규칙의 체계이며, 그 진실성은 추상적인 현실과의 연관성보다는 이러한 규칙의 일관성에 있다고 믿었다.^[20]
• '''헤르만 바일''': 독일의 수학자이자 철학자인 바일은 엄밀한 의미의 형식주의자는 아니었지만, 특히 수학의 기초에 대한 연구에서 형식주의적 아이디어에 기여했다.^[21]

5. 6. 구성주의

• '''L. E. J. 브라우어''': 20세기의 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 여겨지는 네덜란드 수학자이자 철학자이며, (무엇보다도) 수학 논리에 대한 직관주의 운동을 개척하고 다비트 힐베르트의 형식주의 운동에 반대(브라우어-힐베르트 논쟁 참조)한 것으로 알려져 있다.
• '''에렛 비숍''': 해석학 연구로 유명한 미국 수학자. 그는 1967년 저서 ''구성적 해석학의 기초''에서 구성적 해석학을 개발한 것으로 가장 잘 알려져 있으며, 여기서 구성주의적 방법을 사용하여 실해석학의 중요한 정리를 대부분 증명했다.

5. 7. 구조주의

• '''폴 베네세라프'''(Paul Benacerraf): 수학 철학 분야에서, 특히 수학적 대상에 대한 구조주의적 관점을 주장하는 논문 "숫자는 무엇이 될 수 없는가"(What Numbers Could Not Be)로 알려진 철학자이다.
• '''스튜어트 샤피로'''(Stewart Shapiro): 구조주의를 발전시키고 옹호한 또 다른 저명한 철학자이며, 특히 그의 저서 ''수학 철학: 구조와 존재론''(Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology)에서 두각을 나타낸다.^[28]

6. 함수와 대상의 구분

프레게는 함수와 대상을 구별했다.^[30] 프레게에 따르면 함수는 인수를 값에 사상하는 '불완전한' 실체이며 불완전한 표현으로 표시되는 반면, 대상은 '완전한' 실체이며 단일 용어로 표시될 수 있다. 프레게는 속성과 관계를 함수로 축소했기 때문에 이러한 실체는 대상에 포함되지 않는다. 일부 저자는 추상적 대상을 논의할 때 프레게의 '대상' 개념을 사용한다.^[31] 그러나 프레게의 '대상' 개념이 중요하지만, 이것이 이 용어를 사용하는 유일한 방법은 아니다. 다른 철학자들은 속성과 관계를 추상적 대상에 포함시킨다. 형식 이론에서 대상을 논의할 때, 더 높은 형식의 속성 및 관계 (예: 속성의 속성, 관계의 속성)는 모두 '대상'으로 간주될 수 있다. 이러한 '대상'의 광범위한 해석은 수학자들이 '대상'이라는 용어를 사용할 때 의미하는 바와 동일하다.^[32]

참조

_[1] 백과사전 Mathematical (adj.), sense 2 2024-09-01
_[2] 백과사전 Object https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[3] 서적 An introduction to metaphysics Cambridge University Press 2010
_[4] 서적 A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Reconstrual of Mathematics Oxford University Press 1997
_[5] 백과사전 Abstract Objects https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[6] 백과사전 Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-29
_[7] 백과사전 Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[8] 백과사전 Naturalism in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[9] 백과사전 Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[10] 백과사전 Platonism in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-27
_[11] 웹사이트 Platonism, Mathematical https://iep.utm.edu/[...] 2024-08-28
_[12] 웹사이트 Sir Roger Penrose https://geometrymatt[...] 2024-08-27
_[13] 백과사전 Nominalism in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-27
_[14] 웹사이트 Mathematical Nominalism https://iep.utm.edu/[...] 2024-08-28
_[15] 서적 Science without Numbers http://dx.doi.org/10[...] Oxford University Press 2016-10-27
_[16] 백과사전 Logicism and Neologicism https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-27
_[17] 웹사이트 Frege, Gottlob https://iep.utm.edu/[...] 2024-08-29
_[18] 서적 What is Analytic Philosophy? https://books.google[...] Cambridge University Press 2023-08-28
_[19] 백과사전 Formalism in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[20] 서적 Philosophy of Mathematics https://books.google[...] Elsevier 2009
_[21] 백과사전 Hermann Weyl https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[22] 학술지 Prof. Hermann Weyl, For.Mem.R.S. 1956-03-10
_[23] 백과사전 Constructive Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[24] 학술지 Aspects of Constructive Mathematics 1977
_[25] 서적 Foundations of Constructive Analysis Academic Press 1967
_[26] 웹사이트 Structuralism, Mathematical https://iep.utm.edu/[...] 2024-08-28
_[27] 백과사전 Structuralism in the Philosophy of Mathematics https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28
_[28] 서적 Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology Oxford University Press 1997
_[29] 서적 Naive set theory https://books.google[...] Springer-Verlag 1974
_[30] 학술지 Frege's Theory of Functions and Objects https://www.jstor.or[...] 1953
_[31] 백과사전 Abstract objects http://dx.doi.org/10[...] Routledge 2024-08-28
_[32] 백과사전 Abstract Objects https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2024-08-28