호지 쌍대

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 미분 형식의 호지 쌍대
- 2.2. 벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대
3. 성질
4. 역사
5. 예시
6. 응용
참조

1. 개요

호지 쌍대(Hodge dual)는 유향 준 리만 다양체에서 정의된 미분 형식에 또 다른 미분 형식을 대응시키는 선형 연산자이다. 호지 쌍대는 미분 형식의 차수를 변경하며, 미분 기하학, 이론 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 4차원 민코프스키 공간에서 2차 형식을 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 형식으로 분해하는 데 사용되며, 양-밀스 방정식과 같은 이론에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

$(M,g)$ 가 $n$ 차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, $\alpha$ 가 그 위에 정의된 $k$ 차 미분 형식( $0\le k\le n$ )이라고 할 때, 호지 쌍대는 다음과 같이 정의된다.

먼저, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여, $k$ 차 미분 형식을 $(k,0)$ 차 완전 반대칭 텐서로 대응시킨다. 이후, $\alpha\in\Omega^p(M)$ 의 호지 쌍대 $\star\alpha$ 를 정의한다.

일반적으로, 유향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 벡터 다발 $E$ 가 주어졌을 때, $E$ 값의 $k$ 차 미분 형식 $\alpha\in\Omega^k(M;E)$ 에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

$V$ 를 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $\langle \cdot,\cdot \rangle$ 을 가진 $n$ 차원 방향 벡터 공간이라고 하자. 이것은 단순 $k$ -벡터 $\alpha = \alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k$ 와 $\beta = \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_k$ 에 대해 $0 \le k \le n$ 인 다중 벡터 $k$ -벡터에 대한 스칼라 곱을 유도하며, 그람 행렬식^[1]과 같도록 정의한다.

: $\langle \alpha, \beta \rangle = \det \left( \left\langle \alpha_i, \beta_j \right\rangle _{i,j=1}^k\right)$

선형성을 통해 $\bigwedge^{\!k}V$ 로 확장된다.

단위 $n$ -벡터 $\omega\in{\textstyle\bigwedge}^{\!n}V$ 는 $V$ 의 방향 정규 직교 기저 $\{e_1,\ldots,e_n\}$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.

: $\omega := e_1\wedge\cdots\wedge e_n.$

'''호지 별 연산자'''는 $V$ 의 외대수에 대한 선형 연산자이며, $0 \le k \le n$ 에 대해 $k$ -벡터를 $(n-k)$ -벡터로 매핑한다. 모든 $k$ -벡터 $\alpha,\beta\in {\textstyle\bigwedge}^{\!k}V$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\alpha \wedge ({\star} \beta) = \langle \alpha,\beta \rangle \,\omega$

쌍대적으로, $n$ -형식( $V^n$ 에 대한 교대 $n$ -다중 선형 함수)의 공간 ${\textstyle\bigwedge}^{\!n}V^*$ 에서 $\omega$ 의 쌍대는 부피 형식 $\det$ 이며, 다음을 얻는다.

: $\det(\alpha \wedge {\star} \beta) = \langle \alpha,\beta \rangle$ 모든 $k$ -벡터 $\alpha,\beta\in {\textstyle\bigwedge}^{\!k}V$ 에 대해.

이는 $k$ -벡터의 정규 직교 기저를 $e_I \ = \ e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}$ 로, $[n]=\{1,\ldots,n\}$ 의 모든 부분 집합 $I = \{i_1<\cdots 에 대해 작성하면, 호지 쌍대가 보완 집합 \bar{I} = [n] \smallsetminus I = \left\{\bar i_1 < \cdots < \bar i_{n-k}\right\} 에 해당하는 (n-k) -벡터임을 의미한다.$

: ${\star} e_I = s\cdot t\cdot e_\bar{I} ,$

여기서 $s\in\{1,-1\}$ 는 순열 $i_1 \cdots i_k \bar i_1 \cdots \bar i_{n-k}$ 의 부호이고, $t\in\{1,-1\}$ 는 곱 $\langle e_{i_1},e_{i_1}\rangle\cdots \langle e_{i_k},e_{i_k}\rangle$ 이다. 리만 케이스에서 $t=1$ 이다.

호지 별은 정규 직교 기저를 정규 직교 기저로 변환하므로, 외대수 $\bigwedge V$ 에 대한 등거리 변환이다.

$n$ 차원 유사 리만 다양체 $M$ 에 대해, 위에서 설명한 구성을 각 코탄젠트 공간 $\text{T}^*_p M$ 과 그 외대수 $\bigwedge^k\text{T}^*_p M$ 에 적용하고, 따라서 미분 형식 $k$ -형식 $\zeta\in\Omega^k(M) = \Gamma\left(\bigwedge^k\text{T}^*\!M\right)$ 에 적용한다. 여기서 $\Omega^k(M)$ 은 전역 단면 다발 $\bigwedge^k \mathrm{T}^*\! M\to M$ 이다. 리만 계량은 각 점 $p\in M$ 에서 $\bigwedge^k \text{T}^*_p M$ 에 스칼라 곱을 유도한다. $k$ -형식 $\zeta$ 의 '''호지 쌍대''' ${\star} \zeta$ 는 모든 $k$ -형식 $\eta$ 에 대해 다음을 만족하는 유일한 $(n-k)$ -형식으로 정의한다.

: $\eta\wedge {\star} \zeta \ =\ \langle \eta, \zeta \rangle \, \omega$

여기서 $\langle\eta,\zeta\rangle$ 는 $M$ 상의 실수 값을 갖는 함수이고, 부피 형식 $\omega$ 는 유사 리만 계량에 의해 유도된다.

$V$ 를 배향된 내적 공간으로 하고, $n$ 을 그 차원이라고 하자. $0 \le k \le n$ 을 만족하는 정수 $k$ 에 대해, 호지 스타 작용소는 $k$ -벡터에서 $(n-k)$ -벡터 공간으로의 동형 사상이다. 이 사상의 $k$ -벡터의 상은, $k$ -벡터의 '''호지 쌍대'''라고 불린다. $k$ -벡터의 공간 및 $(n-k)$ -벡터의 공간의 차원은 모두 이항 계수

: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$

이다. 같은 체 위의 같은 차원의 두 벡터 공간은 항상 동형이지만, 표준적인 방법으로 동형이 되는 것은 아니다. 그러나, 이 경우의 호지 쌍대는, 내적과 벡터 공간의 배향을 이용함으로써, 대수학에서의 이항 계수의 패턴을 반영한 동형을 자연스럽게 정한다. 또한 이것에 의해 $k$ -벡터 공간의 내적을 이끌어낸다.

비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 갖는 벡터 공간 $V$ 상의 '''호지 스타 연산자'''는, $V$ 의 외대수 상의 선형 연산자이며, $0 \le k \le n$ 에 대해, $k$ - 벡터를 $(n-k)$ - 벡터로 사상하는 것이다.

$k$ - 벡터 상의 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 는, $V$ 상의 내적로부터, $k$ - 벡터 $\alpha = \alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k$ 와 $\beta = \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_k$ 에 대해,

: $\langle \alpha, \beta \rangle = \det \bigl( \langle \alpha_{i}, \beta_{j} \rangle \bigr)$

로 정하고, 이것을 쌍선형으로 확장함으로써 얻어진다.

$n$ - 벡터의 공간은 1차원이므로, 단위 $n$ 벡터 $\omega$ 에는 두 가지 선택이 있다. 이 중 하나를 선택함으로써 $V$ 상의 방향성이 결정된다.

호지 스타 연산자는 다음의 성질을 가지며, 또한 이것에 의해 결정된다. 두 개의 $k$ - 벡터 $\alpha, \beta$ 가 주어졌을 때,

: $\alpha \wedge (\star \beta) = \langle \alpha,\beta \rangle \omega$

이다.

$V$ 를 내적을 갖는 $n$ 차원 벡터 공간이라고 하면, 각 $k$ 에 대해 $\bigwedge^k V$ 에도 내적을 정의할 수 있다. 이것들을 모두 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 로 나타낸다. $\bigwedge^n V$ 는 1차원이므로, 그 길이 1인 벡터 중 하나 $\omega$ 를 고정하고, 이것을 방향으로 한다.

$k$ -벡터 $\lambda$ 와 $(n-k)$ -벡터 $\theta$ 에 대해 $\lambda \wedge \theta \in \bigwedge^n V$ 가 얻어진다.

이것은 앞에서 선택한 $\omega$ 의 스칼라 배가 된다.

$\lambda \in \bigwedge^k V$ 를 고정하고, 위에서 정해지는 스칼라를 $f_\lambda(\theta)$ 라고 쓰면, 유일하게 선형 형식

: $f_{\lambda} \in \biggl( \bigwedge^{n-k} V \biggr)^{\! *}$

이 존재하여, 임의의 $\theta \in \bigwedge^{n-k} V$ 에 대해 $\lambda \wedge \theta = f_\lambda(\theta) \omega$ 가 된다.

이 선형 형식에 대해, 리스 표현 정리에 의해 유일하게 $(n-k)$ -벡터, $\star \lambda \in \bigwedge^{n-k} V$ 가 존재하여,

: $\forall \theta \in \bigwedge^{n-k} V: \quad f_{\lambda}(\theta) = \langle \theta, \star \lambda\rangle$

을 만족한다. 이와 같이,

: $\star\colon \bigwedge^{k} V \to \bigwedge^{n-k} V$

가 얻어진다.

위의 구성을 방향이 정해진 $n$ 차원 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체의 여접공간에도 적용할 수 있으며, 미분 형식 $k$ -형식의 '''호지 쌍대''' $(n-k)$ -형식을 얻는다.

2. 1. 미분 형식의 호지 쌍대

(M, g)가 n차원 유향 준 리만 다양체이고, α가 그 위에 정의된 k차 미분 형식이라 하자(0 ≤ k ≤ n). 준 리만 계량의 음악 동형을 통해, k차 미분 형식을 (k, 0)차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.

:

(-)^\# \colon \Omega^p(M) \to \Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm TM\right)

지표로 쓰면 이는 다음과 같다.

:

(\alpha^\#)^{i_1i_2\dotsb i_p} = g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_pj_p} \alpha_{j_1\dotso j_p}

α ∈ Ω^p(M)의 '''호지 쌍대'''는 다음과 같다.

:

\star\alpha = \alpha^\# \lrcorner \omega \in \Omega^{n-p}(M)

여기서

$\lrcorner$ 는 (p, 0)차 완전 반대칭 텐서와 n차 미분 형식 사이의 내부곱이다.
ω ∈ Ωⁿ(M)는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다.

지표로 쓰면,

:

\omega_{i_1\dotso i_n} = \sqrt

\epsilon_{i_1\dotso i_n}

이므로,

:

(\star\alpha)_{i_{p+1}\dotso i_n} = \frac1{p!}\sqrt

\epsilon_{i_1\dotso i_n} g^{i_1j_1} \dotsm g^{i_pj_p}\alpha_{j_1\dotso j_p}

이다. 여기서

\epsilon^{i_1,\dots,i_n}

은 n차원 레비치비타 기호이다.

2. 2. 벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대

준 리만 다양체

(M,g)

위의 벡터 다발

E

가 주어졌을 때,

E

값의

k

차 미분 형식

\alpha\in\Omega^k(M;E)

에 대하여 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

:

\alpha^\# \in \Gamma\left(\bigwedge^k \mathrm TM \otimes E\right)

:

\star\alpha = \alpha^\# \lrcorner \omega \in \Omega^{n-p}(M;E)

성분으로 쓰면 다음과 같다.

:

(\star\alpha)^a_{i_{p+1}\dotso i_n} = \frac1{p!}\sqrt

\epsilon_{i_1\dotso i_n} g^{i_1j_1} \dotsm g^{i_pj_p}\alpha^a_{j_1\dotso j_p}

ω^영어 = e|1^영어 ∧ … ∧ e|n^영어 와 같이 순서가 정해진 직교 기저 (e|1^영어, ..., e|n^영어)}}가 주어지면,

:

\star (e_{1} \wedge e_{2} \wedge \dotsb \wedge e_{k})= e_{k+1} \wedge e_{k+2} \wedge \dotsb \wedge e_n

으로 계산할 수 있다.

더 일반적으로 짝순열 (i|1^영어, i|2^영어, ..., i|n^영어)}} 에 대해서도

:

\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \dotsb \wedge e_{i_k}) = e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \dotsb \wedge e_{i_n}

이 됨을 알 수 있다.

3. 성질

호지 쌍대는 주어진 미분형식의 차수를 바꾸는 중요한 성질을 가진다. $(n-q,q)$ 차원 준 리만 다양체 위에 정의된 $k$ 차 미분 형식 $\alpha$ 에 대해, 호지 쌍대 연산자 $\star$ 는 다음 성질을 만족시킨다.

: $\star\star\alpha=(-1)^{k(n-k)+q}\alpha$

이는 호지 쌍대를 두 번 적용하면 원래의 미분 형식으로 돌아오며, 부호 인자가 곱해짐을 의미한다.

특히, $n$ 이 짝수인 경우, 호지 쌍대는 다음과 같은 선형 변환을 정의한다.

: $\star \colon \Omega^{n/2}(M) \to \Omega^{n/2}(M)$

이 때, $\star\star = +1$ 이면, 가운데 차수 미분 형식은 '''자기 쌍대 미분 형식'''( $\alpha = \star \alpha$ )과 '''자기 반쌍대 미분 형식'''( $\alpha = -\star \alpha$ )으로 분해될 수 있다.

: $\alpha = \frac12(\alpha+\star\alpha) + \frac12(\alpha-\star\alpha)$

반대로, $\star\star = -1$ 이면, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다.

호지 쌍대는 $k$ -벡터를 $(n-k)$ -벡터로 사상하는 동형 사상이며, 이 사상의 결과는 $k$ -벡터의 호지 쌍대라고 불린다. $k$ -벡터 공간과 $(n-k)$ -벡터 공간의 차원은 모두 이항 계수 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ 로 같다.

두 미분 형식 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\alpha \wedge (\star \beta) = \langle \alpha,\beta \rangle \omega$

여기서 $\omega$ 는 부피 형식을 나타낸다. 이를 통해 미분 형식의 -노름인 내적을 정의할 수 있다.

: $(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge \star \zeta = \int_M \langle \eta, \zeta \rangle \, \mathrm{d}\mathrm{Vol}$

3. 1. 쌍대성

\alpha

가

(n-q,q)

차원 준 리만 다양체 위에 정의된

k

차 미분 형식이라고 할 때, 호지 쌍대를 두 번 적용하면 다음 식이 성립한다.

:

\star\star\alpha=(-1)^{k(n-k)+q}\alpha

즉, 원래의 미분 형식으로 돌아오며, 부호 인자가 있을 수 있다.^[6]

특히,

n

이 짝수일 때, 이는 선형 변환

:

\star \colon \Omega^{n/2}(M) \to \Omega^{n/2}(M)

을 정의한다.

만약

\star\star = +1

인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 '''자기 쌍대 미분 형식'''(self-dual differential form^영어)

:

\alpha = \star \alpha

과 '''자기 반쌍대 미분 형식'''(anti-self-dual differential form^영어)

:

\alpha = -\star \alpha

으로 분해된다.

:

\alpha = \frac12(\alpha+\star\alpha) + \frac12(\alpha-\star\alpha)

만약

\star\star = -1

인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다.

n

차원 공간

V

에서

\eta\in {\textstyle\bigwedge}^k V

에 대해 다음이 성립한다.

:

{\star} {\star} \eta = (-1)^{k(n-k)} s\, \eta

여기서

s

는

V

상의 스칼라 곱의 부호수의 패리티, 즉 임의의 기저에 대한 스칼라 곱 행렬의 행렬식의 부호이다. 예를 들어,

n=4

이고 스칼라 곱의 부호수가

(+ − − −)

또는

(− + + +)

이면,

s=-1

이다. 리만 다양체(유클리드 공간 포함)의 경우 항상

s=1

이다.

위의 항등식은

\star

의 역이 다음과 같이 주어질 수 있음을 의미한다.

:

\begin{align}{\star}^{-1}: ~ {\textstyle\bigwedge}^{\!k} V &\to {\textstyle\bigwedge}^{\!n-k} V \\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)} \!s\, {\star} \eta\end{align}

만약

n

이 홀수이면 모든

k

에 대해

k(n-k)

는 짝수이고, 반면에

n

이 짝수이면

k(n-k)

는

k

의 패리티를 갖는다. 따라서:

:

{\star}^{-1} = \begin{cases} s\, {\star} & n \text{ is odd} \\ (-1)^k s\, {\star} & n \text{ is even} \end{cases}

여기서

k

는 연산되는 요소의 차수이다.

3. 2. 내적

n^영어차원 유사 리만 다양체 M에 대해, 위에서 설명한 구성을 각 코탄젠트 공간

\text{T}^*_p M

과 그 외대수

\bigwedge^k\text{T}^*_p M

에 적용하고, 따라서 미분 형식 ''k''-형식

\zeta\in\Omega^k(M) = \Gamma\left(\bigwedge^k\text{T}^*\!M\right)

에 적용한다. 여기서

\Omega^k(M)

은 전역 단면 다발

\bigwedge^k \mathrm{T}^*\! M\to M

이다. 리만 계량은 각 점

p\in M

에서

\bigwedge^k \text{T}^*_p M

에 스칼라 곱을 유도한다.

임의의

\alpha\in H^p

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\forall \beta\in H^p\colon \beta\wedge\star\alpha=\langle\beta,\alpha\rangle_{H^p}\omega\in H^n

즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다.

''k''-형식

\zeta

의 '''호지 쌍대'''는, 모든 ''k''-형식

\eta

에 대해 다음을 만족하는 유일한 (''n'' – ''k'')-형식으로 정의되는

{\star} \zeta

이다.

:

\eta\wedge {\star} \zeta \ =\ \langle \eta, \zeta \rangle \, \omega

여기서

\langle\eta,\zeta\rangle

는

M

상의 실수 값을 갖는 함수이고, 부피 형식

\omega

는 유사 리만 계량에 의해 유도된다.

이 방정식을

M

에 대해 적분하면, 우변은

L^2

(제곱 적분 가능) ''k''-형식에 대한 스칼라 곱이 되고, 다음과 같은 식을 얻는다.

:

\int_M \eta\wedge {\star} \zeta\ =\  \int_M  \langle\eta,\zeta\rangle\ \omega.

더 일반적으로,

M

이 비 가향적이면, ''k''-형식의 호지 스타를 (''n'' – ''k'')-유사 미분 형식으로 정의할 수 있다. 즉, 표준 선 다발의 값을 갖는 미분 형식이다.

를 배향된 내적 공간으로 하고, 을 그 차원이라고 하자. 을 만족하는 정수 에 대해, 호지 스타 작용소는 -벡터에서 -벡터 공간으로의 동형 사상이다. 이 사상의 -벡터의 상은, -벡터의 '''호지 쌍대'''라고 불린다.^[1] -벡터의 공간 및 -벡터의 공간의 차원은 모두 이항 계수

:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}

이다. 같은 체 위의 같은 차원의 두 벡터 공간은 항상 동형이지만, 표준적인 방법으로 동형이 되는 것은 아니다. 그러나, 이 경우의 호지 쌍대는, 내적과 벡터 공간의 배향을 이용함으로써, 대수학에서의 이항 계수의 패턴을 반영한 동형을 자연스럽게 정한다. 또한 이것에 의해 -벡터 공간의 내적을 이끌어낸다. 자연스러운 정의란, 이 쌍대 관계가 이론의 기하학적인 역할을 하는 것을 의미한다.^[1]

를 내적을 갖는 차원 벡터 공간이라고 하면, 앞에서 언급했듯이 각 에 대해

\bigwedge^k V

에도 내적을 정의할 수 있다. 이것들을 모두 로 나타낸다.

\bigwedge^n V

는 1차원이므로, 그 길이 1인 벡터 중 하나 를 고정하고, 이것을 방향으로 한다.^[2]

벡터 와 -벡터 에 대해 $\lambda \wedge \theta \in \bigwedge^n V$ 가 얻어진다.^[2]

이것은 앞에서 선택한 의 스칼라 배가 된다.

\lambda \in \bigwedge^k V

를 고정하고, 위에서 정해지는 스칼라를 라고 쓰면, 유일하게 선형 형식

:

f_{\lambda} \in \biggl( \bigwedge^{n-k} V \biggr)^{\! *}

이 존재하여, 임의의

\theta \in \bigwedge^{n-k} V

에 대해 가 된다.^[2]

이 선형 형식에 대해, 리스 표현 정리에 의해 유일하게 -벡터,

\star \lambda \in \bigwedge^{n-k} V

가 존재하여,

:

\forall \theta \in \bigwedge^{n-k} V: \quad f_{\lambda}(\theta) = \langle \theta, \star \lambda\rangle

을 만족한다. 다시 말해, 이 -벡터 는 내적

:

\biggl( \bigwedge^{n-k} V \biggr)^{\! *} \cong \bigwedge^{n-k} V

에 의해 유도된 동형 아래에서 의 상이 된다. 이와 같이,

:

\star\colon \bigwedge^{k} V \to \bigwedge^{n-k} V

가 얻어진다.^[2]

위의 구성을 방향이 정해진 차원 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체의 여접공간에도 적용할 수 있으며, -형식의 '''호지 쌍대''' -형식을 얻는다. 그러면, 호지 스타는 다양체 위의 미분 형식의 -노름인 내적을 제공한다.

\bigwedge^k(T^{*}M)

의 단면 와 에 대해,

:

(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge \star \zeta = \int_M \langle \eta, \zeta \rangle \, \mathrm{d}\mathrm{Vol}

이다(단면의 집합은

\Omega^{k}(M) = \Gamma \bigl( \bigwedge^{k}(T^{*}M) \bigr)

로 표기되는 경우가 많다. 의 원소는 외 -형식이라고 불린다).^[2]

더 일반적으로는, 방향이 정해지지 않은 경우에는, -형식의 호지 스타를 -의사 텐서(pseudo differential form), 즉, 표준 라인 번들 값을 갖는 미분 형식으로 정의할 수 있다.^[2]

3. 3. 공미분

codifferential^영어인 공미분

\delta

는 미분 형식의 차수를 1 감소시키는 연산으로, 외미분

d

에 대응하는 연산이다.

\alpha

가

k

차 형식이라면, 공미분은 다음과 같이 정의된다.^[4]

:

\delta\alpha=(-1)^k\star^{-1}\mathrm d\star\alpha

공미분은 외미분과 마찬가지로

\delta^2=0

을 만족시킨다.

공미분은 외미분과 함께 라플라스-벨트라미 연산자

\Delta

를 정의하는 데 사용된다.

:

\Delta=(d+\delta)^2=d\delta+\delta d

.

4. 역사

윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론의 일부로서 도입하였다.

5. 예시

3차원 유클리드 공간에서 호지 쌍대는, 벡터 공간 자신과 그 공간에서 유도된 두 벡터의 쐐기곱 공간 사이의 동형 사상을 확립한다. 이는 전통적인 벡터 해석학의 외적과 관련이 있다. 외적은 3차원에서만 정의되지만, 호지 쌍대는 일반적인 차원에서도 정의된다.

3차원에서 호지 쌍대는 3차원 벡터와 3 × 3 왜대칭 행렬의 대응으로 간주될 수 있다. 이는 벡터 해석학에서 암묵적으로 사용되며, 예를 들어 두 벡터의 쐐기곱으로부터 외적을 만들 수 있다. 특히, 유클리드 공간 에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.^[2]

여기서 , , 는 위의 표준 직교 미분 1-형식이다. 3차원에서 호지 쌍대는 외적과 쐐기곱을 연결한다.

5. 1. 2차원

2차원 유클리드 공간에서 호지 쌍대는 미분 형식의 차수를 교환한다. 정규화된 유클리드 메트릭과 (''x'', ''y'') 순서로 주어진 방향을 가진 2차원에서, ''k''-형식에 대한 호지 쌍대는 다음과 같이 주어진다.^[3]

$\star 1 = dx \wedge dy$
$\star dx = dy$
$\star dy = -dx$
$\star (dx \wedge dy) = 1$

5. 2. 3차원

3차원 유클리드 공간에서 호지 쌍대는 벡터와 2차 형식 사이의 대응 관계를 나타낸다. 이는 벡터 미적분학에서 자주 사용되는 일차 형식의 기저

dx, dy, dz

를 통해 다음과 같이 표현된다.^[2]

\begin{align}{\star} \,dx &= dy \wedge dz \\{\star} \,dy &= dz \wedge dx \\{\star} \,dz &= dx \wedge dy.\end{align}

이는 벡터곱과 쐐기곱을 관련시키는 중요한 역할을 한다. 3차원에서 호지 쌍대는 축 벡터와 2차 형식 사이의 동형 사상을 제공하며, 각 축 벡터 a는 2차 형식 A와 연결되고 그 반대도 성립한다.^[2]

\mathbf{A} = {\star} \mathbf{a}, \ \ \mathbf{a} = {\star} \mathbf{A}

.

이러한 관계는 클리퍼드 대수의 단위 유사 스칼라

i

를 사용하여 표현할 수 있다. 여기서

\boldsymbol{e}_{\ell}

는 3차원 유클리드 공간의 직교 기저이다.^[8]

:

\boldsymbol{A} = \boldsymbol{a}i \quad \boldsymbol{a} = - \boldsymbol{A} i

이때,

\ell, m, n

이 순환적인 경우 다음 관계가 성립한다.^[7]

:

\star \boldsymbol{e}_{\ell} = \boldsymbol{e}_{\ell} i = \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_m \boldsymbol{e}_n

:

\star ( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m ) = -( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m ) i = -( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m )\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_{n}

결과적으로, 3차원에서 호지 쌍대는 외적과 쐐기곱을 다음과 같이 연결한다.^[7]

:

\star (\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} ) = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \,,\quad\star (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} ) = \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}

이는

i

를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[10]

:

\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} = -(\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} ) i  \,,\quad\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )  i

5. 3. 4차원

4차원 민코프스키 공간에서 호지 쌍대는 2차 형식의 공간에서 자기 사상으로 작용한다. 즉, 2-형식을 2-형식으로 사상한다. 이는 2차 형식을 자기 쌍대 형식과 반자기 쌍대 형식으로 분해할 수 있게 한다. 이러한 성질은 양-밀스 방정식과 같은 이론에서 중요한 역할을 한다.^[3]

구체적으로, 좌표

(t,x,y,z)

와 계량 부호

(+ - - -)

를 갖는 민코프스키 시공간에서, 부피 형식은

\varepsilon_{0123} = 1

로 주어진다. 이때, 1-형식과 2-형식의 호지 쌍대는 다음과 같다.

1-형식	호지 쌍대	2-형식	호지 쌍대
${\star} dt$	$-dx \wedge dy \wedge dz$	${\star} (dt \wedge dx)$	$- dy \wedge dz$
${\star} dx$	$-dt \wedge dy \wedge dz$	${\star} (dt \wedge dy)$	$- dz \wedge dx$
${\star} dy$	$-dt \wedge dz \wedge dx$	${\star} (dt \wedge dz)$	$- dx \wedge dy$
${\star} dz$	$-dt \wedge dx \wedge dy$	${\star} (dx \wedge dy)$	$dt \wedge dz$
		${\star} (dz \wedge dx)$	$dt \wedge dy$
		${\star} (dy \wedge dz)$	$dt \wedge dx$

이들은 지수 표기법으로 다음과 같이 요약된다.

${\star} (dx^\mu) = \eta^{\mu\lambda} \varepsilon_{\lambda\nu\rho\sigma} \frac{1}{3!} dx^\nu \wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$
${\star} (dx^\mu \wedge dx^\nu) = \eta^{\mu\kappa} \eta^{\nu\lambda} \varepsilon_{\kappa\lambda\rho\sigma} \frac{1}{2!} dx^\rho \wedge dx^\sigma$

3-형식과 4-형식의 호지 쌍대성은 로렌츠 부호에서

{\star}^2=1

(홀수 순위 형식) 및

{\star}^2=-1

(짝수 순위 형식)이라는 사실에서 쉽게 추론할 수 있다.

(dx^\mu \wedge dx^\nu)^{\pm} := \frac{1}{2} \big( dx^\mu \wedge dx^\nu \mp i {\star} (dx^\mu \wedge dx^\nu) \big)

와 같은 조합은 호지 별 연산자에 대해

\pm i

를 고유값으로 갖는다. 즉,

{\star} (dx^\mu \wedge dx^\nu)^{\pm} = \pm i (dx^\mu \wedge dx^\nu)^{\pm}

가 성립한다.

따라서, 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 2-형식이라는 이름을 갖는다. 민코프스키 시공간의 기하학 또는 운동학을 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 섹터에서 이해하는 것은 수학적 및 물리적 관점에서 통찰력이 있으며, 2-스피너 언어 사용과 같은 현대 물리학, 스피너-헬리시티 형식론 또는 트위스터 이론과 관련이 있다.

6. 응용

호지 쌍대 연산자는 여러 분야에 응용된다.

이론 물리학에서 호지 쌍대는 맥스웰 방정식과 양-밀스 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 또한 일반 상대성 이론에서 중력장을 표현하는 데에도 사용된다.

4차원(n=4)인 경우, 호지 쌍대는 2-벡터로 구성된 공간의 자기 준동형 사상으로 작용한다. 이때 호지 쌍대는 대합이며, 따라서 자신에서 자신으로의 '자기 쌍대' 및 '반 자기 쌍대' 부분 공간으로 분해되며, 그 위에서 호지 쌍대가 각각 +1, -1로 작용한다.

차원 계량 부호 (+, -, -, -)와 좌표 (t, x, y, z)를 사용하는 민코프스키 공간(ε₀₁₂₃=1 사용)에서, 1-형식과 2-형식에 대한 호지 쌍대는 다음과 같다.

1-형식	호지 쌍대
$\mathrm{d}t$	$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$
$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$
$\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z \wedge\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}z$	$\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y$

2-형식	호지 쌍대
$\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x$	$-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$
$\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z$
$\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z$	$-\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$
$\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y$	$\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z$
$\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z$	$-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y$
$\mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$	$\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x$

호지 쌍대는 전자기학, 유체역학 등에서 전자기장, 유체의 흐름 등을 기술하는 데 응용된다. 3차원 유클리드 공간에서 grad, curl, div를 생성하는데, 이는 외미분과 호지 쌍대 연산자( ${\star}$ )를 조합하여 만들 수 있다.^[1]

예를 들어, 맥스웰 방정식은 외미분과 호지 쌍대를 사용하여 표현하면 간단하고 우아한 형태를 띤다.^[1] 또한, 이 표현 방식을 통해 다음 항등식들을 얻을 수 있다.^[1]

$\mathrm {curl\;grad} f = 0$
$\mathrm {div\;curl} \mathbf{F} = 0$

라플라시안 역시 이 연산들을 통해 얻을 수 있다.^[1]

:

\Delta f = {\star}d{\star}d f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

6. 1. 미분기하학

유사 리만 다양체 ''M''에서, 각 코탄젠트 공간

\text{T}^*_p M

과 그 외대수

\bigwedge^k\text{T}^*_p M

에 적용하고, 미분 형식 ''k''-형식

\zeta\in\Omega^k(M) = \Gamma\left(\bigwedge^k\text{T}^*\!M\right)

에 적용한다. 리만 계량은 각 점

p\in M

에서

\bigwedge^k \text{T}^*_p M

에 스칼라 곱을 유도한다. ''k''-형식

\zeta

의 '''호지 쌍대'''는 모든 ''k''-형식

\eta

에 대해 다음을 만족하는 유일한 (''n'' – ''k'')-형식으로 정의한다.

:

\eta\wedge {\star} \zeta \ =\ \langle \eta, \zeta \rangle \, \omega

여기서

\langle\eta,\zeta\rangle

는

M

상의 실수 값을 갖는 함수이고, 부피 형식

\omega

는 유사 리만 계량에 의해 유도된다.

더 일반적으로,

M

이 비가향적이면, ''k''-형식의 호지 스타를 (''n'' – ''k'')-유사 미분 형식으로 정의할 수 있다.

다양체 위의 호지 쌍대의 가장 중요한 응용은, '''여미분'''codifferential^영어을 정의하는 것이다.

:

\delta = (-1)^{nk + n + 1}s\, {\star \mathrm{d}\star} = (-1)^k\,{\star^{-1}\mathrm{d}\star}

여기서, 리만 다양체에 대해,

d

는 외미분,

s=1

로 한다.

d: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)

에 대해,

\delta: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k-1}(M)

이다. 여미분은 외미분에 수반되며, 즉

\langle\eta, \delta\zeta\rangle = \langle d\eta, \zeta\rangle

이다. 여기서

\zeta

는

(k+1)

-형식이며,

\eta

는

k

-형식이다.

라플라스-드 람 작용소는

\Delta = (\delta + d)^2 = \delta d + d\delta

로 주어지며, 호지 이론의 핵심을 이룬다. 호지 쌍대는 조화 형식을 조화 형식으로 사상한다. 호지 이론의 결과로서, 드 람 코호몰로지는 자연스럽게 조화

k

-형식의 공간과 동형이 되며, 호지 스타는 코호몰로지 군

:

\star\colon H^{k}_{\Delta}(M) \to H^{n-k}_{\Delta}(M)

의 동형을 가져온다. 이것은

H^k(M)

의 푸앵카레 쌍대성과 표준적으로 동일시된다.

6. 2. 이론 물리학

호지 쌍대는 이론 물리학, 특히 맥스웰 방정식과 양-밀스 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 또한 일반 상대성 이론에서 중력장을 표현하는 데에도 사용된다.

4차원(n=4)인 경우, 호지 쌍대는 2-벡터로 구성된 공간의 자기 준동형 사상으로 작용한다(4-2=2이므로, 호지 쌍대는 2-형식에서 2-형식으로의 사상이다). 이때 호지 쌍대는 대합이며, 따라서 자신에서 자신으로의 '자기 쌍대' 및 '반 자기 쌍대' 부분 공간으로 분해되며, 그 위에서 호지 쌍대가 각각 +1, -1로 작용한다.

차원 계량 부호 (+, -, -, -)와 좌표 (t, x, y, z)를 사용하는 민코프스키 공간(ε₀₁₂₃=1 사용)에서, 1-형식에 대한 호지 쌍대는 다음과 같다.

:

\star \mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z

:

\star \mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z

:

\star \mathrm{d}y=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z \wedge\mathrm{d}x

:

\star \mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y

2-형식에 대한 호지 쌍대는 다음과 같다.

:

\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x) = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z

:

\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y) =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z

:

\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z) = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y

:

\star (\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y) =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z

:

\star (\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z) = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y

:

\star (\mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z) =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x

6. 3. 공학

호지 쌍대는 전자기학, 유체역학 등에서 전자기장, 유체의 흐름 등을 기술하는 데 응용된다. 3차원 유클리드 공간에서 벡터장에 대한 고전적인 연산자인 grad, curl, div를 생성하는데, 이는 외미분()과 호지 쌍대 연산자(

{\star}

)를 조합하여 만들 수 있다.^[1]

예를 들어, 맥스웰 방정식은 외미분과 호지 쌍대를 사용하여 표현하면 다음과 같이 간단하고 우아한 형태를 띤다.^[1]

또한, 이 표현 방식을 통해 다음 항등식들을 얻을 수 있다.^[1]

${\mathrm {curl\;grad}} f = 0$
${\mathrm {div\;curl}} \mathbf{F} = 0$

라플라시안 역시 이 연산들을 통해 얻을 수 있다.^[1]

:

\Delta f = {\star}d{\star}d f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

참조

_[1] 서적 Differential Forms with Applications to the Physical Sciences Academic Press 1963
_[2] 서적 Clifford Algebras and Spinors, Volume 286 of London Mathematical Society Lecture Note Series Cambridge University Press 2001
_[3] 서적 The Geometry of Physics Cambridge University Press 2012
_[4] 논문 The Poincare Lemma for Codifferential, Anticoexact Forms, and Applications to Physics https://doi.org/10.1[...] 2022-07-29
_[5] 서적 Applied exterior calculus https://www.worldcat[...] 2005
_[6] 서적 The Geometry of Physics Cambridge University Press 2012
_[7] 서적 Clifford Algebras and Spinors, Volume 286 of London Mathematical Society Lecture Note Series https://books.google[...] Cambridge University Press 2001
_[8] 서적 Geometric algebra and applications to physics https://books.google[...] CRC Press 2007
_[9] 서적 Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications https://books.google[...] Birkhäuser 2004
_[10] 서적 New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics https://books.google[...] Springer 1999

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