엇호프트-폴랴코프 자기 홀극

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호모토피 군 계산
3. 대통일 이론에서의 자기 홀극
- 3.1. 표준 모형과 자기 홀극
4. 특성
5. 자기 홀극 문제
참조

1. 개요

엇호프트-폴랴코프 자기 홀극은 게이지 이론에서 발생하는 위상수학적으로 보존되는 상태로, 게이지 군의 자발 대칭 깨짐과 관련이 있다. 시공간의 차원에 따라 호모토피 군을 통해 분류되며, 특히 양-밀스-힉스 이론에서 진공 다양체의 몫 공간과 관련된다. 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극은 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고 유한한 에너지를 가지며, 대부분의 대통일 이론에서 예측된다. 자기 홀극은 우주론적 문제인 모노폴 문제를 야기할 수 있으며, 우주 인플레이션이 이 문제를 해결하는 방안으로 제시된다.

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엇호프트-폴랴코프 자기 홀극
요약
명명
명칭	엇호프트-폴랴코프 자기 홀극
영어 명칭	't Hooft–Polyakov monopole

2. 정의

시공간이 $\mathbb R^{d+1}$ 이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 $\mathcal M$ 이라고 하면, 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 $S^{d-1}$ 에서 $\mathcal M$ 으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제 $d-1$ 차 호모토피 군 $\pi_{d-1}(\mathcal M)$ 에 의하여 분류된다.

게이지 군 $G$ 를 가진 게이지 이론이 자발 대칭 깨짐을 겪어 $H\subset G$ 로 깨진다고 하면, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간 $G/H$ 이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 $H$ 에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 '''엇호프트-폴랴코프 자기 홀극'''이라고 한다.

호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.

: $\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0$

특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, $d=3$ 인 경우,

: $0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb$

이므로

: $\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)$

이다. 만약 $G$ 가 단일 연결 공간이라면,

: $\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)$

이다.

진공이 진공 다양체 $\Sigma$ 라고 가정하면, 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체 $\Sigma$ 의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구 $S^2$ 와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은 $\Sigma$ 의 두 번째 호모토피 군, $\pi_2(\Sigma)$ 에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간 $G/H$ 와 동형이며, 관련 호모토피 군은 $\pi_2(G/H)$ 이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

$d+1$ 차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는 $\pi_{d-1}(\Sigma)$ 를 갖는다.

2. 1. 호모토피 군 계산

시공간이

\mathbb R^{d+1}

이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을

\mathcal M

이라고 하면, 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대

S^{d-1}

에서

\mathcal M

으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제

d-1

차 호모토피 군

\pi_{d-1}(\mathcal M)

에 의하여 분류된다.

게이지 군

G

를 가진 게이지 이론이 자발 대칭 깨짐을 겪어

H\subset G

로 깨진다고 하면, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간

G/H

이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군

\pi_{d-1}(G/H)

가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은

H

에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이라고 한다.

호모토피 군

\pi_{d-1}(G/H)

는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.

:

\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0

특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서,

d=3

인 경우,

:

0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb

이므로

:

\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)

이다. 만약

G

가 단일 연결 공간이라면,

:

\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)

이다.

진공이 진공 다양체

\Sigma

라고 가정하면, 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체

\Sigma

의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구

S^2

와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은

\Sigma

의 두 번째 호모토피 군,

\pi_2(\Sigma)

에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간

G/H

와 동형이며, 관련 호모토피 군은

\pi_2(G/H)

이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

d+1

차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는

\pi_{d-1}(\Sigma)

를 갖는다.

3. 대통일 이론에서의 자기 홀극

대통일 이론에서는

''G''는 대통일군 (예를 들어 SU(5) 또는 SO(10))
''H''=SU(3)×SU(2)×U(1)는 표준 모형의 게이지군
''d''=3 (공간의 차원)

이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군인데, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,

π₁(SU(N))=π₁(Spin(N))=1 (자명군)
π₁(SO(N))=ℤ/2

이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은

π₁(H)=π₁(U(1))=ℤ

이다. 따라서, π₁(G)=Γ가 유한 아벨 군이라면 군 준동형

:ℤ→Γ

의 핵은 항상 ℤ이다. 따라서, 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군이 유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

진공이 진공 다양체 Σ라고 가정하자. 그러면 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체 Σ의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구 S²와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은 Σ의 두 번째 호모토피 군, π₂(Σ)에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간 ''G''/''H''와 동형이며, 관련 호모토피 군은 π₂(''G''/''H'')이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

''d''+1 차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는 π_''d''-1(Σ)를 갖는다.

3. 1. 표준 모형과 자기 홀극

대통일 이론에서, 표준 모형의 게이지군은

H=SU(3)\times SU(2)\times U(1)

이며, 공간의 차원은

d=3

이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군이며, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,

$\pi_1(SU(N))=\pi_1(Spin(N))=1$ (자명군)
$\pi_1(SO(N))=\mathbb Z/2$

이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은

$\pi_1(H)=\pi_1(U(1))=\mathbb Z$

이다. 따라서,

\pi_1(G)=\Gamma

가 유한 아벨 군이라면 군 준동형

:

\mathbb Z\to\Gamma

의 핵은 항상

\mathbb Z

이다. 그러므로 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군이 유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

4. 특성

양-밀스 이론에서 게이지 군이 힉스 메커니즘으로 인하여 자발 대칭 깨짐을 겪는 경우 발생한다. 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고, 유한한 총 에너지를 가진다.^[5]

엇호프트-폴랴코프 홀극은 원점을 근처로 국소화돼 있으며, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 디랙 자기홀극으로 수렴한다. 그러나 원점에서는 게이지 군은 깨지지 않는다. 힉스 장 $H_i$ ( $i=1,2,3$ )은 $x_i f(|x|)$ 에 비례한다.

대부분의 게이지 이론은 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가지지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다. 정확히 말하면, (콤팩트 리 군이라고 가정한) 게이지 대칭 리 대수가 가환 부분을 가지고, 또 전하 연산자가 리 대수의 반단순 부분대수에 포함되지 않은 경우, 자기 홀극이 존재하지 않을 수 있다.^[5] 표준 모형의 경우 SU(2)×U(1)에서 U(1)이라는 가환부분군이 있고, 또 전하 연산자가 순수히 SU(2)안에 들어있지 않고 SU(2)×U(1)에 대각으로 걸쳐 있으므로, 자기 홀극이 존재하지 않는다.^[5]

대부분의 대통일 이론은 반단순 리 군(SU(5), SO(10) 등)으로 나타내어지므로, 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가진다. 그러나 자기 홀극은 아직 실험적으로 관측되지 않았다.^[5]

5. 자기 홀극 문제

"모노폴 문제"는 대통일 이론(GUT)의 우주론적 함의를 지칭한다. 자기 홀극은 일반적으로 우주의 냉각 과정에서 GUT에 의해 생성되며, 질량이 매우 클 것으로 예상되므로, 존재할 경우 우주가 과도하게 닫히는 것을 위협한다. 이는 표준 빅뱅 이론 내에서 "문제"로 여겨진다. 우주 인플레이션은 자기 홀극의 초기 존재량을 희석시켜 이 상황을 해결한다.

참조

_[1] 논문 Magnetic monopoles in unified gauge theories https://dspace.libra[...]
_[2] 논문 Particle Spectrum in the Quantum Field Theory http://www.jetplette[...]
_[3] 논문 Magnetic monopoles in unified gauge theories 1974-09-18
_[4] 논문 Спектр частиц в квантовой теории поля http://www.jetplette[...] 1974-09-25
_[5] 간행물 1984

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