영다양체

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1. 개요

영다양체는 연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간으로, 멱영 리 군의 격자를 이용하여 정의할 수 있으며, 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 모든 영다양체는 해다양체이며, 콤팩트 영다양체는 기본군으로 분류된다. 2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없으며, 3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의해 분류된다. 복소 닐다양체는 과거에는 복소 닐포텐트 리 군을 공조밀 격자로 나눈 몫을 의미했지만, 현재는 좌불변 복소 구조를 갖춘 복소 군 다양체를 이산적인 공조밀 격자로 나눈 몫으로 정의된다. 영다양체는 가해 리 군에 기반한 평행 구성을 통해 가해다양체로 일반화될 수 있다.

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영다양체
정의
정의	수학에서 영다양체(영어: nilmanifold)는 멱영 리 군의 콤팩트 몫공간이다.
성질
기하학적 구조	모든 영다양체는 거의 평탄한 다양체이다.
대수적 위상수학적 성질	모든 영다양체는 아스페네스-그린-타오 정리를 만족시킨다.
예
원환면	원환면은 영다양체이다.
하이젠베르크 다양체	하이젠베르크 군의 콤팩트 몫공간은 영다양체이다.

2. 정의

영다양체는 멱영 리 군과 밀접하게 연관된 다양체로, 여러 가지 동치 조건으로 정의될 수 있다. 연결 매끄러운 다양체 $M$ 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 연결 매끄러운 다양체를 '''영다양체'''라고 한다.

연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다.
$M\cong \Gamma\backslash N$ 이 되는 연결 멱영 리 군 $N$ 및 격자 $\Gamma\le N$ 이 존재한다.
반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다.

이 조건들은 멱영 리 군의 격자, 동차 공간, 반복된 U(1) 주다발을 이용하여 정의될 수 있음을 보여준다.^[14] 또한, 연결 멱영 리 군

N

에 대하여,

N

이 (하나 이상의) 격자를 갖는것과 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수

\operatorname{Lie}(N)

의 기저가 존재한다는 조건은 서로 동치이다. (말체프 조건, Mal’cev condition)

2. 1. 멱영 리 군의 격자를 이용한 정의

연결 멱영 리 군

N

속의 '''격자'''(lattice^영어)는 다음 조건들을 만족시키는 부분군

\Gamma\le N

이다.

$\Gamma$ 는 이산 공간이다.
몫공간 $N/\Gamma$ 는 콤팩트 공간이다.

연결 멱영 리 군

N

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$N$ 은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
(말체프 조건 Mal’cev condition^영어) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 $\operatorname{Lie}(N)$ 의 기저가 존재한다.

만약

N

이 연결 멱영 리 군이고,

\Gamma

가 격자라면, 몫공간

N/\Gamma

는 영다양체가 된다.

2. 2. 동차 공간을 이용한 정의

연결 멱영 리 군에 대한 동차 공간이다. 즉, 연결 멱영 리 군

N

의 추이적 작용

\cdot\colon N\times M\to M

이 존재하며, 모든

g\in N

에 대하여

g\cdot\colon M\to M

이 미분 동형을 이룬다.^[14]

2. 3. 반복된 U(1) 주다발을 이용한 정의

영다양체는 반복된 U(1) 주다발과 유클리드 공간의 곱공간과 미분 동형이다. 즉,

M \cong \mathbb R^k \times P_n

이며

M_0 = \{\bullet\}

(한원소 공간)인 매끄러운 주다발의 열

\operatorname U(1) \to M_i \to M_{i-1}

(

i\in\{1,\dotsc,n\}

)이 존재한다.^[14]

2. 4. 말체프 조건

연결 멱영 리 군

N

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$N$ 은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
(말체프 조건 Mal’cev condition^영어) 모든 구조 상수가 유리수가 되는 리 대수 $\operatorname{Lie}(N)$ 의 기저가 존재한다.

3. 성질

모든 영다양체는 자명하게 해다양체이므로 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 유클리드 공간의 곱공간이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다. 위상수학적으로, 모든 닐다양체는 원환면 위에서 반복적인 원환면 다발을 통해 얻을 수 있으며, 이는 상승 중심 계열에 의한 여과를 통해 쉽게 알 수 있다.^[13]

3. 1. 호모토피 군

영다양체의 2차 이상 호모토피 군은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다.^[15]

3. 2. 콤팩트 영다양체의 분류

콤팩트 영다양체는 그 기본군으로 완전히 분류된다.^[15]

3. 3. 기본군

어떤 군

G

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$G\cong\pi_1(M)$ 이 되는 영다양체 $M$ 이 존재한다.
$G$ 는 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군이다.

3. 4. 형식이 아님

원환면이 아닌 콤팩트 영다양체는 형식적 공간이 아니며, 특히 켈러 구조를 가질 수 없다.^[11]

3. 5. 가향성 및 평행화 가능성

정의에 따라, 모든 영다양체는 가향 다양체이며, 추가로 평행화 가능 다양체이다.^[15]

4. 예시

다양한 차원의 영다양체가 존재한다.

콤팩트 닐매니폴드는 콤팩트한 닐매니폴드이다. 단일 연결 닐포텐트 리 군 ''N''과 이산 부분군 $\Gamma$ 에서 시작하여, $\Gamma$ 가 ''N''에 대해 오른쪽 곱셈을 통해 코콤팩트하게 작용하면 몫 매니폴드 $N/ \Gamma$ 는 콤팩트 닐매니폴드가 된다. Mal'cev에 따르면, 모든 콤팩트 닐매니폴드는 이러한 방식으로 얻어진다.^[7]

$\Gamma$ 는 ''N''에서 격자라고 불린다. 닐포텐트 리 군은 리 대수가 구조 상수가 유리수인 기저를 허용하는 경우에만 격자를 허용한다. (Mal'cev의 기준) 모든 닐포텐트 리 군이 격자를 허용하는 것은 아니다.

'''콤팩트 리만 닐매니폴드'''는 왼쪽 불변 메트릭을 가진 닐포텐트 리 군에 국소적으로 등거리인 콤팩트 리만 매니폴드이다. 단일 연결 닐포텐트 리 군 ''N''에서 $\Gamma$ 를 격자로 놓고, ''N''에 왼쪽 불변 (리만) 메트릭을 부여하면, $\Gamma$ 는 왼쪽 곱셈을 통해 ''N''에 등거리 변환으로 작용한다. 따라서 몫 $\Gamma \backslash N$ 은 ''N''에 국소적으로 등거리인 콤팩트 공간이며, $N / \Gamma$ 와 미분동형이다.

콤팩트 닐매니폴드는 주다발로도 발생한다. 격자를 허용하는 2단계 닐포텐트 리 군 ''N''에서, $Z=[N,N]$ 을 ''N''의 교환자 부분군, p를 ''Z''의 차원, q를 ''Z''의 여차원으로 놓으면, ''N''의 차원은 p+q이다. $Z \cap \Gamma$ 는 ''Z''의 격자이므로, $G = Z/(Z \cap \Gamma )$ 는 ''p''차원 콤팩트 토러스이다. ''Z''가 ''N''에서 중심적이므로, 군 G는 몫 공간이 $M=P/G$ 인 콤팩트 닐매니폴드 $P = N/ \Gamma$ 에 작용한다. ''M''은 ''q''차원 콤팩트 토러스이며, 토러스 위의 모든 주 토러스 다발은 이러한 형태이다.^[9] 콤팩트 닐매니폴드는 토러스 다발 위에, 토러스 다발 위에, ...토러스 위에 있는 토러스 다발이다.

거의 평탄한 매니폴드는 콤팩트 닐매니폴드와 밀접하게 관련되어 있다.

좌불변 메트릭을 갖는 모든 닐포텐트 리 군은 균질 닐매니폴드이다. 가장 익숙한 닐포텐트 리 군은 대각선 요소가 1이고 하부 대각선 요소가 모두 0인 행렬 군이다.

4. 1. 아벨 리 군

모든 연결 아벨 리 군은 영다양체이다. 특히, 원환면

\mathbb T^n\cong\mathbb R^n/\mathbb Z^n

은 콤팩트 영다양체이다.^[7] 가환 리 군(abelian Lie group)은 모두 멱영 리 군(nilpotent Lie group)이므로, 영다양체의 간단한 예시가 된다. 예를 들어 덧셈에 대한 실수 집합과 정수로 구성된 이산, 코콤팩트 부분군을 취하면, 1단계 닐매니폴드인 원

\R/\Z

을 얻는다. 또 다른 예로는 덧셈에 대한 콤팩트 2-토러스(2-torus) 또는 유클리드 공간이 있다.

4. 2. 하이젠베르크 군

하이젠베르크 군

\operatorname H(n;\mathbb R)

는

n(n-1)/2

차원 멱영 리 군이다.^[7] 정수 계수 하이젠베르크 군

\operatorname H(n;\mathbb Z)

은 그 속의 격자를 이루며,

\operatorname H(n;\mathbb R)/\operatorname H(n;\mathbb Z)

은 영다양체를 이룬다.^[7]

하이젠베르크 군은 2단계 닐포텐트 리 군이며, 콤팩트 몫을 허용한다는 점에서 특별하다.

\Gamma

는 정수 계수를 갖는 상삼각 행렬 군이다. 결과적인 닐매니폴드는 3차원이다. 가능한 기본 영역 중 하나는 (동형적으로) [0,1]³이며 적절한 방식으로 면이 식별된다. 이는 닐매니폴드의 요소

\begin{pmatrix} 1 & x & z \\ & 1 & y \\ & & 1\end{pmatrix}\Gamma

가 기본 영역에서 요소

\begin{pmatrix} 1 & \{x\} & \{z-x \lfloor y \rfloor \} \\ & 1 & \{y\} \\ & & 1\end{pmatrix}

로 표현될 수 있기 때문이다. 여기서

\lfloor x \rfloor

는 ''x''의 바닥 함수를 나타내고,

\{ x \}

는 분수 부분을 나타낸다. 바닥 함수의 등장은 닐매니폴드가 가법 조합론과 관련이 있음을 시사한다.

4. 3. 낮은 차원의 영다양체

2차원 이하의 연결 영다양체는 원환면과 유클리드 공간의 곱공간 밖에 없다. 1차원에서는 한원소 공간 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위에 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 원다발이 존재하며, 이는 각각 원환면과 클라인 병에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)^[15]

3차원 콤팩트 영다양체는 자연수에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면

\mathbb T^2

위의 U(1) 주다발

P

는 그 연관 복소수 선다발의 천 특성류의 적분인 2차 코호몰로지

:

\operatorname c_1(P) \in \operatorname H^2(\mathbb T^2)\cong\mathbb Z

로 분류된다. 그런데 이 경우

P

와 반대 방향을 갖는 주다발

\bar P

은 서로 미분 동형인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 미분 동형 동치류는 자연수

p\in\mathbb N

로 분류된다. 이 가운데, 3차원 원환면은

p=0

에 해당한다.^[15]

이는 다음과 같이 하이젠베르크 군의 몫으로 표현될 수 있다.^[15] 하이젠베르크 군

:

\operatorname{Heis}(1;\mathbb R) =\left\{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R\right\}

속에서, 리 군 곱셈 규칙이

:

(x,y,z) \cdot (x',y',z') = (x+x',y+y',xy'+z+z')

이므로, 격자

:

\Gamma_{m,n,p} = \left\{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}\colon x\in m^{-1}\mathbb Z,\;y\in n^{-1}\mathbb Z,\;z\in m^{-1}n^{-1}p^{-1}\mathbb Z\right\}\qquad(m,n,p\in\mathbb Z^+)

를 고를 수 있으며,

:

\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R)

는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상

:

\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) \twoheadrightarrow (\mathbb R/m^{-1}\mathbb Z)\times (\mathbb R/n^{-1}\mathbb Z) = \mathbb T^2

:

(x,y,z) \mapsto (x,y)

아래, 이는 2차원 원환면 위의 원다발을 이룬다. 이 경우,

\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R)

는

\Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R)

와 미분 동형이다.^[15] 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는

\mathbb T^3

또는

\Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R)

(

p\in\mathbb Z^+

)와 미분 동형이다.^[15]

5. 복소 영다양체

실 리 대수 ''g''에 대한 '''almost 복소 구조'''는 $I:\; g \rightarrow g$ 와 같이 나타내며, 제곱하면 −Id_''g''가 되는 엔도모피즘이다. 이 연산자는 고유값 $\pm \sqrt{-1}$ 에 해당하는 고유 공간이 $g \otimes {\mathbb C}$ 에서 부분 대수일 경우 '''복소 구조'''라고 불린다.

복소 닐다양체는 복소 대수다양체로서 일반적으로 균질적이지 않다.

5. 1. 초기 정의와 현재 정의

과거에는 '''복소 닐다양체'''는 복소 닐포텐트 리 군을 공조밀 격자로 나눈 몫을 의미했다. 이러한 닐다양체의 예시는 이와사와 다양체이다. 1980년대부터 복소 닐다양체에 대한 다른 (더 일반적인) 개념이 점차 이를 대체했다.

실 리 대수 ''g''에 대한 '''almost 복소 구조'''는

I:\; g \rightarrow g

로, 제곱하면 −Id_''g''가 되는 엔드모르피즘이다. 이 연산자는 고유값

\pm \sqrt{-1}

에 해당하는 고유 공간이

g \otimes {\mathbb C}

에서 부분 대수일 경우 '''복소 구조'''라고 불린다. 이 경우 ''I''는 해당 리 군에 대한 좌불변 복소 구조를 정의한다. 이러한 다양체 (''G'',''I'')는 '''복소 군 다양체'''라고 불린다. 실 리 군에 의한 자유적이고 추이적인 정칙 작용을 갖춘 모든 연결된 복소 균질 다양체는 이 방식으로 얻어진다는 것을 쉽게 알 수 있다.

''G''를 실수 닐포텐트 리 군이라고 하자. '''복소 닐다양체'''는 좌불변 복소 구조를 갖춘 복소 군 다양체 (''G'',''I'')를 오른쪽에서 작용하는 이산적이고 공조밀 격자로 나눈 몫이다.^[10]

5. 2. 예시

이와사와 다양체는 복소 영다양체의 한 예이다. 복소 차원 2에서 유일한 복소 영다양체는 복소 토러스와 고다이라 곡면이다.^[10]

6. 일반화

영다양체의 개념은 가해다양체로 일반화될 수 있다. 가해다양체의 예시로는 이노우에 곡면이 있으며, 복소 기하학에서 알려져 있다.

참조

_[1] 논문 Isometry groups on homogeneous nilmanifolds
_[2] 논문 Curvatures of left invariant metrics on Lie groups
_[3] 논문 Almost flat manifolds
_[4] 서적 The Ricci flow: an introduction. American Mathematical Society
_[5] 논문 Linear equations in primes
_[6] 논문 Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds
_[7] 논문 On a class of homogeneous spaces. 1951
_[8] 서적 Discrete subgroups of Lie groups Springer-Verlag
_[9] 간행물 Torus bundles over a torus.
_[10] 논문 Complex and Kähler structures on Compact Solvmanifolds https://www.projecte[...]
_[11] 간행물 Minimal models of nilmanifolds
_[12] 논문 Kähler and symplectic structures on nilmanifolds
_[13] 간행물 Geometry of nilmanifolds with left-invariant complex structure and deformations in the large https://arxiv.org/ab[...]
_[14] 저널 Iterated circle bundles and infranilmanifolds 2018
_[15] 서적 Lie Groups and Lie Algebras Ⅱ. Lie Transformation Groups
_[16] 저널 Об одном классе однородных пространств http://mi.mathnet.ru[...] 1949

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