절두체

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1. 개요
2. 정의 및 관련 개념
3. 공식
- 3.1. 부피
  - 3.1.1. 원뿔 절두체
  - 3.1.2. 각뿔 절두체
- 3.2. 겉넓이
4. 예시
참조

1. 개요

절두체는 원뿔이나 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 얻는 다면체이다. 절두체의 밑면은 원래 원뿔이나 각뿔의 밑면이며, 잘린 단면도 밑면이 된다. 절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리이며, 절두체의 종류는 밑면의 모양, 축의 방향에 따라 원형, 직, 빗 절두체 등으로 구분된다. 절두체의 부피와 겉넓이는 수학 공식을 통해 계산할 수 있으며, 미국의 1달러 지폐의 전시안, 바구니, 전등갓 등 다양한 일상생활 속 물건들이 절두체의 형태를 띤다.

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절두체
개요
정의	두 개의 평행한 평면 사이에 있는 입체의 부분
어원	라틴어 "frustum" (la 조각, 한 입)
종류
오각뿔 절두체
사각뿔 절두체
수학적 성질
면	사다리꼴 n개, n각형 2개
모서리	3n
꼭짓점	2n
대칭군 (기하학)	Cnv, [1,n], (*nn)
쌍대	해당 없음
성질	볼록

2. 정의 및 관련 개념

절두체는 각뿔이나 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 윗부분을 제거했을 때 생기는 입체도형이다. 절두체의 각 평면 부분은 밑면이다. 축이 있다면 원래 원뿔이나 각뿔의 축과 같다. 밑면이 원형이면 원형 절두체, 축이 두 밑면에 수직이면 직절두체, 그렇지 않으면 빗절두체이다. 절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나 밑면이 점으로 줄어드는 절두체의 특수한 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 한 종류이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체가 만들어지고, 두 개의 합동인 밑면을 가진 두 절두체를 연결하면 이중 절두체가 된다.

2. 1. 주요 용어

절두체의 각 평면 부분은 밑면이다. 축이 있다면, 원래 원뿔이나 각뿔의 축과 같다. 밑면이 원형이면 원형 절두체, 축이 두 밑면에 수직이면 직절두체, 그렇지 않으면 빗절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나 밑면이 점으로 줄어드는 절두체의 특수한 경우이다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 일종이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체가 만들어진다.

2. 2. 특수한 경우

절두체의 각 평면은 밑면이나 윗면이 된다. 축이 존재한다면, 원래 원뿔이나 각뿔의 축과 같다. 밑면이 원형이면 원형 절두체, 축이 양쪽 밑면에 수직이면 직절두체, 그렇지 않으면 빗절두체가 된다.

절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나 밑면이 점으로 줄어드는, 절두체의 축퇴된 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 한 종류이다.

두 절두체의 밑면을 서로 붙이면 붙인 절두체가 만들어진다.

2. 3. 관련 개념

절두체의 각 평면은 밑면이나 윗면이다. 축이 있다면, 이것은 원본인 원뿔이나 각뿔의 축과 같다. 절두체는 밑면이 원형이면 원형 절두체이다. 축이 양쪽 밑면에 수직이면 직절두체이고, 그렇지 않으면 빗절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 꼭대기를 지나는(밑면이 점으로 줄어든) 절두체의 특수한 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 기둥형 다면체의 한 종류이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 붙인 절두체가 만들어진다.

두 개의 합동인 밑면을 가진 두 절두체를 연결하면 이중 절두체가 된다.

3. 공식

절두체의 부피 공식은 고대 이집트 수학에서부터 발견되었는데, 모스크바 수학 파피루스에 그 내용이 기록되어 있다. 이집트인들은 정사각뿔 절두체의 부피 공식을 알고 있었지만, 이 공식에 대한 증명은 파피루스에 남아있지 않다.

원뿔이나 각뿔 절두체의 부피는 원래 도형의 부피에서 잘려나간 윗부분의 부피를 빼서 계산한다. 일반적인 공식은 다음과 같다.

: $V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)$

여기서 h는 절두체의 높이, B₁과 B₂는 각각 두 밑면의 넓이를 의미한다. 헤론은 이 공식을 유도하면서 허수 개념을 접하게 되었다.^[8]

직원뿔 절두체의 경우, 옆면적과 총 표면적 공식은 다음과 같다.^[9]

: $\begin{align}\text{옆 면 표 면 적}&=\pi(R_1+R_2)s\\&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}$

: $\begin{align}\text{총 표 면 적}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}$

(단, ''R''₁과 ''R''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름, ''s''는 절두체의 모선 길이)

3. 1. 부피

절두체의 부피는 일반적인 각뿔이나 원뿔 형태에서 윗부분을 잘라낸 형태이므로, 원래 입체의 부피에서 잘라낸 윗부분의 부피를 빼서 구한다.

절두체 부피 공식은 다음과 같이 표현된다.

:

V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)

여기서 h는 절두체의 높이, B₁과 B₂는 각각 두 밑면의 넓이를 의미한다. 이 공식은 헤론에 의해 도출되었으며, 이 과정에서 허수의 개념이 등장한다.^[4]

고대 이집트 수학에서는 모스크바 수학 파피루스를 통해 정사각뿔 절두체의 부피 공식을 이미 알고 있었다. 이 공식은 다음과 같다.

:

V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).

여기서 ''a''와 ''b''는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, ''h''는 높이이다.

3. 1. 1. 원뿔 절두체

원뿔 절두체의 부피는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기 부분의 부피를 뺀 것이다.

:

V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}

이때 ''B''₁은 밑면의 넓이이고, ''B''₂는 다른 밑면의 넓이이며, ''h''₁, ''h''₂는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직 거리이다.

다음을 고려하면,

:

\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha

부피 공식은 비례 상수 α/3와 ''h''₁과 ''h''₂의 세제곱의 차의 곱만으로 표현할 수 있다.

:

V = \frac{h_1 a h_1^2 - h_2 a h_2^2}{3} = \frac{a}{3}(h_1^3 - h_2^3)

두 세제곱의 차를 인수분해해서( a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) ) 절두체의 높이 ''h''₁−''h''₂ = ''h''를 얻을 수 있고 α(''h''₁² + ''h''₁''h''₂ + ''h''₂²)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 ''B''₁과 ''B''₂의 헤론 평균을 얻을 수 있다. 따라서 다른 공식은 다음과 같다.

:

V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)

헤론은 이 식을 도출하는 과정에서 마이너스 일의 제곱근인 허수와 마주하게 되었다.^[8]

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다.

:

V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)

여기서 ''π''는 3.14159265...이고, ''R''₁, ''R''₂는 두 밑면의 반지름이다.

밑면이 정''n''각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다.

:

V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}

여기서 ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 수이다.

3. 1. 2. 각뿔 절두체

정사각뿔 절두체의 부피 공식은 이집트 제13왕조(약 1850 BC)에 쓰인 모스크바 수학 파피루스라고 불리는 고대 이집트 수학에서 발견되었다. 공식은 다음과 같다.

:

V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).

여기서 ''a''와 ''b''는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, ''h''는 높이이다. 이집트인들은 깎은 정사각뿔의 부피를 얻는 공식을 알았지만, 모스크바 파피루스에서 주어진 이 공식에 대한 증명은 없다.

일반적인 원뿔 또는 각뿔 절두체의 부피는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기의 부피를 뺀 것이다.

:

V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}

이 때 ''B''₁은 밑면의 넓이이고, ''B''₂는 다른 밑면의 넓이이며, ''h''₁, ''h''₂는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직거리이다.

다음을 고려하면,

:

\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha

부피의 공식은 비례 상수 α/3와 ''h''₁과 ''h''₂의 세제곱의 차의 곱 만으로 표현할 수 있다.

:

V = \frac{h_1 a h_1^2 - h_2 a h_2^2}{3} = \frac{a}{3}(h_1^3 - h_2^3)

두 세제곱의 차를 인수분해 해서 절두체의 높이 ''h''₁−''h''₂ = ''h''를 얻을 수 있고 α(''h''₁² + ''h''₁''h''₂ + ''h''₂²)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 ''B''₁과 ''B''₂의 헤론 평균을 얻을 수 있다. 따라서 부피 공식은 다음과 같다.

:

V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)

헤론은 이 식을 도출하는데 주목하고 그 가운데 마이너스 일의 제곱근인 허수와 마주하게 되었다.^[4]

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다.

:

V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)

여기서 ''π''는 3.14159265...이고, ''R''₁, ''R''₂는 두 밑면의 반지름이다.

밑면이 정''n''각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다.

:

V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}

여기서 ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 수이다.

3. 2. 겉넓이

절두체의 겉넓이는 옆넓이와 밑넓이의 합으로 구성된다. 직원뿔 절두체의 겉넓이 공식은 다음과 같다.^[9]

'''옆넓이''': $\pi(R_1+R_2)s=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}$
'''총 겉넓이''': $\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)$

(단, ''R''₁과 ''R''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름, ''s''는 절두체의 모선 길이)

밑면이 닮은 ''n''각형인 직 절두체의 겉넓이 공식은 다음과 같다.^[9]

:

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

(단, ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 개수)

3. 2. 1. 옆넓이

직원뿔 절두체의 옆넓이는 다음과 같다.^[9]^[5]^[6]

:

\pi(R_1+R_2)s=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}

여기서

''R''₁과 ''R''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름이다.
''s''는 절두체의 모선 길이이며, 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\displaystyle s=\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2},

밑면이 닮은 ''n''각형인 직 절두체의 옆넓이는 다음과 같다.

:

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

여기서 ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 개수이다.

3. 2. 2. 총 겉넓이

직원뿔 절두체의 총 표면적은 다음과 같이 계산된다.^[9]

:

\begin{align}\text{총  표 면 적}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}

여기서 ''R''₁과 ''R''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, ''s''는 절두체의 모선 길이다.

밑면이 닮은 ''n''각형인 직 절두체의 표면적은 다음과 같다.

:

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

여기서 ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 개수이다.

직원뿔 절두체의 경우, 전체 표면 넓이는 다음과 같다.^[5]^[6]

:

\displaystyle \pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right),

여기서 ''r''₁과 ''r''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름이다.

3. 2. 3. 각뿔 절두체

밑면이 닮은 n각형인 직 절두체의 표면적은 아래와 같다.^[9]

:

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

여기서 ''a''₁과 ''a''₂는 두 밑면의 변의 개수이다.

직원뿔 절두체의 옆면 표면적은 다음과 같다.^[9]

:

\begin{align}\text{옆 면  표 면 적}&=\pi(R_1+R_2)s\\&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}

직원뿔 절두체의 총 표면적은 다음과 같다.^[9]

:

\begin{align}\text{총  표 면 적}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}

이 때, ''R''₁과 ''R''₂는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, ''s''는 절두체의 모선 길이이다.

4. 예시

미국 1달러 지폐 뒷면에는 미국의 국장 반대편에 전시안이 그려진 각뿔 절두체가 나타난다.
일부 고대 아메리카 원주민의 둑은 각뿔 절두체 모양을 하고 있다.
중국의 피라미드.
일리노이주 시카고에 있는 존 핸콕 센터는 밑면이 직사각형인 절두체이다.
워싱턴 기념탑은 좁은 정사각형을 밑면으로 하는 절두체 위에 작은 각뿔을 올린 것이다.
3D 컴퓨터 그래픽스의 뷰잉 프러스텀은 각뿔 절두체로 모델링 된 가상 사진이나 비디오 카메라의 사용 가능한 시야이다.
스타니스와프 렘의 단편소설 모음집 ''사이버리아드''의 영어 번역본에서, 시 ''사랑과 텐서 대수''는 "모든 절두체는 원뿔이 되기를 갈망한다"고 주장한다.
바구니와 특정한 전등갓은 원뿔 절두체의 일상적인 예시이다.
유리잔이나 어떤 우주 왕복선 또한 그 예시이다.

롤로 브랜드 초콜릿은 윗면이 평평하지는 않지만, 거의 정원뿔대 모양이다.

Garsų Gaudyklė: 리투아니아의 나무 구조물.

발랑세 치즈
롤로 캔디

참조

_[1] 서적 Teachers' Manual: Books I–VIII. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7–8 https://books.google[...] Prang Educational Company
_[2] 서적 Funny Words in Plautine Comedy https://books.google[...] Oxford University Press
_[3] 서적 Solid Mensuration with Proofs
_[4] 서적 An Imaginary Tale: The story of √−1 Princeton University Press
_[5] 웹사이트 Mathwords.com: Frustum http://www.mathwords[...] 2011-07-17
_[6] 간행물 Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe 2017
_[7] 서적 Solid Mensuration with proofs
_[8] 서적 An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]. Princeton University Press
_[9] 웹인용 Mathwords.com: Frustum http://www.mathwords[...] 2011-07-17
_[10] 인용 Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7-8 https://books.google[...] Prang Educational Company
_[11] 인용 Funny Words in Plautine Comedy https://books.google[...] Oxford University Press

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