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칠면체

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1. 개요

칠면체는 7개의 면을 가진 다면체를 의미한다. 위상적으로 서로 다른 볼록 칠면체는 34개가 있으며, 오목 칠면체는 사면체를 결합하거나 삼각 기둥이나 사각뿔에서 노치를 잘라내어 만들 수 있다. 주요 칠면체로는 오각기둥, 육각뿔, 늘린 삼각뿔, 사면반육면체, 실라시 다면체가 있다. 실라시 다면체는 7개의 면이 모두 서로 인접하는 특이한 성질을 가진 다면체이다.

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칠면체

2. 위상적으로 구분되는 칠면체

2. 1. 볼록 칠면체

거울상(mirror images)을 제외하고, 위상적으로 서로 다른 볼록 칠면체는 34개이다.[2] (두 다면체가 "위상적으로 서로 다르다"는 것은 면과 꼭짓점의 배열이 본질적으로 다르다는 의미이며, 모서리의 길이 또는 모서리나 면 사이의 각도를 변경하는 것만으로는 하나를 다른 것으로 변형시킬 수 없다.)

각 유형의 예시는 면의 구성에 따라 아래에 나타나있다. 6면체 면(있는 경우)의 개수를 내림차순으로 정렬한 다음 5면체 면(있는 경우)의 개수를 내림차순으로 정렬하는 식으로 정렬된다.

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육각뿔
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오각 기둥
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연장된 삼각뿔
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잘린 정육면체
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2. 2. 오목 칠면체

오목 칠면체는 면이 안쪽으로 움푹 들어간 부분이 있는 칠면체이다. 두 개의 사면체를 다양한 구성으로 결합하여 6개의 위상학적으로 구별되는 오목 칠면체를 형성할 수 있다(거울상 제외). 이 중 일부는 인접한 모서리가 공선인 면을 가지고 있으며, 또 다른 일부는 단순 연결되지 않은 면을 갖는다. 삼각 기둥이나 사각뿔의 모서리에서 노치를 잘라내어 13개의 위상학적으로 구별되는 칠면체를 형성할 수도 있다(거울상 제외).

오목 칠면체 예시 7


오목 칠면체 예시 8


오목 칠면체 예시 9


오목 칠면체 예시 10


특히, 실라시 다면체는 7개의 비볼록 육각형 면을 가진 토로이드 다면체이다.[3]

실라시 다면체

3. 주요 칠면체

오각기둥은 밑면이 오각형이고 옆면이 5개의 직사각형으로 이루어진 칠면체이다. 오각기둥(알키메데스의 정오각기둥)의 모습은 다음과 같다.

(알키메데스의 정오각기둥)

육각뿔은 하나의 육각형 밑면과 6개의 삼각형 옆면으로 이루어진 칠면체이다.

늘린 삼각뿔은 하나의 삼각형 밑면, 3개의 직사각형 옆면, 그리고 3개의 삼각형 옆면으로 이루어진 칠면체이다.

사면반육면체는 4개의 삼각형 면과 3개의 정사각형 면으로 이루어진 특이한 형태의 칠면체이다.

사면반육면체


실라시 다면체는 7개의 면이 모두 서로 인접하는 특이한 성질을 가진 다면체이다.

3. 1. 오각기둥

오각기둥은 밑면이 오각형이고 옆면이 5개의 직사각형으로 이루어진 칠면체이다. 오각기둥(알키메데스의 정오각기둥)의 모습은 다음과 같다.

(알키메데스의 정오각기둥)

3. 2. 육각뿔

육각뿔은 하나의 육각형 밑면과 6개의 삼각형 옆면으로 이루어진 칠면체이다.

3. 3. 늘린 삼각뿔



늘린 삼각뿔은 하나의 삼각형 밑면, 3개의 직사각형 옆면, 그리고 3개의 삼각형 옆면으로 이루어진 칠면체이다.

3. 4. 사면반육면체

사면반육면체는 4개의 삼각형 면과 3개의 정사각형 면으로 이루어진 특이한 형태의 칠면체이다.

3. 5. 실라시 다면체

실라시 다면체는 7개의 면이 모두 서로 인접하는 특이한 성질을 가진 다면체이다.

참조

[1] 웹사이트 The Geometry of the Chestahedron http://frankchester.[...] 2022-08-08
[2] 웹사이트 Counting polyhedra http://www.numerican[...] 2015-04-05
[3] 간행물 Regular toroids http://www-iri.upc.e[...]
[4] 웹사이트 Counting Polyhedra http://www.numerican[...]



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