칼루차–클레인 이론

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 특징
4. 칼루차-클라인 이론의 방정식
- 4.1. 장 방정식
- 4.2. 운동 방정식
5. 현대적 응용과 한계
- 5.1. 현대적 응용
- 5.2. 한계
6. 실험적 검증
참조

1. 개요

칼루차-클레인 이론은 중력과 전자기력을 통일하기 위해 5차원 시공간을 도입한 이론이다. 1914년 군나르 노르드스트룀이 5차원 중력이 맥스웰 방정식을 포함함을 발견했지만 주목받지 못했고, 1921년 테오도어 칼루차가 일반 상대성 이론을 5차원으로 확장하여 중력과 전자기력을 통합하려 시도했다. 1926년 오스카르 클라인은 5차원 중력 이론에 여분의 차원을 콤팩트화하는 개념을 도입했다. 이 이론은 5차원 시공간에서 4차원은 일반 상대성 이론, 다른 하나는 전자기력에 해당하며, 추가 차원을 콤팩트화하여 관측되지 않는 이유를 설명한다. 현대에는 공간-시간-물질 이론 등 변형된 형태로 연구되며, 초끈이론 등 고차원 이론의 기반이 되기도 한다. 현재까지 초차원에 대한 실험적 증거는 없으며, LHC 등의 실험을 통해 검증하려는 시도가 이루어지고 있다.

2. 역사

라이스너-노르드스트룀 계량으로 유명한 핀란드의 군나르 노르드스트룀은 1914년에 5차원에서의 중력이 맥스웰 방정식을 포함함을 발견하였으나,^[39]^[40]^[41]^[42] 주목받지 못했다. 1921년 독일 쾨니히스베르크 대학의 수학자 테오도어 칼루차가 중력과 전자기력을 통일하기 위하여 이 이론을 발표하였다.^[43]

1919년 칼루차는 이론의 기초 아이디어를 알베르트 아인슈타인에게 편지로 보냈고,^[36] 이 논문은 한동안 아인슈타인의 책상에 있었지만, 이후 아인슈타인의 도움으로 1921년에 발표되었다.^[36] 당시 칼루차는 무명의 사강사였으며, 그 이론도 처음에는 그다지 평가받지 못했다.^[36]

1926년 오스카르 클라인은 칼루차의 이론을 수정 및 발전시켜^[36]^[37] "칼루차-클라인 이론"으로 알려지게 되었다. 클라인은 5차원 시공간의 이론에 여분의 차원을 매우 작은 스케일로 접어 넣는다는 콤팩트화 이론을 도입했다.

2. 1. 초기 역사

핀란드의 군나르 노르드스트룀은 1914년에 5차원에서 중력이 맥스웰 방정식을 포함함을 발견하였으나,^[39]^[40]^[41]^[42] 주목받지 못했다. 1921년 독일 쾨니히스베르크 대학의 수학자 테오도어 칼루차는 중력과 전자기력을 통일하기 위하여 이 이론을 발표하였다.^[43] 칼루차는 일반 상대성 이론을 5차원 시공간으로 확장하여, 그 결과 장 방정식을 추가로 분리할 수 있었다. 그 중 하나는 아인슈타인 방정식과 같았고, 다른 하나는 전자기장에 관한 맥스웰 방정식과 같았다. 나머지 하나는 라디온이라 불리는 추가의 스칼라장 이론이었다.

1926년 코펜하겐 대학교의 물리학자 오스카르 클라인은 축소화를 가정하면 (그 당시에) 제5의 차원을 관측할 수 없는 이유가 된다고 제안하였다.^[44] 하지만 현재까지도 축소화가 되었는지 실험으로 판단할 방법이 없고, 앞으로도 오랫동안 실험을 할 수 없으리라고 보고 있다.

군나르 노르드스트룀은 1914년에 5차원 시공간을 아인슈타인 방정식에 4차원을 맥스웰 방정식으로 분할하는 방법을 처음 발견했으나, 이 이론은 잊혀졌다. (Nordström's theory of gravitation|군나르의 중력 이론^영어 참조)

칼루차는 1919년에 이론의 근간이 되는 아이디어를 알베르트 아인슈타인에게 보낸 편지에서 밝혔고,^[36] 논문은 한동안 아인슈타인의 책상에 있었지만, 그 후 아인슈타인의 도움을 받아 1921년에 발표되었다.^[36] 당시 칼루차는 무명의 사강사였으며, 그 이론도 처음에는 그다지 평가받지 못했다.^[36]

1926년에 클라인이 칼루차의 이론을 수정 및 발전시켜^[36]^[37] "칼루차-클라인 이론"으로 알려지게 되었다. 클라인은 5차원 시공간의 이론에 여분의 차원을 매우 작은 스케일로 접어 넣는다는 콤팩트화 이론을 도입했다.

2. 2. 칼루차와 클라인의 공헌

핀란드의 군나르 노르드스트룀은 1914년에 5차원에서 중력이 맥스웰 방정식을 포함함을 발견하였으나,^[39]^[40]^[41]^[42] 주목받지 못했다. 1921년 독일 쾨니히스베르크 대학의 수학자 테오도어 칼루차는 중력과 전자기력을 통일하기 위하여 5차원 시공간으로 일반 상대성 이론을 확장하여 아인슈타인 방정식과 맥스웰 방정식, 그리고 라디온이라 불리는 추가의 스칼라 장이론을 얻었다.^[43]

1926년 코펜하겐 대학교의 물리학자 오스카르 클라인은 축소화를 가정하면 제5의 차원을 관측할 수 없는 이유가 된다고 제안하였다.^[44]

군나르 노르드스트룀은 1914년에 5차원 시공간을 아인슈타인 방정식에 4차원을 맥스웰 방정식으로 분할하는 방법을 발견하였으나, 이 이론은 잊혀졌다.

칼루차는 1919년에 이론의 근간이 되는 아이디어를 알베르트 아인슈타인에게 보낸 편지에서 밝혔고^[36], 논문은 한동안 아인슈타인의 책상에 있었지만, 그 후 아인슈타인의 도움을 받아 1921년에 발표되었다^[36]。 당시 칼루차는 무명의 사강사였으며, 그 이론도 처음에는 그다지 평가받지 못했다^[36]。

1926년에 클라인이 칼루차의 이론을 수정 및 발전시켜^[36]^[37], "칼루차-클라인 이론"으로 알려지게 되었다. 클라인은 5차원 시공간의 이론에 여분의 차원을 매우 작은 스케일로 접어 넣는다는 콤팩트화 이론을 도입했다.

2. 3. 현대적 발전

5차원 시공간을 아인슈타인 방정식에서 4차원을 맥스웰 방정식으로 분할하는 방법은 1914년에 군나르 노르드스트룀이 처음 발견했다. (Nordström's theory of gravitation|군나르의 중력 이론^영어 참조) 그러나 이 이론은 잊혀졌다.

1919년 칼루차는 이론의 근간이 되는 아이디어를 알베르트 아인슈타인에게 보낸 편지에서 밝혔다^[36]。 이 논문은 한동안 아인슈타인의 책상에 있었지만, 이후 아인슈타인의 도움을 받아 1921년에 발표되었다^[36]。 당시 칼루차는 무명의 사강사였으며, 이 이론도 처음에는 그다지 평가받지 못했다^[36]。

1926년, 클라인이 칼루차의 이론을 수정하고 발전시켜^[36]^[37] "칼루차-클라인 이론"으로 알려지게 되었다. 클라인은 5차원 시공간 이론에 여분의 차원을 매우 작은 크기로 접어 넣는다는 콤팩트화 이론을 도입했다.

3. 주요 특징

테오도르 칼루자는 1921년 논문에서^[45] 일반 상대성 이론을 5차원으로 확장한 이론을 제시했다. 이 이론의 핵심은 5차원 계량 $\widetilde{g}_{ab}$ 를 도입하고, 이를 4차원 시공간 계량 ${g}_{\mu\nu}$ , 전자기 벡터 퍼텐셜 $A^\mu$ , 스칼라 장 $\phi$ 로 분해하는 것이다. 5차원 계량은 다음과 같이 표현된다:

: $\widetilde{g}_{ab} \equiv \begin{bmatrix}g_{\mu\nu} + \phi^2 A_\mu A_\nu & \phi^2 A_\mu \\\phi^2 A_\nu & \phi^2\end{bmatrix}.$

칼루차는 이 계량을 통해 일반 상대성 이론의 장 방정식과 운동 방정식을 유도하여, 중력과 전자기력을 통합하는 결과를 얻었다.

5차원 시공간의 개념은 초끈 이론에서 10차원 시공간을 설명하는 데 응용된다. 여분의 6차원 공간이 플랑크 스케일 정도로 작다고 가정하여 4차원 이론을 도출하지만, 6차원만이 작아지는 이유는 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

3. 1. 5차원 시공간

통상의 4차원 시공간에 추가로 매우 미세한 원형으로 존재하는 여분의 차원을 설정하면 일반 상대성 이론으로써 중력과 전자기력을 동등하게 취급할 수 있다. 이것을 일반적인

n

차원으로 확장하면 다른 비가환 게이지장도 기술할 수 있다.^[3]

초끈이론에서는 이론이 모순되지 않기 위하여 10차원의 시공간이 필요하다. 하지만 아직까지는 4개의 차원밖에 발견되지 않았다. 나머지 6차원을 설명하기 위해서 칼루차-클라인 이론의 "여분의 공간 차원은 플랑크 크기 정도로 감춰져 있다"는 논리를 사용하고 있다. 그러나 왜 이 여분의 6차원 만이 이토록 작아진 이유에 대해선 정확하게 밝혀진 설명이 없다. 일부 학자들은 인플레이션이 일어났을 때, 3개의 공간 차원만 짧은 시간에 팽창했고 나머지 6개의 공간 차원은 인플레이션 때 팽창하지 못하고 작은 공간에 말리게 되었다고도 설명하고 있다.

수학자 테오도르 칼루자는 1921년 논문에서^[45] 계량, 장 방정식, 운동 방정식, 응력-에너지 텐서 및 원기둥 조건과 같은 고전적인 5차원 이론의 모든 요소를 확립했다. 자유 매개변수가 없으면 일반 상대성 이론을 5차원으로 확장할 뿐이다. 5차원 계량

\widetilde{g}_{ab}

의 형태를 가정하는데, 여기서 라틴 인덱스는 5개 차원에 걸쳐 있다. 4차원 시공간 계량

{g}_{\mu\nu}

도 도입하는데, 여기서 그리스어 인덱스는 공간과 시간의 일반적인 4차원에 걸쳐 있다. 4-벡터

A^\mu

는 전자기 벡터 퍼텐셜로 보고

\phi

는 스칼라 장이다. 그런 다음 5차원 계량을 분해하여 4차원 계량이 전자기 벡터 퍼텐셜이고 다섯 번째 대각선에 스칼라 장이 있도록 구성한다.

5차원 시공간(세로, 가로, 높이, 시간)에 초미세한 원형으로 존재하는 여분의 시공간을 설정한 5차원 시공간상의 일반 상대성 이론(중력)을 고려하면, 여분 차원이 보이지 않고, 4차원 시공간으로 간주할 수 있는 스케일에서는, 중력에 더해 전자기력(게이지장)이 나타난다. 4차원에서는 별개의 힘으로 취급되던 중력과 전자기력이 5차원 시공간의 중력으로 통일되는 것이다.

이것을 더 높은 차원으로 확장하면, 여분 차원의 성질에 따라, 비가환 게이지장을 도입하는 것도 가능하다.

3. 2. 칼루차 가설

통상의 4차원 시공간에 추가로 매우 미세한 원형으로 존재하는 여분의 차원을 설정하면 일반 상대성 이론으로써 중력과 전자기력을 동등하게 취급할 수 있다. 이것을 일반적인

n

차원으로 확장하면 다른 비가환 게이지장도 기술할 수 있다.

초끈이론에서는 이론이 모순되지 않기 위하여 10차원의 시공간이 필요하다. 하지만 아직까지는 4개의 차원밖에 발견되지 않았다. 나머지 6차원을 설명하기 위해서 칼루차-클라인 이론의 "여분의 공간 차원은 플랑크 스케일 정도로 감춰져 있다"는 논리를 사용하고 있다. 그러나 왜 이 여분의 6차원 만이 이토록 작아진 이유에 대해선 정확하게 밝혀진 설명이 없다. 그러나 일부 학자들은 인플레이션이 일어났을 때, 3개의 공간 차원만 짧은 시간에 팽창했고 나머지 6개의 공간 차원은 인플레이션 때 팽창하지 못하고 작은 공간에 말리게 되었다고도 설명하고 있다.

수학자 테오도르 칼루자는 1921년 논문에서^[45] 계량, 장 방정식, 운동 방정식, 응력-에너지 텐서 및 원기둥 조건과 같은 고전적인 5차원 이론의 모든 요소를 확립했다. 자유 매개변수가 없으면 일반 상대성 이론을 5차원으로 확장할 뿐이다. 하나는 5차원 계량

\widetilde{g}_{ab}

의 형태를 가정하는 것으로 시작한다. 여기서 라틴 인덱스는 5개 차원에 걸쳐 있다. 4차원 시공간 계량

{g}_{\mu\nu}

도 소개한다. 여기서 그리스어 인덱스는 공간과 시간의 일반적인 4차원에 걸쳐 있다. 4-벡터

A^\mu

는 전자기 벡터 퍼텐셜로 보고

\phi

는 스칼라장이다. 그런 다음 5차원 계량을 분해하여 4차원 계량이 전자기 벡터 퍼텐셜이고 다섯 번째 대각선에 스칼라 장이 있도록 구성한다. 이것은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

:

\widetilde{g}_{ab} \equiv \begin{bmatrix}g_{\mu\nu} + \phi^2 A_\mu A_\nu & \phi^2 A_\mu \\\phi^2 A_\nu & \phi^2\end{bmatrix}.

이는 다음과 같이 더 정확하게 쓸 수 있다:

:

\widetilde{g}_{\mu\nu} \equiv g_{\mu\nu} + \phi^2 A_\mu A_\nu, \qquad\widetilde{g}_{5\nu} \equiv \widetilde{g}_{\nu 5} \equiv \phi^2 A_\nu, \qquad\widetilde{g}_{55} \equiv \phi^2,

여기서 인덱스

5

는 처음 4개의 좌표가 0, 1, 2 및 3으로 인덱싱되더라도 규칙에 따라 다섯 번째 좌표를 나타낸다. 이의 역 계량은 다음과 같다.

:

\widetilde{g}^{ab} \equiv \begin{bmatrix}g^{\mu\nu} & -A^\mu \\

A^\nu & g_{\alpha\beta} A^\alpha A^\beta + \frac{1}{\phi^2}

\end{bmatrix}.

이 분해는 아주 일반적이다. 그런 다음 칼루차는 표준적인 일반 상대성 이론의 계량을 이 계량으로 바꾼다. 이 때, 장 방정식은 5차원 아인슈타인 방정식에서, 운동 방정식은 5차원 측지선 가정에서 얻는다. 그 결과 장 방정식은 일반 상대성 이론과 전기역학의 방정식을 모두 제공한다. 운동 방정식은 4차원 측지선 방정식과 로런츠 힘 법칙을 제공하며, 전하가 5차원에서 운동과 동일시 됨을 발견한다.

계량에 대한 가설은 불변의 5차원 길이 요소

ds

를 의미한다:

:

ds^2 \equiv \widetilde{g}_{ab}\,dx^a\,dx^b = g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu + \phi^2 (A_\nu\,dx^\nu + dx^5)^2.

3. 3. 클라인의 양자 해석

클라인의 공헌 당시 하이젠베르크, 슈뢰딩거 및 드브로이의 발견은 많은 주목을 받고 있었다. 클라인의 ''네이처'' 논문^[59]은 5차원이 닫혀 있고 주기적이며 5차원에서 운동으로 전하를 식별하는 것은 파장

\lambda^5

를 가진 정상파로 해석될 수 있다고 제안했다. 이는 원자의 보어 모형에서 핵 주위의 전자와 아주 비슷하다. 그러면 전하의 양자화는 5차원 운동량의 정수배로 이해할 수 있다. 운동량에 대한 드브로이 관계

p^5 = h/\lambda^5

와 전하로 나타낸

U^5

에 대한 이전 칼루차의 결과와 조합해서, 클라인은^[59] 그러한 파동의 0번째 모드에 대한 표현을 얻었다.

:

mU^5 = \frac{cq}{G^{1/2}} = \frac{h}{\lambda^5} \quad \Rightarrow \quad \lambda^5 \sim \frac{hG^{1/2}}{cq},

여기서

h

는 플랑크 상수이다. 클라인은

\lambda^5 \sim 10^{-30}

cm임을 알아냈다. 따라서 이 작은 값의 원기둥 상태에 대한 설명이다.

클라인의 Zeitschrift für Physik|자이트슈리프트 퓌어 퓌지크^de 같은 해의 기사에서^[60] 슈뢰딩거와 드브로이의 기술을 명시적으로 인용하는 보다 상세한 처리를 제공했다. 위에서 설명한 칼루차의 고전 이론의 많은 부분을 요약한 다음 클레인의 양자 해석으로 출발했다. 클라인은 닫힌 5차원에서 공명하는 5차원 파동의 확장을 사용하여 슈뢰딩거와 같은 파동 방정식을 풀었다.

3. 4. 군론적 설명

오스카르 클레인은 1926년에 네 번째 공간 차원이 매우 작은 반지름의 원으로 말려 있어서, 그 축을 따라 짧은 거리를 이동하는 소립자는 시작점으로 되돌아온다고 제안했다. 입자가 초기 위치에 도달하기 전에 이동할 수 있는 거리를 차원의 크기라고 한다. 이 추가 차원은 콤팩트 집합이며, 이 콤팩트 차원의 구성은 콤팩트화라고 불린다.

현대 기하학에서, 추가적인 다섯 번째 차원은 원군 U(1)으로 이해될 수 있는데, 전자기학은 본질적으로 원 다발인 섬유 다발 위의 게이지 이론으로 공식화될 수 있으며, 이때 게이지 군은 U(1)이다. 칼루차-클레인 이론에서 이 군은 게이지 대칭이 원형 콤팩트 차원의 대칭임을 시사한다. 이 기하학적 해석을 이해하면, U(1)을 일반적인 리 군으로 대체하는 것은 비교적 간단하다. 이러한 일반화는 종종 양-밀스 이론이라고 불린다. 차이점을 꼽자면, 양-밀스 이론은 평탄한 시공간에서 발생하지만, 칼루차-클레인은 더 일반적인 경우인 곡선 시공간을 다룬다는 것이다. 칼루차-클레인 이론의 기저 공간은 4차원 시공간일 필요는 없으며, 임의의 (유사-)리만 다양체, 또는 심지어 초대칭 다양체나 오비폴드, 또는 심지어 비가환 공간일 수도 있다.

이 구성은 대략 다음과 같이 요약할 수 있다.^[30] 먼저, 게이지 군 ''G''를 기저로 하는 주 섬유 다발 ''P''를 고려하는 것으로 시작한다. 다발에 대한 접속과 기저 다양체에 대한 계량 텐서, 그리고 각 섬유의 접선에 대한 게이지 불변 계량이 주어지면, 전체 다발에 정의된 다발 계량을 구성할 수 있다. 이 다발 계량의 스칼라 곡률을 계산하면 각 섬유에서 상수임을 알 수 있다. 이것이 "칼루차의 기적"이다. 원통 조건(cylinder condition)을 명시적으로 부과하거나 콤팩트화할 필요가 없었다. 가정에 의해, 게이지 군은 이미 콤팩트하다. 다음으로, 이 스칼라 곡률을 라그랑지안 밀도로 취하고, 이것으로부터 전체 다발에 대한 아인슈타인-힐베르트 작용을 구성한다. 오일러-라그랑주 방정식인 운동 방정식은 기저 다양체의 계량 또는 게이지 접속에 대한 변화에 대해 작용이 정상일 때 얻을 수 있다. 기저 계량에 대한 변화는 기저 다양체의 아인슈타인 장 방정식을 제공하며, 이때 에너지-운동량 텐서는 게이지 접속의 곡률 (장 세기)으로 주어진다. 반대로, 작용은 게이지 접속이 양-밀스 방정식을 풀 때 게이지 접속의 변화에 대해 정지한다. 따라서 단일 아이디어인 최소 작용의 원리를 단일량인 다발의 스칼라 곡률에 적용함으로써 시공간과 게이지 장 모두에 필요한 모든 장 방정식을 동시에 얻을 수 있다.

힘의 통일 접근법으로서, 표준 모형의 대칭군인 SU(3) × SU(2) × U(1)을 사용하여 중력과 강력 및 약력을 통일하려는 시도에서 칼루차-클레인 이론을 적용하는 것은 간단하다. 그러나 이 흥미로운 기하학적 구성을 현실에 대한 진정한 모형으로 변환하려는 시도는 페르미온을 인위적인 방식으로 도입해야 한다는 사실을 포함한 여러 문제에 직면한다(비초대칭 모형에서). 그럼에도 불구하고, 칼루차-클레인은 이론 물리학에서 중요한 시금석으로 남아 있으며, 종종 더 정교한 이론에 포함된다. 이는 K-이론에서 기하학적 관심의 대상으로 그 자체로 연구된다.

완벽하게 만족스러운 이론 물리학적 틀이 없더라도, 추가적인 콤팩트화된 차원을 탐구하는 아이디어는 실험 물리학 및 천체물리학 분야에서 상당한 관심을 받고 있다. 다양한 예측, 즉 실제 실험적 결과가 나올 수 있다(큰 여분 차원 및 뒤틀린 모형의 경우). 예를 들어, 가장 단순한 원리에 따르면, 추가 콤팩트화된 차원에서 정상파를 가질 것으로 예상할 수 있다. 공간적 여분 차원의 반지름이 ''R''이면, 이러한 정상파의 불변 질량은 ''M''_''n'' = ''nh''/''Rc''가 되며, 여기서 ''n''은 정수, ''h''는 플랑크 상수, ''c''는 광속이다. 이 가능한 질량 값의 집합은 종종 '''칼루차-클레인 타워'''라고 불린다. 마찬가지로, 열적 양자장론에서 유클리드 시간 차원의 콤팩트화는 마츠바라 주파수로 이어지며, 따라서 이산적인 열 에너지 스펙트럼으로 이어진다.

그러나 양자 이론에 대한 클라인의 접근 방식은 결함이 있으며, 예를 들어 플랑크 질량의 차수에서 계산된 전자 질량을 초래한다.^[31]

4. 칼루차-클라인 이론의 방정식

테오도르 칼루자는 1921년 논문에서^[45] 5차원 이론의 모든 요소를 확립했다. 그는 5차원 계량 $\widetilde{g}_{ab}$ 를 도입하고, 이를 4차원 시공간 계량 ${g}_{\mu\nu}$ , 전자기 벡터 퍼텐셜 $A^\mu$ , 스칼라 장 $\phi$ 로 분해했다. 5차원 계량은 다음과 같이 표현된다.^[45]

: $\widetilde{g}_{ab} \equiv \begin{bmatrix}g_{\mu\nu} + \phi^2 A_\mu A_\nu & \phi^2 A_\mu \\\phi^2 A_\nu & \phi^2\end{bmatrix}.$

칼루차는 일반 상대성 이론의 계량을 이 5차원 계량으로 바꾸어 장 방정식과 운동 방정식을 유도했다. 장 방정식은 일반 상대성 이론과 전기역학의 방정식을 모두 제공하며, 운동 방정식은 4차원 측지선 방정식과 로런츠 힘 법칙을 제공한다. 특히, 전하가 5차원에서의 운동과 동일시된다는 것을 발견했다.^[45]

5차원 장 방정식을 얻기 위해, 5차원 접속 $\widetilde{\Gamma}^a_{bc}$ 은 5차원 계량 $\widetilde{g}_{ab}$ 으로부터 계산되고, 5차원 리치 텐서 $\widetilde{R}_{ab}$ 는 5차원 접속으로부터 계산된다.

원기둥 조건 ( $\frac{\partial \widetilde{g}_{ab}}{\partial x^5} = 0$ ) 하에서, 티리^[46]와 요르단 연구진들^[49]^[50]^[51]이 얻은 진공 장 방정식은 다음과 같다.

$\phi$ 에 대한 장 방정식: $\widetilde{R}_{55} = 0 \Rightarrow \Box \phi = \frac{1}{4} \phi^3 F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}$
$A^\nu$ 에 대한 장 방정식: $\widetilde{R}_{5\alpha} = 0 = \frac{1}{2} g^{\beta\mu} \nabla_\mu(\phi^3 F_{\alpha\beta}).$
4차원 리치 텐서 $R_{\mu\nu}$ 에 대한 장 방정식:

:

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{1}{2} \phi^2 \left(g^{\alpha\beta} F_{\mu\alpha} F_{\nu\beta} - \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right) + \frac{1}{\phi} (\nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box\phi)

이 방정식들은 5차원 진공 방정식에서 전자기 응력-에너지 텐서의 형태가 나타나는 "칼루차의 기적"을 보여준다.

A^\mu

를 전자기 벡터 전위로 식별하기 위해, 장을 재조정해야 한다 (

A^\mu \to kA^\mu

). 변환 상수

k

는 다음과 같다.

:

\frac{k^2}{2} = \frac{8\pi G}{c^4} \frac{1}{\mu_0} = \frac{2G}{c^2} 4\pi\epsilon_0,

칼루차 이론에서 중력 상수는 계량의 전자기 결합 상수로 이해될 수 있다.

운동 방정식은 5차원 측지선 가설^[45]에서 5-속도

\widetilde{U}^a \equiv dx^a/ds

로 구해진다.

:

\widetilde{U}^b \widetilde{\nabla}_b \widetilde{U}^a = \frac{d\widetilde{U}^a}{ds} + \widetilde{\Gamma}^a_{bc} \widetilde{U}^b \widetilde{U}^c = 0.

4차원 길이 요소

c^2\,d\tau^2 \equiv g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu

를 사용하여 4-속도의 시공간 성분으로 표현하면, 운동 방정식은 다음과 같다.^[58]

:

U^\nu \equiv \frac{dx^\nu}{d\tau},

:

\frac{dU^\nu}{d\tau} + \widetilde{\Gamma}^\mu_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta + 2 \widetilde{\Gamma}^\mu_{5\alpha} U^\alpha U^5 + \widetilde{\Gamma}^\mu_{55} (U^5)^2 + U^\mu \frac{d}{d\tau} \ln \frac{c\,d\tau}{ds} = 0.

U^\nu

의 선형항은 로런츠 힘 법칙을 나타내며, 이는 5차원 계량 가설이 운동 방정식에서 로런츠 힘 법칙을 제공한다는 또 다른 "칼루차 기적"을 보여준다. 로런츠 힘 법칙과 일치하려면, 5차원 속도의 성분을 전하와 동일시해야 한다.

:

kU^5 = k \frac{dx^5}{d\tau} \to \frac{q}{mc},

그러나

U^5

에 대한 2차 항은 스칼라 장에 기울기가 없는 경우를 제외하고는 매우 큰 값을 가지며, 이는 경험과 모순될 수 있다는 문제가 있다. 이는 칼루차가 5차원 이론의 주요 단점으로 지적한 부분이다.^[45]

4. 1. 장 방정식

칼루차는 표준적인 일반 상대성 이론의 계량을 5차원으로 확장하여 장 방정식을 유도했다. 5차원 아인슈타인 방정식에서 유도된 장 방정식은 일반 상대성 이론과 전기역학의 방정식을 모두 포함한다.^[45]

5차원 장 방정식은 칼루차나 클라인이 스칼라장을 무시했기 때문에 완전하게 제시되지 않았다. 티리^[46]는 진공 장 방정식을 유도했고, 칼루차^[45]는 응력-에너지 텐서를 포함했다. 여러 연구 그룹이 1940년대 및 그 이전에 장 방정식에 대해 연구했다.^[47] 티리의 연구는 영어 번역본^[48]으로 인해 가장 잘 알려져 있다. 최초의 정확한 영어 번역 칼루차 장 방정식은 윌리엄스에 의해 제공되었다.^[52]

5차원 장 방정식을 얻기 위해 5차원 접속

\widetilde{\Gamma}^a_{bc}

은 5차원 계량

\widetilde{g}_{ab}

으로부터 계산되고, 5차원 리치 텐서

\widetilde{R}_{ab}

는 5차원 접속으로부터 계산된다.

티리와 다른 연구자들은 원기둥 조건

\frac{\partial \widetilde{g}_{ab}}{\partial x^5} = 0

을 가정했다.^[46] 이 가정이 없으면 장 방정식은 더 복잡해진다.^[53] 대부분의 연구자들은 장 방정식을 유도하는 데 원기둥 조건을 사용했다. 일반적으로 진공 방정식

\widetilde{R}_{ab} = 0

이 가정된다.

티리^[46]와 요르단 연구진들^[49]^[50]^[51]이 얻은 진공 장 방정식은 다음과 같다.

$\phi$ 에 대한 장 방정식: $\widetilde{R}_{55} = 0 \Rightarrow \Box \phi = \frac{1}{4} \phi^3 F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta}$ . 여기서 $F_{\alpha\beta} \equiv \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha,$ $\Box \equiv g^{\mu\nu} \nabla_\mu \nabla_\nu,$ 그리고 $\nabla_\mu$ 는 표준적인 4차원 공변 도함수이다. 이는 전자기장이 스칼라장의 근원임을 보여준다.
$A^\nu$ 에 대한 장 방정식: $\widetilde{R}_{5\alpha} = 0 = \frac{1}{2} g^{\beta\mu} \nabla_\mu(\phi^3 F_{\alpha\beta}).$ 스칼라 장이 일정하면 진공 맥스웰 방정식의 형태를 갖는다.
4차원 리치 텐서 $R_{\mu\nu}$ 에 대한 장 방정식:

:

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{1}{2} \phi^2 \left(g^{\alpha\beta} F_{\mu\alpha} F_{\nu\beta} - \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right) + \frac{1}{\phi} (\nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box\phi)

여기서

R

는 표준적인 4차원 리치 스칼라이다. 이 방정식은 전자기 응력–에너지 텐서의 형태가 5차원 진공 방정식에서 나타나는 "칼루차의 기적"을 보여준다.

A^\mu

를 전자기 벡터 전위로 식별하기 위해 장을 재조정해야 한다 (

A^\mu \to kA^\mu

). 변환 상수

k

는 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{k^2}{2} = \frac{8\pi G}{c^4} \frac{1}{\mu_0} = \frac{2G}{c^2} 4\pi\epsilon_0,

여기서

G

는 중력 상수이고

\mu_0

는 자유 공간의 투자율이다. 칼루차 이론에서 중력 상수는 계량의 전자기 결합 상수로 이해될 수 있다. 스칼라 장은 시공간 곡률에 대한 전자기 응력-에너지의 결합을 변조하는 가변 중력 상수처럼 동작한다.

물질이 존재하는 경우 5차원 진공 상태를 가정할 수 없다. 완전한 장 방정식은 5차원 아인슈타인 텐서

\widetilde{G}_{ab} \equiv \widetilde{R}_{ab} - \frac{1}{2} \widetilde{g}_{ab}\widetilde{R}

의 계산이 필요하다.^[52]

4. 2. 운동 방정식

칼루차는 표준적인 일반 상대성 이론의 계량을 5차원으로 확장하여 운동 방정식을 연구했다. 5차원 측지선 가정을 통해 5-속도

\widetilde{U}^a \equiv dx^a/ds

로 표현되는 운동 방정식은 다음과 같다.^[45]

:

\widetilde{U}^b \widetilde{\nabla}_b \widetilde{U}^a = \frac{d\widetilde{U}^a}{ds} + \widetilde{\Gamma}^a_{bc} \widetilde{U}^b \widetilde{U}^c = 0.

이 방정식은 다양한 형태로 연구되었으며,^[45]^[54]^[55]^[56]^[57] 4차원 길이 요소

c^2\,d\tau^2 \equiv g_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu

를 사용하여 4-속도의 시공간 성분으로 표현하면 다음과 같다.^[58]

:

U^\nu \equiv \frac{dx^\nu}{d\tau},

:

\frac{dU^\nu}{d\tau} + \widetilde{\Gamma}^\mu_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta + 2 \widetilde{\Gamma}^\mu_{5\alpha} U^\alpha U^5 + \widetilde{\Gamma}^\mu_{55} (U^5)^2 + U^\mu \frac{d}{d\tau} \ln \frac{c\,d\tau}{ds} = 0.

여기서

U^\nu

의 2차 항은 4차원 측지선 방정식과 전자기 항들을 포함한다.

:

\widetilde{\Gamma}^\mu_{\alpha\beta} = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} + \frac{1}{2} g^{\mu\nu} k^2 \phi^2 (A_\alpha F_{\beta\nu} + A_\beta F_{\alpha\nu} - A_\alpha A_\beta \partial_\nu \ln \phi^2).

U^\nu

의 선형항은 로런츠 힘 법칙을 나타낸다.

:

\widetilde{\Gamma}^\mu_{5\alpha} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} k \phi^2 (F_{\alpha\nu} - A_\alpha \partial_\nu \ln \phi^2).

이는 5차원 계량 가설이 아인슈타인 방정식에서 전자기 응력-에너지를 제공하고, 운동 방정식에서 로런츠 힘 법칙을 제공한다는 "칼루차 기적"을 보여준다. 로런츠 힘 법칙과 일치하려면 5차원 속도의 성분을 전하와 동일시해야 한다.

:

kU^5 = k \frac{dx^5}{d\tau} \to \frac{q}{mc},

여기서

m

은 입자 질량,

q

는 입자 전하이다. 즉, 전하는 5차원을 따라 움직이는 것으로 이해된다.

그러나 스칼라 장에 기울기가 없는 경우를 제외하면

U^5

에 대한 2차 항은 다음과 같이 표현된다.

:

\widetilde{\Gamma}^\mu_{55} = -\frac{1}{2} g^{\mu\alpha} \partial_\alpha \phi^2.

이는 소립자의 경우

U^5 > 10^{20} c

값을 가지며, 방정식에서 지배적인 항이 되어 경험과 모순될 수 있다는 문제를 야기한다. 이는 칼루차가 5차원 이론의 주요 단점으로 지적한 부분이다.^[45]

원기둥 조건 하에서

U^5

에 대한 운동 방정식은 더 간단해진다. 공변 5-속도에 대한 측지선 방정식의 대체 형식은 다음과 같다.

:

\frac{d\widetilde{U}_a}{ds} = \frac{1}{2} \widetilde{U}^b \widetilde{U}^c \frac{\partial\widetilde{g}_{bc}}{\partial x^a}.

이는 원기둥 조건 하에서

\widetilde{U}_5

가 5차원 운동의 상수임을 의미한다.

:

\widetilde{U}_5 = \widetilde{g}_{5a} \widetilde{U}^a = \phi^2 \frac{c\,d\tau}{ds} (kA_\nu U^\nu + U^5) = \text{상수}.

5. 현대적 응용과 한계

5차원 시공간(세로, 가로, 높이, 시간)에 아주 작은 원형으로 존재하는 여분의 시공간을 설정한 5차원 시공간 상의 일반 상대성 이론(중력)을 고려하면, 여분 차원이 보이지 않고 4차원 시공간으로 간주할 수 있는 규모에서는 중력 외에 전자기력(게이지장)이 나타난다. 4차원에서는 별개의 힘으로 취급되던 중력과 전자기력이 5차원 시공간의 중력으로 통일되는 것이다.

더 높은 차원으로 확장하면, 여분 차원의 성질에 따라 비가환 게이지장을 도입하는 것도 가능하다.

초끈 이론에서는 이론이 모순 없이 정의되는 조건으로 10차원 시공간이 필요하므로, 칼루차-클레인 이론의 아이디어를 응용하여 여분의 6차원 공간이 플랑크 스케일 정도의 크기라고 생각함으로써 4차원 시공간 상의 이론을 도출하고 있지만, 6차원만이 작아지는 메커니즘은 밝혀지지 않았다.

5. 1. 현대적 응용

1926년, 오스카르 클레인은 4번째 공간 차원이 아주 작은 반지름을 가진 원으로 말려 있어, 해당 축을 따라 짧은 거리를 이동하는 입자는 시작 위치로 돌아올 것이라고 제안했다. 이 추가 차원은 콤팩트 집합이며, 이 콤팩트한 차원의 구성을 축소화라고 한다.

현대 기하학적 관점에서, 추가 5차원은 원 군

U(1)

로 이해될 수 있다. 전자기학은 기본적으로 게이지 군

U(1)

이 있는 올다발인 원형 다발에 대한 게이지 이론으로 공식화될 수 있기 때문이다. 칼루차–클레인 이론에서 이 군은 게이지 대칭이 원형 콤팩트 차원의 대칭이라고 제안한다. 이러한 일반화는 종종 양-밀스 이론이라고 불리는데, 양-밀스 이론은 평평한 시공간에서 발생하는 반면 칼루차–클레인은 구부러진 시공간이라는 더 일반적인 경우를 다룬다는 차이점이 있다. 칼루차–클레인 이론의 기저 공간은 4차원 시공간일 필요가 없으며, 임의의 준 리만 다양체, 초대칭 다양체, 오비폴드 또는 비가환 공간일 수도 있다.

칼루차-클레인 이론은 다양체

M

에 걸쳐 게이지 군

G

가 있는 주다발

P

를 고려하여 구성할 수 있다.^[61] 다발에 대한 접속과 기저 다양체에 대한 계량, 각 올의 탄젠트에 대한 게이지 불변 계량이 주어지면 다발 전체에 정의된 계량을 구성할 수 있다. 이 다발 계량의 스칼라 곡률을 계산하면 각 올에서 일정하다는 것을 알 수 있는데, 이를 "칼루차의 기적"이라고 한다. 다음으로, 이 스칼라 곡률을 라그랑지안 밀도로 취하고, 이것으로부터 전체적으로 다발에 대한 아인슈타인-힐베르트 작용을 구성한다. 오일러-라그랑주 방정식인 운동 방정식은 기저 다양체의 계량 또는 게이지 접속의 변화에 대해 작용이 고정된 위치를 고려하여 얻을 수 있다. 기본 계량에 대한 변형은 게이지 연결의 곡률 (전계 강도)에 의해 주어진 에너지-운동량 텐서와 함께 기본 다양체에 대한 아인슈타인 장 방정식을 제공한다. 게이지 연결이 양-밀스 방정식을 풀 때 게이지 연결의 변형에 대해 작업이 고정되어 있다.

표준모형의 대칭군

SU(3)\times SU(2)\times U(1)

를 사용하여 칼루차-클레인 이론을 적용하려는 시도는 여러 가지 문제로 인해 실패했다. 그럼에도 불구하고 칼루차-클레인 이론은 이론 물리학에서 중요한 시금석으로 남아 있으며, K이론에서 기하학적 관심의 대상으로서 그 자체로 연구된다.

실험 물리학 및 천체 물리학 커뮤니티에서는 추가로 축소화된 차원을 탐색한다는 아이디어에 상당한 관심을 가지고 있다. 추가로 축소화된 차원에서 정상파가 있을 것으로 예상할 수 있으며, 공간 추가 차원이 반지름

R

인 경우 이러한 정상파의 불변 질량은

M_n=nh/Rc

(

n

은 정수,

h

는 플랑크 상수,

c

는 빛의 속력)이다. 이 가능한 질량 값들의 집합을 '''칼루차–클레인 타워'''라고 한다. 그러나 양자 이론에 대한 클레인의 접근 방식에는 결함이 있으며, 예를 들어 플랑크 질량의 크기 순서로 계산된 전자 질량으로 이어진다.^[62]

실험적 추구의 예로는 CDF 협업의 작업이 있으며, 이는 큰 추가 차원/뒤틀린 모델과 관련된 효과의 서명에 대한 입자 가속기 데이터를 재분석했다.

브란덴베르거와 바파는 초기 우주에서 우주 팽창으로 인해 공간의 세 차원이 우주론적 크기로 확장되고 나머지 공간 차원은 미시적 수준으로 유지되었다고 추측했다.

5차원 시공간(세로, 가로, 높이, 시간)에 초미세한 원형으로 존재하는 여분의 시공간을 설정한 5차원 시공간상의 일반 상대성 이론(중력)을 고려하면, 여분 차원이 보이지 않고 4차원 시공간으로 간주할 수 있는 스케일에서는 중력에 더해 전자기력(게이지장)이 나타난다. 4차원에서는 별개의 힘으로 취급되던 중력과 전자기력이 5차원 시공간의 중력으로 통일되는 것이다.

초끈 이론에서는 이론이 무모순으로 정의되는 조건으로 10차원 시공간이 요청되므로, 칼루차-클레인의 이 생각을 응용하여 여분의 6차원 공간이 플랑크 스케일 정도의 크기라고 생각함으로써, 4차원 시공간상의 이론을 도출하고 있다.

5. 2. 한계

5차원 시공간(세로, 가로, 높이, 시간)에 초미세한 원형으로 존재하는 여분의 시공간을 설정한 5차원 시공간상의 일반 상대성 이론(중력)을 고려하면, 여분 차원이 보이지 않고, 4차원 시공간으로 간주할 수 있는 스케일에서는, 중력에 더해 전자기력(게이지장)이 나타난다. 4차원에서는 별개의 힘으로 취급되던 중력과 전자기력이 5차원 시공간의 중력으로 통일되는 것이다.

이것을 더 높은 차원으로 확장하면, 여분 차원의 성질에 따라, 비가환 게이지장을 도입하는 것도 가능하다.

초끈 이론에서는 이론이 무모순으로 정의되는 조건으로 10차원 시공간이 요청되므로, 칼루차-클레인의 이 생각을 응용하여 여분의 6차원 공간이 플랑크 스케일 정도의 크기라고 생각함으로써, 4차원 시공간상의 이론을 도출하고 있지만, 6차원만이 작아지는 기구는 밝혀지지 않았다.

6. 실험적 검증

현재까지 초차원의 존재에 대한 실험적 또는 관측적 증거는 공식적으로 보고된 바가 없다. 칼루차-클레인 공명 현상을 탐지하기 위한 많은 이론적 탐색 기술이 제안되었으며, 이러한 공명의 톱 쿼크와의 질량 결합을 사용한다. 2010년 12월 LHC의 결과 분석은 큰 여분 차원을 가진 이론을 심각하게 제한했다.^[34]

LHC에서 힉스 유사 보손의 관측은 칼루차-클레인 공명 및 초대칭 입자를 탐색하는 데 적용할 수 있는 새로운 경험적 검증을 확립했다. 힉스 상호작용에 존재하는 루프 파인만 다이어그램은 전하와 질량을 가진 모든 입자가 그러한 루프에서 순환하도록 한다. 톱 쿼크와 W 보손 외의 표준 모형 입자는 H → γγ 붕괴에서 관찰된 단면적에 큰 기여를 하지 않지만, 표준 모형을 넘어선 새로운 입자가 있다면, 이는 표준 모형에서 예측된 H → γγ 단면적과 실험적으로 관찰된 단면적의 비율을 잠재적으로 변경할 수 있다. 따라서 표준 모형에 의해 예측된 H → γγ 단면적에 대한 극적인 변화의 측정은 그 이상의 물리학을 탐구하는 데 매우 중요하다.

2018년 7월의 한 기사^[35]는 이 이론에 대한 희망을 준다. 이 기사에서는 브레인 이론에서처럼 중력이 더 높은 차원으로 새어 나간다는 주장에 대해 반박한다. 그러나 이 기사는 전자기력과 중력이 동일한 수의 차원을 공유한다는 것을 입증하며, 이 사실은 칼루차-클레인 이론을 뒷받침한다. 차원의 수가 실제로 3 + 1인지 4 + 1인지 여부는 추가적인 논쟁의 대상이다.

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