칼만 필터

3. 칼만 필터의 동적 시스템 모델

칼만 필터는 이산 시간 선형 동적 시스템을 기반으로 동작하며, 각 시간에서의 상태 벡터는 이전 시간의 상태 벡터를 통해 결정된다는 마르코프 연쇄를 가정한다.^[27][28]

특정 시간 $k$에서의 상태 벡터를 $\backslash textbf\{x\}\_k$로 정의하고, 그 시간에서의 사용자 입력을 $\backslash textbf\{u\}\_k$라고 정의할 때, 칼만 필터는 다음과 같은 관계식을 가정한다.

:$\backslash textbf\{x\}\_\{k\}\; =\; \backslash textbf\{F\}\_\{k\}\; \backslash textbf\{x\}\_\{k-1\}\; +\; \backslash textbf\{B\}\_\{k\}\; \backslash textbf\{u\}\_\{k\}\; +\; \backslash textbf\{w\}\_\{k\}$

여기서

• $\backslash textbf\{F\}\_k$는 해당 시간에서 이전 상태에 기반한 상태 전이 행렬이다.
• $\backslash textbf\{B\}\_k$는 사용자 입력에 의한 상태 전이 행렬이다.
• $\backslash textbf\{w\}\_k$는 공분산행렬 $\backslash textbf\{Q\}\_k$을 가지는 다변량 정규분포 $\backslash textbf\{w\}\_\{k\}\; \backslash sim\; N(0,\; \backslash textbf\{Q\}\_k)$ 잡음 변수이다.

• $\backslash textbf\{H\}\_k$는 해당 시간의 상태에서 측정값을 도출하는 행렬이다.
• $\backslash textbf\{v\}\_k$는 공분산행렬 $\backslash textbf\{R\}\_k$을 가지는 다변량 정규분포 $\backslash textbf\{v\}\_\{k\}\; \backslash sim\; N(0,\; \backslash textbf\{R\}\_k)$ 잡음 변수이다.

4. 칼만 필터의 구조

칼만 필터는 예측 단계와 보정(업데이트) 단계로 구성된 재귀적 알고리즘이다.

• 예측 단계: 이전 시간의 추정값을 기반으로 현재 상태를 예측한다. 예측 단계에서는 이전 시간에 추정된 상태에서 사용자 입력을 가했을 때 예상되는 측정값을 계산한다.
• 보정 단계: 예측값과 실제 측정값의 차이 (혁신 또는 측정 사전 적합 잔차)를 이용하여 현재 상태를 보정한다. 시스템에 따라서 보정 단계가 가끔씩 일어날 수도 있다. 이때에는 예측 단계가 여러 번 수행되다가 한 번씩 보정 단계가 수행된다.

• $\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{n|m\}$: m 시점의 측정값을 토대로 한 n 시점의 상태 추정값
• $\backslash textbf\{P\}\_\{n|m\}$: m 시점의 측정값을 토대로 한 n 시점의 상태 공분산행렬

보정 단계 계산:

불변량:모델이 정확하고, $\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{0|0\}$와 $\backslash textbf\{P\}\_\{0|0\}$의 값이 정확하게 초기 상태 값의 몫을 반영한다면, 다음 불변량이 보존된다.

• $\backslash textrm\{E\}[\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\}]\; =\; \backslash textrm\{E\}[\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}]\; =\; 0$
• $\backslash textrm\{E\}[\backslash tilde\{\backslash textbf\{y\}\}\_k]\; =\; 0$

• $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textrm\{cov\}(\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\})$
• $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; =\; \backslash textrm\{cov\}(\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\})$
• $\backslash textbf\{S\}\_\{k\}\; =\; \backslash textrm\{cov\}(\backslash tilde\{\backslash textbf\{y\}\}\_k)$

5. 칼만 필터의 유도

칼만 필터의 유도 과정은 다음과 같이 세 부분으로 나눌 수 있다.

; 후부 추정 공분산 행렬 유도

칼만 필터는 최소 평균 제곱 오차 추정기이므로, 후부 상태 추정 오차의 공분산 행렬 $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}$를 최소화하는 것이 목표이다. 이 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textrm\{cov\}(\backslash textbf\{x\}\_\{k\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\})$

여기서 $\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\}$는 k 시점까지의 측정값을 토대로 한 k 시점의 상태 추정값이다.

$\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\}$의 정의, 잔차 $\backslash tilde\{\backslash textbf\{y\}\}\_k$, 측정값 $\backslash textbf\{z\}\_k$를 차례로 대입하고 정리하면,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textrm\{cov\}((I\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_\{k\})(\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\})\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{v\}\_k\; )$

를 얻는다. 측정 오차 $\backslash textbf\{v\}\_k$는 다른 항과 독립이므로,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; (I\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_\{k\})\backslash textrm\{cov\}(\backslash textbf\{x\}\_k\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\})(I\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_\{k\})^\{\backslash text\{T\}\}\; +\; \backslash textbf\{K\}\_k\backslash textrm\{cov\}(\backslash textbf\{v\}\_k\; )\backslash textbf\{K\}\_k^\{\backslash text\{T\}\}$

가 되고, 불변 값 $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}$와 $\backslash textbf\{R\}\_k$의 정의를 이용하면,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; (I\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_\{k\})\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; (I\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_\{k\})^\backslash text\{T\}\; +\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{R\}\_k\; \backslash textbf\{K\}\_k^\backslash text\{T\}$

를 얻는다. 이 공식은 칼만 이득 $\backslash textbf\{K\}\_k$의 값에 관계없이 성립한다.

; 칼만 이득 유도

최적의 칼만 이득은 후부 추정 공분산 행렬 $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}$의 대각합을 최소화하는 값이다. $\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}$를 전개하면,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_k\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; -\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; \backslash textbf\{H\}\_k^\backslash text\{T\}\; \backslash textbf\{K\}\_k^\backslash text\{T\}\; +\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{S\}\_k\backslash textbf\{K\}\_k^\backslash text\{T\}$

이 행렬의 대각합이 최소가 되는 조건은

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash ;\; \backslash textrm\{tr\}(\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\})\}\{\backslash partial\; \backslash ;\backslash textbf\{K\}\_k\}\; =\; -2\; (\backslash textbf\{H\}\_k\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\})^\backslash text\{T\}\; +\; 2\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{S\}\_k\; =\; 0$

이다. 이를 통해 최적의 칼만 이득

:$\backslash textbf\{K\}\_\{k\}\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; \backslash textbf\{H\}\_k^\backslash text\{T\}\; \backslash textbf\{S\}\_k^\{-1\}$

을 얻는다.

; 후부 잔차 공분산 식의 간이화

칼만 이득이 최적값일 때, 후부 잔차 공분산 식을 간소화할 수 있다. 최적 칼만 이득 공식의 양변에 $\backslash textbf\{S\}\_k\; \backslash textbf\{K\}\_k^T$를 곱하면,

:$\backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{S\}\_k\; \backslash textbf\{K\}\_k^T\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; \backslash textbf\{H\}\_k^T\; \backslash textbf\{K\}\_k^T$

가 된다. 이를 후부 잔차 공분산의 확장된 공식에 대입하면,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; -\; \backslash textbf\{K\}\_k\; \backslash textbf\{H\}\_k\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; =\; (\backslash mathbf\{I\}\; -\; \backslash mathbf\{K\}\_k\; \backslash mathbf\{H\}\_k)\; \backslash mathbf\{P\}\_\{k\backslash mid\; k-1\}$

로 간소화된다. 이 공식은 계산 비용이 저렴하지만, 최적 칼만 이득일 때만 성립한다는 점에 유의해야 한다.

6. 비선형 칼만 필터

칼만 필터는 선형 시스템을 가정하지만, 실제 시스템은 대부분 비선형이다. 따라서 비선형 시스템에 칼만 필터를 적용하기 위한 방법들이 개발되었다. 대표적인 비선형 칼만 필터로는 확장 칼만 필터(EKF)와 무향 칼만 필터(UKF)가 있다.

• '''확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)''': 비선형 함수를 선형화하여 칼만 필터를 적용한다. 내비게이션이나 GPS와 같은 비선형 상태 추정에 주로 사용된다. 하지만, 선형화 과정에서 오차가 발생할 수 있으며, 비선형성이 강한 경우에는 성능이 저하될 수 있다. EKF에 대한 자세한 내용은 해당 섹션을 참조하면 된다.

• '''무향 칼만 필터(Unscented Kalman Filter, UKF)''': 시그마 점이라는 대표 점들을 이용하여 비선형 변환을 수행하고, 평균과 공분산을 추정한다. EKF와 달리 야코비 행렬 계산이 필요 없어 계산 부담이 적고, 비선형성이 강한 경우에도 EKF보다 더 정확한 추정이 가능하다. UKF에 대한 자세한 내용은 해당 섹션을 참조하면 된다.

6. 1. 확장 칼만 필터 (EKF)

여기서 상태 변이 행렬 $\backslash textbf\{F\}\_\{k-1\}$과 관측 행렬 $\backslash textbf\{H\}\_\{k\}$는 다음과 같이 야코비 행렬로 정의된다.

:$\backslash textbf\{F\}\_\{k-1\}\; =\; \backslash left\; .\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \backslash textbf\{x\}\; \}\; \backslash right\; \backslash vert\; \_\{\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k-1|k-1\},\backslash textbf\{u\}\_\{k\}\}$

:$\backslash textbf\{H\}\_\{k\}\; =\; \backslash left\; .\; \backslash frac\{\backslash partial\; h\}\{\backslash partial\; \backslash textbf\{x\}\; \}\; \backslash right\; \backslash vert\; \_\{\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}\}$

EKF는 비선형 함수를 현재 추정치 주변에서 선형화하여 칼만 필터 방정식을 적용한다.

EKF는 일반적인 경우 최적의 추정이 아니지만, 초기 추정이 틀리거나 프로세스 모델이 잘못 설계된 경우 필터가 발산할 수 있다는 단점이 있다. 또한, 추정된 공분산 행렬이 실제 공분산 행렬을 과소평가하는 경향이 있다. 이러한 단점에도 불구하고 EKF는 적절한 성능을 보이며, 내비게이션 및 GPS 시스템에서 널리 사용된다.

6. 2. 무향 칼만 필터 (UKF)

여기서, $\backslash left\; (\; \backslash sqrt\{\; (L\; +\; \backslash lambda)\; \backslash textbf\{P\}\_\{k-1|k-1\}^\{a\}\; \}\; \backslash right\; )\_\{i\}$ 은 $(L\; +\; \backslash lambda)\; \backslash textbf\{P\}\_\{k-1|k-1\}^\{a\}$ 행렬의 제곱근의 ''i''번째 행이다.

행렬의 제곱근은 초레스키 분해와 같이 안정적인 메서드를 사용해야 한다.

시그마 포인트는 전달함수 ''f''를 통해 전달된다.

:$\backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\}\; =\; f(\backslash chi\_\{k-1|k-1\}^\{i\})\; \backslash quad\; i\; =\; 0..2L$

웨이티드 시그마 포인트는 예측된 상태와 공분산을 생성하기 위해 재결합된다.

:$\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{2L\}\; W\_\{s\}^\{i\}\; \backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\}$

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{2L\}\; W\_\{c\}^\{i\}\backslash \; [\backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}]\; [\backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}]^\{T\}$

여기서 상태와 공분산을 위한 가중치는 다음과 같이 주어진다.

:$W\_\{s\}^\{0\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{L+\backslash lambda\}$

:$W\_\{c\}^\{0\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{L+\backslash lambda\}\; +\; (1\; -\; \backslash alpha^2\; +\; \backslash beta)$

:$W\_\{s\}^\{i\}\; =\; W\_\{c\}^\{i\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2(L+\backslash lambda)\}$

:$\backslash lambda\; =\; \backslash alpha^2\; (L+\backslash kappa)\; -\; L\; \backslash ,\backslash !$

$\backslash alpha$, $\backslash beta$, $\backslash kappa$의 대표적인 값은 각각 $10^\{-3\}$, 2, 0이다.

'''업데이트'''

예측된 상태와 공분산은 이전과 같이 증대되지만, 잡음 측정의 평균과 공분산은 제외된다.

:$\backslash textbf\{x\}\_\{k|k-1\}^\{a\}\; =\; [\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}^\{T\}\; \backslash quad\; E[\backslash textbf\{v\}\_\{k\}^\{T\}]\; \backslash \; ]^\{T\}$

:

이전과 같이, 2''L''+1 시그마 포인트의 집합은 증대된 상태와 공분산으로부터 전달된다. 여기서 L은 증대된 상태의 차원이다.

이에 대한 대안으로, UKF 예측은 시그마 포인트를 사용하여 다음과 같이 증대될 수 있다.

:$\backslash chi\_\{k|k-1\}\; :=\; [\; \backslash chi\_\{k|k-1\}^T\; \backslash quad\; E[\backslash textbf\{v\}\_\{k\}^\{T\}]\; \backslash \; ]^\{T\}\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{\; (L\; +\; \backslash lambda)\; \backslash textbf\{R\}\_\{k\}^\{a\}\; \}$

여기서,

:

시그마 포인트는 관측 함수 ''h''를 통해 투영된다.

:$\backslash gamma\_\{k\}^\{i\}\; =\; h(\backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\})\; \backslash quad\; i\; =\; 0..2L$

가중 시그마 포인트는 예측된 측정값과 예측된 측정 공분산을 생성하기 위해 재구성된다.

:$\backslash hat\{\backslash textbf\{z\}\}\_\{k\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{2L\}\; W\_\{s\}^\{i\}\; \backslash gamma\_\{k\}^\{i\}$

:$\backslash textbf\{P\}\_\{z\_\{k\}z\_\{k\}\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{2L\}\; W\_\{c\}^\{i\}\backslash \; [\backslash gamma\_\{k\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{z\}\}\_\{k\}]\; [\backslash gamma\_\{k\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{z\}\}\_\{k\}]^\{T\}$

상태 측정 교차 공분산 행렬,

:$\backslash textbf\{P\}\_\{x\_\{k\}z\_\{k\}\}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{2L\}\; W\_\{c\}^\{i\}\backslash \; [\backslash chi\_\{k|k-1\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}]\; [\backslash gamma\_\{k\}^\{i\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{z\}\}\_\{k\}]^\{T\}$

는 UKF 칼만 이득을 계산하는 데 사용된다.

:$K\_\{k\}\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{x\_\{k\}z\_\{k\}\}\; \backslash textbf\{P\}\_\{z\_\{k\}z\_\{k\}\}^\{-1\}$

칼만 필터와 마찬가지로, 업데이트된 상태는 예측된 상태에 칼만 필터에 의해 가중된 혁신 값을 더한 값이다.

:$\backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash hat\{\backslash textbf\{x\}\}\_\{k|k-1\}\; +\; K\_\{k\}(\; \backslash textbf\{z\}\_\{k\}\; -\; \backslash hat\{\backslash textbf\{z\}\}\_\{k\}\; )$

그리고 업데이트된 공분산은 예측된 공분산에서 칼만 이득에 의해 가중된 예측된 측정 공분산 값을 뺀 값이다.

:$\backslash textbf\{P\}\_\{k|k\}\; =\; \backslash textbf\{P\}\_\{k|k-1\}\; -\; K\_\{k\}\; \backslash textbf\{P\}\_\{z\_\{k\}z\_\{k\}\}\; K\_\{k\}^\{T\}$

7. 칼만-부시 필터

칼만-부시 필터(Kalman-Bucy filter)는 칼만 필터의 연속 시간 버전이다.^[79][80]

이는 다음과 같은 상태 공간 모델을 기반으로 한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t) \\

\mathbf{z}(t) &= \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)

\end{align}

여기서 $\backslash mathbf\{Q\}(t)$와 $\backslash mathbf\{R\}(t)$는 각각 두 백색 잡음 항 $\backslash mathbf\{w\}(t)$와 $\backslash mathbf\{v\}(t)$의 세기를 나타낸다.

필터는 상태 추정치와 공분산에 대한 미분 방정식으로 구성되며, 두 미분 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{K}(t) \left(\mathbf{z}(t) - \mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)\right) \\

\frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^\textsf{T}(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^\textsf{T}(t)

\end{align}

여기서 칼만 이득은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathbf\{K\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{P\}(t)\backslash mathbf\{H\}^\backslash textsf\{T\}(t)\backslash mathbf\{R\}^\{-1\}(t)$

$\backslash mathbf\{K\}(t)$에 대한 이 식에서 관측 잡음의 공분산 $\backslash mathbf\{R\}(t)$는 예측 오차(또는 혁신) $\backslash tilde\{\backslash mathbf\{y\}\}(t)\; =\; \backslash mathbf\{z\}(t)\; -\; \backslash mathbf\{H\}(t)\backslash hat\{\backslash mathbf\{x\}\}(t)$의 공분산과 같다. 이러한 공분산은 연속 시간에서만 같다.^[81]

이산 시간 칼만 필터링의 예측 단계와 업데이트 단계는 연속 시간에는 존재하지 않는다.

공분산에 대한 두 번째 미분 방정식은 리카티 방정식의 한 예이다.

8. 발전 역사

루돌프 칼만의 이름을 따서 명명된 칼만 필터는, Thorvald Nicolai Thiele^[100]와 Peter Swerling이^[93] 더 일찍 유사한 알고리즘을 개발하였다. Stanley F. Schmidt는 최초로 일반적인 사용을 위한 칼만 필터를 구현하였다. 칼만은 미 항공 우주센터 방문 중에 자신의 아이디어가 아폴로 프로젝트의 궤적 추정 문제에 사용될 수 있음을 인지하고, 이를 아폴로 항법 컴퓨터에 적용하도록 이끌었다. 이후, 이 필터는 Swerling (1958), Kalman (1960), Kalman and Bucy (1961)에 의해 지속적으로 연구 개발되었다.

Ruslan L. Stratonovich^[101][102]가 더 일반적인 비선형 필터의 특별한 경우를 이전에 개발했기 때문에, 이 필터는 때때로 Stratonovich-Kalman-Bucy 필터라고도 불린다. 실제로, 선형 필터에서 나타나는 특별한 경우의 방정식은 Stratonovich가 1960년대에 작성한 논문에 나타나는데, 이는 Rudolf E. Kalman이 모스크바의 컨퍼런스에서 Ruslan L. Stratonovich를 만났던 시기와 일치한다.

제어 이론에서 칼만 필터는 '''linear quadratic estimation''' (LQE)로 알려져 있으며, 매우 유용한 것으로 평가받는다.

칼만 필터의 다양성은 현재까지 계속 개발되고 있으며, 칼만의 원래 공식은 현재 단순 칼만 필터라고 불린다. 쉬미츠의 확장 필터, Bierman, Thornton에 의한 ''information'' 필터와 ''square-root'' 필터 등이 개발되었다. 가장 흔하게 사용되는 칼만 필터 형태는 phase-locked loop으로, 현재 유비쿼터스의 라디오, 컴퓨터 및 대부분의 통신 및 비디오 장비에 사용되고 있다.

존스홉킨스 응용물리학 연구소(Johns Hopkins Applied Physics Laboratory)의 리처드 S. 부시(Richard S. Bucy)가 이론에 기여하여, 칼만-부시 필터로 알려지게 되었다. 칼만은 위너 필터링 문제에 상태 변수를 적용하여 칼만 필터를 유도하는 영감을 얻었다.^[16]

스탠리 F. 슈미트(Stanley F. Schmidt)는 칼만 필터의 최초 구현을 개발한 것으로 인정받는다. 그는 필터를 두 개의 별개 부분, 즉 센서 출력 사이의 시간 기간에 대한 부분과 측정값을 통합하는 부분으로 나눌 수 있다는 것을 알아냈다.^[17] 칼만이 NASA 에임스 연구센터(NASA Ames Research Center)를 방문했을 때, 슈미트는 칼만의 아이디어를 아폴로 계획의 궤적 추정이라는 비선형 문제에 적용할 수 있음을 알아차렸고, 이는 아폴로 항법 컴퓨터에 통합되는 결과를 가져왔다.^[18]

이 디지털 필터는 소련(Soviet)의 수학자(mathematician) 루슬란 스트라토노비치(Ruslan Stratonovich)가 개발한 더 일반적인 비선형 필터의 특수한 경우이기 때문에 ''스트라토노비치-칼만-부시 필터''라고 불린다.^{[19][20][21][22]} 1961년 여름 칼만이 모스크바에서 열린 회의에서 스트라토노비치를 만났을 때보다 전에 출판된 스트라토노비치의 논문에 이 특수한 선형 필터 방정식 중 일부가 나타났다.^[23]

칼만 필터링은 스웨를링(1958), 칼만(1960), 칼만과 부시(1961)의 기술 논문에서 처음으로 부분적으로 설명되고 개발되었다.

칼만 필터는 미국 해군(U.S. Navy) 핵 탄도 미사일 잠수함(ballistic missile submarine)의 항법 시스템 구현과 토마호크 미사일 및 미국 공군(U.S. Air Force)의 공대지 순항 미사일과 같은 순항 미사일의 유도 및 항법 시스템에서 매우 중요한 역할을 했다. 또한 재사용 가능 발사체(reusable launch vehicle)의 유도 및 항법 시스템과 자세 제어 및 국제 우주 정거장(International Space Station)에 도킹하는 우주선의 항법 시스템에도 사용된다.^[24]

9. 응용 분야

칼만 필터는 다양한 분야에서 활용되는 강력한 도구이다. 특히, 오차가 포함된 측정값을 기반으로 시스템의 상태를 추정해야 하는 경우에 유용하게 사용된다. 칼만 필터의 주요 응용 분야는 다음과 같다:

• 항법: 관성 항법 시스템(Inertial guidance system), 위성 항법 시스템(Satellite navigation system) 등에서 오차를 줄이고 정확한 위치, 속도, 자세를 추정하는 데 사용된다.
• 대한민국의 경우, 독도와 같이 분쟁 지역에서의 정확한 위치 정보 확보에 칼만 필터 기술이 중요한 역할을 할 수 있다.
• 레이더 추적기(Radar tracker): 레이더를 사용하여 물체의 위치, 속도, 가속도를 추적할 때, 측정값에 포함된 오차를 제거하고 정확한 궤적을 추정하는 데 사용된다.
• 컴퓨터 비전(computer vision): 컴퓨터 비전에서 객체 추적, 3D 모델링(3D modeling) 등에 활용된다.
• 오토파일럿(Autopilot): 항공기의 자동 비행 장치인 오토파일럿에서 센서 데이터를 융합하여 항공기의 상태를 정확하게 추정하고 제어하는 데 사용된다.
• 전지(Electric battery): 배터리의 충전 상태(state of charge) (SoC)를 추정하는 데 사용된다.^[86][87]
• 뇌-컴퓨터 인터페이스(Brain–computer interfaces): 뇌 신호를 해석하여 컴퓨터를 제어하는 뇌-컴퓨터 인터페이스에서 뇌 신호의 잡음을 제거하고 정확한 명령을 추출하는 데 사용된다.^[75][77][76]
• 경제학(Economics): 거시경제학(macroeconomics), 시계열 분석(time series analysis), 계량 경제학(econometrics) 등에서 경제 지표를 추정하고 예측하는 데 사용된다.^[89]
• 일기 예보(Weather forecasting): 수치예보 모델에서 관측 자료를 결합하여 정확도를 향상시키는 자료 동화 과정에 활용된다.

• 자율주행: 자동차의 내비게이션 시스템은 물론, 다양한 센서에서 수집되는 정보를 통합하여 차량의 위치와 주변 환경을 정확하게 인식하고, 안전한 자율 주행을 구현하는 데 필수적인 기술이다.
• 스마트 팩토리: 공장 자동화 시스템에서 센서 데이터를 기반으로 설비의 상태를 모니터링하고, 고장을 예측하며, 생산 공정을 최적화하는 데 활용될 수 있다.
• 로봇 제어: 로봇의 정밀한 움직임을 제어하고, 외부 환경 변화에 강건하게 대응하는 지능형 로봇 시스템을 구축하는 데 기여할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Chapter 11 Tutorial: The Kalman Filter https://web.mit.edu/[...]
_[2] 논문 A Three-bar Truss Design using Single-solution Simulated Kalman Filter Optimizer https://journal.ump.[...] 2019-07-15
_[3] 서적 Fundamentals of Kalman Filtering: A Practical Approach https://books.google[...] American Institute of Aeronautics and Astronautics, Incorporated
_[4] 논문 An IMUs-Based Extended Kalman Filter to Estimate Gait Lower Limb Sagittal Kinematics for the Control of Wearable Robotic Devices 2021
_[5] 논문 Moving Object Detection Based on a Combination of Kalman Filter and Median Filtering 2022-12
_[6] 서적 Applied Economic Forecasting using Time Series Methods Oxford University Press
_[7] 논문 Design of an Helical Spring using Single-solution Simulated Kalman Filter Optimizer https://journal.ump.[...] 2019-07-15
_[8] 논문 Computational principles of movement neuroscience
_[9] 논문 A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems https://semanticscho[...]
_[10] 논문 A Fresh Look at the Kalman Filter
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