페이지랭크

3. 알고리즘 설명

페이지랭크는 더 중요한 페이지는 더 많은 다른 사이트로부터 링크를 받는다는 관찰에 기초한다. 페이지랭크는 랜덤 서퍼(Random Surfer) 모델을 가정하는데, 이는 임의의 페이지를 방문하며 탐색하는 가상의 사용자이다. 페이지랭크는 페이지 간 페이지랭크 값을 주고받는 것을 반복하며, 결국 전체 웹 페이지가 특정한 페이지랭크 값에 수렴한다는 사실을 통해 각 페이지의 최종 페이지랭크를 계산한다.

페이지랭크는 월드 와이드 웹과 같이 하이퍼링크로 연결된 문서들의 집합의 각 요소에 수치적인 가중치를 할당하여 집합 내에서의 상대적 중요도를 "측정"하는 것을 목적으로 하는 링크 분석 알고리즘이다. 이 알고리즘은 상호 인용 및 참조가 있는 어떤 요소들의 집합에도 적용될 수 있다.

페이지랭크는 웹그래프를 기반으로 하는 수학적 알고리즘의 결과이며, cnn.com 또는 mayoclinic.org와 같은 권위 있는 허브를 고려한다. 페이지에 대한 하이퍼링크는 지지 투표로 계산된다. 페이지의 PageRank는 재귀적으로 정의되며, 해당 페이지로 연결되는 모든 페이지의 수와 PageRank 측정값("인바운드 링크")에 따라 달라진다. PageRank가 높은 많은 페이지에서 연결되는 페이지는 자체적으로 높은 순위를 받는다.

페이지랭크 알고리즘은 사람이 링크를 무작위로 클릭할 때 특정 페이지에 도달할 가능성을 나타내는 확률 분포를 출력한다. 확률은 0과 1 사이의 숫자 값으로 표현된다. 0.5의 확률은 일반적으로 어떤 일이 일어날 "50%의 가능성"으로 표현된다. 따라서 PageRank가 0.5인 문서는 무작위 링크를 클릭하는 사람이 해당 문서로 이동할 가능성이 50%임을 의미한다.

페이지랭크 알고리즘의 발상은 인용에 기반한 학술논문의 평가와 유사하다.

• 학술논문의 중요성을 측정하는 지표로는 피인용 수가 자주 사용된다. 중요한 논문은 많은 사람들에 의해 인용되므로 피인용 수가 많을 것이라고 생각된다. 마찬가지로, 주목할 만한 중요한 웹페이지는 많은 페이지에서 링크될 것이라고 생각된다.
• 또한, 피인용 수를 이용하는 것 외에 “피인용 수가 많은 논문에서 인용되고 있는 논문은 중요도가 높다”라는 생각도 이전부터 존재했다. 웹페이지의 경우에도 마찬가지로, 중요한 페이지에서의 링크는 가치가 높다고 생각된다.
• 하지만, 무분별하게 생성된 링크에는 가치가 별로 없다고 생각된다. 링크 목록처럼 많은 링크를 만드는 것을 목적으로 하는 경우에는 링크 대상 웹페이지에 강하게 주목하고 있다고 말하기는 어렵다.

• 각 페이지는 고유한 점수를 갖는다.
• 각 링크 또한 고유한 점수를 갖는다.
• 페이지 X에 대해,
• X의 점수를 P라고 한다.
• 다른 페이지에서 X로 향하는 링크의 점수를 각각 $I\_1,\; \backslash dotsc,\; I\_n$이라고 한다.
• X에서 다른 페이지로 향하는 링크의 점수를 각각 $O\_1,\; \backslash dotsc,\; O\_m$이라고 한다.
• 이때, 다음이 성립한다고 가정한다.

3. 1. 단순화된 알고리즘

페이지랭크 알고리즘은 특정 페이지에 도달할 가능성을 나타내는 확률 분포를 출력한다.^[1] 확률은 0과 1 사이의 숫자 값으로 표현되며, 0.5는 어떤 일이 일어날 "50%의 가능성"을 의미한다.^[2]

간단한 알고리즘의 예시는 다음과 같다.

• A, B, C, D 네 개의 웹 페이지로 구성된 작은 네트워크를 가정한다.
• 초기에는 모든 페이지의 페이지랭크를 동일하게 0.25로 설정한다. (0과 1 사이의 확률 분포를 가정)^[3]
• 페이지 B, C, D가 모두 A를 가리키는 링크를 가지고 있다면, 다음번 반복에서 A의 페이지랭크는 0.75가 된다.
• : $PR(A)=\; PR(B)\; +\; PR(C)\; +\; PR(D).\backslash ,$^[4]
• 만약 B가 A와 C, C가 A, D가 A, B, C 모두에 링크를 걸고 있다면, A의 페이지랭크는 다음과 같이 계산된다.
• : $PR(A)=\; \backslash frac\{PR(B)\}\{2\}+\; \backslash frac\{PR(C)\}\{1\}+\; \backslash frac\{PR(D)\}\{3\}.\backslash ,$^[5]
• 즉, 외부 링크에 의해 부여되는 페이지랭크는 해당 페이지의 페이지랭크 점수를 외부 링크 수 '''L( )'''로 나눈 값과 같다.^[6]
• : $PR(A)=\; \backslash frac\{PR(B)\}\{L(B)\}+\; \backslash frac\{PR(C)\}\{L(C)\}+\; \backslash frac\{PR(D)\}\{L(D)\}.\; \backslash ,$^[7]
• 일반적인 경우, 임의의 페이지 '''u'''의 페이지랭크 값은 다음 공식으로 표현할 수 있다.^[8]
• : $PR(u)\; =\; \backslash sum\_\{v\; \backslash in\; B\_u\}\; \backslash frac\{PR(v)\}\{L(v)\}$^[9]
• 즉, 페이지 '''u'''의 페이지랭크 값은 페이지 '''u'''에 링크하는 모든 페이지('''B_u''')의 페이지랭크 값을 해당 페이지의 링크 수 ''L''(''v'')로 나눈 값의 합이다.^[10]

페이지랭크 알고리즘의 핵심 아이디어는 인용을 기반으로 한 학술논문 평가와 유사하다.^[11]

• 중요한 논문은 많은 사람들에게 인용되므로 피인용 수가 많아진다. 마찬가지로, 중요한 웹페이지는 많은 페이지에서 링크된다.^[12]
• 피인용 수가 많은 논문에서 인용하는 논문은 중요도가 높다. 웹페이지의 경우에도 중요한 페이지에서의 링크는 가치가 높다.^[13]
• 그러나 무분별한 링크는 가치가 낮다. 링크 목록처럼 많은 링크를 만드는 것이 목적인 경우, 링크 대상 웹페이지에 주목한다고 보기 어렵다.^[14]

페이지랭크는 이러한 아이디어를 수억~수십억 페이지에 달하는 웹페이지의 링크 관계에 적용한 것이다.^[15] 이 방법을 통해 서로 링크만 하는 사이트의 중요도를 낮추고, 링크 목록처럼 많은 링크를 가진 사이트로부터의 링크 중요도를 상대적으로 낮추는 효과가 있다.^[16]

페이지랭크의 수학적 표현은 다음과 같다.^[17]

• 각 페이지는 고유한 점수를 갖는다.^[18]
• 각 링크 또한 고유한 점수를 갖는다.^[19]
• 페이지 X에 대해,^[20]
• X의 점수를 P라고 한다.^[21]
• 다른 페이지에서 X로 향하는 링크의 점수를 각각 $I\_1,\; \backslash dotsc,\; I\_n$이라고 한다.^[22]
• X에서 다른 페이지로 향하는 링크의 점수를 각각 $O\_1,\; \backslash dotsc,\; O\_m$이라고 한다.^[23]
• 이때, 다음이 성립한다.^[24]
• $I\_1\; +\; \backslash dotsb\; +\; I\_n\; =\; P$^[25]
• $O\_1\; =\; \backslash dotsb\; =\; O\_m\; =\; \backslash frac\{P\}\{m\}\; \backslash left(\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; I\_i\}\{m\}\; \backslash right)$^[26]

즉, 각 페이지로 "유입되는" 링크 점수의 총합과 각 페이지에서 "유출되는" 링크 점수의 총합이 같도록 하여, 그 총합을 그 페이지의 점수로 간주한다. 이 점수가 높을수록 그 페이지는 중요하다고 볼 수 있다.^[27]

3. 2. 감쇠 계수 (Damping Factor)

페이지랭크에서 감쇠 계수(Damping Factor)는 사용자가 특정 페이지에서 링크를 클릭하여 다른 페이지로 계속 이동하지 않고, 임의의 다른 페이지로 이동할 확률을 의미한다. 이 확률은 보통 0.85로 설정된다.^[5]

감쇠 계수는 페이지랭크 값을 낮추는 역할을 한다. 페이지랭크는 대부분 다른 페이지의 페이지랭크로부터 계산되기 때문이다. 감쇠 계수를 적용하면, 다른 페이지로부터 받는 영향력이 줄어든다.

페이지랭크 계산식은 다음과 같다.

:$PR(A)\; =\; \{1\; -\; d\; \backslash over\; N\}\; +\; d\; \backslash left(\; \backslash frac\{PR(B)\}\{L(B)\}+\; \backslash frac\{PR(C)\}\{L(C)\}+\; \backslash frac\{PR(D)\}\{L(D)\}+\backslash ,\backslash cdots\; \backslash right).$

• PR(A): 페이지 A의 페이지랭크
• d: 감쇠 계수 (보통 0.85)
• N: 전체 웹 페이지 수
• PR(B), PR(C), PR(D): 페이지 B, C, D의 페이지랭크
• L(B), L(C), L(D): 페이지 B, C, D의 외부 링크 수

위 식에서 (1 - d) / N 항은 사용자가 링크를 따라가지 않고 임의의 페이지로 이동하는 경우를 나타내며, 나머지 항은 링크를 통해 페이지랭크가 전달되는 부분을 나타낸다.

구글의 초기 논문에서는 다음과 같은 다른 공식이 제시되기도 했다.^[5]

:$PR(A)=\; 1\; -\; d\; +\; d\; \backslash left(\; \backslash frac\{PR(B)\}\{L(B)\}+\; \backslash frac\{PR(C)\}\{L(C)\}+\; \backslash frac\{PR(D)\}\{L(D)\}+\backslash ,\backslash cdots\; \backslash right).$

그러나 이 공식은 페이지랭크의 총합을 N(전체 페이지 수)으로 만들기 때문에, 첫 번째 공식이 더 일반적으로 사용된다. 구글 직원들도 첫 번째 공식을 지지한다고 밝혔다.^[5][32]

3. 3. 수학적 표현

페이지 랭크는 그래프 이론을 사용하여 표현할 수 있다. 웹 페이지는 노드로, 하이퍼링크는 에지로 표현되는 유향 그래프를 구성한다. 페이지 랭크는 이 그래프의 인접 행렬을 기반으로 계산되며, 행렬의 고유값과 고유 벡터를 통해 최종 점수를 구한다.

웹 페이지를 노드, 하이퍼링크를 에지로 하는 웹 그래프를 기반으로, cnn.com 또는 mayoclinic.org와 같은 권위 있는 허브를 고려하여 페이지의 중요도를 나타내는 순위 값을 결정한다.^[5] 페이지에 대한 하이퍼링크는 지지 투표로 계산되며, 페이지의 PageRank는 재귀적으로 정의된다. 즉, 해당 페이지로 연결되는 모든 페이지의 수와 PageRank 측정값("인바운드 링크")에 따라 달라진다.^[5]

이러한 발상은 인용에 기반한 학술논문의 평가와 유사하다.

# 학술논문의 중요성을 측정하는 지표로는 피인용 수가 자주 사용된다. 중요한 논문은 많은 사람들에 의해 인용되므로, 피인용 수가 많아질 것이라고 생각된다. 마찬가지로, 주목할 만한 중요한 웹페이지는 많은 페이지에서 링크될 것이라고 생각된다.

# 또한, 피인용 수를 이용하는 생각에 더하여, “피인용 수가 많은 논문에서 인용되고 있는 논문은 중요도가 높다”라는 생각이 이전부터 존재했다. 웹페이지의 경우에도 마찬가지로, 중요한 페이지에서의 링크는 가치가 높다고 생각된다.

# 하지만, 무분별하게 생성된 링크에는 가치가 별로 없다고 생각된다. 링크 목록처럼, 아무튼 많은 링크를 만드는 것을 목적으로 하고 있는 경우에는, 링크 대상 웹페이지에 강하게 주목하고 있다고 말하기는 어렵다.

이를 수억~수십억 페이지에 달하는 웹페이지의 링크 관계에 적용한 것이 PageRank이다. 이 방법을 적용함으로써, 서로 링크만 해주는 사이트의 중요도가 높아지는 것을 막고, 링크 목록처럼 많은 링크를 걸고 있는 사이트로부터의 링크의 중요성을 상대적으로 낮추는 효과가 있다.

간단한 수학적 표현은 다음과 같다.

• 각 페이지는 고유한 점수를 갖는다.
• 각 링크 또한 고유한 점수를 갖는다.
• 페이지 X에 대해,
• X의 점수를 P라고 한다.
• 다른 페이지에서 X로 향하는 링크의 점수를 각각 $I\_1,\; \backslash dotsc,\; I\_n$이라고 한다.
• X에서 다른 페이지로 향하는 링크의 점수를 각각 $O\_1,\; \backslash dotsc,\; O\_m$이라고 한다.
• 이때, 다음이 성립한다고 가정한다.

: $I\_1\; +\; \backslash dotsb\; +\; I\_n\; =\; P$

: $O\_1\; =\; \backslash dotsb\; =\; O\_m\; =\; \backslash frac\{P\}\{m\}\; \backslash left(\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; I\_i\}\{m\}\; \backslash right)$

즉, 각 페이지로 "유입되는" 링크 점수의 총합과 각 페이지에서 "유출되는" 링크 점수의 총합이 같도록 하여, 그 총합을 그 페이지의 점수로 생각하는 것이다. 이 점수가 높을수록 그 페이지는 중요하다고 생각할 수 있다.

이것은 일종의 흐름 문제이며, 이 문제의 해법에 대해서는 다양한 이론이 제시되어 있다.

그래프 이론 용어를 사용하면 다음과 같다.

# WWW 상의 각 페이지를 노드(ノード)로 보고, 링크를 에지(エッジ)로 본 유향 그래프(有向グラフ)를 생각한다.

# 이 유향 그래프의 인접 행렬(隣接行列)을 $A=(a\_\{ij\})$로 하고, 행렬 $B=(b\_\{ij\})$를 $b\_\{ij\}\; =\; a\_\{ji\}\; \backslash bigg/\; \backslash textstyle\backslash sum\_\{k\}\; a\_\{jk\}$로 정의한다.

# 행렬 $(1-d)J\_N/N+dB$의 최대 고유값(固有値)에 속하는 고유 벡터(固有ベクトル)를 구한다. 여기서 $J\_N$는 요소가 모두 1인 $N\backslash times\; N$ 행렬이다. 고유 벡터의 각 요소의 값이 구해야 할 각 페이지의 점수이다.

여기서 $B$는 $A$의 전치 행렬(転置行列) $A^T$의 각 요소를 그 열의 영이 아닌 요소의 수로 나눈 것이다. 따라서 $B$의 각 열의 합은 1이 된다.

$B$는 '''전이 확률 행렬'''이라고 불리며, 어떤 페이지에서 어떤 페이지로 링크에 의해 점프하는 확률을 나타내는 것으로 생각할 수 있다.

페이지 A의 페이지랭크 PR(A)는 다음 식으로 정의된다.^[5]

:$PR\backslash left(A\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1-d\}\{N\}\; +\; d\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{PR\backslash left(T\_i\; \backslash right)\}\{C\backslash left(T\_i\; \backslash right)\}$

• $PR\backslash left(T\_n\backslash right)$: 페이지 A에 링크하고 있는 페이지 $T\_n$의 페이지랭크. 만약 페이지 A에 3개의 페이지가 링크하고 있다면, $T\_1$부터 $T\_3$까지 각 페이지를 나타낸다.
• $C\backslash left(T\_n\backslash right)$: 페이지 $T\_n$에 포함된 다른 페이지로의 링크의 총 수.
• $d$: 감쇠 계수(damping factor). 일반적으로 0.85로 설정되지만, 인위적으로 페이지랭크를 높이려는 경우에는 더 작은 값으로 설정된다. (항상 $0\; \backslash le\; d\; \backslash le\; 1$)

4. 계산

페이지랭크 알고리즘은 사용자가 링크를 무작위로 클릭할 때 특정 페이지에 도달할 가능성을 나타내는 확률 분포를 출력한다. PageRank는 어떤 크기의 문서 집합에도 계산될 수 있으며, 계산 과정이 시작될 때 분포가 집합 내 모든 문서에 고르게 분배된다고 가정한다. PageRank 계산에는 여러 번의 "반복"이 필요하다.

확률은 0과 1 사이의 숫자 값으로 표현된다. 0.5의 확률은 어떤 일이 일어날 "50%의 가능성"을 의미한다. 따라서 PageRank가 0.5인 문서는 무작위 링크를 클릭하는 사람이 해당 문서로 이동할 가능성이 50%임을 의미한다.

PageRank는 반복적 방법이나 대수적 방법으로 계산될 수 있다. 반복적 방법은 멱법^[35][36] 또는 멱승법이라고도 하며, 기본적인 수학적 연산은 동일하다.

4. 1. 반복적 방법

4. 2. 멱법 (Power Method)

5. 변형

무향 그래프 $G$의 페이지랭크는 통계적으로 그래프 $G$의 차수 분포와 가깝지만, 일반적으로 동일하지 않다.^[37] 페이지랭크 벡터를 $R$, 차수 분포 벡터를 $D$라고 하면, 다음과 같다.

:$$

D = {1\over 2|E|}

\begin{bmatrix}

\deg(p_1) \\

\deg(p_2) \\

\vdots \\

\deg(p_N)

\end{bmatrix}



여기서 $\backslash deg(p\_i)$는 정점 $p\_i$의 차수를 나타내고, $E$는 그래프의 변 집합이다. $Y=\{1\backslash over\; N\}\backslash mathbf\{1\}$이라고 하면,^[38] 다음이 성립한다.

:$\{1-d\backslash over1+d\}\backslash |Y-D\backslash |\_1\backslash leq\; \backslash |R-D\backslash |\_1\backslash leq\; \backslash |Y-D\backslash |\_1,$

즉, 무향 그래프의 페이지랭크는 그래프가 정규 그래프, 즉 모든 정점이 같은 차수를 가질 때에만 차수 분포 벡터와 같다.

다우굴리스는 두 종류의 상호 작용하는 객체를 순위 매기는 경우에 대한 페이지랭크의 일반화를 설명했다.^[39] 응용 프로그램에서는 두 종류의 객체를 가지는 시스템을 모델링해야 할 필요가 있을 수 있으며, 객체 쌍에 가중치 관계가 정의된다. 이는 이분 그래프를 고려하게 한다. 이러한 그래프의 경우, 정점 분할 집합에 해당하는 두 개의 관련된 양수 또는 비음의 기약 행렬을 정의할 수 있다. 두 그룹 모두에서 객체의 순위를 이러한 행렬의 최대 양수 고유값에 해당하는 고유벡터로 계산할 수 있다. 페론 또는 페론-프로베니우스 정리에 따라 정규화된 고유벡터는 존재하며 유일하다. 예를 들어 소비자와 제품을 들 수 있는데, 관계 가중치는 제품 소비율이다.

페이지 내용과 검색어에 따라 확률적으로 페이지를 이동하는 더 지능적인 서퍼 모델도 있다. 이 모델은 페이지의 쿼리 종속 페이지랭크 점수를 기반으로 하며, 이름에서 알 수 있듯이 쿼리의 함수이기도 하다. 다중 항 쿼리 $Q=\backslash \{q1,q2,\backslash cdots\backslash \}$가 주어지면, 서퍼는 어떤 확률 분포 $P(q)$에 따라 $q$를 선택하고, 많은 단계 동안 해당 항을 사용하여 동작을 안내한다. 그런 다음 분포에 따라 다른 항을 선택하여 동작을 결정하는 식으로 진행한다. 방문한 웹 페이지에 대한 결과 분포는 QD-페이지랭크이다.^[56]

6. 응용

페이지랭크의 수학적 원리는 일반적이어서, 어떤 영역의 그래프나 네트워크에도 적용 가능하다. 따라서 출판물 분석, 사회 및 정보 네트워크 분석, 링크 예측 및 추천에 사용된다.^[57] 또한 도로 네트워크의 시스템 분석과 생물학, 화학, 신경과학, 물리학에도 사용된다.^[57]

스포츠 분야에서는 NFL 팀 순위,^[71] 축구 및 다이아몬드 리그 선수 순위^[72][73]를 매기는 데 활용된다. 그 외에도 공간이나 도로에 얼마나 많은 사람(보행자나 차량)이 오는지 예측하고,^[74][75] 단어 의미 분석,^[76] 의미적 유사성,^[77] 워드넷 동의어 집합 순위^[78] 결정, 교통 시스템 분석^[79] 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

6. 1. 학술 연구

6. 2. 인터넷

6. 3. 기타 응용

• 스포츠:

• 공간 및 도로: 공간이나 도로에 얼마나 많은 사람(보행자나 차량)이 오는지 예측하는 데 사용된다.^[74][75]

• 어휘 의미론: 단어 의미 분석,^[76] 의미적 유사성,^[77] 워드넷 동의어 집합 순위^[78] 등에 사용된다.

• 교통 시스템 분석: 교통 시스템의 주요 상태를 식별하고 탐색하는 데 활용된다.^[79]

7. 한계 및 문제점

페이지랭크는 검색 엔진 최적화(SEO)를 위해 조작될 수 있다는 한계가 있었다. 예를 들어, 리다이렉션을 이용하여 낮은 페이지랭크의 페이지가 높은 페이지랭크를 얻도록 조작할 수 있었다.^[46] 또한, 일부 회사들은 높은 페이지랭크를 가진 페이지의 링크를 판매하기도 했는데, 이는 페이지랭크의 신뢰성을 떨어뜨리는 요인이었다.^[53] 구글은 이러한 조작에 대응하기 위해 유료 링크에 nofollow 속성을 사용하도록 권고하고, 새로운 유형의 태그를 도입하는 등의 노력을 기울였다.^[53][54]

7. 1. 페이지랭크 조작

8. Nofollow

2005년 초, 구글은 HTML 링크 및 앵커 요소의 rel 속성에 "nofollow"라는 새로운 값을 구현했다.^[80] 이를 통해 웹사이트 개발자와 블로그 작성자는 구글이 페이지랭크를 계산할 때 고려하지 않는 링크를 만들 수 있게 되었다. 즉, 페이지랭크 시스템에서 더 이상 "투표"로 간주되지 않는 링크이다. nofollow 관계는 스팸덱싱과의 싸움을 돕기 위해 추가되었다.

예를 들어, 이전에는 사람들이 자신의 웹사이트 링크가 포함된 많은 게시판 게시글을 만들어 페이지랭크를 인위적으로 높일 수 있었다. nofollow 값을 사용하면 게시판 관리자는 코드를 수정하여 게시글의 모든 하이퍼링크에 "rel='nofollow'"를 자동으로 삽입하여 해당 게시글이 페이지랭크에 영향을 미치는 것을 방지할 수 있다. 그러나 이러한 회피 방법은 정당한 댓글의 링크 가치를 감소시키는 등 여러 가지 단점도 있다. (참조: 블로그 스팸#nofollow)

웹사이트 내 페이지 간의 페이지랭크 흐름을 수동으로 제어하기 위해 많은 웹마스터는 페이지랭크 조각(PageRank Sculpting)^[81]이라고 알려진 방법을 사용한다. 이는 웹마스터가 가장 중요하다고 생각하는 페이지로 페이지랭크를 유도하기 위해 전략적으로 웹사이트의 특정 내부 링크에 nofollow 속성을 배치하는 행위이다. 이 전술은 nofollow 속성이 처음 도입된 이후로 사용되어 왔지만, 구글이 nofollow를 사용하여 페이지랭크 전달을 차단해도 그 페이지랭크가 다른 링크로 리다이렉트되지 않는다고 발표한 이후로는 더 이상 효과적이지 않을 수 있다.^[82]

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