폴 코언

3. 주요 업적

코헨은 강제법이라는 수학 기법을 개발하여 연속체 가설(CH)과 선택 공리가 표준 체르멜로-프렝켈 집합론 공리계(ZF)에서 증명될 수 없음을 보였다.^[11] 괴델의 초기 연구와 함께, 이 두 명제가 ZF 공리계에 대해 논리적으로 독립적임을 증명했다. 즉, 이 명제들은 ZF 공리계에서 증명되거나 반증될 수 없다. 이런 의미에서 연속체 가설은 결정 불가능하며, ZF 공리계와 독립적인 자연스러운 명제의 가장 잘 알려진 예이다.^[11]

연속체 가설에 대한 업적으로 코헨은 1966년 필즈상을 받았고, 1967년에는 미국 국가과학메달을 받았다.^[11] 2022년 기준으로 코헨이 받은 필즈상은 수리 논리학 분야에서 유일하다.

집합론 외에도 코헨은 해석학에도 중요한 기여를 했다. 1964년 논문 "리틀우드의 추측과 멱등 측도에 관하여"로 해석학 분야 보셰 기념상을 받았고, 코헨-휴잇 인수정리에 그의 이름이 붙었다.

런던 퀸 메리 대학교의 앵거스 매킨타이어는 코헨을 "놀라울 정도로 영리한" 인물로 평하며, "1960년대의 저를 알고 있던 사람이라면 순진하거나 매우 이타적이어야만 자신의 '가장 어려운 문제'를 폴에게 맡겼을 것이다"라고 말했다.^[12] 그는 코헨을 괴델과 비교하며 "그들의 연구보다 더 극적인 일은 이 분야 역사상 일어난 적이 없다"라고 덧붙였다.^[12] 괴델은 1963년 코헨에게 보낸 편지에서 "연속체 가설의 독립성 증명을 읽고 정말 기뻤습니다. 모든 중요한 면에서 당신이 최상의 증명을 제시했다고 생각하며, 이런 일은 자주 일어나지 않습니다. 당신의 증명을 읽는 것은 정말 좋은 연극을 보는 것과 비슷했습니다"라고 썼다.^[13]

코헨은 1985년, 연속체 가설을 연구하면서 "사람들이 집합론 모델을 구성하는 새로운 방법이 없기 때문에 문제가 해결 불가능하다고 생각한다는 느낌을 받았다. 실제로 그들은 그 문제에 대해 생각하는 것조차 약간 미친 짓이라고 생각했다"고 말했다.^[14]

코헨은 연속체 가설에 대해, 무한 공리를 받아들이는 이유는 하나의 집합을 추가하는 과정이 전체 우주를 고갈시킬 수 없다고 생각하기 때문이며, 더 높은 무한 공리도 마찬가지라고 보았다. 그는 멱집합 공리로 생성되는 집합 C(연속체)는 더 큰 기수에 대한 어떤 설명으로도 도달할 수 없다고 생각했다. 따라서 C는 $\backslash aleph\_n,\; \backslash aleph\_\backslash omega,\; \backslash aleph\_a$보다 크며, 여기서 $a\; =\; \backslash aleph\_\backslash omega$ 등이다. 이 관점은 C를 대담한 새 공리에 의해 주어진 풍부한 집합으로 간주하며, 어떤 조각적인 구성으로도 접근할 수 없다고 보았다.^[14]

코헨 연구의 “지속적이고 강력한 산출물”이자 “수많은 수학자들”^[14]이 사용하는 “강제법”은 주어진 가설의 참/거짓을 검증하기 위한 수학적 모델 구성에 사용된다.

힐베르트의 23가지 문제 중 첫 번째 문제인 연속체 가설은 쿠르트 괴델이 무모순성을 증명했지만, 코헨은 강제법으로 ZFC와 연속체 가설의 독립성을 증명했다. 이 업적으로 코헨은 1966년 필즈상, 1967년 미국 국가과학상을 받았다.

4. 학문적 영향

폴 코언은 강제법이라는 수학 기법을 개발하여, 연속체 가설(CH)과 선택 공리가 표준적인 체르멜로-프렝켈 집합론 공리계(ZF)로부터 증명될 수 없다는 것을 증명했다. 이는 괴델의 초기 연구와 함께 이 두 명제가 ZF 공리계에 대해 논리적으로 독립적임을 보여주었다. 다시 말해, 이러한 명제들은 ZF 공리계로부터 증명되거나 반증될 수 없다. 이러한 의미에서 연속체 가설은 결정 불가능하며, 표준적인 ZF 집합론 공리계와 독립적인 자연스러운 명제의 가장 잘 알려진 예이다.^[11]

연속체 가설에 대한 업적으로 코언은 1966년 수학 분야의 필즈상을 수상했고, 1967년에는 미국 국가과학메달을 받았다.^[11] 2022년 기준으로 코언이 수상한 필즈상은 수리 논리학 분야의 업적으로 수여된 유일한 필즈상이다.

집합론 분야의 업적 외에도 코언은 해석학에도 많은 중요한 기여를 했다. 그는 1964년 해석학 분야의 보셰 기념상을 수상했으며, 코헨-휴잇 인수정리에 그의 이름이 붙어 있다.

코언은 스탠퍼드 대학교의 정교수였으며, 1962년 스톡홀름과 1966년 모스크바에서 열린 ICM에 초청 연사로 참석했다.

런던 퀸 메리 대학교의 앵거스 매킨타이어는 코언에 대해 "그는 놀라울 정도로 영리했고, 1960년대의 저를 알고 있던 사람이라면 순진하거나 매우 이타적이어야만 자신의 '가장 어려운 문제'를 폴에게 맡겼을 것이다."라고 말했다. 그는 이어 코헨을 괴델과 비교하며 "그들의 연구보다 더 극적인 일은 이 분야 역사상 일어난 적이 없다"라고 말했다.^[12] 괴델 자신도 1963년 코헨에게 편지를 썼는데, 그 초안에는 "연속체 가설의 독립성 증명을 읽은 것이 정말 기쁘다는 것을 다시 한번 말씀드립니다. 저는 모든 중요한 면에서 당신이 최상의 증명을 제시했다고 생각하며, 이런 일은 자주 일어나지 않습니다. 당신의 증명을 읽는 것은 정말 좋은 연극을 보는 것과 비슷한 즐거움을 주었습니다."라고 적혀 있었다.^[13]

연속체 가설을 연구하는 동안 코언은 1985년에 "사람들이 집합론 모델을 구성하는 새로운 방법이 없기 때문에 문제가 해결 불가능하다고 생각한다는 느낌을 받았다. 실제로 그들은 그 문제에 대해 생각하는 것조차 약간 미친 짓이라고 생각했다."고 말했다.^[14]

코언은 연속체 가설이 거짓이라고 생각했으며, 멱집합 공리를 통해 만들어진 연속체가 다른 어떤 구성 과정으로도 도달할 수 없는 엄청나게 풍부한 집합이라고 보았다.

연속체 가설에 대한 코헨의 연구의 “지속적이고 강력한 산출물”이며, “수많은 수학자들”^[14]에 의해 사용된 것은 “강제법”으로 알려져 있으며, 주어진 가설의 참 또는 거짓을 검증하기 위해 수학적 모델을 구성하는 데 사용된다.

코언은 사망 직전 비엔나에서 열린 2006년 괴델 탄생 100주년 기념 회의에서 연속체 가설 문제에 대한 자신의 해결책을 설명하는 강연을 했다.^[15]

5. 저서

• On the theory of uniqueness of trigonometric series^영어 (삼각 급수의 유일성 이론에 관한 주제)
• On a conjecture of Littlewood and idempotent measures^영어 (리틀우드의 추측과 멱등 측도에 관하여), ''Amer. J. Math.'' 82 (2), 1960년
• The independence of the continuum hypothesis^영어 (연속체 가설의 독립성), ''미국 국립 과학원 회보 (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America)'' 50 (6), 1963년 12월
• The independence of the continuum hypothesis, II^영어 (연속체 가설의 독립성, II), ''미국 국립 과학원 회보 (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America)'' 51 (1), 1964년 1월
• Set Theory and the Continuum Hypothesis^영어 (집합론과 연속체 가설), 1966년, 도버 출판사, 2008년 재출간, ISBN 978-0-486-46921-8
• 連続体仮説^일본어 (연속체 가설), 근조 기요시/사카이 히데토시/사와구치 아키쓰구 역, 도쿄 도서, 1990년 10월. ISBN 4-489-00339-0

참조

_[1] 뉴스 Paul Cohen, winner of world's top mathematics prize, dies at 72 http://news-service.[...] Stanford Report 2007-03-28
_[2] 뉴스 Paul J. Cohen, Mathematics Trailblazer, Dies at 72 https://www.nytimes.[...] 2007-04-02
_[3] 웹사이트 Paul Joseph Cohen http://old.lms.ac.uk[...] 2011-03-03
_[4] 논문 More Mathematical People Harcourt Brace Jovanovich
_[5] 웹사이트 Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometrical Series https://www.proquest[...] 2024-11-02
_[6] MacTutor Biography Paul Joseph Cohen
_[7] 웹사이트 Paul Joseph Cohen https://www.amacad.o[...] 2022-08-22
_[8] 웹사이트 Paul J. Cohen http://www.nasonline[...] 2022-08-22
_[9] 웹사이트 APS Member History https://search.amphi[...] 2022-08-22
_[10] 웹사이트 Honorary doctorates - Uppsala University, Sweden http://www.uu.se/en/[...] 2018-03-21
_[11] 웹사이트 The President's National Medal of Science: Recipient Details - NSF - National Science Foundation https://www.nsf.gov/[...] 2018-03-21
_[12] 뉴스 Paul Cohen -- Stanford professor, acclaimed mathematician http://www.sfgate.co[...] 2007-03-30
_[13] 논문 The Gödel Editorial Project: A synopsis http://math.stanford[...]
_[14] 뉴스 Paul J. Cohen, Mathematics Trailblazer, Dies at 72 https://www.nytimes.[...] 2007-04-02
_[15] Youtube Paul Cohen lecture video, six parts, Gödel Centennial, Vienna 2006
_[16] 뉴스 Paul J. Cohen, Mathematics Trailblazer, Dies at 72 https://www.nytimes.[...] 2007-04-02
_[17] 웹사이트 Stanford University https://news.stanfor[...]