힐베르트 문제

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 주요 문제 목록
- 3.1. 연속체 가설 (1번 문제)
- 3.2. 산술의 무모순성 (2번 문제)
4. 문제 해결 현황 및 의의
5. 힐베르트 문제와 한국 수학
참조

1. 개요

힐베르트 문제는 1900년 다비트 힐베르트가 제2회 국제 수학자 대회에서 발표한 23개의 미해결 수학 문제 목록이다. 이 문제들은 수론, 대수학, 기하학, 해석학 등 다양한 수학 분야를 아우르며, 20세기 수학 연구의 방향을 제시하고 새로운 발견을 촉진하는 데 큰 영향을 미쳤다. 힐베르트 문제는 해결되었거나 부분적으로 해결되었으며, 일부는 미해결 상태로 남아있고, 24번째 문제는 힐베르트의 수기에서 발견되었다. 힐베르트 문제의 해결 과정에서 새로운 수학 분야가 탄생하고 기존 분야가 발전하는 계기가 되었으며, 20세기 수학 연구의 주요 방향을 설정하는 데 기여했다.

2. 역사적 배경

1900년 8월 8일, 파리에서 열린 제2회 국제 수학자 대회(ICM)에서 힐베르트는 23개의 문제 중 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22번)를 공개했고,^[34] 나머지 문제들은 이후 출판된 힐베르트의 저작에서 발표되었다.^[34] 힐베르트는 이 문제들을 통해 당대 수학의 핵심적인 문제들을 제시하고, 수학 연구의 방향을 제시하고자 했다.

힐베르트가 제시한 문제들은 수론, 대수학, 기하학, 해석학 등 다양한 분야를 아우르는 것이었다. 이 문제들은 이후 100년이 넘는 기간 동안 수학자들의 연구 대상이 되었으며, 일부는 해결되었고 일부는 여전히 미해결 문제로 남아있다.

힐베르트는 당시 수학계에서 명성이 높았고, 괴팅겐 대학교에서 뛰어난 학파를 이끌었다. 그러나 당시의 수학은 아직 체계가 덜 잡혀 있었고, 언어를 기호로, 직관을 공리로 바꾸는 경향은 다음 세대 수학자들에 의해 받아들여지게 된다.

1900년의 힐베르트는 공리적 집합론, 르베그 적분, 위상 공간, 처치의 명제와 같은 개념들을 알지 못했다. 함수해석학은 힐베르트 공간을 발견한 힐베르트 자신에 의해 기초가 다져졌지만, 당시에는 변분법과의 명확한 구별이 없었다.

이러한 점에서 힐베르트의 목록은 위상 기하학, 군론, 측도론이 20세기에 급속도로 발전할 것을 예측하지 못했고, 수리 논리학의 발전 방향과도 달랐다. 따라서 목록의 직접적인 가치는 부분적이고 개인적인 논설로서, 몇몇 연구 프로그램과 미해결된 조사를 나타낸 것에 불과하다고 할 수 있다.

힐베르트가 사용한 표현 때문에 문제의 정확한 의도에 대한 해석의 여지가 있을 수 있다. 유클리드 기하의 공식화에서 시작하여 프린키피아 마테마티카를 거쳐 부르바키에 이르기까지 순수 수학에 공리적인 기초가 주입되기 전이었다. 제1문제와 제5문제는 기술이 충분히 명료하지 않아 미해결 상태라고 볼 수도 있다.

제12문제와 같은 경우, 힐베르트의 목표가 명확하게 쓰여 있는지, 아니면 단순히 어중간한 예상을 나타낸 것뿐인지에 대한 논란이 있다. Rowe & Gray에 따르면, 몇몇 문제는 완전히 정의되지 않았지만 충분한 진보가 이루어져 "해결된" 것으로 간주될 수 있게 되었다.

그럼에도 불구하고, 힐베르트의 목록은 당시 수학자 커뮤니티에 의해 빠르게 받아들여졌다. 문제들은 면밀히 연구되었고, 하나라도 해결하면 명성을 얻을 수 있었다. 힐베르트는 명확성을 요구했고, 알고리즘적인 질문에 대해서는 실제 알고리즘이 아닌 원리적인 해결을, 비전문가에게는 이해하기 어려운 직관에 의해 이끌어진 분야(슈베르트 기하 및 수론 기하)에 대해서는 확실한 기초를 요구했다.

힐베르트의 문제들은 20세기 수학 연구의 방향을 설정하는 데 큰 영향을 미쳤다.^[42]

2. 1. 19세기 말 수학계의 상황

고틀로프 프레게와 버트런드 러셀의 영향을 받은 힐베르트는 합의된 공리 집합으로부터의 유한주의적 수학적 증명을 사용하여 수학을 논리적으로 정의하려 했다.^[4] 힐베르트의 프로그램의 주요 목표 중 하나는 산술 공리의 무모순성을 유한주의적으로 증명하는 것이었고, 이것이 그의 두 번째 문제였다.

그러나 괴델의 불완전성 정리는 산술의 무모순성에 대한 그러한 유한주의적 증명이 불가능하다는 것을 보여주었다. 힐베르트는 쿠르트 괴델이 그의 정리를 발표한 후 12년 동안 살았지만, 괴델의 연구에 대한 공식적인 반응을 보이지는 않았다.

힐베르트의 열 번째 문제는 디오판토스 방정식의 해를 찾는 알고리즘의 존재 여부를 묻는 것이 아니라, 그러한 알고리즘의 ''구축''을 요구했다. 이 문제는 그러한 알고리즘이 존재할 수 없다는 것을 증명함으로써 해결되었는데, 이는 힐베르트의 수학 철학과 모순된다.

힐베르트는 모든 수학적 문제는 해결책을 가져야 한다고 믿었으며, 해결책이 원래 문제가 불가능하다는 증명이 될 수 있다는 가능성도 인정했다.^[7] 그는 중요한 것은 해결책이 무엇인지 아는 것이고, 수학에는 "알 수 없음(그 진실을 결코 알 수 없는 명제)"이 없다고 믿었다.^[8]

반면, 첫 번째 및 두 번째 문제의 지위는 더 복잡하다. 괴델의 결과(두 번째 문제) 또는 괴델과 코헨의 결과(첫 번째 문제)가 결정적인 부정적 해결책을 제공하는지 여부에 대해 명확한 수학적 합의가 없다. 이는 이러한 해결책이 문제의 특정 형식화에 적용되기 때문이며, 반드시 유일한 가능한 형식화는 아니다.

힐베르트는 당시 수학계에서 명성이 높았고, 괴팅겐 대학교에서 뛰어난 학파를 이끌었다. 그러나 당시의 수학은 아직 체계가 덜 잡혀 있었고, 언어를 기호로, 직관을 공리로 바꾸는 경향은 다음 세대 수학자들에 의해 강력하게 받아들여지게 된다.

1900년의 힐베르트는 공리적 집합론, 르베그 적분, 위상 공간 또는 처치의 명제와 같은 개념들을 알지 못했다. 함수해석학은 힐베르트 공간을 발견한 힐베르트 자신에 의해 기초가 다져졌지만, 당시에는 변분법과의 명확한 구별이 없었다.

이러한 점에서 힐베르트의 목록은 위상 기하학, 군론, 측도론이 20세기에 급속도로 발전할 것을 예측하지 못했고, 수리 논리학의 발전 방향과도 달랐다. 따라서 목록의 직접적인 가치는 부분적이고 개인적인 논설로서, 몇몇 연구 프로그램과 미해결된 조사를 나타낸 것에 불과하다고 할 수 있다.

힐베르트가 사용한 표현 때문에 문제의 정확한 의도에 대한 해석의 여지가 있을 수 있다. 유클리드 기하의 공식화에서 시작하여 프린키피아 마테마티카를 거쳐 부르바키에 이르기까지 순수 수학에 공리적인 기초가 주입되기 전이었다. 제1문제와 제5문제는 기술이 충분히 명료하지 않아 미해결 상태라고 볼 수도 있다.

제12문제와 같은 경우, 힐베르트의 목표가 명확하게 쓰여 있는지, 아니면 단순히 어중간한 예상을 나타낸 것뿐인지에 대한 논란이 있다. Rowe & Gray에 따르면, 몇몇 문제는 완전히 정의되지 않았지만 충분한 진보가 이루어져 "해결된" 것으로 간주될 수 있게 되었다.

그럼에도 불구하고, 힐베르트의 목록은 당시 수학자 커뮤니티에 의해 빠르게 받아들여졌다. 문제들은 면밀히 연구되었고, 하나라도 해결하면 명성을 얻을 수 있었다.

문제 내용뿐만 아니라 그 스타일도 영향력이 있었다. 힐베르트는 명확성을 요구했고, 알고리즘적인 질문에 대해서는 실제 알고리즘이 아닌 원리적인 해결을, 비전문가에게는 이해하기 어려운 직관에 의해 이끌어진 분야(슈베르트 기하 및 수론 기하)에 대해서는 확실한 기초를 요구했다.

2. 2. 힐베르트의 문제 발표 (1900년)

1900년 8월 8일, 파리에서 개최된 제2회 국제 수학자 대회(ICM)에서 힐베르트는 자신의 23문제 중 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22번)를 공개했다.^[34] 나머지 문제들은 이후 출판된 힐베르트의 저작에서 발표되었다.^[34] 힐베르트는 이 문제들을 통해 당대 수학의 핵심적인 문제들을 제시하고, 수학 연구의 방향을 제시하고자 했다.

힐베르트가 제시한 문제들은 수론, 대수학, 기하학, 해석학 등 다양한 분야를 아우르는 것이었다. 이 문제들은 이후 100년이 넘는 기간 동안 수학자들의 연구 대상이 되었으며, 일부는 해결되었고 일부는 여전히 미해결 문제로 남아있다.

원래 힐베르트는 24개의 문제를 준비했지만, 발표에서는 23개의 문제만 공개했다. 생략되었던 24번째 문제(간결성과 종합적인 방법의 평가 기준에 관한 증명론)는 2000년에 독일의 역사학자 뤼디거 틸레에 의해 힐베르트의 수기에서 발견되었다.^[35]

2. 3. 힐베르트 문제의 영향

힐베르트의 문제들은 20세기 수학 연구의 방향을 설정하는 데 큰 영향을 미쳤다. 많은 수학자들이 이 문제들을 해결하기 위해 노력했으며, 그 과정에서 새로운 수학 분야가 탄생하고 기존 분야가 발전하는 계기가 되었다.^[42]

몇몇 문제는 해결되었지만(3, 7, 10, 17, 18, 19, 20, 21, 22번), 여전히 미해결 상태로 남아있는 문제들(8, 12, 16번)도 있으며, 이는 현대 수학 연구의 중요한 과제로 남아있다. 특히, 리만 가설(8번 문제)은 힐베르트 문제 목록, 스메일의 목록, 밀레니엄 문제 목록, 심지어 베유 추측에서도 기하학적 형태로 나타날 정도로 중요하게 다루어진다. 힐베르트는 "만약 내가 천 년 동안 잠든 후 깨어난다면, 나의 첫 번째 질문은 이것일 것이다: 리만 가설이 증명되었는가?"라고 말할 정도로 리만 가설의 중요성을 강조했다.^[13]

1900년 이후, 수학자들과 수학 단체들이 여러 문제 목록을 발표했지만, 힐베르트 문제만큼 큰 영향력을 미치거나 많은 연구를 생성하지는 못했다. 예외적으로, 1940년대 후반 앙드레 베유가 제기한 세 가지 추측(베유 추측)은 대수 기하학, 수론 및 이 두 분야 간의 연결에서 매우 중요했다.^[10]^[11] 알렉산더 그로텐디크와 피에르 들리뉴는 베유 추측을 증명하여 필즈상을 수상했다.

폴 에르되시는 수백 개의 수학적 문제를 제기하고, 문제의 난이도에 따라 금전적 보상을 제공하기도 했다.^[12]

2000년에는 힐베르트 문제 발표 100주년을 기념하여 클레이 수학 연구소가 일곱 개의 밀레니엄 문제 목록을 선정하고, 각 문제에 100만 달러의 현상금을 걸었다. 푸앵카레 추측은 비교적 빨리 해결되었다.

2008년, DARPA는 주요 수학적 돌파구를 이끌어내기 위해 자체적인 23개의 문제 목록을 발표했다.^[14]^[15] 이 목록에는 리만 가설 등 힐베르트 문제의 일부도 포함되어 있다.

힐베르트 문제는 당시 수학의 한계를 드러내기도 했다. 1900년의 힐베르트는 공리적 집합론, 르베그 적분, 위상 공간, 처치의 명제 등을 이용할 수 없었다. 함수 해석은 힐베르트 공간을 발견한 힐베르트 자신에 의해 기초가 다져졌지만, 당시에는 변분법과의 명확한 구별이 이루어지지 않았다.

힐베르트의 목록은 위상 기하학, 군론, 측도론의 발전을 예측하지 못했고, 수리 논리학의 발전 방향과도 달랐다. 따라서, 목록 자체는 부분적이고 개인적인 논설로서의 가치를 지닌다고 볼 수 있다.

힐베르트가 사용한 용어는 문제의 해석에 여지를 남기기도 했다. 유클리드 기하학의 공식화부터 프린키피아 마테마티카, 부르바키에 이르기까지 순수 수학에 공리적인 기초가 주입되기 전이었기 때문이다.

문제 내용뿐만 아니라, 힐베르트의 명확성에 대한 요구, 알고리즘적인 질문에 대한 원리적인 해결, 직관에 의해 이끌어진 분야에 대한 확실한 기초 요구 등의 스타일도 큰 영향을 미쳤다.

힐베르트는 아돌프 후르비츠, 헤르만 민코프스키와 같은 친구들의 영향을 받았다. 그는 민코프스키의 수의 기하학(문제 18)과 이차 형식(문제 11) 연구에 찬사를 보냈다. 후르비츠는 리만 면 이론을 발전시켰다. 힐베르트는 대수적 정수론의 기하학적 지침으로서 함수체와의 유추를 원용했는데, 이는 문제 9, 12, 21, 22에 반영되어 있다.

3. 주요 문제 목록

다음은 힐베르트가 제시한 23가지 문제 목록이다. 이 문제들은 1900년 파리에서 열린 제2회 국제 수학자 대회(ICM)에서 발표되었다.^[34] 힐베르트는 이 강연에서 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22번)를 공개했고, 나머지 문제들은 이후 출판물을 통해 알려졌다.^[34]

힐베르트의 23문제
문제 번호	내용 요약	현재 상태	해결 연도
1	연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.	체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.	1963년
2	산술의 공리들이 무모순임을 증명하라.	쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다.	1936년
3	부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한 개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?	부정적으로 해결.	1900년
4	측지선이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾아라.	해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.^[42]
5	연속군은 언제나 미분군인가?	문제를 어떻게 해석하는지에 따라 해결 여부가 달라진다.	1953?
6	물리학 전체를 공리화하라.	문제를 어떻게 보느냐에 해결 여부가 다름.
7	a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, a^b은 초월수인가?	긍정적으로 해결. 겔폰트-슈나이더 정리 참고.	1935년
8		둘 다 미해결.
9	모든 대수적 수체에 대해 일반화된 상호 법칙을 찾으라.	부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확대에 대해서는 해결되었으나 (아르틴 상호 법칙), 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.
10	임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.	부정적으로 해결. 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.	1970년
11	대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기.	부분적으로 해결됨.
12	유리수체의 아벨 확대에 대해 적용되는 크로네커-베버 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라.	미해결.
13	임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 풀라.	미해결. 2변수 연속 함수를 이용하면 가능하다는 것은 1957년 블라디미르 아르놀트가 증명했지만, 2변수 대수 함수에 대해서는 미해결이다.
14	특수한 완비 함수족의 유한성의 증명.	나가타 마사요시가 반례를 찾아내, 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.	1959년
15	슈베르트 계산법에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.	부분적으로 해결.
16	대수 곡선 및 대수 곡면의 위상	미해결.
17	음이 아닌 실수 계수를 가진 임의의 다변수 다항식을 항상 유리 함수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는가?	해결: 에밀 아르틴이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다.	1927년
18		(1) 첫 번째는 카를 라인하르트에 의해 해결. (2) 두 번째(케플러의 추측)는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결.^[43] 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다.	(1) 1928년 (2) 1998년
19	라그랑지언의 해는 언제나 해석적인가?	긍정적으로 해결: 엔니오 데 조르지가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다.	1957년
20	경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는가?	해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
21	주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하라.	해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
22	보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화.	해결.
23	변분법의 추가적 발전.	증명을 할 수 있는가를 판단하기엔 너무 모호한 명제

각 문제에 대한 간략한 설명은 다음과 같다.

1번 문제: 연속체 가설에 관한 문제이다.
2번 문제: 산술의 공리들이 무모순임을 증명하는 문제이다.
3번 문제: 부피가 같은 두 다면체를 유한 개의 조각으로 분할하여 서로 재조합할 수 있는지 묻는 문제이다.
4번 문제: 측지선이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾는 문제이다.
5번 문제: 연속군이 미분군이 되기 위한 조건을 묻는 문제이다.
6번 문제: 물리학 전체를 공리화하는 문제이다.
7번 문제: a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, a^b의 초월수 여부를 묻는 문제이다.
8번 문제: 리만 가설과 골드바흐 추측을 포함한다.
9번 문제: 모든 대수적 수체에 대해 일반화된 상호 법칙을 찾는 문제이다.
10번 문제: 디오판토스 방정식의 정수해 존재 여부를 판별하는 알고리즘을 제시하는 문제이다.
11번 문제: 대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해를 구하는 문제이다.
12번 문제: 유리수체의 아벨 확대에 대한 크로네커-베버 정리를 임의의 수체로 일반화하는 문제이다.
13번 문제: 임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수로 풀 수 있는지 묻는 문제이다.
14번 문제: 특수한 완비 함수족의 유한성을 증명하는 문제이다.
15번 문제: 슈베르트 계산법의 엄밀한 기초를 제시하는 문제이다.
16번 문제: 대수 곡선과 대수 곡면의 위상을 연구하는 문제이다.
17번 문제: 음이 아닌 실수 계수 다변수 다항식을 유리 함수 제곱의 합으로 나타낼 수 있는지 묻는 문제이다.
18번 문제: 테셀레이션과 구 쌓기에 관한 문제이다.
19번 문제: 라그랑지언의 해가 항상 해석적인지 묻는 문제이다.
20번 문제: 경계값 조건을 갖는 변분법 문제의 해 존재성을 묻는 문제이다.
21번 문제: 주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하는 문제이다.
22번 문제: 보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화에 관한 문제이다.
23번 문제: 변분법의 추가적 발전을 요구하는 문제이다.

3. 1. 연속체 가설 (1번 문제)

연속체 가설은 집합의 기수에 관한 문제로, 정수 집합보다 크고 실수 집합보다 작은 집합이 존재하는지에 대한 질문이다.^[1] 이 문제는 선택 공리를 포함하거나 포함하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론 내에서는 증명하거나 반증할 수 없는 것으로 증명되었다. 이는 체르멜로-프렝켈 집합론이 일관성이 있는 경우, 즉 모순을 포함하지 않는 경우에 해당한다.^[1] 이러한 결과는 1940년 쿠르트 괴델과 1963년 폴 코언의 연구를 통해 밝혀졌다.^[1] 이 문제가 완전히 해결되었는지에 대해서는 의견이 일치하지 않는다.^[1]

3. 2. 산술의 무모순성 (2번 문제)

쿠르트 괴델의 불완전성 정리에 따르면, 산술 체계는 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없다.^[4] 힐베르트는 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀을 따라 형식적 시스템의 방법, 즉 합의된 공리 집합으로부터의 유한주의적 수학적 증명을 사용하여 수학을 논리적으로 정의하려고 하였고, 힐베르트의 프로그램의 주요 목표 중 하나는 산술 공리의 무모순성을 유한주의적으로 증명하는 것이었다.^[4] 그러나 괴델의 불완전성 정리는 산술의 무모순성에 대한 그러한 유한주의적 증명이 증명 불가능하다는 정확한 의미를 제공한다. 힐베르트는 쿠르트 괴델이 그의 정리를 발표한 후 12년 동안 살았지만, 괴델의 연구에 대한 공식적인 반응을 쓴 것 같지는 않다.^[6]

4. 문제 해결 현황 및 의의

힐베르트의 23개 문제는 해결된 문제, 부분적으로 해결된 문제, 미해결 문제로 나눌 수 있다. 이 문제들은 20세기 수학 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 문제 해결을 위한 노력은 새로운 수학 분야의 탄생과 발전을 이끌었다. 폴 코언은 1966년 첫 번째 문제에 대한 연구로 필즈상을 받았고, 유리 마티야세비치는 1970년에 열 번째 문제에 대한 부정적인 해답을 제시하여 (줄리아 로빈슨, 힐러리 퍼트넘, 마틴 데이비스의 연구를 바탕으로) 유사한 찬사를 받았다.

다음은 힐베르트 문제의 해결 현황을 정리한 표이다.

문제 번호	내용 요약	현재 상태	해결 연도
1	연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.	체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.^[40]^[41]	1963년
2	산술의 공리들이 무모순임을 증명하라.	쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 순서수 ε₀ 위에서 정초 관계를 정의할 수 있으면 산술의 무모순성을 증명할 수 있음을 보였다.^[4]	1936년
3	부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한 개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?	부정적으로 해결. 덴이 덴 불변량을 사용하여 증명.	1900년
4	측지선이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾아라.	해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.^[42]
5	연속군은 언제나 미분군인가?	문제를 어떻게 해석하는지에 따라 앤드루 글리슨이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 힐베르트-스미스 추측과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다.	1953?
6	물리학 전체를 공리화하라.	문제를 어떻게 보느냐에 따라 해결 여부가 다르다.^[37]
7	a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, a^b은 초월수인가?	긍정적으로 해결. 겔폰트-슈나이더 정리 참고.	1935년
8		둘 다 미해결.^[35]
9	모든 대수적 수체에 대해 일반화된 상호 법칙을 찾으라.	부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확대에 대해서는 해결되었으나 (아르틴 상호 법칙), 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.^[39]
10	임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.	부정적으로 해결: 마티야세비치의 정리에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.	1970년
11	대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기.	부분적으로 해결됨.
12	유리수체의 아벨 확대에 대해 적용되는 크로네커-베버 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라.	미해결.^[35]
13	임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 풀라.	미해결. 2변수 연속 함수를 이용하면 가능하다는 것은 1957년 블라디미르 아르놀트가 증명했지만, 2변수 대수 함수에 대해서는 미해결이다.^[35]
14	특수한 완비 함수족의 유한성의 증명.	나가타 마사요시가 반례를 찾아내, 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.	1959년
15	슈베르트 계산법에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.	부분적으로 해결.
16	대수 곡선 및 대수 곡면의 위상	미해결.^[35]
17	음이 아닌 실수 계수를 가진 임의의 다변수 다항식을 항상 유리 함수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는가?	해결: 에밀 아르틴이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다.	1927년
18		(1) 첫 번째는 카를 라인하르트에 의해 해결. (2) 두 번째(케플러의 추측)는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결.^[43] 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다.	(1) 1928년 (2) 1998년
19	라그랑지언의 해는 언제나 해석적인가?	긍정적으로 해결: 엔니오 데 조르지가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다.	1957년
20	경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는가?	해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
21	주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하라.	해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
22	보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화.	해결.
23	변분법의 추가적 발전.	증명을 할 수 있는가를 판단하기엔 너무 모호한 명제

힐베르트는 23개의 문제 외에도 24번째 문제를 고려했으나, 최종 목록에는 포함하지 않았다. 이 문제는 증명 이론과 관련된 것으로, 2000년에 힐베르트의 원고에서 발견되었다.^[9]

4. 1. 해결된 문제

힐베르트의 23개 문제 중 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19, 20번 문제는 수학계에서 합의된 해결책이 제시되었다. 각 문제의 해결 과정과 결과는 다음과 같다.

제3문제: 부피가 같은 두 다면체를 유한 개의 조각으로 자른 뒤 붙여서 다른 하나를 만들 수 있는지에 대한 문제였다. 막스 덴이 덴 불변량을 사용하여 부정적으로 해결했다. (1900년)
제7문제: a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, a^b은 초월수인지 묻는 문제였다. 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 긍정적으로 해결되었다. (1935년)
제10문제: 임의의 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 판별하는 알고리즘을 제시하는 문제였다. 마티야세비치의 정리에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다는 것이 증명되어 부정적으로 해결되었다. (1970년)
제14문제: 특수한 완비 함수족의 유한성을 증명하는 문제였다. 나가타 마사요시가 반례를 발견하여 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다. (1959년)
제17문제: 음이 아닌 실수 계수를 가진 다변수 다항식을 유리 함수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는지 묻는 문제였다. 에밀 아르틴이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다. (1927년)
제18문제:
비면추이 타일링으로만 테셀레이션을 할 수 있는 다면체가 존재하는가?
가장 밀도가 높은 공 쌓기는 무엇인가?

첫 번째 문제는 카를 라인하르트에 의해 해결되었고(1928년), 두 번째 문제(케플러의 추측)는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결되었다.(1998년)

제19문제: 라그랑지언의 해는 언제나 해석적인지 묻는 문제였다. 엔니오 데 조르지와 존 포브스 내시가 독자적인 방법으로 증명하여 긍정적으로 해결되었다. (1957년)
제20문제: 경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는지 묻는 문제였다. 20세기 전체에 걸친 연구 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.

4. 2. 부분적으로 해결된 문제

체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명된 1번째 문제^[40]^[41], 쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는 2번째 문제^[4], 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 앤드루 글리슨이 해결했다고 볼 수도 있는 5번째 문제, 물리학 전체를 공리화하는 6번째 문제^[37], 부분적으로 해결된 9번째 문제^[39], 대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해를 구하는 11번째 문제, 슈베르트 계산법에 대한 엄밀한 기초를 제시하는 15번째 문제, 주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식의 존재성을 증명하는 21번째 문제, 보형함수를 이용한 해석적 관계의 균일화 문제인 22번째 문제 등이 이에 해당한다. 이 문제들은 여전히 논쟁의 여지가 있거나, 추가적인 연구가 필요한 상황이다.

4. 3. 미해결 문제

8번 문제 (리만 가설), 12번 문제, 13번 문제, 16번 문제는 여전히 미해결 상태이다.^[35] 이 문제들은 현대 수학의 중요한 연구 과제로 남아있으며, 해결을 위한 노력이 계속되고 있다.

8번 문제 (리만 가설): 리만 제타 함수의 비자명근의 실수부가 항상 1/2인지에 대한 문제이다.
12번 문제: 유리수체의 아벨 확대에 대해 적용되는 크로네커-베버 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하는 문제이다.
13번 문제: 임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 푸는 문제이다. 2변수 연속 함수를 이용하면 가능하다는 것은 1957년 블라디미르 아르놀트가 증명했지만, 2변수 대수 함수에 대해서는 미해결이다.
16번 문제: 대수 곡선 및 대수 곡면의 위상에 관한 문제이다.

4번 문제와 23번 문제는 해결되었다고 묘사하기에 너무 모호하여 미해결 문제로 남아 있다. 철회된 24번 문제 역시 이 범주에 속한다.^[35]

4. 4. 24번째 문제

힐베르트는 원래 24개의 문제를 목록에 포함했지만, 출판된 목록에는 그 중 하나를 포함하지 않기로 결정했다. "24번째 문제"(증명 이론에서, 단순성에 대한 기준과 일반적인 방법에 관한 문제)는 2000년 독일 역사가 뤼디거 틸레(Rüdiger Thiele)에 의해 힐베르트의 원고 노트에서 재발견되었다.^[9]

이 문제는 힐베르트가 문제들을 공개한 지 100주년이 되는 해인 2000년에 독일의 역사학자 뤼디거 틸레(Rüdiger Thiele)에 의해 힐베르트의 수기에서 처음으로 그 존재가 확인되었다.^[35]

5. 힐베르트 문제와 한국 수학

힐베르트 문제 발표 당시 한국은 수학적 불모지나 다름없었다. 1900년은 대한제국 시기로, 근대 교육이 도입되기 시작했지만 서구 학문으로서의 수학은 거의 알려지지 않았다. 1910년 한일 병합 이후, 일본을 통해 간접적으로 서양 수학이 유입되었지만, 그 수준은 매우 기초적인 단계에 머물렀다.

한국 수학계가 힐베르트 문제에 본격적으로 관심을 가지기 시작한 것은 해방 이후, 특히 1960년대 이후의 일이다. 한국전쟁 이후, 국가 재건과 함께 학문 연구가 활성화되면서, 해외 유학을 통해 선진 수학을 접한 학자들이 귀국하여 힐베르트 문제를 비롯한 현대 수학 연구를 시작하였다.

이후 한국 수학계는 힐베르트 문제 해결에 직접적으로 기여하지는 못했지만, 문제 해결 과정에서 파생된 다양한 분야에서 연구 성과를 내기 시작했다. 특히, 조합론, 수치해석, 암호학 등 힐베르트 문제와 관련된 분야에서 한국 수학자들의 활동이 두드러졌다.

참조

_[1] 논문 Mathematical Problems https://www.ams.org/[...]
_[2] 논문 Mathematische Probleme https://www.digizeit[...]
_[3] 논문 Reciprocity laws and Galois representations: recent breakthroughs American Mathematical Society (AMS) 2015-08-25
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_[6] 서적 Hilbert https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[7] 문서
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_[11] 서적 Mathematical developments arising from Hilbert problems. American Mathematical Society 1976
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_[13] 서적 Mathematical Mysteries: The beauty and magic of numbers Basic Books 1999-12-08
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_[17] 논문 Hilbert's 6th Problem: Exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations
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_[28] 논문 Leray-Schauder degree: a half century of extensions and applications https://projecteucli[...] Nicolaus Copernicus University in Toruń, Juliusz Schauder Center for Nonlinear Studies 1999-01-01
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_[30] 서적 The Riemann-Hilbert problem Friedr. Vieweg & Sohn
_[31] 논문 The Riemann-Hilbert problem
_[32] 논문 Sufficient conditions for the positive solvability of the Riemann-Hilbert problem
_[33] 논문 An Overview of Deligne's work on Hilbert's Twenty-First Problem
_[34] 웹사이트 Mathematical Problems http://www.ams.org/j[...] 2017-10-28
_[35] 논문 Hilbert's twenty-fourth problem http://www.maa.org/n[...] the Mathematical Association of America
_[36] 서적 Hilbertのp.413.以降の各章のタイトル
_[37] 서적 Hilbert p.414
_[38] 서적 Transcendental Numbers https://archive.org/[...] Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
_[39] 웹사이트 Hilbert problems https://encyclopedia[...] 2021-05-18
_[40] 웹사이트 Reciprocity laws https://encyclopedia[...] 2021-05-18
_[41] 웹사이트 Matiyasevich theorem http://www.scholarpe[...] 2021-05-18
_[42] 서적 The Hilbert Challenge Oxford University Press 2000
_[43] 기타 Rowe & Gray는 2000년에 출판된 책에서 공 쌓기 문제([[케플러의 추측]])가 해결되지 않았다는 이유로 18번 문제를 "미해결"로 분류했으나, 그 뒤로 풀이법이 발표되었다. 아래의 자료 참고.

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