하와이 귀고리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성
3. 성질
- 3.1. 기본 성질
- 3.2. 위상적 성질
4. 기본군
- 4.1. 구조적 특징
- 4.2. 추가 설명
5. 특이 호몰로지 군
- 5.1. 구조
6. 고차원 하와이 귀고리
참조

1. 개요

하와이 귀고리는 유클리드 평면의 부분 공간으로, 중심이 (1/n, 0)이고 반지름이 1/n인 무한히 많은 원들의 합집합이다. 이 공간은 완비 거리 공간이자 콤팩트 공간이며 경로 연결 공간이다. 하와이 귀고리의 기본군은 비가산군이며, 자유군이 아니지만, 모든 유한 생성 부분군은 자유군인 국소적으로 자유군이다. 하와이 귀고리는 고차원으로 일반화될 수 있으며, 이러한 일반화는 공간의 차원보다 큰 차원에서 비자명한 특이 호몰로지 군을 갖는 컴팩트 유한 차원 공간의 예시를 제공하는 데 사용되었다.

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하와이 귀고리
기본 정보
여러 원으로 구성된 하와이 귀고리
유형	위상 공간
관련 분야	위상수학
정의	원들의 수열의 합집합으로, 각 원은 원점을 지나며 반지름은 수열의 항과 같음
상세 정보
기본군	셀 수 있는 무한 개의 생성원을 갖는 군
특성	축약 가능 공간이 아님 국소적으로 축약 가능 공간이 아님 반국소적으로 단일 연결 공간이 아님 콤팩트 공간
예시	모든 반지름이 동일한 경우: 꽃다발 반지름이 1/n인 경우: 표준적인 하와이 귀고리

2. 정의

'''하와이 귀고리'''는 유클리드 평면에서 특정 조건을 만족하는 점들의 집합으로 정의되는 부분 공간이며, 거리 공간 구조를 갖는다. 이는 $(0,1)\times\mathbb Z$ 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

2. 1. 구성

하와이 귀고리는 유클리드 평면에서 다음과 같은 부분 공간으로 정의된다.

:

H=\bigcup_{n\in\mathbb Z^+}\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon (x-1/n)^2+y^2=1/n^2\right\}

이는 중심이 (1/n, 0)이고 반지름이 1/n인 원들의 합집합으로 표현된다. (여기서 n은 양의 정수이다.)

하와이 귀고리는 유클리드 평면의 부분 공간이므로, 거리 공간 구조를 갖는다. 이는

(0,1)\times\mathbb Z

의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

3. 성질

하와이 귀고리는 여러 독특한 위상적 성질을 갖는다. 그 기본군 $\pi_1(H)$ 은 다음과 같은 성질을 갖는다.

비가산군이다.
자유군이 아니다. 그러나 가산 무한 집합 위의 자유군을 고유 부분군으로 갖는다.
$\pi_1(H)/N\cong\mathbb Z^{\aleph_0}$ 인 정규 부분군 $N\triangleleft\pi_1(H)$ 이 존재한다. 몫군 $\mathbb Z^{\aleph_0}$ 은 '''베어-슈페커 군'''(Baer–Specker group^영어)이라고 하며, 무한 순환군의 가산 무한 개의 직접곱이다 (직합이 아니다).

3. 1. 기본 성질

완비 거리 공간이다.
콤팩트 공간이다.
경로 연결 공간이다.
CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는다.
반국소 단일 연결 공간(semilocally simply connected space^영어)이 아니다.

하와이 귀고리는 가산 무한 개의 원들의 쐐기합과 위상 동형이 아니다. (후자는 콤팩트 공간이 아니며 CW 복합체이다.)

3. 2. 위상적 성질

완비 거리 공간이다.
콤팩트 공간이다.
경로 연결 공간이다.
CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는다.^[1]
반국소 단일 연결 공간(semilocally simply connected space^영어)이 아니다.^[1]

하와이 귀고리는 가산 무한 개의 원들의 쐐기합과 위상 동형이 아니다. (후자는 콤팩트 공간이 아니며 CW 복합체이다.)^[1]

하와이 귀고리의 기본군

\pi_1(H)

은 다음과 같은 성질을 갖는다.

비가산군이다.
자유군이 아니다. 그러나 가산 무한 집합 위의 자유군을 고유 부분군으로 갖는다.
$\pi_1(H)/N\cong\mathbb Z^{\aleph_0}$ 인 정규 부분군 $N\triangleleft\pi_1(H)$ 이 존재한다. 몫군 $\mathbb Z^{\aleph_0}$ 은 '''베어-슈페커 군'''(Baer–Specker group^영어)이라고 하며, 무한 순환군의 가산 무한 개의 직접곱이다 (직합이 아니다).

4. 기본군

하와이 귀고리의 기본군 $\pi_1(H)$ 은 $\pi_1(H)/N\cong\mathbb Z^{\aleph_0}$ 인 정규 부분군 $N\triangleleft\pi_1(H)$ 이 존재한다. 몫군 $\mathbb Z^{\aleph_0}$ 은 '''베어-슈페커 군'''(Baer–Specker group^영어)이라고 하며, 무한 순환군의 가산 무한 개의 직접곱이다 (직합이 아니다).

개별 루프 $\ell_n$ 의 호모토피 클래스는 가산 무한 개의 생성자에 대한 자유군 $\langle [\ell_n]\mid n\geq 1\rangle$ 을 생성하며, 이는 $G$ 의 진부분군을 형성한다. $G$ 의 다른 가산 무한 개의 원소는 이미지가 하와이 귀고리의 유한 개의 원에 포함되지 않는 루프에서 발생하며, 그 중 일부는 전사적이다. 예를 들어, 구간 $[ 2^{-n}, 2^{-n+1} ]$ 에서 n번째 원을 한 바퀴 도는 경로가 있다. 각 $n\geq 1$ 에 대해 루프 $\ell_n$ 과 그 역이 곱 내에 유한 번만 나타난다면, 임의의 가산 선형 순서에 따라 인덱싱된 루프 $\ell_n$ 의 무한 곱을 형성할 수 있다.

4. 1. 구조적 특징

비가산군이다.
자유군이 아니다. 그러나 가산 무한 집합 위의 자유군을 고유 부분군으로 갖는다.
국소적으로 자유군이다. 즉, 모든 유한 생성 부분군이 자유군이다.

4. 2. 추가 설명

하와이 귀고리의 기본군은 비가산군이며 자유군이 아니다. 그러나 가산 무한 집합 위의 자유군을 고유 부분군으로 갖는다. 기본군의 원소는 각 원을 도는 루프(loop)들의 호모토피류(homotopy class)로 구성된다. 존 모건과 이언 모리슨의 결과에 따르면, 기본군은 자유군의 역 극한(inverse limit)에 매장(embed)될 수 있다.^[1]

5. 특이 호몰로지 군

에다 카츠야와 가와무라 가즈히로는 하와이 귀고리의 특이 호몰로지 군에 대한 연구를 진행하였다.^[1]

5. 1. 구조

에다 카츠야와 가와무라 가즈히로는 하와이 귀고리(

\mathbb{H}

)의 첫 번째 특이 호몰로지 군

H_1(\mathbb{H})

이 다음 군과 동형임을 증명했다.

\left(\prod_{i=1}^\infty \Z\right) \oplus \left(\prod_{i=1}^\infty \Z\Big/ \bigoplus_{i=1}^{\infty}\Z\right).

첫 번째 덧셈 항

\prod_{i=1}^\infty \Z

는 무한히 많은 무한 순환군의 직접곱(Baer–Specker group|베어-슈페커 군^영어)이다. 이 인자는

\mathbb{H}

의 모든 원 주위에 감긴 수가

0

이 아닌 루프의 특이 호몰로지류를 나타내며, 정확히 첫 번째 체흐 특이 호몰로지 군

\check{H}_1(\mathbb{H})

이다. 또한

\prod_{i=1}^\infty \Z

는

G

의 "무한 아벨화"로 간주될 수 있는데, 자연 준동형 사상

G\to\prod_{i=1}^\infty \Z

의 핵에 있는 모든 원소는 교환자의 무한 곱으로 표현되기 때문이다.

H_1(\mathbb{H})

의 두 번째 덧셈 항은

\mathbb{H}

의 모든 원 주위에 감긴 수가 0인 루프, 즉 자연 준동형 사상

H_1(\mathbb{H})\to\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{Z}

의 핵에 의해 표현되는 호몰로지류로 구성된다.

\prod_{i=1}^\infty \Z \Big/ \bigoplus_{i=1}^{\infty}\Z

과의 동형성은 무한 아벨 군 이론을 사용하여 추상적으로 증명되었으며 기하학적 해석은 없다.

6. 고차원 하와이 귀고리

하와이 귀고리는 고차원으로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화는 마이클 배럿과 존 밀너가 공간의 차원보다 큰 차원에서 비자명한 특이 호몰로지 군을 갖는 콤팩트 유한 차원 공간의 예시를 제공하는 데 사용되었다.^[1]

6. 1. 정의

k

차원 하와이 귀고리는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbb{H}_k=\bigcup_{n\in \N}\left\{(x_0,x_1,\ldots,x_k)\in\R^{k+1} : \left(x_0-\frac 1  n \right)^2 + x_1^2 + \cdots+x_k^2=\frac{1}{n^2}\right\}.

따라서,

\mathbb{H}_k

는 k차원 구의 가산 집합 합집합이며, 위상 공간은 구의 지름이

n\to\infty

로 갈 때 0으로 수렴하는 거리 공간에 의해 주어진다. 또는,

\mathbb{H}_k

는 서로소인 가산 개의

\R^k

의 알렉산드로프 콤팩트화로 구성될 수 있다. 재귀적으로,

\mathbb{H}_0

는 수렴 수열로 구성되고,

\mathbb{H}_1

은 원래의 하와이 귀걸이이며,

\mathbb{H}_{k+1}

는 축소 현수

\Sigma\mathbb{H}_{k}

와 위상동형이다.^[1]

6. 2. 성질 (k ≥ 1)

k \geq 1

에 대해,

k

차원 하와이 귀걸이는 콤팩트하고

(k-1)

-연결이며 국소

(k-1)

-연결이다.

k \geq 2

에 대해,

\pi_k(\mathbb{H}_k)

가 베어-슈페커 군

\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{Z}.

와 동형임이 알려져 있다.^[1]

6. 3. 특이 호몰로지(고차원)

마이클 배럿(Michael Barratt^영어)과 존 밀너(John Milner)는 특정 조건을 만족하는 q에 대해 특이 호몰로지 군

H_q(\mathbb{H}_k;\Q)

가 비가산 군(uncountable group)임을 보였다.^[1]

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