위상 공간 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 위상의 비교
4. 성질
- 4.1. 격자론적 성질
- 4.2. 범주론적 성질
5. 예
6. 관련 개념
7. 역사
참조

1. 개요

위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 위상(topology)의 조합으로, 집합의 부분 집합들인 열린 집합, 닫힌 집합, 근방, 폐포, 내부 등을 사용하여 정의된다. 위상은 열린 집합을 통해 가장 일반적으로 정의되며, 공집합과 전체 집합을 포함하고, 임의의 합집합과 유한 개의 교집합에 대해 닫혀 있어야 한다. 위상 공간은 분리 공리, 가산 공리, 연결성, 콤팩트성 등 다양한 성질을 가질 수 있으며, 거리 공간, 보렐 측도 공간, 매끄러운 다양체, 위상군 등 추가적인 구조를 가질 수 있다. 위상 공간의 개념은 칸토어의 점 집합론에서 시작되어, 프레셰, 하우스도르프, 쿠라토프스키 등에 의해 발전되었으며, 현재는 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

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위상 공간 (수학)
기본 정보
클라인 병의 그림
분야	수학
하위 분야	위상수학
관련 항목	위상 공간의 목록
역사
창시자	펠릭스 하우스도르프
정의
정의	집합 위의 열린 집합들의 모임 는 다음 공리들을 만족하는 의 멱집합이다. 의 원소를 열린집합이라고 부른다. \|의 임의의 부분 모임의 합집합은 의 원소이다.\|의 유한 부분 모임의 교집합은 의 원소이다.}}열린집합들의 모임 를 의 위상이라고 부르고, 순서쌍 를 위상 공간이라고 부른다.
예시
예시	이산 공간 비이산 공간 거리 공간 균등 공간 순서 위상 곱위상 몫위상
성질
분리 공리	공간 공간 하우스도르프 공간 공간 }} 공간 정규 공간 공간
공리 가산성	제1 가산 공간 제2 가산 공간
콤팩트성	콤팩트 공간 국소 콤팩트 공간 파라콤팩트 공간
연결성	연결 공간 단순 연결 공간 국소 연결 공간
사상
사상	연속 함수 열린 사상 닫힌 사상 몫사상 매장 위상 동형 사상 호모토피
영어 명칭
영어 명칭	Topological space

2. 정의

집합 $X$ 위의 '''위상'''(位相, topology^영어)은 부분 집합들의 모임에 특정한 규칙을 부여하여 정의된다. 이 규칙을 통해 집합 내에서 '가까움', '연결됨'과 같은 개념을 정의할 수 있다. 위상은 열린집합, 닫힌집합, 근방, 폐포, 내부 등 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다. 위상 공간은 위상이 정의된 집합을 의미한다.

위상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

열린집합을 사용한 정의
닫힌집합을 사용한 정의
근방을 사용한 정의
폐포를 사용한 정의
내부를 사용한 정의

2. 1. 열린집합을 사용한 정의

집합

X

위의 '''위상'''(位相, topology^영어)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임

\mathcal T\subseteq\mathcal P(X)

으로 정의된다. 이 경우,

\mathcal T

의 원소들을 '''열린집합'''이라고 한다.

$\varnothing,X\in\mathcal T$
만약 $\mathcal S\subseteq\mathcal T$ 라면, $\bigcup\mathcal S\in\mathcal T$
만약 $U,V\in\mathcal T$ 라면, $U\cap V\in\mathcal T$

위 정의는 다음과 같이 풀어서 설명할 수 있다.

# 공집합과 전체 집합

X

는

\mathcal T

에 속한다. 즉, 공집합과 전체 집합은 열린집합이다.

#

\mathcal T

에 속하는 임의의 부분집합들의 합집합은

\mathcal T

에 속한다. 즉, 열린집합들의 합집합은 열린집합이다.

#

\mathcal T

에 속하는 임의의 두 부분집합의 교집합은

\mathcal T

에 속한다. 즉, 유한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다. ('''무한 개의 교집합은 열린집합이 아닐 수 있다''')

이러한 성질을 만족하는

\mathcal{O}

를 ''X'' 상의 '''위상(구조)'''라고 부르며,

(X,\mathcal{O})

를 ''X''를 바탕 집합으로 하고

\mathcal{O}

를 '''열린 집합계'''로 하는 '''위상 공간'''이라고 부른다.

2. 2. 닫힌집합을 사용한 정의

집합

X

위의 '''위상'''(位相, topology^영어)에서, 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다. 닫힌 집합들의 모임

\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)

는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이 경우,

\mathcal C

의 원소들을 '''닫힌집합'''이라고 한다.

$\varnothing,X\in\mathcal C$
만약 $\mathcal S\subseteq\mathcal C$ 라면, $\bigcap\mathcal S\in\mathcal C$
만약 $C,D\in\mathcal C$ 라면, $C\cup D\in\mathcal C$

닫힌 집합은 위 조건을 만족하는 집합이며, 이 조건은 드 모르간 법칙을 사용하여 열린 집합을 정의하는 공리와 동일하다.

'''위상 공간'''

(X,\mathcal T)

은 위상을 갖춘 집합이다. 드 모르간 법칙을 사용하면, 위에서 정의된 열린 집합에 대한 공리들은 '''닫힌 집합'''을 정의하는 공리들이 된다.

# 공집합과

X

는 닫혀 있다.

# 닫힌 집합들의 임의의 모임의 교집합은 또한 닫혀 있다.

# 닫힌 집합들의 유한 개수의 합집합은 또한 닫혀 있다.

이 공리들을 사용하여, 위상 공간을 정의하는 또 다른 방법은 집합

X

와

X

의 닫힌 부분 집합들의 모임

\tau

를 함께 사용하는 것이다. 따라서 위상

\tau

에 있는 집합들은 닫힌 집합이며,

X

에서의 그 여집합들은 열린 집합이다.

위상 공간을 정식화하기 위해 필요한 "열린 집합"이라는 개념은 직관적으로 위상 공간의 "가장자리를 포함하지 않는", "열린" 부분 집합이다. 하지만 "가장자리를 포함하지 않는다", "열린"이라는 단어를 엄밀하게 정의하려고 하면 위상 공간의 개념이 필요하므로, 이것들을 사용하여 열린 집합을 정의하는 것은 순환 논법이 된다. 또한, 여기서 말하는 "가장자리"(=경계)는 통상적인 직관과 괴리되는 경우도 있으며, 예를 들어 실수 직선 상의 유리수의 집합의 경계는 실수 전체이다.

그래서 위상 공간의 정의에서는 "가장자리를 포함하지 않는다"거나 "열렸다"와 같은 개념에 의존하지 않고, 매우 추상적인 방법으로 열린 집합의 개념을 정식화한다. 위상 공간을 정식화하는 데 필요한 것은, 어느 것이 열린 집합인지 변별하기 위해 열린 집합 전체의 집합

\mathcal{O}

를 지정하는 것과,

\mathcal{O}

가 정해진 성질을 만족하는 것뿐이다.

thumb

''X''의 여집합을 '''닫힌 집합'''이라고 부르며, 닫힌 집합 전체의 집합

:

\mathcal{F}=\{F\subset X\mid F^c\in\mathcal{O}\}

를 위상 공간 ''X''의 '''닫힌 집합계'''라고 부른다.

열린 집합이 직관적으로 "경계를 포함하지 않는", "열린" 집합이었던 것에 반해, 그 여집합인 닫힌 집합은 직관적으로 "경계를 포함하는", "닫힌" 집합이다. 닫힌 집합계

\mathcal{F}

를 사용하여 위상 공간을 정의하는 것도 가능하다. 이 경우, 열린 집합은 닫힌 집합의 여집합으로 정의한다.

닫힌 집합계에 의한 위상 공간의 정의에 있는 3가지 조건은 열린 집합계에 의한 위상 공간의 정의에 있는 3가지 조건에 드 모르간의 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.

또한, ''X''의 열린 집합이면서 닫힌 집합이기도 한 부분 집합은 ''X''의 열린-닫힌 집합이라고 불린다 (정의로부터 분명히

\emptyset

및 ''X''는 반드시 열린-닫힌 집합이다). ''X''에는 열린 집합도 닫힌 집합도 아닌 부분 집합이 존재할 수 있다.

2. 3. 근방을 사용한 정의

집합

X

위의 '''위상'''을 정의하는 방법 중 하나는 근방을 사용하는 것이다. 함수

\mathcal N\colon X\to\mathcal P(\mathcal P(X))

(

\mathcal N\colon x\mapsto\mathcal N_x

)가 다음 조건들을 만족하면,

\mathcal N_x

의 원소를

x

의 '''근방'''이라고 한다.

모든 $x\in X$ 에 대하여, $X\in\mathcal N_x$
모든 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $N\in\mathcal N_x$ 라면 $x\in N$
만약 $N\in\mathcal N_x$ 이며 $N\subseteq S\subseteq X$ 라면, $S\in\mathcal N_x$
만약 $M,N\in\mathcal N_x$ 라면 $M\cap N\in\mathcal N_x$
만약 $N\in\mathcal N_x$ 라면, 모든 $y\in M$ 에 대해 $N\in\mathcal N_y$ 인 $M\in\mathcal N_x$ 가 존재한다.

이러한 조건들을 만족하는 함수

\mathcal{N}

을 갖는

X

를 '''위상 공간'''이라고 부른다.

실선

\R

에서,

\R

의 부분집합

N

이

x

를 포함하는 열린 구간을 포함하면 실수

x

의 근방으로 정의된다.

근방을 사용하여 열린집합을 정의할 수 있다.

X

의 부분집합

U

가

U

의 모든 점의 근방이면 '''열린집합'''으로 정의된다. 반대로, 위상 공간의 열린 집합이 주어지면, 위의 공리를 만족하는 근방은

N

이

x \in U

인 열린 집합

U

를 포함하면

x

의 근방이 되도록 정의하여 복구할 수 있다.^[17]

위상공간

(X,\mathcal{O})

에서 점

x

의 '''열린 근방'''은

x \in O

를 만족하는 열린 집합

O

이다.

X

의 부분 집합

N

이 어떤 열린 집합

O

에 대해

x \in O \subset N

를 만족하면,

N

은

x

의 '''근방'''이다.^[17] 점

x

의 근방 전체의 집합을

x

의 '''근방계'''라 하고^[17], 열린 근방 전체의 집합을

x

의 '''열린 근방계'''라고 한다. 근방계는 근방 필터라고도 한다.

\mathcal{N}_x

를

x

의 근방계라고 할 때,

\mathcal{N}_x

의 부분 집합

\mathcal{B}_x

가 다음을 만족하면

x

에서의 '''기저 근방계'''라고 한다.^[30]

임의의 근방 $N\in\mathcal{N}_x$ 에 대해, 어떤 $B\in\mathcal{B}_x$ 가 존재하여 $x \in B \subset N$

근방계는 다음 성질을 만족한다. 이를 '''하우스도르프 공리계'''라고 한다.^[17]

$N,N'\in\mathcal{N}_x\Rightarrow N\cap N' \in \mathcal{N}_x$
$N\in\mathcal{N}_x,~M\supset N\Rightarrow M \in \mathcal{N}_x$
$N\in\mathcal{N}_x$ 이면, 어떤 $L\in\mathcal{N}_x$ 가 존재하여 모든 $y\in L$ 에 대해 $N\in\mathcal{N}_y$

하우스도르프 공리계를 만족하는 근방계는 위상을 특징짓는다. 즉, 집합

X

의 각 원소

x

에 대해 하우스도르프 공리계를 만족하는 근방계

\mathcal{N}_x

가 주어지면,

X

위의 위상 구조

\mathcal{O}

가 유일하게 결정된다.^[17]

2. 4. 폐포를 사용한 정의

집합

X

위의 위상을 정의하는 방법 가운데 하나는 폐포 연산자

\operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)

를 사용하는 것이다. 폐포는 다음 조건을 만족시킨다.^[15]^[16]

$\operatorname{cl}\varnothing = \varnothing$
모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A\subseteq\operatorname{cl} A$
모든 $A,B\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B)$
모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname{cl}(\operatorname{cl}A) = \operatorname{cl}A$

이 경우,

\operatorname{cl}S

를

S

의 폐포라고 한다. 폐포를 사용하여 열린집합을 정의할 수 있는데,

\operatorname{cl}(X\setminus U)=X\setminus U

인 집합

U

가 열린집합이 된다.

2. 5. 내부를 사용한 정의

집합

X

위의 위상에서 '''내부'''를 사용한 정의는 다음과 같다. 내부는 어떤 집합에서 '경계'를 제외한 것으로 정의된다.

내부를 나타내는 함수

\operatorname{int}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)

는 다음 조건을 만족시킨다.

$\operatorname{int}X = X$
모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A\supseteq\operatorname{int}A$
모든 $A,B\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)$
모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname{int}(\operatorname{int}A) = \operatorname{int}A$

내부를 사용한 정의에서, '''열린집합'''은

\operatorname{int}(U)=U

인 집합

U

이다.

3. 위상의 비교

같은 집합 $X$ 위에 두 위상 $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$가 있을 때, 다음 조건이 성립하면 $\mathcal{T}_1$이 $\mathcal{T}_2$보다 '''더 섬세하다'''(finer^영어)고 하고, 반대로 $\mathcal{T}_2$가 $\mathcal{T}_1$보다 '''더 거칠다'''(coarser^영어)고 한다.

$\mathcal{T}_2\subseteq\mathcal{T}_1$. 즉, 모든 $\mathcal{T}_2$-열린 집합은 $\mathcal{T}_1$-열린 집합이다.
모든 $\mathcal{T}_2$-닫힌집합은 $\mathcal{T}_1$-닫힌집합이다.
$\mathcal{T}_1$의 기저 $\mathcal{B}_1$ 및 $\mathcal{T}_2$의 기저 $\mathcal{B}_2$가 주어졌을 때, 모든 $x\in X$ 및 $x\in B_2\in\mathcal{B}_2$에 대하여, $x\in B_1\subseteq B_2$인 $B_1\in\mathcal{B}_1$이 존재한다.

위상 $\tau_1$의 모든 열린 집합이 위상 $\tau_2$에서도 열린 집합일 때, $\tau_2$가 $\tau_1$보다 더 세밀하고, $\tau_1$이 $\tau_2$보다 덜 세밀하다고 한다. '크다'와 '작다'라는 용어는 각각 세밀하다와 덜 세밀하다를 대신하여 사용되기도 한다. '강하다'와 '약하다'라는 용어도 사용되지만, 그 의미에 대한 합의가 거의 없으므로 주의해야 한다.

집합 $X$ 위에 정의된 두 위상 공간 $(X,\mathcal{O}_1)$, $(X,\mathcal{O}_2)$에서 $\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$가 만족될 때, $\mathcal{O}_1$은 $\mathcal{O}_2$보다 '''약하다'''()라고 하며, $\mathcal{O}_2$는 $\mathcal{O}_1$보다 '''강하다'''()라고 한다. 이는 $(X,\mathcal{O}_1)$의 열린 집합은 반드시 $(X,\mathcal{O}_2)$의 열린 집합임을 의미한다. 약하다/강하다 대신 '''거칠다'''/'''미세하다'''(), '''작다'''/'''크다'''()라는 말을 사용하기도 한다.^[30]

$\mathcal{O}_1$이 $\mathcal{O}_2$보다 거칠 필요충분 조건은 항등 사상

:$\operatorname{id}~:~ (X,\mathcal{O}_2)\to(X,\mathcal{O}_1),\ \ x\mapsto x$

가 연속인 것이다. 따라서 $\mathcal{O}_1$에서 수렴하는 방향족은 $\mathcal{O}_2$에서도 수렴하지만, 역은 반드시 성립하지 않는다.

약함/강함을 위상 사이의 순서 관계로 간주하면, $X$ 위의 위상 집합 $\{\mathcal{O}\mid(X,\mathcal{O})$는 위상 공간$\}$은 순서 집합이 된다. 이 순서 집합은 완비 격자이며, 가장 약한 위상은 밀착 위상, 가장 강한 위상은 이산 위상이다.

4. 성질

위상 공간의 개념은 거리 공간에서 정의되는 여러 개념을 일반적인 공간에서도 정의하기 위해 도입되었다. 거리 공간은 가장 기본적인 위상 공간의 예시이며, 거리 구조가 위상 구조를 결정한다.

거리 공간에서 실수 및 에 대해, 의 '''ε-근방'''은 다음과 같이 정의된다.

: $B_\varepsilon(x) := \{y\in X \mid d(x,y) < \varepsilon\}$

이때,

: $\mathcal{O}_d=\{O\subset X\mid \forall x\in O \exists \varepsilon>0 ~~:~~B_\varepsilon(x)\subset O\}$

는 열린 집합계의 공리를 만족한다.

$\mathcal{O}_d$ 는 '''거리''' ''d'' '''에 의해 결정되는''' ''X'' 의 '''열린 집합계''' 또는 ''d'' '''에 의해 결정되는''' ''X'' 의 '''위상 구조'''라고 하며, $(X,\mathcal{O}_d)$ 는 '''에 의해 결정되는 위상 공간'''이다.

의 ε-근방은 '''ε-구''' (ε-ball), '''ε-열린 구''' (ε-open ball), 또는 단순히 '''열린 구''' (open ball)라고도 한다.

$\mathcal{O}_d$ 가 위상의 정의를 만족한다는 것은 다음 명제와 그 증명을 통해 알 수 있다.

명제: 거리 공간 가 결정하는 위상을 $\mathcal{O}_d$ 라고 하고, 를 의 부분 집합이라고 할 때, 다음 3가지 조건은 동치이다.

1. 는

\mathcal{O}_d

의 열린 집합이다.

2. 임의의 에 대해, 어떤

\varepsilon_x>0

가 존재하여,

O=\bigcup_{x\in O}B_{\varepsilon_x}(x)

가 성립한다.

3. 는 (유한 또는 무한 개의) 열린 구의 합집합으로 쓸 수 있다. 즉, 집합족

\{B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}\subset X

가 존재하고,

O=\bigcup_{x_{\lambda}\in \Lambda}B_{\varepsilon_\lambda}(x_{\lambda})

가 성립한다.

계: 열린 구는 $\mathcal{O}_d$ 의 열린 집합이다.

위상 공간의 정의에 의해 열린 집합의 (유한 또는 무한 개의) 합집합은 열린 집합이고, 열린 집합의 유한 개의 교집합도 열린 집합이지만, '''열린 집합의 무한 개의 교집합은 열린 집합이 된다고는 할 수 없다'''. 예를 들어, 임의의 자연수 에 대해, ε-구

B_{1/n}(x)

는 열린 집합이지만,

:

\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_{1/n}(x)=\{x\}

는 열린 집합이 아니다.

집합 ''X'' 상의 거리 구조에 하나의 위상 구조가 대응하지만, 이 대응 관계는 단사가 아니며, 서로 다른 거리 구조가 동일한 위상 구조를 결정하는 경우도 있다.

명제: 를 거리 공간이라고 하고, 를 연속인 전단사 함수이며 역함수도 연속이라고 하면,
$d'(x,y)=d(f(x),f(y))$

라고 정의하면, 와 는 위에 동일한 위상 구조를 결정한다.

위의 명제는 거리 공간을 연속적으로 변형해도 위상 구조가 변하지 않는다는 것을 의미하며, 이는 위상수학의 기초가 된다.

4. 1. 격자론적 성질

주어진 위상 공간

(X, \mathcal T)

의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 이는 직관 논리의 모형으로 해석될 수 있다. 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로도 볼 수 있는데, 이 경우 양상 기호

\Box

(필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호

\Diamond

(개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다.

주어진 집합

X

위의 위상들은 섬세성 관계에 따라 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(가장 거친 위상)는 비이산 위상이다.

주어진 집합

X

위의 위상들의 족

\{\mathcal T_i\}_{i \in I}

의 하한(만남)은

\bigwedge_i \mathcal T_i = \bigcap_i \mathcal T_i

이다. 주어진 집합

X

위의 위상들의 족

\{\mathcal T_i\}_{i \in I}

의 상한(이음)은

\bigcup_{i \in I} \mathcal T_i

를 기저로 하는 위상이다.

4. 2. 범주론적 성질

위상 공간과 연속 함수는 범주를 이루며, 이 범주를

\operatorname{Top}

이라고 한다. 이 경우, 망각 함자

:

F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}

:

F\colon (X,\mathcal T)\mapsto X

를 통해,

\operatorname{Top}

은 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌·우 수반 함자를 갖는다.

:

D\dashv F\dashv I

여기서

:

D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}

:

D\colon X\mapsto(X,\mathcal P(X))

은 집합을 이산 공간으로 대응시키고,

:

I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}

:

I\colon X\mapsto(X,\{\varnothing,X\})

는 집합을 비이산 공간으로 대응시킨다.

\operatorname{Top}

은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한과 쌍대극한이 존재한다. 시작 대상은 (유일한 위상을 갖춘) 공집합

(\varnothing,\{\varnothing\})

이며, 끝 대상은 한원소 공간

(\{\bullet\},\{\varnothing,\{\bullet\}\})

이다.

5. 예

유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예를 들어, 집합 ''X'' = {1, 2, 3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.

$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}\}$ (비이산 위상)
$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}, \{1\}\}$
$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}, \{1, 2\}, \{1\}, \{2\}\}$
$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{2\}\}$

그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.

$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}, \{2\}, \{3\}\}$ 은 {2}와 {3}의 합집합인 {2, 3}이 없으므로 위상이 아니다.
$\{\varnothing, \{1, 2, 3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}\}$ 은 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.

좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.

전순서가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''순서 위상'''을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
거리 함수가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''거리 위상'''을 정의할 수 있다. 실수의 집합이나 복소수의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.
어떤 집합을 곱집합 $\textstyle\prod_i S_i$ 로 나타내었을 때, 각 $S_i$ 에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 '''곱위상'''이라는 위상을 줄 수 있다.
동치관계가 주어져있을 때, 이에 대한 몫집합에 '''몫위상'''을 정의할 수 있다. 이는 기하적으로 서로 다른 점을 같게 하여 붙인다는 개념을 줄 수 있다.
어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 $\mathcal S$ 가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 '''부분 기저'''라고 한다.
어떤 집합 $S$ 를 다른 집합의 부분 집합 $\iota \colon S \hookrightarrow T$ 으로 나타내었을 때, $T$ 에 위상이 존재한다면 이로부터 $S$ 위에 '''부분공간 위상'''을 정의할 수 있다.
아무런 구조 없는 집합 $S$ 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.
모든 집합을 열린집합으로 하는 '''이산 위상'''
공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 '''비이산 위상'''
쌍대 유한 집합 및 공집합이 열린집합인 '''쌍대 유한 위상'''(cofinite topology^영어)
보다 일반적으로, 임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $|S \setminus U| < \kappa$ 인 집합 $U$ 및 공집합이 열린집합인 위상

X = \{1, 2, 3, 4\}

가 주어졌을 때,

$X$ 에 대한 자명 위상 또는 비이산 위상은 공리에서 요구하는 $X$ 의 두 부분집합만으로 구성된 집합족 $\tau = \{\{\}, \{1, 2, 3, 4\}\} = \{\varnothing, X\}$ 이다.
집합족 $\tau = \{\varnothing, \{2\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, X\}$ 는 $X$ 의 여섯 부분집합은 $X$ 의 또 다른 위상을 형성한다.
$X$ 에 대한 이산 위상은 $X$ 의 멱집합이며, 이는 $X$ 의 모든 가능한 부분집합으로 구성된 집합족 $\tau = \wp(X)$ 이다. 이 경우 위상 공간 $(X, \tau)$ 는 ''이산 공간''이라고 불린다.
$X = \Z$ , 즉 정수 집합이 주어졌을 때, 정수의 모든 유한 부분집합과 $\Z$ 자체의 집합족 $\tau$ 는 위상이 아니다. 예를 들어, 0을 포함하지 않는 모든 유한 집합의 합집합은 유한하지 않으므로 유한 집합족의 원소가 아니기 때문이다. 0을 포함하지 않는 모든 유한 집합의 합집합은 또한 $\Z$ 전체가 아니므로 $\tau$ 에 있을 수 없다.

주어진 집합은 많은 다른 위상을 가질 수 있다. 집합에 다른 위상이 주어지면, 이는 다른 위상 공간으로 간주된다. 모든 집합은 모든 부분 집합이 열린 집합인 이산 위상을 가질 수 있다. 이 위상에서 수렴하는 유일한 수열 또는 망은 결국 상수인 수열이다. 또한, 모든 집합은 공집합과 전체 공간만 열린 집합인 자명 위상(비이산 위상이라고도 함)을 가질 수 있다. 이 위상에서 모든 수열과 망은 공간의 모든 점으로 수렴한다. 이 예는 일반적으로 위상 공간에서 수열의 극한이 유일할 필요는 없다는 것을 보여준다. 그러나 종종 위상 공간은 극한점이 유일한 하우스도르프 공간이어야 한다.

주어진 유한 집합에는 수많은 위상이 존재한다. 이러한 공간을 유한 위상 공간이라고 한다. 유한 공간은 일반적으로 위상 공간에 대한 추측에 대한 예 또는 반례를 제공하는 데 사용된다.

모든 집합은 공유한 위상을 가질 수 있으며, 여기서 열린 집합은 공집합과 여집합이 유한한 집합이다. 이는 무한 집합에 대한 가장 작은 T₁ 위상이다.^[7]

모든 집합은 가산 공위상을 가질 수 있으며, 여기서 집합은 공집합이거나 여집합이 가산 집합인 경우 열린 집합으로 정의된다. 집합이 비가산 집합인 경우, 이 위상은 많은 상황에서 반례로 작용한다.

실수선은 또한 하한 위상을 가질 수 있다. 여기서 기본 열린 집합은 반 열린 구간

[a, b)

이다.

\R

에 대한 이 위상은 위에 정의된 유클리드 위상보다 엄격하게 미세하며, 수열이 이 위상에서 점으로 수렴하는 것은 유클리드 위상에서 위에서 수렴하는 경우와 동등하다. 이 예는 집합에 여러 개의 서로 다른 위상이 정의될 수 있음을 보여준다.

\gamma

가 서수인 경우, 집합

\gamma = [0, \gamma)

는 구간

(\alpha, \beta),

[0, \beta),

및

(\alpha, \gamma)

로 생성된 순서 위상을 가질 수 있으며, 여기서

\alpha

와

\beta

는

\gamma

의 원소이다.

모든 다양체는 국소적으로 유클리드 공간이므로 자연 위상을 갖는다. 마찬가지로, 모든 단순체와 모든 단순 복합체는 에서 자연 위상을 상속받는다.

시에르핀스키 공간은 가장 간단한 비이산 위상 공간이다. 이는 계산 이론 및 의미론과 중요한 관계를 갖는다.

위상 공간의 모든 부분 집합은 부분 공간 위상을 가질 수 있으며, 여기서 열린 집합은 더 큰 공간의 열린 집합과 부분 집합의 교집합이다. 위상 공간의 모든 인덱싱된 집합에 대해, 곱은 곱 위상을 가질 수 있으며, 이는 사영 매핑 하에서 인수의 열린 집합의 역상에 의해 생성됩니다. 예를 들어, 유한 곱의 경우, 곱 위상의 기저는 열린 집합의 모든 곱으로 구성됩니다. 무한 곱의 경우, 기본적인 열린 집합에서 거의 모든 투영이 전체 공간이라는 추가 요구 사항이 있다.

몫 공간은 다음과 같이 정의된다: 만약

X

가 위상 공간이고

Y

가 집합이며,

f : X \to Y

가 전사 함수이면,

Y

에 대한 몫 위상은

f

에 의해 열린 역상을 갖는

Y

의 부분 집합의 모음이다. 다시 말해, 몫 위상은

f

가 연속인

Y

에 대한 가장 미세한 위상이다. 몫 위상의 일반적인 예는 동치 관계가 위상 공간

X

에 정의될 때이다. 이때 함수

f

는 동치류의 집합에 대한 자연 투영이다.

레오폴트 비토리의 이름을 딴, 위상 공간

X

의 모든 공집합이 아닌 부분 집합의 집합에 대한 '''비토리 위상'''은 다음 기저에 의해 생성됩니다:

X

의 열린 집합의 모든

n

-튜플

U_1, \ldots, U_n

에 대해, 각

U_i

와 공집합이 아닌 교차점을 갖는

U_i

의 합집합의 모든 부분 집합으로 구성된 기저 집합을 구성합니다.

국소 콤팩트 폴란드 공간

X

의 모든 공집합이 아닌 닫힌 부분 집합의 집합에 대한 '''펠 위상'''은 비토리 위상의 변형이며, 수학자 제임스 펠의 이름을 따서 명명되었다. 다음 기저에 의해 생성됩니다:

X

의 열린 집합의 모든

n

-튜플

U_1, \ldots, U_n

및 모든 콤팩트 집합

K

에 대해,

K

와 서로소이며 각

U_i

와 공집합이 아닌 교차점을 갖는

X

의 모든 부분 집합의 집합은 기저의 구성원입니다.

거리 공간은 점들 사이의 거리의 정확한 개념인 거리를 구현한다.

모든 거리 공간에는 거리로 정의된 열린 공이 기본 열린 집합인 거리 위상을 부여할 수 있다. 이것은 모든 노름 벡터 공간의 표준 위상이다. 유한 차원 벡터 공간에서 이 위상은 모든 노름에 대해 동일하다.

\R,

즉 실수 집합에 위상을 정의하는 방법은 많다.

\R

의 표준 위상은 열린 구간에 의해 생성된다. 모든 열린 구간의 집합은 위상의 기저 또는 밑을 형성하며, 이는 모든 열린 집합이 밑의 집합 모음의 합집합임을 의미한다. 특히, 이것은 집합의 모든 점에 대해 0이 아닌 반경의 열린 구간이 존재하는 경우 집합이 열려 있음을 의미한다. 보다 일반적으로, 유클리드 공간

\R^n

에 위상을 부여할 수 있다.

\R^n

의 '''일반적인 위상'''에서 기본 열린 집합은 열린 공이다. 마찬가지로, 복소수 집합인

\C,

와

\C^n

은 기본 열린 집합이 열린 공인 표준 위상을 갖는다.

6. 관련 개념

위상 공간은 집합에 '위상'이라는 구조를 더한 것으로, 이 구조를 통해 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

부분 집합의 내부, 외부, 경계
점의 근방
수렴성^[9]
열린 집합, 닫힌 집합, 폐포

이러한 개념들은 서로 동치 관계에 있으며, 이들 중 하나를 정의하면 나머지 개념들을 정의할 수 있다. 따라서 집합상의 위상 구조는 이들 중 하나를 정식화함으로써 정의할 수 있다. 많은 교과서에서는 수학적으로 다루기 쉬운 열린 집합을 바탕으로 위상 구조를 정의한다.

그 외에도 위상 공간에서 위상 공간으로의 사상의 연속성, 연결성과 같은 개념들이 위상 구조를 사용하여 정의될 수 있다.

이러한 개념들은 원래 거리 공간과 같은 기하학적인 대상에 대해 정의되었지만, 거리가 정의되어 있지 않아도 위상 구조만 정의할 수 있다면 정식화할 수 있다. 이를 통해 위상 공간의 개념은 해석학과 대수학에서도 응용되고 있으며, 위상 공간론은 이러한 수학의 여러 분야의 연구의 기초를 제공한다. 위상 공간 개념의 장점 중 하나는 해석학이나 대수학 등의 연구 대상에 기하학적인 직관을 제공한다는 것이다.

위상 공간론의 목표 중 하나는 유클리드 공간 등 기하학의 대상에 대해 성립하는 여러 성질을 해석학 등에도 일반화하는 것이다. 따라서 학부 수준에서 배우는 위상 공간론의 성질의 많은 부분은 유클리드 공간 등 기하학적인 대상에서는 자명하게 성립한다 (예: 각종 분리 공리나 가산 공리).

위상 공간론에서는 이러한 기하학적인 성질을 어떻게 일반적인 공간으로 확장할 것인가가 문제이므로, 위상 공간의 개념 자체는 매우 약하고 추상적으로 정의된다. 그러나 그만큼 개별적인 용도에서는 필요한 성질이 충족되지 않는 경우도 있으며, 예를 들어 위상 공간상에서는 수렴의 유일성이 보장되지 않는다. 그래서 필요에 따라 위상 공간에 추가적인 성질을 더한 것이 연구 대상이 되는 경우도 많다. 예를 들어 수렴의 유일성은 위상 공간에 하우스도르프성이라는 성질을 추가하면 성립한다.

(X,\mathcal{O})

를 위상 공간으로 하고,

A

를

X

의 부분 집합으로 할 때:

$x \in X$ 가 $A\setminus\{x\}$ 의 접점일 때, $x$ 를 $A$ 의 '''집적점'''이라고 한다.^[14]
$A$ 의 집적점 전체의 집합을 '''도집합'''이라고 하며, $A^d$ 로 표기한다.^[14]
$A\setminus A^d$ 의 원소를 $A$ 의 '''고립점'''이라고 한다.^[14]

위 정의로부터 다음이 성립한다:

$x \in X$ 가 $A$ 의 집적점 ⇔ $x \in O$ 를 만족하는 임의의 열린 집합 $O \subset X$ 에 대해, $O$ 는 $x$ 이외에 $A$ 의 원소를 포함한다.
$x \in X$ 가 $A$ 의 고립점 ⇔ $x \in A$ 이며, 게다가 $x \in O$ 를 만족하는 어떤 열린 집합 $O \subset X$ 가 있어서, $O$ 는 $x$ 이외에 $A$ 의 원소를 포함하지 않는다.

A

가 위상 공간

(X,\mathcal{O})

의 '''조밀한 부분 집합'''이라는 것은, ''A''의 폐포가 ''X''와 일치하는 것이다. 이것은 ''X''의 임의의 점의 임의의 근방이, ''A''와 교차하는 것을 의미한다.

가산 조밀 부분 집합을 갖는 위상 공간은 분리 가능이라고 하며, 예를 들어

\mathbb{R}

에서는

\mathbb{Q}

가 가산 조밀 부분 집합이므로,

\mathbb{R}

은 분리 가능하다.

6. 1. 특별한 위상 공간

다음은 위상수학에서 특별히 자주 고려되는 위상 공간들의 종류이다.

분리성	가산성	연결성	콤팩트성	기타 성질

6. 2. 추가 구조

위상 공간에는 근방 개념 외에 다른 정보들을 추가할 수 있다.

두 점 사이의 거리를 추가하면 '''거리 공간'''이 된다.
집합의 넓이·부피를 추가하면 '''보렐 측도 공간''' 또는 '''라돈 측도 공간'''이 된다.
매끄러운 함수 개념을 추가하면 '''매끄러운 다양체'''가 된다.
군 구조를 추가하면 '''위상군'''이 된다. 매끄러움 구조를 추가하면 '''리 군'''이 된다.
환 구조를 추가하면 '''위상환'''이 된다.
벡터 공간 구조를 추가하면 '''위상 벡터 공간'''이 된다.

대수적 대상에 대수 연산이 연속 함수가 되는 이산 위상을 도입할 수 있다. 유한하지 않은 구조는 대수 연산과 호환되는 자연스러운 위상을 갖는 경우가 많다. 이는 위상군, 위상 벡터 공간, 위상환 등의 개념으로 이어진다.

6. 3. 일반화

위상 공간의 개념은 매우 일반적이지만, 대수기하학에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합을 범주로 추상화하여, 덮개의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 그로텐디크 위상의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 층들의 범주의 성질을 공리화하면 토포스의 개념을 얻는다.

범주론 대신, 위상 공간의 열린집합들의 격자론적 성질(완비 헤이팅 대수)을 공리화하면 장소(locale^영어)라는 개념을 얻는다.

7. 역사

19세기 말부터 20세기 초까지 집합론의 발전과 함께 위상수학의 기초가 형성되었다. 게오르크 칸토어는 유클리드 공간의 열린집합이나 닫힌집합 등에 관해 연구했는데, 이것이 위상 공간 연구의 시작이었다. 이러한 칸토어의 연구는 점 집합론이라고 불린다.^[32] 이후, 모리스 프레셰는 유클리드 공간에서 벗어나 거리 공간에서 극한의 개념을 고찰했고, 펠릭스 하우스도르프, 카지미에시 쿠라토프스키 등에 의해 현대적인 위상 공간의 형태로 정비되었다.

1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합은 거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,^[32] 1914년에 펠릭스 하우스도르프는 근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.^[33] 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.

1735년경, 레온하르트 오일러는 오일러 공식을 발견했는데, 이는 위상수학 연구에 기여했다. 1827년, 카를 프리드리히 가우스는 곡면을 현대적인 위상학적 이해와 유사한 방식으로 정의했다. 19세기 중반, 리만의 연구 이후, 뫼비우스와 조르당은 표면의 위상수학에 대한 주요 문제를 제기했다.

펠릭스 클라인은 "에를랑겐 프로그램"(1872)에서 위상수학을 정의하였고, "위상수학"이라는 용어는 요한 베네딕트 리스팅에 의해 1847년에 도입되었다. 앙리 푸앵카레는 이 주제에 관한 첫 번째 논문을 1894년에 발표했다.^[3] 1930년대에 제임스 와델 알렉산더 2세와 하슬러 휘트니는 표면이 국소적으로 유클리드 평면과 같은 위상 공간이라는 아이디어를 처음으로 표현했다.

위상 공간은 1914년 펠릭스 하우스도르프가 그의 저서 "집합론의 원리"에서 처음으로 정의했다. 거리 공간은 1906년 모리스 프레셰에 의해 먼저 정의되었지만, "거리 공간"이라는 용어를 대중화한 것은 하우스도르프였다.^[4]^[5]

참조

_[1] 서적 1968
_[2] 서적 Introduction to metric and topological spaces https://www.worldcat[...] Clarendon Press 1975
_[3] 서적 Mathematics and its history
_[4] 문서 metric space
_[5] 서적 Grundzüge der Mengenlehre https://books.google[...] Von Veit 2022-08-20
_[6] 서적 Topology Pearson 2015
_[7] 간행물 $T_1$ -complements of $T_1$ topologies
_[8] 간행물 Moduli of graphs and automorphisms of free groups http://www.math.corn[...] 1986
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 웹사이트 해석학III 함수해석 https://www.ma.noda.[...] 東京理科大学 2021-02-05
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서
_[19] 문서
_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 웹사이트 net https://ncatlab.org/[...] nLab 2021-02-08
_[23] 문서
_[24] 문서
_[25] 문서
_[26] 문서
_[27] 문서
_[28] 문서
_[29] 문서
_[30] 문서
_[31] 문서
_[32] 서적
_[33] 서적

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