함수해석학

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1. 개요
2. 노름 벡터 공간
- 2.1. 힐베르트 공간
- 2.2. 바나흐 공간
3. 선형 범함수
4. 함수해석학의 주요 정리
5. 응용
6. 관련 분야
7. 주요 연구자
8. 수학적 기초에 대한 고려 사항
9. 관점
참조

1. 개요

함수해석학은 실수 또는 복소수로 구성된 완비 노름 벡터 공간, 즉 바나흐 공간을 주로 연구하는 수학의 한 분야이다. 힐베르트 공간은 내적으로부터 노름이 유도되는 바나흐 공간의 특별한 경우로, 양자역학 등 여러 분야에서 중요하게 사용된다. 함수해석학은 힐베르트 공간, 바나흐 공간, 선형 범함수 등을 연구하며, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 닫힌 그래프 정리, 균등 유계 원리 등 주요 정리를 다룬다. 이 분야는 양자역학의 수학적 기초, 수치 해석, 기계 학습 등 다양한 분야에 응용되며, 리즈・프리제스, 스테판 바나흐, 다비트 힐베르트 등이 발전에 기여했다.

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함수해석학
역사
등장 시기	20세기
창시자	힐베르트 에르하르트 슈미트 프레드홀름
주요 개념
기본 대상	함수 공간
주요 공간	바나흐 공간 힐베르트 공간 프레셰 공간 국소 볼록 공간
주요 정리	한-바나흐 정리 균등 한계 원리 열린 사상 정리 닫힌 그래프 정리
주요 연산자	선형 연산자 유계 연산자 콤팩트 연산자 프레드홀름 연산자
응용 분야
물리학	양자역학 통계역학
공학	신호 처리 시스템 이론
경제학	계량경제학
기타	미분 방정식 적분 방정식 수치 해석 최적화 이론 확률론

2. 노름 벡터 공간

현대 함수해석학에서는 주로 실수나 복소수로 구성된 완비 노름 공간을 다룬다. 이러한 공간을 바나흐 공간이라고 하며, 힐베르트 공간은 노름이 내적으로부터 유도되는 특별한 경우이다. 힐베르트 공간은 양자역학 등 여러 분야에서 매우 중요하게 사용된다.^[5]

함수해석학에서 기본적인, 그리고 역사적으로 처음 연구된 공간의 종류는 실수 또는 복소수 체 위에서 정의되는 완비 노름 벡터 공간이다. 이러한 공간을 바나흐 공간이라고 부른다. 힐베르트 공간은 노름이 내적에서 유래하는 중요한 예시이다. 이러한 공간들은 양자 역학의 수학적 공식화, 기계 학습, 편미분 방정식, 그리고 푸리에 해석을 포함한 많은 분야에서 기본적인 중요성을 지닌다.

2. 1. 힐베르트 공간

힐베르트 공간은 동형사상까지 유일하며, 정규 직교 기저의 모든 기수에 해당한다.^[5] 유한 차원 힐베르트 공간은 선형대수학에서 완전히 이해되며, 무한 차원 가분 힐베르트 공간은

\ell^{\,2}(\aleph_0)\,

와 동형이다. 가분성은 응용 분야에서 중요하기 때문에 힐베르트 공간의 함수 해석은 결과적으로 이 공간을 주로 다룬다. 함수 해석학의 열린 문제 중 하나는 힐베르트 공간의 모든 유계 선형 연산자가 고유 불변 부분 공간을 갖는다는 것을 증명하는 것이다. 이 불변 부분 공간 문제의 많은 특수한 경우가 이미 증명되었다.

2. 2. 바나흐 공간

일반적인 바나흐 공간은 힐베르트 공간보다 더 복잡하며, 힐베르트 공간처럼 간단한 방식으로 분류될 수 없다. 특히, 많은 바나흐 공간은 정규 직교 기저와 유사한 개념을 가지고 있지 않다.

바나흐 공간의 예로는 모든 실수

p\geq1

에 대한

L^p

공간이 있다. 집합

X

에 대한 측도

\mu

가 주어지면,

L^p(X)

(때로는

L^p(X,\mu)

또는

L^p(\mu)

로 표기)의 벡터는 가측 함수

f

의 동치류

[\,f\,]

로,

f

의 절댓값의

p

제곱이 유한한 적분을 갖는 함수들이다. 즉, 다음 조건을 만족하는 함수이다.

\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < \infty.

\mu

가 계수 측도인 경우, 적분은 합으로 대체될 수 있다. 즉, 다음 조건을 만족해야 한다.

\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p < \infty .

이 경우 동치류를 다룰 필요가 없으며, 공간은

\ell^p(X)

로 표기하고,

X

가 음이 아닌 정수의 집합인 경우에는 더 간단하게

\ell^p

로 표기한다.

바나흐 공간 연구의 상당 부분은 쌍대 공간을 포함한다. 쌍대 공간은 공간에서 그 기저 체로의 모든 연속 선형 사상의 공간, 즉 범함수이다. 바나흐 공간은 자신의 이중 쌍대 공간(쌍대 공간의 쌍대 공간)의 부분 공간으로 자연스럽게 식별될 수 있다. 해당 사상은 등거리 사상이지만, 일반적으로 전사 함수는 아니다. 일반적인 바나흐 공간과 그 이중 쌍대 공간은 유한 차원 상황과는 달리 어떤 방식으로도 등거리적으로 동형일 필요가 없다. 이는 쌍대 공간 문서에서 설명한다.

또한, 미분의 개념은 바나흐 공간 사이의 임의의 함수로 확장될 수 있다. 예를 들어, 프레셰 미분 문서를 참조하라.

3. 선형 범함수

선형 범함수는 벡터 공간에서 그 기저 체로 가는 선형 사상이다.^[6]

4. 함수해석학의 주요 정리

함수해석학의 4대 기둥이라고도 불리는 4개의 주요 정리가 있다.

한-바나흐 정리
열린 사상 정리
폐그래프 정리
균등 유계 원리, 또는 바나흐-슈타인하우스 정리라고도 한다.

4. 1. 균등 유계 원리 (바나흐-슈타인하우스 정리)

바나흐-슈타인하우스 정리라고도 불리는 균등 유계 원리는 함수 해석학의 기본적인 결과 중 하나이다. 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리와 함께 이 분야의 초석 중 하나로 여겨진다. 이 정리는 바나흐 공간을 정의역으로 갖는 연속 선형 연산자(유계 작용소)들의 집합에 대해, 점별 유계성은 연산자 노름에서의 균등 유계성과 동치임을 보여준다.

이 정리는 1927년 스테판 바나흐와 휴고 슈타인하우스에 의해 처음 발표되었지만, 한스 한에 의해 독립적으로 증명되었다.
정리 (균등 유계 원리)X를 바나흐 공간, Y를 노름 벡터 공간이라 하자. F가 X에서 Y로의 연속 선형 연산자들의 모임이라고 가정하고, 모든 X의 x에 대해 다음이 성립한다고 하자.

\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y  < \infty,

그러면 다음이 성립한다.

\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)}  < \infty.

4. 2. 스펙트럼 정리

스펙트럼 정리로 알려진 많은 정리들이 있지만, 특히 함수해석학에서 많은 응용을 가지고 있는 정리가 있다.^[7]

힐베르트 공간 $H$ 상의 유계 자기 수반 연산자 $A$가 있을 때, 측도 공간 $(X, \Sigma, \mu)$와 $X$ 상의 실수 값을 갖는 본질적으로 유계인 가측 함수 $f$, 그리고 유니타리 연산자 $U:H\to L^2_\mu(X)$가 존재하여 $ U^* T U = A $를 만족한다. 여기서 $T$는 곱셈 연산자로, $[T \varphi](x) = f(x) \varphi(x)$이며, $\|T\| = \|f\|_\infty$이다.^[7]

이는 연산자 이론의 시작점이며, 스펙트럼 측도와도 관련이 있다.

힐베르트 공간 상의 유계 정규 연산자에 대한 스펙트럼 정리도 존재하며, 이 경우 $f$는 복소수 값을 가질 수 있다는 차이점이 있다.

4. 3. 한-바나흐 정리

한-바나흐 정리는 함수해석학의 핵심 도구이다. 이 정리는 어떤 벡터 공간의 부분 공간에서 정의된 유계 선형 범함수를 전체 공간으로 확장할 수 있게 한다.^[8] 또한 모든 노름 공간에 정의된 "충분한" 연속 선형 범함수가 존재하여 쌍대 공간 연구를 "흥미롭게" 만든다.^[8]

만약

p:V\to\mathbb{R}

이 부분 선형 함수이고,

\varphi:U\to\mathbb{R}

이

U\subseteq V

인 선형 부분 공간에 정의된

p

에 의해 지배되는 선형 범함수라면, 즉

\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U

전체 공간

V

로의

\varphi

의 선형 확장

\psi:V\to\mathbb{R}

이 존재하며, 이는

V

에서

p

에 의해 지배된다.^[8] 즉, 다음과 같은 선형 범함수

\psi

가 존재한다.^[8]

\begin{align}\psi(x) &= \varphi(x) &\forall x\in U, \\\psi(x) &\le p(x) &\forall x\in V.\end{align}

4. 4. 열린 사상 정리 (바나흐-샤우데르 정리)

바나흐-샤우데르 정리(Banach–Schauder theorem)라고도 알려진 열린 사상 정리(open mapping theorem)는 바나흐 공간 사이의 유계 선형 작용소가 전사이면 열린 사상이라는 것을 나타내는 기본적인 결과이다.^[8]

만약 ''X''와 ''Y''가 바나흐 공간이고 ''A'':''X''→''Y''가 전사인 연속 선형 작용소이면, ''A''는 열린 사상이다 (즉, ''U''가 ''X''의 열린 집합이면, ''A''(''U'')는 ''Y''에서 열린 집합이다).^[8]

증명은 베어 범주 정리를 사용하며, ''X''와 ''Y'' 둘 다의 완비성은 정리에 필수적이다. 정리의 명제는 두 공간 중 하나라도 노름 공간이라고 가정하면 더 이상 참이 아니지만, ''X''와 ''Y''를 프레셰 공간으로 간주하면 참이다.

4. 5. 닫힌 그래프 정리

위상 공간에서 콤팩트 하우스도르프 공간으로 가는 선형 사상 T의 그래프가 닫혀 있을 필요충분조건은 T가 연속인 것이다.^[9]

5. 응용

함수해석학, 특히 힐베르트 공간은 양자역학의 수학적 기초이다.^[14]^[15] 또한, 컴퓨터가 고도로 발달한 현대에는 수치 해석, 특히 유한 요소법과 정도 보증付き 수치 계산에서 미분 방정식의 해의 존재를 논의하기 위해 사용될 뿐만 아니라^[16]^[17]^[18]^[19]^[20], 기계 학습에도 응용된다.^[21]

6. 관련 분야

프레드홀름 이론은 프레드홀름 작용소와 관련된 이론이다. 작용소론은 작용소에 대한 이론이며, 작용소환론은 작용소환에 대한 이론이다. 푸리에 해석 및 실해석학과도 관련이 있다. 해석적 반군과 C0-반군 또한 함수해석학의 관련 분야이다.

7. 주요 연구자

리즈・프리제스, 스테판 바나흐, 다비트 힐베르트는 함수해석학의 발전에 크게 기여한 수학자들이다. 이스라엘 겔판트, 피터 락스, 가토 토시오, 요시다 고사쿠 등도 이 분야의 주요 연구자이다. 후지타 히로시, 마스다 히사야 또한 함수해석학 연구에 중요한 업적을 남겼다.

8. 수학적 기초에 대한 고려 사항

함수해석학에서 고려되는 대부분의 공간은 무한 차원을 갖는다. 이러한 공간에 대한 벡터 공간 기저의 존재를 보이기 위해서는 Zorn의 보조정리가 필요할 수 있다. 하지만, 함수해석학에서는 다소 다른 개념인 Schauder 기저가 일반적으로 더 관련이 깊다. 많은 정리는 Hahn-Banach 정리를 필요로 하며, 이는 일반적으로 선택 공리를 사용하여 증명되지만, 더 약한 형태인 부울 소 아이디얼 정리로도 충분하다. 중요한 여러 정리를 증명하는 데 필요한 Baire 범주 정리 역시 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.

9. 관점

함수 해석학은 다음과 같은 경향을 포함한다.

'''추상 해석'''. 위상군, 위상환, 위상 벡터 공간을 기반으로 하는 해석적 접근 방식.
'''바나흐 공간의 기하학'''은 많은 주제를 포함한다. 장 부르갱과 관련된 조합적 접근 방식, 다양한 형태의 대수의 법칙이 성립하는 바나흐 공간의 특성이 있다.
'''비가환 기하학'''. 알랭 콘이 개발했으며, 에르고딕 이론에 대한 조지 매키의 접근 방식과 같은 이전 개념을 부분적으로 기반으로 한다.
'''양자역학과의 연결'''. 수리물리학에서와 같이 좁게 정의되거나, 이스라엘 겔판트에 의해 표현론의 대부분의 유형을 포함하도록 광범위하게 해석된다.

참조

_[1] 웹사이트 Volterra's functionals and covariant cohesion of space http://www.acsu.buff[...] Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia 2018-06-12
_[2] 서적 History of Mathematical Sciences http://dx.doi.org/10[...] WORLD SCIENTIFIC 2004-10
_[3] 서적 An introductory course in functional analysis Springer
_[4] 서적 A Course in Functional Analysis and Measure Theory Springer
_[5] 서적 Functional analysis https://www.worldcat[...] Dover Publications 1990
_[6] 서적 Linear Functional Analysis https://www.amazon.c[...] Springer 2023-12-30
_[7] 서적 Quantum Theory for Mathematicians https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-06-19
_[8] 서적 Functional Analysis https://books.google[...] McGraw-Hill 1991
_[9] 서적 Topology https://books.google[...] Prentice Hall, Incorporated 2000
_[10] 웹사이트 Functional analysis at nLab https://ncatlab.org/[...]
_[11] 웹사이트 Functional Analysis http://mathworld.wol[...] Eric W. Weisstein
_[12] 웹사이트 Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...]
_[13] 문서 関数解析の基礎- $\infty$ 次元の微積分- 内田老鶴圃
_[14] 문서 関数解析学と量子物理学 http://www.math.s.ch[...]
_[15] 문서 数学者のための量子力学入門 http://www2.math.kyu[...]
_[16] 서적 精度保証付き数値計算の基礎コロナ社 2018
_[17] 문서 精度保証付き数値計算チュートリアル: 応用数理最前線 1998
_[18] 서적 実例で学ぶ精度保証付き数値計算サイエンス社 2011
_[19] 서적 Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations https://link.springe[...] Springer
_[20] 문서 Poisson方程式に対する有限要素法の解析超特急 http://nalab.mind.me[...]
_[21] 문서 Functional Analysis meets Deep Learning http://statslab.cam.[...]

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