현수 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 현수
- 2.2. 축소 현수
3. 성질
4. 다른 관점
5. 예시
6. 역사
7. 응용
8. 탈현수
참조

1. 개요

현수(suspension)는 위상 공간 X로부터 만들어지는 위상 공간으로, 곱공간 X × [0,1]의 양 끝을 하나의 점으로 동일시하여 얻어진 몫공간이다. 현수는 원기둥을 구성하고 양 끝을 단일점으로 간주하거나, X에 대한 두 개의 원뿔을 밑면에서 접합하는 방식으로 정의할 수 있다. 축소 현수는 X × [0,1]에서 X × {0, 1}과 {x0} × [0,1]을 하나의 점으로 동일시한 몫공간이며, X의 스매시 곱과 위상 동형이다. CW 복합체의 경우 현수와 축소 현수는 호모토피 동치이다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 현수는 호모토피 군의 준동형을 제공하며, 안정 호모토피 이론의 기반이 된다. 한스 프로이덴탈이 1928년 프로이덴탈 현수 정리를 증명했다.

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현수 (위상수학)
위상수학의 기본 개념
정의	위상 공간에서 연속 변환 하에서 불변하는 성질을 연구하는 것
주요 분야	점집합 위상수학 대수적 위상수학
현수 (懸垂)
정의	위상 공간의 현수는 원래 공간의 두 복사본을 각 끝점에서 붙여서 만든 공간이다.
기호	SX (여기서 X는 원래 위상 공간)
구성 방법	X × I (I는 단위 구간 [0, 1])을 X × {0}과 X × {1}을 각각 점으로 축약하여 만든다.
성질	현수 연산은 위상 공간의 호모토피 유형을 보존한다. 현수는 낮은 차원의 위상 공간을 사용하여 더 높은 차원의 공간을 구성하는 데 사용된다.
수식 표현
현수	Sf([x, t]) := [f(x), t] (여기서 f는 X에서 Y로의 함수)
현수 사상	Sf: SX → SY
관련 개념
반복 현수	SⁿX (n은 0 이상의 정수)
조인 (join)	S⁰ (0차원 구면의 현수는 1차원 구면 S¹)
축소 현수	축소 현수 (reduced suspension)는 밑점을 갖는 공간에서 밑점을 하나의 점으로 collapsing 시켜 얻어지는 현수이다.
응용
호모토피 이론	현수는 프로이덴탈 현수 정리와 안정 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다. 공간의 호모토피 군을 연구하는 데 사용된다.
언어별 명칭
영어	Suspension
일본어	懸垂 (켄스이)

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 '''현수''' $\mathrm{SX}$ 는 곱공간 $X \times [0,1]$ 에서 양 끝 $X \times \{0\}$ 과 $X \times \{1\}$ 을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 즉, $X \times [0,1]$ 에서 양 끝 $X\times\{0\},X\times\{1\}\subset X\times[0,1]$ 을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다.

현수는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다.

원기둥 $X \times [0,1]$ 을 구성하고, $X\times \{0\}$ 과 $X\times \{1\}$ 을 단일 점으로 간주한다.
$SX := v_0 \cup_{p_0}(X \times [0,1])\cup_{p_1} v_1$ 로 정의한다. 이는 $\varinjlim_{i \in \{0,1\}} \bigl( (X \times [0,1]) \hookleftarrow (X\times \{i\}) \xrightarrow{p_i} v_i\bigr)$ 와 같다. 여기서 $v_0, v_1$ 은 두 개의 점이고, {0,1}의 각 ''i''에 대해, $p_i$ 는 점 $v_i$ 로의 사영이다. 즉, 현수 $SX$ 는 원기둥 $X \times [0,1]$ 을 구성한 다음, 그 면 $X\times\{0\}$ 과 $X\times\{1\}$ 을 사영 $p_i: \bigl( X\times\{i\} \bigr)\to v_i$ 를 따라 점 $v_0, v_1$ 에 붙여 구성한 결과이다.
''X''에 대한 두 개의 원뿔을 그 밑면에서 함께 붙인 것으로 볼 수 있다.
조인 $X\star S^0$ 으로 정의할 수 있으며, 여기서 $S^0$ 는 두 개의 점을 가진 이산 공간이다.^[2]
호모토피 형식에서, $SX$ 는 다음으로 생성된 고차 귀납적 유형으로 정의될 수 있다.

::S:

SX

::N:

SX

::

Merid: \bigl( X\bigr)\to (N=S)

^[3]

2. 1. 현수

위상 공간

X

의 '''현수'''

\mathrm{SX}

는 곱공간

X \times [0,1]

에서 양 끝

X \times \{0\}

과

X \times \{1\}

을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 즉,

X \times [0,1]

에서 양 끝

X\times\{0\},X\times\{1\}\subset X\times[0,1]

을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다.

현수는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다.

원기둥 $X \times [0,1]$ 을 구성하고, $X\times \{0\}$ 과 $X\times \{1\}$ 을 단일 점으로 간주한다.
$SX := v_0 \cup_{p_0}(X \times [0,1])\cup_{p_1} v_1\ =\ \varinjlim_{i \in \{0,1\}} \bigl( (X \times [0,1]) \hookleftarrow (X\times \{i\}) \xrightarrow{p_i} v_i\bigr),$ 로 정의한다. 여기서 $v_0, v_1$ 은 두 개의 점이고, {0,1}의 각 ''i''에 대해, $p_i$ 는 점 $v_i$ 로의 사영이다. 즉, 현수 $SX$ 는 원기둥 $X \times [0,1]$ 을 구성한 다음, 그 면 $X\times\{0\}$ 과 $X\times\{1\}$ 을 사영 $p_i: \bigl( X\times\{i\} \bigr)\to v_i$ 를 따라 점 $v_0, v_1$ 에 붙여 구성한 결과이다.
''X''에 대한 두 개의 원뿔을 그 밑면에서 함께 붙인 것으로 볼 수 있다.
조인 $X\star S^0$ 으로 정의할 수 있으며, 여기서 $S^0$ 는 두 개의 점을 가진 이산 공간이다.^[2]
호모토피 형식에서, $SX$ 는 다음으로 생성된 고차 귀납적 유형으로 정의될 수 있다.

S:

SX

N:

SX

Merid: \bigl( X\bigr)\to (N=S)

^[3]

현수는 위상 공간의 범주에서 자기 함자를 이룬다. 연속함수

f\colon X\to Y

가 존재한다면, 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수

\mathrm Sf\colon\mathrm SX\to\mathrm SY

가 존재한다.

Sf([x,t]):=[f(x),t]

로 정의되는 연속 사상

Sf:SX\rightarrow SY

가 존재하며, 여기서 대괄호는 동치류를 나타낸다. 이는

S

를 위상 공간 범주에서 자기 자신으로의 함자로 만든다.

2. 2. 축소 현수

점을 가진 공간

(X,x_0)

의 축소 현수

\Sigma X

는

X \times [0,1]

에서

X \times \{0, 1\}

과

\{x_0\} \times [0,1]

을 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 이는 ''SX''를 취하고 두 끝점을 잇는 선 (''x''₀ × ''I'')을 단일 점으로 축소하는 것과 같다. 기점 공간 Σ''X''의 기점은 (''x''₀, 0)의 동치류로 간주된다.

수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

:

\Sigma X=X\wedge\mathbb S^1=X\times\mathbb S^1/(X\vee\mathbb S^1)=X\times[0,1]/(X\times\{0,1\}\cup\{x_0\}\times[0,1])

여기서

\wedge

는 분쇄곱이고,

\vee

는 쐐기합이며,

\mathbb S^1

은 원이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점

X\vee\mathbb S^1\subset\Sigma X

을 가진다.

''X''의 축소 현수가 단위 원 ''S''¹과 ''X''의 스매시 곱과 위상 동형임을 보일 수 있다.

:

\Sigma X \cong S^1 \wedge X

CW 복합체와 같은 잘 동작하는 공간의 경우, ''X''의 축소 현수는 비기저 현수와 호모토피 동치이다.

축소 현수는 점을 가진 공간의 범주에서 자기 함자를 이루며, 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자이다. 즉, 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주

\operatorname{Top}_\bullet

의 자기 함자

:

\Sigma\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Top}_\bullet

를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자

\Omega X

이다.

이는 다음과 같은 자연 동형을 갖는다.

:

\operatorname{Maps}_*\left(\Sigma X,Y\right) \cong \operatorname{Maps}_*\left(X,\Omega Y\right)

여기서

X

와

Y

는 점있는 공간이고

\operatorname{Maps}_*

는 밑점을 보존하는 연속 함수를 나타낸다. 이 수반은 커링과 유사하며, 데카르트 곱에 대한 사상을 커리 형태(curried form)로 변환하며, Eckmann–Hilton 이중성의 한 예이다.

3. 성질

CW 복합체 $X$ 의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다.

$X$ 가 점을 갖는 CW 복합체이며, $n$ 차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 이 경우, 호모토피 군의 준동형

: $\pi_\bullet(X)\to\pi_\bullet(\Omega(\Sigma X))\cong\pi_{\bullet+1}(\Sigma X)$

이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은 $\bullet\le2n$ 일 경우는 동형이며, $\bullet=2n+1$ 일 경우는 전사이다.

프로이덴탈 현수 정리에 따라서, $X$ 가 n-연결 공간일 경우, $\Sigma^kX$ 는 $(n+k)$ -연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. $X$ 의 $\bullet$ 차 '''안정 호모토피 군'''(stable homotopy group^영어)은 충분히 큰 $k$ 에 대한

: $\pi_{\bullet+k}(\Sigma^kX)$

이다.

현수는 공간의 차원을 1만큼 증가시킨다. 예를 들어, $n$ -구를 $n$ ≥ 0인 ( $n$ + 1)-구로 변환한다.

연속 사상 $f:X\rightarrow Y$ 가 주어지면, $Sf([x,t]):=[f(x),t]$ 로 정의되는 연속 사상 $Sf:SX\rightarrow SY$ 가 존재하며, 여기서 대괄호는 동치류를 나타낸다. 이는 $S$ 를 위상 공간 범주에서 자기 자신으로의 함자로 만든다. 축소된 현수는 준동형을 구성하는 데 사용될 수 있으며, 이는 호모토피 군에 적용되고, 이에 프로이덴탈 현수 정리가 적용된다. 호모토피 이론에서, 적절한 의미에서 현수에 의해 보존되는 현상은 안정 호모토피 이론을 구성한다.

4. 다른 관점

5. 예시

n-공의 현수는 (n+1)-공과 위상 동형이다.

6. 역사

한스 프로이덴탈이 1928년에 프로이덴탈 현수 정리를 증명하였다.^[7]

7. 응용

축소 현수는 호모토피 군의 준동형을 구성하는 데 사용되며, 프로이덴탈 현수 정리가 적용된다. 이는 안정 호모토피 이론의 기반이 된다.

8. 탈현수

탈현수(Desuspension)는 현수의 부분적인 역연산이다.^[5]^[6]

참조

_[1] 서적 Algebraic topology. http://pi.math.corne[...] Cambridge University Presses 2002
_[2] 서적 Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry Springer-Verlag 2007
_[3] 웹사이트 suspension type in nLab https://ncatlab.org/[...] 2024-08-20
_[4] 서적 Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry Springer-Verlag 2007
_[5] 웹사이트 Imagining Negative-Dimensional Space http://www.fortheluk[...] forthelukeofmath.com 2015-06-23
_[6] 웹사이트 Imagining Negative-Dimensional Space http://www.fortheluk[...] forthelukeofmath.com 2015-06-23
_[7] 저널 Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen http://www.numdam.or[...] 1938

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