고리 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 위상수학
  - 3.1.1. 에크만-힐튼 쌍대성
- 3.2. 미분기하학
  - 3.2.1. 천 미분 형식 (반복 적분)
참조

1. 개요

고리 공간은 위상 공간에서 정의되는 개념으로, 점을 가진 공간 X 위의 고리 공간 ΩX는 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간이다. 자유 고리 공간은 연속 함수들의 공간이며, 위상군 G의 고리 공간 ΩG와 자유 고리 공간 LG는 위상군을 이룬다. 고리 공간은 호모토피 군, 에크만-힐튼 쌍대성과 관련이 있으며, 미분기하학에서는 유한 에너지 고리와 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체로 나타낼 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 공간 - 위상 공간 (수학)
위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 위상 구조로 이루어진 수학적 공간으로, 열린집합, 닫힌집합, 근방 등의 개념을 통해 점들의 상대적인 위치 관계를 형식화하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 다양한 분야에서 사용된다.
위상 공간 - 비이산 공간
비이산 공간은 열린 집합이 공집합과 전체 공간뿐인 가장 조잡한 위상을 가진 위상 공간이며, 콜모고로프 공간이 아니고 두 개 이상의 점을 갖는 경우 거리화 가능 공간이나 하우스도르프 공간이 될 수 없지만 R0 공간, 경로 연결 공간, 콤팩트 공간 등의 위상적 성질을 만족한다.
호모토피 이론 - 모노드로미
모노드로미는 연결 국소 연결 공간의 피복 공간에서 기본군의 작용으로 이해되는 개념으로, 모노드로미 작용에 대응하는 군 준동형의 상인 모노드로미 군을 통해 복소해석학, 리만 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며 갈루아 이론과도 관련된다.
호모토피 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.

고리 공간

2. 정의

점을 가진 공간 $X$ 위의 '''고리 공간'''은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 $\hom_{\operatorname{Top}_\bullet}(\mathbb S^1,X)$ 이며, $\Omega X$ 로 쓴다. 위상 공간 $X$ 위의 '''자유 고리 공간'''(free loop space|프리 루프 스페이스^영어)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 $\hom_{\operatorname{Top}}(\mathbb S^1,X)$ 이며, $\mathcal L X$ 로 쓴다.

위상군 $G$ 는 항등원 $1\in G$ 을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 $\Omega G$ 및 자유 고리 공간 $\mathcal L G$ 는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

: $\alpha\beta\colon \theta\mapsto\alpha(\theta)\beta(\theta)$

이를 각각 '''고리군'''(loop group|루프 군^영어) 및 '''자유 고리군'''(free loop group|프리 루프 군^영어)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

: $\operatorname{ev}_0\colon\mathcal L G\to G$

: $\operatorname{ev}_0\colon \alpha\mapsto\alpha(0)$

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

: $\Omega G=\ker\operatorname{ev}_0$

2. 1. 고리 공간과 자유 고리 공간

점을 가진 공간

X

위의 '''고리 공간'''은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간

\hom_{\operatorname{Top}_\bullet}(\mathbb S^1,X)

이며,

\Omega X

로 쓴다.

위상 공간

X

위의 '''자유 고리 공간'''(free loop space|프리 루프 스페이스^영어)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간

\hom_{\operatorname{Top}}(\mathbb S^1,X)

이며,

\mathcal L X

로 쓴다.

2. 2. 고리군

위상군

G

는 항등원

1\in G

을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간

\Omega G

및 자유 고리 공간

\mathcal LG

는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

:

\alpha\beta\colon \theta\mapsto\alpha(\theta)\beta(\theta)

이를 각각 '''고리군'''(loop group^영어) 및 '''자유 고리군'''(free loop group^영어)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

:

\operatorname{ev}_0\colon\mathcal LG\to G

:

\operatorname{ev}_0\colon \alpha\mapsto\alpha(0)

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

:

\Omega G=\ker\operatorname{ev}_0

2. 3. 유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체

리만 다양체 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 줄 수 있다.

구체적으로, 소볼레프 공간

\operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,M)

에 속하는 유한 에너지 고리들을 생각하자. 즉,

:

\int_{[0,1]}g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,\mathrm dt < \infty

인 고리들이다.

이들은 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간)

\mathcal LM

을 이룬다.^[6] 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간

:

\operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^{\dim M})

과 동형이다.

또한, 표준적으로

:

\mathrm T\mathcal LM \cong \mathcal L\mathrm TM

가 된다.

소볼레프 매장 정리(Sobolev embedding theorem|소볼레프 임베딩 정리^영어)에 의하여, 모든

\operatorname L^{1,2}

함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

2. 4. 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체

(유한 차원) 매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 함수

\gamma\colon\mathbb S^1 \to M

들의 공간

\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,M)

에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간

\mathcal C^\infty(\mathbb S,\mathbb R^{\dim M})

과 동형이다.

3. 성질

고리 공간은 위상수학적 성질과 미분기하학적 성질을 가진다. 위상수학적으로는 호모토피 군, 에크만-힐튼 쌍대성 등의 개념이 관련되며, 미분기하학적으로는 천 미분 형식(반복 적분)과 같은 특별한 미분 형식이 존재한다.

3. 1. 위상수학

고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\pi_{k+1}(X)=\pi_k(\Omega X)

특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만, 이는 동형 사상은 아니다.

:

[X\times\mathbb S^1,Y] \leftrightarrow [X, \mathcal LY]

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산

:

\Omega X\times\Omega X\to\Omega X

이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 호모토피 상에서는 결합 법칙을 따른다. 이러한 연산으로 인해 고리 공간은 A_∞-공간을 이룬다.^[1]

3. 1. 1. 에크만-힐튼 쌍대성

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 X, Y에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.^[1]

:ΣX,Y ≅ [X, ΩY]

여기서 ΣX는 X의 축소 현수이며, [-,-]는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

고리 공간은 동일한 공간의 현수와 이중성을 갖는다. 이 이중성은 때때로 에크만-힐튼 이중성이라고 불린다. 기본적인 관찰은 다음과 같다.^[1]

:[ΣZ,X] ≊ [Z, ΩX]

여기서 [A,B]는 맵 A → B의 호모토피 클래스의 집합이고, ΣA는 A의 현수이며, ≊는 자연 동형사상을 나타낸다.

일반적으로 임의의 공간 A와 B에 대해 [A, B]는 그룹 구조를 갖지 않는다. 그러나 Z와 X가 점있는 공간일 때 [ΣZ,X]와 [Z, ΩX]가 자연스러운 그룹 구조를 가지며, 앞서 언급한 동형사상은 이러한 그룹의 동형사상임을 보일 수 있다.^[1] 따라서 Z = S^k-1 (k-1 구)로 설정하면 다음과 같은 관계가 얻어진다.^[2]

:π_k(X) ≊ π_k-1(ΩX)

이것은 호모토피 군이 π_k(X)=[S^k,X]로 정의되고, 구는 서로의 현수를 통해 얻을 수 있기 때문이다. 즉, S^k=ΣS^k-1이다.^[2]

3. 2. 미분기하학

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 자유 고리 공간

\mathcal LM

에는 원군 U(1)이 자연스럽게 작용하며, 이는 벡터장과 내부곱을 정의한다. 고리 공간에는 천 미분 형식(반복 적분)이라는 특별한 미분 형식들이 존재하며,^[7] 쐐기곱과 외미분에 대해 닫혀있다.

3. 2. 1. 천 미분 형식 (반복 적분)

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 자유 고리 공간

\mathcal LM

위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 작용하며, 이는 벡터장

X \in \Gamma(\mathrm T\mathcal LM)

을 정의한다. 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱

X\lrcorner \colon \Omega^\bullet(\mathcal LM) \to \Omega^{\bullet-1}(\mathcal LM)

이 존재한다.

고리 공간 위에는 '''천 미분 형식'''(Chen differential form^영어) 또는 '''반복 적분'''(iterated integral^영어)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다.^[7] 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체

M

위의 미분 형식

\alpha_1,\dotsc,\alpha_k \in \Omega(M)

(

\deg \alpha_i = n_i+1

)에 대해, '''천 미분 형식'''

\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) \in \Omega^{n_1+\dotsb+n_k+1}(\mathcal LM)

을 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.

:

\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) = \int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}\mathrm dt_1\dotsm\mathrm dt_k(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_1}^*\alpha_1)\wedge\dotsb\wedge(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_k}^*\alpha_k)

여기서

$t\in[0,1]$ 에 대하여, 값매김 사상 $\operatorname{ev}_t \colon \mathcal LM \to M$ 은 $\gamma\mapsto \gamma(t)$ 이다. $\operatorname{ev}_t^*$ 은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
$\textstyle\int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}$ 은 $k$ 차원 단체 $\triangle_k$ 위의 적분이다.

특히, 한 1차 미분 형식

A

만이 주어졌을 때는 함수

\mathcal LM \to \mathbb R

,

\gamma \mapsto \int_\gamma A

에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다.

천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

:

\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)\wedge\int(\alpha_{k+1},\dotsc,\alpha_{k+l}) = \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(k,l)} (-)^\sigma\int(\alpha_{\sigma(1)},\dotsc,\alpha_{\sigma(k+l)})

여기서

$\operatorname{Sh}(k,l)$ 은 셔플 순열의 집합이다. 즉, $\{1,\dotsc,k+l\}$ 의 순열 가운데 $\sigma(1)\le \dotsb\le\sigma(k)$ 이며 $\sigma(k+1)\le\dotsb\le\sigma(k+l)$ 인 것이다.
$(-)^\sigma\in\{\pm1\}$ 는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.^[7]

:

\mathrm d\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)=

\sum_{i=1}^k

(-)^{n_1+\dotsb+n_{i-1}}\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{i-1},\mathrm d\alpha_i,\alpha_{i+1},\dotsc,\alpha_k)

\operatorname{ev}_0^*\alpha_1\wedge\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)

(-)^{n_1}\int(\alpha_1\wedge\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_k)
(-)^{n_1+n_2}\int(\alpha_1,\alpha_2\wedge\alpha_3,\alpha_4,\dotsc,\alpha_k)
\dotsb
(-)^{n_1+\dotsb+n_{k-1}}\left(\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{k-1})\right)\wedge\operatorname{ev}_1^*\alpha_k

참조

_[1] 간행물 A Concise Course in Algebraic Topology http://www.math.uchi[...] U. Chicago Press, Chicago 2016-08-27
_[2] 웹사이트 Topospaces wiki – Loop space of a based topological space http://topospaces.su[...]
_[3] 서적 Infinite loop spaces http://press.princet[...] Princeton University Press 1978
_[4] 서적 The geometry of iterated loop spaces http://www.math.uchi[...] Springer 2015-06-14
_[5] 서적 Loop groups Oxford University Press
_[6] 서적 https://bookstore.am[...] 2018-08-29
_[7] 저널 1991-11-03

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com