분쇄곱

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 수반 관계
- 5.1. Hom 함자와의 관계
- 5.2. 루프 공간 함자와의 관계
참조

1. 개요

분쇄곱은 위상 공간으로 이루어진 범주에서 두 대상의 곱을 정의하는 연산이다. 분쇄곱은 교환 법칙을 따르며, 특정 조건 하에 결합 법칙과 분배 법칙 또한 만족한다. 분쇄곱은 초구, 원, 환원된 현수 등 다양한 공간의 곱을 계산하는 데 사용되며, 수반 함자 관계를 통해 텐서곱과 연관된다.

더 읽어볼만한 페이지

호모토피 이론 - 모노드로미
모노드로미는 연결 국소 연결 공간의 피복 공간에서 기본군의 작용으로 이해되는 개념으로, 모노드로미 작용에 대응하는 군 준동형의 상인 모노드로미 군을 통해 복소해석학, 리만 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며 갈루아 이론과도 관련된다.
호모토피 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
대수적 위상수학 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
대수적 위상수학 - 톰 공간
톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되며, 르네 톰에 의해 도입되었고, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 관계를 가지며 특성류 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

분쇄곱
정의
정의	위상 공간에서, 밑점을 가진 두 공간의 곱공간에서 밑점을 동일시하여 얻는 몫공간.
영어 명칭	smash product
기호
기호	X ∧ Y X ⨳ Y
관련 개념
관련 개념	쐐기합

2. 정의

위상 공간으로 이뤄진 범주 $\mathcal C_\bullet$ 속의 두 점을 가진 공간 $(X,x_0)$ , $(Y,y_0)$ 이 주어졌다고 하자. 이 둘의 '''분쇄곱'''( $X\wedge Y$ )은 몫공간으로 정의된다.

: $X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)$

여기서 $X\times Y$ 는 $\mathcal C_\bullet$ 에서의 범주론적 곱이며, $X\vee Y$ 는 쐐기합이다. 쐐기합은 곱공간 $X\times Y$ 안에서 $X \vee Y \cong X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y$ 와 같이 여겨질 수 있다.

분쇄곱의 구체적인 정의와 성질은 사용하는 위상 공간의 범주 $\mathcal C_\bullet$ 에 따라 달라진다. 만약 모든 점을 가진 공간의 범주 $\operatorname{Top}_\bullet$ 을 사용하면, 분쇄곱은 일반적으로 결합 법칙을 만족하지 않는다.

그러나 콤팩트 생성 공간의 범주나 점렬 공간의 범주와 같이 데카르트 닫힌 범주를 이루는 "편리한" 범주를 사용하면, 분쇄곱은 결합 법칙을 만족한다. 다만, 이러한 범주에서는 두 공간의 곱집합 위에 정의되는 위상이 일반적인 곱위상과 다를 수 있다.

이러한 "편리한" 범주(예: 콤팩트 생성 공간의 범주)에서는 임의의 점을 가진 공간 ''X'', ''Y'', ''Z''에 대해 다음과 같은 자연스러운(밑점을 보존하는) 위상동형이 존재한다.

: $\begin{align}X \wedge Y &\cong Y\wedge X \\(X\wedge Y)\wedge Z &\cong X \wedge (Y\wedge Z)\end{align}$

첫 번째는 교환 법칙을, 두 번째는 결합 법칙을 나타낸다.

하지만 점을 가진 공간의 범주를 단순하게(naive) 생각하면 결합 법칙이 성립하지 않는다. 디터 푸페(Dieter Puppe)는 $X=Y=\mathbb{Q}$ (유리수 집합), $Z=\mathbb{N}$ (자연수 집합)일 때 결합 법칙이 성립하지 않는 반례를 제시했다.^[1] 이 반례에 대한 자세한 증명은 요한 시구르드손(Johann Sigurdsson)과 J. Peter May의 저서에서 찾아볼 수 있다.^[2] MathOverflow에서도 관련 논의가 있다.^[4]

위의 동형 관계는 분쇄곱을 모노이드 곱으로, 밑점을 가진 0차원 구면(두 점으로 이루어진 이산 공간)을 단위 객체로 하는 적절한 점을 가진 공간의 범주를 대칭 모노이드 범주로 만든다는 것을 의미한다. 따라서 분쇄곱은 점을 가진 공간의 적절한 범주에서 일종의 텐서 곱으로 간주될 수 있다.

3. 성질

점을 가진 공간의 범주에서 정의되는 분쇄곱은 여러 중요한 대수적 및 범주론적 성질을 가진다.

주요 성질은 다음과 같다.

교환 법칙: 적절한 조건 아래에서 분쇄곱은 연산 순서에 상관없이 동일한 결과를 준다 ( $X \wedge Y \cong Y \wedge X$ ).
결합 법칙: 특정 "편리한" 범주 (예: 콤팩트 생성 공간의 범주) 내에서는 여러 공간을 분쇄곱할 때 계산 순서에 영향을 받지 않는다 ( $(X \wedge Y) \wedge Z \cong X \wedge (Y \wedge Z)$ ). 하지만 모든 위상 공간의 범주에서 항상 성립하는 것은 아니다.
닫힌 모노이드 범주 형성: 콤팩트 생성 공간과 같은 특정 범주에서, 분쇄곱은 텐서곱과 유사한 역할을 하며, 함수 공간과의 수반 함자 관계 $(-\wedge X)\dashv\hom(X,-)$ 를 통해 해당 범주를 닫힌 모노이드 범주로 만든다.
분배 법칙: 특정 조건 아래에서 분쇄곱은 쐐기합 연산에 대해 분배 법칙을 만족한다 ( $(X \vee Y) \wedge Z \cong (X \wedge Z) \vee (Y \wedge Z)$ ).^[5]

이러한 성질들, 특히 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하는 적절한 범주에서 분쇄곱은 모노이드 곱으로 작용한다. 이 범주에서 밑점을 가진 0차원 구면 (두 점으로 이루어진 이산 공간)을 단위 객체로 삼으면 대칭 모노이드 범주 구조가 형성된다. 이는 분쇄곱이 점을 가진 공간의 적절한 범주에서 일종의 텐서 곱으로 간주될 수 있음을 시사한다.

3. 1. 교환 법칙

점을 가진 공간의 범주에서 분쇄곱은 교환 법칙을 만족한다. 즉, 적절한 "편리한" 범주 (예: 콤팩트 생성 공간의 범주)에 속하는 임의의 점을 가진 공간

X, Y

에 대해, 자연스러운 (기점을 보존하는) 위상 동형이 존재한다.^[4]

:

X \wedge Y \cong Y \wedge X

같은 조건 아래에서 결합 법칙

(X \wedge Y) \wedge Z \cong X \wedge (Y \wedge Z)

도 성립한다.

이러한 동형사상들은 분쇄곱을 모노이드 곱으로, 기점을 가진 0차원 구면 (두 점으로 이루어진 이산 공간)을 단위 객체로 하는 적절한 점을 가진 공간의 범주를 대칭 모노이드 범주로 만든다. 따라서 분쇄곱은 이러한 범주에서 일종의 텐서 곱으로 간주될 수 있다.

3. 2. 결합 법칙

점을 가진 공간의 범주에서 분쇄곱은 대부분의 위상 공간에 대하여 결합 법칙을 따른다. 즉, 콤팩트 생성 공간과 같이 적절한 조건을 만족하는 "편리한" 범주에 속하는 임의의 점을 가진 공간

X, Y, Z

에 대해, 다음과 같은 자연스러운 위상 동형 관계가 성립한다.^[4]

:

(X\wedge Y)\wedge Z \cong X \wedge (Y\wedge Z)

그러나 점을 가진 공간의 범주를 일반적인 위상 공간 전체로 확장하면, 결합 법칙이 항상 성립하는 것은 아니다. Dieter Puppe는 결합 법칙이 성립하지 않는 반례를 발견했다.^[1] 대표적인 예로, 자연수 집합

\mathbb N

과 유리수 집합

\mathbb Q

를 생각해보자. 두 집합 모두 실직선의 부분 공간 위상을 가지며, 0을 밑점으로 삼는다. 이 경우,

\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)

와

(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q

는 서로 위상 동형이 아니다.^[6]^[7] 구체적으로, 두 공간 사이에 표준적인 전단사 연속 함수

:

\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)\to(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q

는 존재하지만, 이 함수의 역함수는 연속 함수가 아니다. 이는

\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)

가

(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q

보다 더 섬세한 위상을 가지기 때문이다. Puppe가 제시한 이 반례가 실제로 성립함에 대한 증명은 Johann Sigurdsson과 J. Peter May의 저작에서 찾아볼 수 있다.^[2]

결합 법칙과 교환 법칙 (

X \wedge Y \cong Y\wedge X

)이 모두 성립하는 적절한 범주에서, 분쇄곱은 모노이드 곱의 역할을 한다. 이 범주에서 밑점을 가진 0차원 구면(두 점으로 이루어진 이산 공간)을 단위 대상으로 삼으면, 해당 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다. 이러한 성질 때문에 분쇄곱은 점을 가진 공간의 적절한 범주에서 일종의 텐서 곱으로 간주될 수 있다.

3. 3. 닫힌 모노이드 범주

점을 가진 공간의 적절한 데카르트 닫힌 범주 (예: 하우스도르프 콤팩트 생성 공간의 범주)

\mathcal C

에서, 범주론적 곱은 텐서곱의 역할을 한다. 즉, 위상 공간

X\in\mathcal C

에 대하여 다음과 같은 수반 함자 관계가 성립한다.

:

(-\times X)\dashv\hom(X,-)

이 범주

\mathcal C

를 기반으로 점을 가진 공간의 범주

\mathcal C_\bullet

을 생각할 수 있다. 이 점을 가진 범주

\mathcal C_\bullet

에서는 분쇄곱(

\wedge

)이 텐서곱의 역할을 한다. 구체적으로, 점을 가진 공간

X\in\mathcal C_\bullet

에 대하여 다음과 같은 수반 함자 관계가 성립한다.

:

(-\wedge X)\dashv\hom(X,-)

이는 다음 함수 공간 사이에 자연스러운 위상 동형이 존재함을 의미한다.

:

\hom(A\wedge X,B)\cong\hom(A,\hom(X,B))

여기서

\hom(Y,Z)

는 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간에 콤팩트 열린 위상을 부여한 것이다. 이 수반 관계 덕분에, 분쇄곱을 모노이드 곱 연산으로 가지는 범주

\mathcal C_\bullet

은 닫힌 모노이드 범주의 구조를 갖는다.

이러한 수반 관계는 가환환

R

위의 가군 범주에서 나타나는 텐서곱과 Hom 함자 사이의 관계와 유사하다. 가군 범주에서는 텐서 함자

(- \otimes_R A)

가 내부 Hom 함자

\mathrm{Hom}(A,-)

의 왼쪽 수반 함자가 되어 다음이 성립한다.

:

\mathrm{Hom}(X\otimes A,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y)).

점을 가진 공간의 범주에서도 분쇄곱이 비슷한 역할을 수행한다. 만약

A

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 다음과 같은 수반 관계가 성립한다.^[3]

:

\operatorname{Hom}(X\wedge A,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}(A,Y))

만약

A, X

가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 밑점을 보존하는 연속 함수 공간

\operatorname{Maps_*}

에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathrm{Maps_*}(X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Maps_*}(X,\mathrm{Maps_*}(A,Y))

특히,

A

를 단위 원

S^1

으로 선택하면, (축소) 현수 함자

\Sigma X = X \wedge S^1

와 루프 공간 함자

\Omega Y = \operatorname{Hom}(S^1, Y)

(또는

\operatorname{Maps_*}(S^1, Y)

) 사이에 다음과 같은 수반 관계가 성립함을 알 수 있다.

:

\operatorname{Hom}(\Sigma X,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\Omega Y)

또는

:

\mathrm{Maps_*}(\Sigma X,Y) \cong \mathrm{Maps_*}(X,\Omega Y).

콤팩트 생성 공간과 같은 적절한 ("편리한") 범주에서는, 임의의 점을 가진 공간

X, Y, Z

에 대해 다음과 같은 자연스러운 (밑점을 보존하는) 위상 동형이 존재한다.

:

\begin{align}X \wedge Y &\cong Y\wedge X \\(X\wedge Y)\wedge Z &\cong X \wedge (Y\wedge Z)\end{align}

이는 분쇄곱이 교환 법칙과 결합 법칙을 만족함을 보여준다. (단, 일반적인 점을 가진 위상 공간의 범주에서는 결합 법칙이 성립하지 않을 수도 있다.^[4]) 이러한 동형 관계는 적절한 점을 가진 공간의 범주가 분쇄곱을 모노이드 곱으로, 그리고 밑점을 가진 0차원 구면(이산적인 두 점 공간)을 단위 대상으로 가지는 대칭 모노이드 범주를 이룬다는 것을 의미한다. 따라서 이러한 맥락에서 분쇄곱은 점을 가진 공간 범주에서의 텐서곱으로 간주될 수 있다.

3. 4. 분배 법칙

분쇄곱은 쐐기합에 대하여 특정 조건 아래에서 다음과 같은 분배 법칙을 따른다.

:

(X\vee Y)\wedge Z\cong (X\wedge Z)\wedge(Y\wedge Z)

모든 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 위 분배 법칙이 성립하기 위한 충분조건은, 세 점을 가진 공간

X

,

Y

,

Z

의 밑점이 각각 모두 닫힌 한원소 집합이어야 한다는 것이다.^[5] 특히, 모든 공간이 T1 공간이라면 모든 점이 닫힌 집합이므로, 이 조건은 자동으로 만족되어 분배 법칙이 성립한다.

4. 예

분쇄곱의 몇 가지 예는 다음과 같다.

밑점을 가진 공간 $X$ 와 0차원 초구 $S^0$ (두 점으로 이루어진 이산 공간)의 분쇄곱은 $X$ 와 위상 동형이다. 즉, $S^0$ 는 분쇄곱의 항등원처럼 작용한다.

:

X \wedge S^0 \cong X

두 원 $S^1$ 의 분쇄곱은 2차원 초구 $S^2$ 와 위상 동형이다. 이는 원환면을 특정 부분에서 찌그러뜨린 것과 같다.
보다 일반적으로, 두 초구 $S^m$ 과 $S^n$ 의 분쇄곱은 $m+n$ 차원 초구 $S^{m+n}$ 과 위상 동형이다.

:

S^m \wedge S^n \cong S^{m+n}

공간 $X$ 와 원 $S^1$ 의 분쇄곱은 $X$ 의 축소 현수 $\Sigma X$ 와 위상 동형이다.

:

\Sigma X \cong X \wedge S^1

이를 확장하여, $X$ 의 $k$ 번 반복된 축소 현수 $\Sigma^k X$ 는 $X$ 와 $k$ 차원 초구 $S^k$ 의 분쇄곱과 위상 동형이다.

:

\Sigma^k X \cong X \wedge S^k

영역 이론에서는 두 영역(domain)의 곱을 정의하는 방법 중 하나로 분쇄곱이 사용된다.

4. 1. 초구

$S^1\wedge S^1$ 을 $(S^1\times S^1)/(S^1\vee S^1)$ 의 몫으로 시각화한 모습. $S^1 \wedge S^1 \cong S^2$ 이다.

초구들의 분쇄곱은 또다른 초구이다. 구체적으로,

m

차원 초구

S^m

과

n

차원 초구

S^n

의 분쇄곱은

m+n

차원 초구

S^{m+n}

과 위상 동형이다.

:

S^m\wedge S^n \cong S^{m+n}

특히, 0차원 초구

S^0

는 두 점으로 이루어진 이산 공간이며, 분쇄곱 연산에 대한 항등원처럼 작용한다. 즉, 밑점을 가진 임의의 위상 공간

X

에 대해 다음이 성립한다.

:

X\wedge S^0 \cong X

예를 들어, 두 원

S^1

(1차원 초구)의 분쇄곱은 2차원 초구

S^2

와 위상 동형이다. 이는 두 원의 곱집합인 토러스

S^1 \times S^1

에서 두 원의 쐐기합

S^1 \vee S^1

을 한 점으로 찌그러뜨린(몫공간) 것과 같다.

더 나아가, 공간

X

와 원

S^1

의 분쇄곱은

X

의 축소 현수

\Sigma X

와 위상 동형이다.

:

\Sigma X \cong X \wedge S^1

이를 일반화하면,

X

의

k

번 반복된 축소 현수

\Sigma^k X

는

X

와

k

차원 초구

S^k

의 분쇄곱과 위상 동형이다.

:

\Sigma^k X \cong X \wedge S^k

4. 2. 원

두 원

S^1

의 분쇄곱

S^1 \wedge S^1

은 원환면(토러스)

S^1 \times S^1

에서 두 원의 쐐기합

S^1 \vee S^1

부분을 한 점으로 간주하여 얻는 몫공간과 같다. 이 결과 공간은 2-구(2차원 구면)

S^2

와 위상 동형이다. 즉, 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

S^1 \wedge S^1 = (S^1 \times S^1) / (S^1 \vee S^1) \cong S^2

4. 3. 환원된 현수

점을 가진 공간 ''X''와 원

S^1

의 분쇄곱은 ''X''의 환원된 현수

\Sigma X

와 위상 동형이다.

:

\Sigma X \cong X \wedge S^1

이를 일반화하면, ''X''의 ''k''겹 반복된 환원된 현수

\Sigma^k X

는 ''X''와 ''k''차원 초구

S^k

의 분쇄곱과 위상 동형이다.

:

\Sigma^k X \cong X \wedge S^k

4. 4. 영역 이론

영역 이론에서, 분쇄곱은 두 영역의 곱을 취하는 한 방법으로 사용된다. 이 곱셈 방식은 각 인수에 대해 '엄격(strict)'한데, 이는 어느 한쪽의 인수가 정의되지 않은 값(보통 ⊥ 기호로 표시되는 bottom 값)이면 그 결과 역시 정의되지 않은 값이 됨을 의미한다.

5. 수반 관계

수반 함자 개념은 가군의 텐서 곱과 위상 공간의 분쇄곱 사이의 유추 관계를 더 명확하게 설명하는 데 도움을 준다.

가환환 $R$ 위의 $R$ -가군들의 범주에서는, 텐서 함자 $(- \otimes_R A)$ 가 내부 Hom 함자 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 의 왼쪽 수반이 된다. 이는 두 함자 사이에 특별한 관계, 즉 자연 동형 관계가 성립함을 의미한다.

점있는 공간의 범주에서는 분쇄곱이 이러한 텐서곱과 유사한 역할을 수행한다. 만약 공간 $A$ 가 특정 조건(예: 국소 콤팩트 하우스도르프 공간)을 만족하면, 분쇄곱 함자 $(- \wedge A)$ 와 밑점을 보존하는 연속 함수 공간을 만드는 함자 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 사이에 유사한 수반 관계가 성립한다.^[3] 이 관계는 호모토피 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

이 수반 관계의 한 예로, 축소 현수 함자 $\Sigma$ 와 루프 공간 함자 $\Omega$ 사이의 관계를 들 수 있다. 여기서 축소 현수 함자는 분쇄곱을 이용하여 정의되며, 루프 공간 함자는 함수 공간과 관련된다. 이 두 함자는 서로 수반 관계에 있다.

5. 1. Hom 함자와의 관계

수반 함자 개념은 가군의 텐서 곱과 분쇄곱 사이의 유사성을 더 명확하게 설명해준다. 가환환

R

위의

R

-가군들의 범주에서, 텐서 함자

(- \otimes_R A)

는 내부 Hom 함자

\operatorname{Hom}(A,-)

의 왼쪽 수반 함자가 된다. 이는 다음 수반 관계식으로 표현된다.

:

\operatorname{Hom}(X\otimes A,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}(A,Y)).

점있는 공간의 범주에서는 분쇄곱이 텐서곱과 유사한 역할을 수행한다. 특히,

A

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 경우, 다음과 같은 수반 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Hom}(X\wedge A,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}(A,Y))

여기서

\operatorname{Hom}(A, Y)

는 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간에 콤팩트-열린 위상을 부여한 것이다.^[3]

구체적인 예로,

A

를 단위 원

S^1

으로 설정하면, 축소 현수 함자

\Sigma

가 루프 공간 함자

\Omega

의 왼쪽 수반 함자임을 알 수 있다.

:

\operatorname{Hom}(\Sigma X,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\Omega Y).

5. 2. 루프 공간 함자와의 관계

수반 함자 개념은 가군의 텐서 곱과 위상 공간의 분쇄곱 사이의 유추 관계를 설명하는 데 유용하다. 가환환

R

위의

R

-가군의 범주에서, 텐서 함자

(- \otimes_R A)

는 내부 Hom 함자

\mathrm{Hom}(A,-)

의 왼쪽 수반 함자이다. 이는 다음의 자연 동형 관계로 표현된다.

:

\mathrm{Hom}(X\otimes A,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y))

점있는 공간의 범주에서 분쇄곱은 위 공식에서 텐서 곱과 유사한 역할을 수행한다. 만약

A

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고

X, Y

가 점있는 공간이라면, 다음과 같은 수반 관계가 성립한다.

:

\mathrm{Hom}(X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y))

여기서

\mathrm{Hom}(A,Y)

는 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간에 컴팩트-열린 위상을 부여한 것이다.^[3]

특히,

A

를 단위 원

S^1

으로 설정하면, 현수 함자

\Sigma

(여기서

\Sigma X = X \wedge S^1

)가 루프 공간 함자

\Omega

(여기서

\Omega Y = \mathrm{Hom}(S^1, Y)

)의 왼쪽 수반 함자임을 알 수 있다. 이는 위의 수반 관계식으로부터 직접 도출된다.

:

\mathrm{Hom}(\Sigma X,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\Omega Y)

참조

_[1] 논문 Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I.
_[2] 서적 Parametrized Homotopy Theory American Mathematical Society
_[3] 문서 Algebraic Topology
_[4] 웹사이트 In which situations can one see that topological spaces are ill-behaved from the homotopical viewpoint? http://mathoverflow.[...] 2011-09-28
_[5] 서적 General Topology and Homotopy Theory Springer 1984
_[6] 논문 Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen I 1958
_[7] 서적 Parametrized Homotopy Theory http://www.math.uchi[...] 2016-01-02

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com