형식적 멱급수

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1. 개요

형식적 멱급수는 환의 원소를 계수로 갖는 무한 차수의 다항식의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산을 통해 환의 구조를 이룬다. 형식적 멱급수는 덧셈과 곱셈 연산을 통해 환의 구조를 가지며, 미분, 합성 등의 연산이 정의된다. 형식적 멱급수환은 가환환, 뇌터 환, 정역, 이산 값매김환 등의 대수적 성질을 가지며, 형식적 로랑 급수, 다변수 형식적 멱급수 등으로 일반화된다. 형식적 멱급수는 점화식 풀이, 대수적 관계 증명, 벨 급수, 형식적 군, 퓌죄 급수 등 다양한 분야에 응용된다.

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형식적 멱급수

2. 정의

환 $R$ 에 대한 '''형식적 멱급수환''' $Rx$ 는 $R$ 의 원소를 계수로 갖는 무한 차수 다항식들의 집합으로, 고유한 덧셈과 곱셈 연산이 정의되어 환의 구조를 이룬다. $Rx$ 는 집합으로서 $R^{\mathbb N}$ 이며, 이는 자연수(0을 포함)로 인덱싱된 $R$ 의 모든 무한 수열의 집합이다. $R^{\mathbb N}$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 $R$ -가군 구조가 존재한다.

형식적 멱급수 환은 특정 거리 공간을 갖춘 다항식 환 $R[X]$ 의 완비화로 추상적으로 특징지을 수 있다. 이는 자동으로 $R X$ 에 위상환 (그리고 심지어 완비 거리 공간)의 구조를 부여한다.

만약 $S$ 가 $R$ 위의 가환 결합 대수이고, $I$ 가 $S$ 의 아이디얼이며, $S$ 위의 $I$ -진 위상이 완비이고, $x$ 가 $I$ 의 원소라면, 다음 성질을 만족하는 ''유일한'' $\to S$ 가 존재한다.

$\Phi$ 는 $R$ -대수 준동형 사상이다.
$\Phi$ 는 연속이다.
$\Phi(X)=x$ 이다.

2. 1. 형식적 멱급수

환

R

에 대한 '''형식적 멱급수환'''

Rx

의 원소를 '''형식적 멱급수'''라고 하며, 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:

(r_0,r_1,r_2,\dots)

:는 통상적으로

:

\sum_{n=0}^\infty r_nx^n=r_0+r_1x+r_2x^2+\cdots

:으로 쓴다.

형식적 멱급수는 다항식과 유사하지만, 무한히 많은 항을 갖는 객체로 생각할 수 있다. 또는 멱급수 (또는 테일러 급수)에 익숙한 사람들은 형식적 멱급수를 변수 ''X''가 어떤 수치 값도 나타내지 않는다고 가정함으로써 수렴에 대한 질문을 무시하는 멱급수로 생각할 수 있다. 예를 들어, 다음 급수를 고려할 수 있다.

:

A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.

이것을 멱급수로 연구한다면, 예를 들어 그 수렴 반경이 코시-아다마르 정리에 의해 1이라는 것을 포함할 것이다. 그러나 형식적 멱급수로서 우리는 이것을 완전히 무시할 수 있다. 관련된 것은 계수 [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]의 수열뿐이다. 즉, 형식적 멱급수는 단순히 계수 수열을 기록하는 객체이다. 대응하는 멱급수가 ''X''의 모든 0이 아닌 값에 대해 발산하더라도 계승 [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ]을 계수로 갖는 형식적 멱급수를 고려하는 것이 완벽하게 허용된다.

Rx_1,x_2,\dots,x_n

은

Rx_1x_2\cdotsx_n

을 뜻한다.

가환환이 아닌 환

A

를 계수로 가지고, 변수(부정원)

X

를 가지는 (일변수) '''형식적 멱급수'''는 각

a_i

(

i

= 0, 1, 2, …)를

A

의 원소로 하여,

:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb

의 형태를 가진 것이다. 어떤

m

이 존재하여

n \ge m

일 때

a_n = 0

이 되는 것은 다항식으로 간주할 수 있다.

2. 2. 덧셈과 곱셈

환

R

에 대한 형식적 멱급수

Rx

의 덧셈과 곱셈은 다항식과 유사하게 정의되지만, 무한 개의 항을 가질 수 있다는 차이점이 있다.

형식적 멱급수의 덧셈은 각 항별로 계수를 더하여 계산한다. 예를 들어, 두 형식적 멱급수

:

A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots

:

B = 2X + 4X^3 + 6X^5 + \cdots

가 주어졌을 때, 이 둘을 더하면 다음과 같다.

:

A + B = 1 - X + 5X^2 - 3X^3 + 9X^4 - 5X^5 + \cdots

형식적 멱급수의 곱셈은 코시 곱을 이용하여 계산한다. 즉, 두 형식적 멱급수의 곱은 각 멱급수의 계수들의 가능한 모든 곱의 합으로 주어진다. 위에서 주어진

A

와

B

를 예시로 사용하면,

:

AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots

와 같이 계산된다. 여기서

X^5

의 계수 44는 다음과 같이 계산된다.

:

44 = (1 \times 6) + (5 \times 4) + (9 \times 2)

이는

A

와

B

의 유한 개의 계수들의 곱으로 나타낼 수 있기 때문에, 해석학에서 다루는 절대, 조건부, 균등 수렴과 같은 문제를 고려할 필요가 없다.

2. 2. 1. 덧셈

자연수(0을 포함)로 인덱싱된

R

의 모든 무한 수열의 집합

R^\N

에서, 인덱스

n

에서의 항이

a_n

인 수열을

(a_n)

으로 지정하면, 두 수열의 덧셈은 다음과 같이 정의된다.

:

(a_n)_{n\in\N} + (b_n)_{n\in\N} = \left( a_n + b_n \right)_{n\in\N}

이 표기법을 사용하면 덧셈의 정의는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right)+\left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{i\in\N}(a_i+b_i) X^i

A

를 가환이 아닌 환으로 하고,

A

를 계수로,

X

를 변수(부정원)로 하는 (일변수) '''형식적 멱급수'''는 각

a_i

(

i = 0, 1, 2, \ldots

)를

A

의 원소로 하여 다음과 같은 형태를 가진다.

:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb

형식적 멱급수 전체 집합

A X

에 덧셈을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n := \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) X^n

즉, 덧셈은 형식적으로 정의하며, 환의 원소와 부정원은 가환이라고 한다.

배치 집합

A^{\mathbb{N}}

즉

\mathbb{N}

에서

A

로의 함수(

A

에 값을 갖는 수열) 전체 집합에 대해 덧셈을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}+(b_n)_{n\in\mathbb{N}} := (a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}}

2. 2. 2. 곱셈

환

R

에 대한 형식적 멱급수환

Rx

에서 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

\left(\sum_{n=0}^\infty r_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty s_nx^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^nr_ks_{n-k}x^n

이에 따라

Rx

는 결합

R

-대수를 이룬다.

형식적 멱급수는 다항식처럼 취급하여 곱할 수 있다. (특히 코시 곱 참조) 예를 들어,

:

AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.

와 같이 계산할 수 있다. 곱

AB

의 각 계수는

A

와

B

의 유한 개의 계수에만 의존한다. 예를 들어,

X^5

항은 다음과 같다.

:

44X^5 = (1\times 6X^5) + (5X^2 \times 4X^3) + (9X^4 \times 2X).

이러한 이유로, 형식적 멱급수를 곱할 때는 해석학에서 멱급수를 다룰 때 발생하는 절대, 조건부, 균등 수렴에 대한 질문을 걱정할 필요가 없다.

형식적 멱급수

(a_n)_{n\in\N}

과

(b_n)_{n\in\N}

의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

(a_n)_{n\in\N} \times (b_n)_{n\in\N} = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{\!n\in\N}.

이러한 유형의 곱셈은 두 계수 수열의 코시 곱이라고 하며, 일종의 이산 컨볼루션이다.

A

를 가환이 아닌 환이라고 할 때,

A

를 계수로,

X

를 변수(부정원)로 하는 형식적 멱급수의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n\right) := \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) X^n

2. 3. 미분

형식적 멱급수의 미분은 다항식의 미분과 유사하게 정의된다. 형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 R-선형 연산이 존재한다.

:

D\colon\sum_{n=0}^\infty r_nx^n\mapsto\sum_{n=0}^\infty nr_nx^{n-1}

이를 '''미분'''이라고 한다.

형식적 멱급수

:

f = \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in R X

가 주어졌을 때, 이 멱급수의 '''형식적 미분'''은 ''Df'' 또는 ''f''′로 표기하며 다음과 같이 정의한다.

:

Df = f' = \sum_{n \geq 1} a_n n X^{n-1}.

기호 ''D''는 '''형식적 미분 연산자'''라고 불린다. 이 정의는 단순히 다항식의 항별 미분을 모방한 것이다.

이 연산은 ''R''-선형 연산자이다.

:

D(af + bg) = a \cdot Df + b \cdot Dg

는 ''R''의 임의의 ''a'', ''b''와

R X

의 임의의 ''f'', ''g''에 대해 성립한다. 또한, 형식적 미분은 일반적인 미분의 많은 성질을 가진다. 예를 들어, 곱의 규칙이 유효하다.

:

D(fg) \ =\ f \cdot (Dg) + (Df) \cdot g,

그리고 연쇄 법칙도 마찬가지로 적용된다.

:

D(f\circ g ) = ( Df\circ g ) \cdot Dg,

적절한 급수의 합성이 정의될 때마다(위의 급수의 합성 참조).

따라서, 이러한 점에서 형식적 멱급수는 테일러 급수와 유사하게 동작한다. 실제로, 위에 정의된 ''f''에 대해, 우리는 다음을 얻는다.

:

(D^k f)(0) = k! a_k,

여기서 ''D''^''k''는 ''k''번째 형식적 미분(즉, ''k''번 형식적으로 미분한 결과)을 나타낸다.

만약

R

이 표수 0을 갖는 환이고 0이 아닌 정수가

R

에서 가역원이라면, 형식적 멱급수에 대해 형식적 부정적분을 정의할 수 있으며, 자세한 내용은 부정적분을 참조할 수 있다.

f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n

에 대해,

f' := \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot a_nX^{n-1}

을 ''f''의 '''형식 미분'''이라고 한다. ''a'', ''b'' ∈ ''A'', ''f'', ''g'' ∈ ''A''''X''에 대해, (''af'' + ''bg'')′ = ''af''′ + ''bg''′, (''fg'')′ = ''f''′''g'' + ''fg''′ 등이 성립한다.^[1]

이것은 (복소 또는 실수의) 수렴 멱급수로 생각하면 항별 미분에 해당한다.^[1]

2. 4. 합성

두 형식적 멱급수

:

f(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + \cdots

:

g(X) = \sum_{n=0}^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots

가 주어졌을 때,

a_0=0

이면, 이 둘을 합성하여 새로운 형식적 멱급수를 만들 수 있다. 이를

g(f(X))

로 표현하며, 다음과 같이 정의된다.

:

g(f(X)) = \sum_{n=0}^\infty b_n (f(X))^n = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n,

여기서 계수

c_n

은

f(X)

의 거듭제곱을 전개하여 결정한다.

:

c_n:=\sum_{k\in\N, |j|=n} b_k a_{j_1} a_{j_2} \cdots a_{j_k}.

이때 합은

k\in\N

와

j\in\N_+^k

를 갖는 모든

(k, j)

에 대해

|j|:=j_1+\cdots+j_k=n

으로 확장된다.

a_0=0

이므로,

k\le n

이고 모든

i

에 대해

j_i\le n

이어야 한다. 이는 위의 합이 유한하고, 계수

c_n

이

X^n

의 계수임을 의미하며, 여기서

f_n

과

g_n

은 급수를

x^n

에서 잘라냄으로써 얻은 다항식, 즉

X

의

n

보다 높은 거듭제곱을 포함하는 모든 항을 제거함으로써 얻은 다항식이다.

이 계수들에 대한 더 자세한 공식은 파 드 브루노 공식을 통해 얻을 수 있다. 단, 이 공식은 계수환이 표수 0인 체인 경우에만 해당한다.

합성 연산은

f(X)

의 상수항이 0일 때만 가능하다. 이는 각

c_n

이

f(X)

와

g(X)

의 유한한 수의 계수에만 의존한다는 것을 의미한다. 즉,

g(f(X))

에 대한 급수는

R X

의 위상에서 수렴한다.

R

이 가환환이면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

상수항이 0인 형식적 멱급수는 다른 멱급수에 대입할 수 있다. 즉,

f(X):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n

,

g(X):=\sum_{m=1}^{\infty}b_mX^m

라고 하면,

\{g(X)\}^n

는

n-1

차 이하의 항을 가지지 않으므로, 합성

:

f(g(X))=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\{g(X)\}^n

이 가능하다. 예를 들어

:

\exp(\log(1+t))=1+t

는 형식적 멱급수로서도 올바른 등식이다.

3. 성질

환 $R$ 에 대하여 형식적 멱급수환 $Rx$ 는 다음과 같은 성질들을 갖는다.

$R$ 이 가환환이면, $Rx$ 역시 가환환이다.
$R$ 이 가환 뇌터 환이면, $Rx$ 역시 가환 뇌터 환이다.
$R$ 이 정역이면, $Rx$ 역시 정역이다.
$R$ 이 체이면, $Rx$ 는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수

:

a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in Rx

가 가역원이 되기 위한 조건은 상수항

a_0\in R

가 가역원이어야 한다는 것이다.

a

의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

:

(a^{-1})_0=a_0^{-1}

:

(a^{-1})_n=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^n a_i(a^{-1})_{n-i}=- \sum_{i=1}^n(a^{-1})_{n-i} a_ia_0^{-1}\qquad(n\ge1)

형식적 멱급수환

Rx

는 완비 거리 공간을 이루며, 위상환의 구조를 갖는다.^[13] 이는 다항식환

R[x]

의 완비화이다.^[13]

R X

의 위상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

각 $R$ 의 복사본에 이산 위상을 부여하여 $R^\N$ 에 곱 위상을 부여할 수 있다.
$I=(X)$ 를 첫 번째 항 $a_0$ 이 0인 모든 수열로 구성된 $X$ 에 의해 생성된 아이디얼이라고 할 때, $R^\N$ 에 I-adic 위상을 부여할 수 있다.
원하는 위상은 다음과 같은 거리로부터 파생될 수도 있다. 서로 다른 수열 $(a_n), (b_n) \in R^{\N},$ 사이의 거리는 $d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},$ 로 정의되는데, 여기서 $k$ 는 $a_k\neq b_k$ 인 가장 작은 자연수이다. 물론 두 개의 동일한 수열 사이의 거리는 0이다.

3. 1. 대수적 성질

환

R

에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

$R$ 이 가환환이면, $Rx$ 역시 가환환이다.
$R$ 이 가환 뇌터 환이면, $Rx$ 역시 가환 뇌터 환이다.
$R$ 이 정역이면, $Rx$ 역시 정역이다.
$R$ 이 체이면, $Rx$ 는 이산 값매김환이다.
$R$ 이 국소환이면, $R X$ 도 국소환이다.

3. 2. 가역원

형식적 멱급수

:

a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in Rx

가 가역원이 되기 위한 조건은 상수항

a_0\in R

가 가역원이어야 한다는 것이다.^[1]^[2]

a

의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

:

(a^{-1})_0=a_0^{-1}

:

(a^{-1})_n=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^n a_i(a^{-1})_{n-i}=- \sum_{i=1}^n(a^{-1})_{n-i} a_ia_0^{-1}\qquad(n\ge1)

이는 기하 수열 공식을 통해서도 확인할 수 있는데,

R X

에서 다음이 성립한다.

:

(1 - X)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty X^n.

만약

R=K

가 체이면, 수열은 상수항이 0이 아닐 때, 즉 수열이

X

로 나누어지지 않을 때에만 가역적이다.

몫

f/g=h

의 계산은 다음과 같다.

:

\frac{\sum_{n=0}^\infty b_n X^n }{\sum_{n=0}^\infty a_n X^n } =\sum_{n=0}^\infty c_n X^n,

분모가 가역적이라고 가정하면(즉,

a_0

는 스칼라 링에서 가역적임),

f

와

g

의 곱으로 수행하거나,

f=gh

의 계수를 직접 같게 하여 수행할 수 있다.

:

c_n = \frac{1}{a_0}\left(b_n - \sum_{k=1}^n a_k c_{n-k}\right).

3. 3. 위상적 성질

형식적 멱급수환

Rx

는 완비 거리 공간을 이루며, 위상환의 구조를 갖는다.^[13] 이는 다항식환

R[x]

의 완비화이다.^[13]

가환환 ''R''을 계수로 갖는 ''X''에 대한 모든 형식적 멱급수의 집합은

R X

로 표기되는 또 다른 환을 구성하며, 이를 ''R'' 위의 변수 ''X''에 대한 '''형식적 멱급수환'''이라고 부른다.

R X

는 특정 거리 공간을 갖춘 다항식 환

R[X]

의 완비화로 추상적으로 특징지을 수 있다. 이는 자동적으로

R X

에 위상환 (그리고 심지어 완비 거리 공간)의 구조를 부여한다.

R X

의 환 구조와 위상 구조는 다음과 같이 정의할 수 있다.

각 $R$ 의 복사본에 이산 위상을 부여하여 $R^\N$ 에 곱 위상을 부여할 수 있다.
$I=(X)$ 를 첫 번째 항 $a_0$ 이 0인 모든 수열로 구성된 $X$ 에 의해 생성된 아이디얼이라고 할 때, $R^\N$ 에 I-adic 위상을 부여할 수 있다.
원하는 위상은 다음과 같은 거리로부터 파생될 수도 있다. 서로 다른 수열 $(a_n), (b_n) \in R^{\N},$ 사이의 거리는 $d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},$ 로 정의되는데, 여기서 $k$ 는 $a_k\neq b_k$ 인 가장 작은 자연수이다. 물론 두 개의 동일한 수열 사이의 거리는 0이다.

비공식적으로, 두 수열

(a_n)

과

(b_n)

은 더 많은 항들이 정확히 일치할 때 점점 더 가까워진다. 형식적으로, 어떤 무한 합의 부분합 수열은 모든 고정된

X

의 거듭제곱에 대해 계수가 안정될 때 수렴한다.

이 위상 구조는 위에 설명된 링 연산과 함께 위상 링을 형성한다. 이를 '''

R

위의 형식적 멱급수 링'''이라고 하며,

R X

로 표기한다. 위상은 무한 합이 그 항의 수열이 0으로 수렴하는 경우에만 수렴하는 유용한 속성을 갖는데, 이는 어떤 고정된

X

의 거듭제곱이 유한한 항에서만 발생함을 의미한다.

위상 구조는 무한 합을 훨씬 더 유연하게 사용할 수 있게 해준다. 예를 들어 곱셈 규칙은 다음과 같이 간단하게 다시 표현할 수 있다.

:

\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{i,j\in\N} a_i b_j X^{i+j},

우변의 유한한 항만 어떤 고정된

X^n

에 영향을 미치기 때문이다. 위상 구조에 의해 무한 곱도 정의된다. 무한 곱은 그 인수의 수열이 1로 수렴하는 경우에만 수렴한다는 것을 알 수 있는데(이 경우 곱은 0이 아님) 또는 무한한 많은 인수들이 상수 항을 갖지 않는 경우(이 경우 곱은 0임)이다.

RX_I

상의 위상은 요소의 수열이 각 단항식 ''X''^α에 대해 해당 계수가 안정될 때만 수렴하도록 정의된다. ''I''가 유한 집합이면, 이는 ''J''-아딕 위상이며, 여기서 ''J''는

RX_I

에서 ''X_I''의 모든 미지수로 생성된 아이디얼이다. 이는 ''I''가 무한 집합인 경우에는 성립하지 않는다. 예를 들어,

I=\N

이면, 수열

(f_n)_{n\in \N}

는

f_n = X_n + X_{n+1} + X_{n+2} + \cdots

로 정의되며, ''R'' 상의 어떠한 ''J''-아딕 위상에 대해서도 수렴하지 않지만, 각 단항식에 대해 해당 계수는 분명히 안정된다.

앞서 언급했듯이,

R X Y

와 같은 반복적인 형식적 멱급수 환 상의 위상은 일반적으로 위상환으로서

RX,Y

와 동형이 되도록 선택된다.

3. 3. 1. 거리 공간 구조

형식적 멱급수환 `Rx`에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

:`d(a,b)=2^{-\min\{n\in\mathbb N\colon a_n\ne b_n\}}\qquad(a\ne b)`

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루며, 위상환을 이룬다.^[13] 이는 다항식환 `R[x]`의 완비화이다.^[13]

이 거리 공간 구조에서, 임의의 형식적 멱급수

:`a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in Rx`

는 부분합의 점렬

:`(a_0,a_0+a_1x,a_0+a_1x+a_2x^2,\dots)`

의 극한이다.

거리 공간 `(RX, d)`는 완비이다. 환 `RX`는 `R`이 유한할 때만 콤팩트하다. 이는 티호노프 정리와 `RX` 위의 위상을 곱 위상으로 특징짓는 것으로부터 유도된다.

4. 형식적 로랑 급수

체 ''K''에 대한 형식적 로랑 급수체 ''K''((''x''))는 형식적 멱급수환의 분수체이며, 유한 개의 음수 차수 항을 가질 수 있다는 점에서 복소해석학의 로랑 급수와 구별된다.

형식적 로랑 급수는 다음과 같은 형태를 가진다.

: $f = \sum_{n = N}^\infty a_n X^n$

여기서 ''N''은 정수이며, $a_n \neq 0$ 인 음수 ''n''은 유한 개만 존재한다. 영이 아닌 형식적 로랑 급수에서 $a_n\neq 0$ 인 가장 작은 정수 ''n''을 ''f''의 '''차수'''( $\operatorname{ord}(f)$ )라고 한다. (영 급수의 차수는 $+\infty$ 이다.)

형식적 멱급수와 유사하게 정의되는 곱셈에서, 계수 $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 을 갖는 두 급수의 $X^k$ 의 계수는 다음과 같다.

$\sum_{i\in\Z}a_ib_{k-i}.$

이 합은 유한 개의 항만 0이 아니므로 잘 정의된다.

형식적 로랑 급수는 ''R'' 위의 '''형식적 로랑 급수의 환''' $R((X))$ 를 형성하며, 이는 $X$ 의 양의 거듭제곱 집합에 대한 형식적 멱급수의 환 $R X$ 의 국소화와 같다. ''R'' = ''K''가 체이면, $K((X))$ 는 체이며, 정역 $K X$ 의 분수체이기도 하다.

$R((X))$ 는 메트릭 $d(f,g)=2^{-\operatorname{ord}(f-g)}$ 를 통해 위상환 구조를 가진다.

형식적 로랑 급수의 형식적 미분은 항별로 정의되며, 다음과 같다.

$f' = Df = \sum_{n\in\Z} na_n X^{n-1},$

이는 다시 형식적 로랑 급수이다. 표수가 0인 체의 계수를 갖는 상수가 아닌 형식적 로랑 급수 ''f''에 대해, $\operatorname{ord}(f')= \operatorname{ord}(f)-1$ 이 성립한다.

표수가 0인 체 ''K''에 대해, 사상 $D\colon K((X))\to K((X))$ 는 미분이며, 다음이 성립한다.

: $\ker D=K$

: $\operatorname{im} D= \left \{f\in K((X)) : [X^{-1}]f=0 \right \}.$

여기서 $[X^{-1}]f$ 는 ''f''의 $X^{-1}$ 계수인 '''형식적 잉여''' $\operatorname{Res}(f)$ 를 나타낸다. $\operatorname{Res} : K((X))\to K$ 는 ''K''-선형 사상이며, 다음 완전열을 이룬다.

: $0 \to K \to K((X)) \overset{D}{\longrightarrow} K((X)) \;\overset{\operatorname{Res}}{\longrightarrow}\; K \to 0.$

'''미적분 규칙'''

모든 $f, g\in K((X))$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\operatorname{Res}(f')=0;$

$\operatorname{Res}(fg')=-\operatorname{Res}(f'g);$

$\operatorname{Res}(f'/f)=\operatorname{ord}(f),\qquad \forall f\neq 0;$

$\operatorname{Res}\left(( g\circ f) f'\right) = \operatorname{ord}(f)\operatorname{Res}(g),$ if $\operatorname{ord}(f)>0;$

$[X^n]f(X)=\operatorname{Res}\left(X^{-n-1}f(X)\right).$

4. 1. 다변수 형식적 로랑 급수

체 K에 대하여, 다변수 '''형식적 로랑 급수체''' K((x₁, x₂, ..., x_n))는 다변수 형식적 멱급수환의 분수체이다.

:K((x₁, x₂, ..., x_n)) = Frac(Kx₁, x₂, ..., x_n) = Frac(Kx₁x₂...x_n)

K((x, y))와 K((x))((y))는 서로 다르며, 일반적으로 K((x, y))는 K(x)((y))의 부분환이다.^[14]

:K((x,y)) ⊆ K(x)((y)) ⊆ K((x))((y))

:K((x,y)) ⊆ K(y)((x)) ⊆ K((y))((x))

위와 같은 단사 준동형이 존재한다. 예를 들어,

:1/(x-y) ↦ x^-1 + x^-2y + x^-3y² + ... ∈ K(x)((y))

:1/(x-y) ↦ -y^-1 - y^-2x - y^-3x² - ... ∈ K(y)((x))

이다. 그러나 이 사상들은 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

:∑_n=0^∞ x^-n²yⁿ ∈ K(x)((y)) \ ι_x(K((x,y)))

이다.^[14]

5. 일반화

형식적 멱급수는 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다.

다변수 형식적 멱급수: 변수가 여러 개인 형식적 멱급수를 만들 수 있다. 예를 들어 ''X'', ''Y'' 두 변수를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_{m,n} c_{m,n} X^m Y^n

비가환 변수: 변수 간의 곱셈에서 교환 법칙이 성립하지 않는 형식적 멱급수를 정의할 수 있다. 이는 단어의 연결을 통해 곱셈을 정의한다.
반환 위의 형식적 멱급수: 반환(semiring) 위에서도 형식적 멱급수를 정의할 수 있는데, 이는 가중치 오토마타를 모델링할 때 쓰인다.^[11]
정렬 아벨 군으로 확장: 인덱스 집합을 정렬된 아벨 군으로 확장하여 형식적 멱급수를 일반화할 수 있다. 이를 한스 한의 이름을 따서 한 급수라고 부른다.^[12]

5. 1. 다변수 형식적 멱급수

임의 개수의 변수를 갖는 형식적 멱급수를 정의할 수 있다. 만약 ''I''가 지표 집합이고, ''X_I''가 ''i''∈''I''에 대한 변수 ''X_i''의 집합이라면, 단항식 ''X''^''α''는 ''X_I''의 원소들의 유한 곱(반복 허용)이다. 환 ''R''의 계수를 갖는 ''X_I''의 형식적 멱급수는 단항식 ''X''^''α''의 집합에서 해당 계수 ''c''_''α''로의 임의의 매핑에 의해 결정되며,

\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha

로 표기한다. 이러한 모든 형식적 멱급수의 집합은

RX_I,

로 표기하며, 다음과 같이 정의하여 환 구조를 부여한다.

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha \right)= \sum_\alpha (c_\alpha+d_\alpha) X^\alpha

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\beta d_\beta X^\beta\right)=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha+\beta}

RX_I

상의 위상은 요소의 수열이 각 단항식 ''X''^α에 대해 해당 계수가 안정될 때만 수렴하도록 정의된다. ''I''가 유한 집합이면, 이는 ''J''-아딕 위상이며, 여기서 ''J''는

RX_I

에서 ''X_I''의 모든 미지수로 생성된 아이디얼이다. 이는 ''I''가 무한 집합인 경우에는 성립하지 않는다. 예를 들어,

I=\N

이면, 수열

(f_n)_{n\in \N}

는

f_n = X_n + X_{n+1} + X_{n+2} + \cdots

로 정의되며, ''R'' 상의 어떠한 ''J''-아딕 위상에 대해서도 수렴하지 않지만, 각 단항식에 대해 해당 계수는 분명히 안정된다.

앞서 언급했듯이,

R X Y

와 같은 반복적인 형식적 멱급수 환 상의 위상은 일반적으로 위상환으로서

RX,Y

와 동형이 되도록 선택된다.

한 변수에서 급수에 대해 정의된 모든 연산은 여러 변수 경우로 확장될 수 있다.

급수는 상수항이 ''R''에서 가역일 때 그리고 그 때만 가역이다.
두 급수 ''f''와 ''g''의 합성 ''f''(''g''(''X''))는 ''f''가 단일 미지수에서의 급수이고 ''g''의 상수항이 0일 때 정의된다. 여러 미지수에서의 급수 ''f''의 경우, 미지수의 수만큼 ''g'' 대신 별도의 급수를 사용하여 "합성"의 형식을 유사하게 정의할 수 있다.

형식적 미분의 경우, 이제 각 미지수에 대해 미분하는 별도의 편미분 연산자가 있다. 이들은 모두 서로 교환 가능하다.

여러 변수의 경우,

RX_1, \ldots, X_r

을 특징짓는 보편 성질은 다음과 같다. ''S''가 ''R'' 위의 가환 결합 대수이고, ''I''가 ''S''의 아이디얼이며, ''S''에 대한 ''I''-adic 위상이 완비이고, ''x''₁, ..., ''x_r''가 ''I''의 원소라면, 다음 속성을 갖는 ''유일한'' 사상

\Phi: RX_1, \ldots, X_r \to S

가 존재한다.

Φ는 ''R''-대수 준동형사상이다.
Φ는 연속이다.
Φ(''X''_''i'') = ''x''_''i'' for ''i'' = 1, ..., ''r''.

임의 개수(무한개도 좋다)의 부정원을 가진 형식적 멱급수를 정의할 수 있다. Λ가 첨자 집합이고, X_Λ를 λ ∈ Λ에 대해 부정원 X_λ 전체의 집합으로 하면, 단항식 X^α는 X_Λ의 원소의 임의의 유한 개의 (중복을 허용한) 곱이다. 계수를 환 A에 가지는 X_Λ의 형식적 멱급수는 단항식 X^α의 집합에서 대응하는 계수 c_α로의 임의의 사상에 의해 결정되며,

\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha

로 표기된다. 모든 그러한 형식적 멱급수로 이루어진 집합을 AX_Λ로 표기하고, 다음과 같이 환의 구조를 부여한다.

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_\alpha(c_\alpha+d_\alpha)X^\alpha

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right):=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha+\beta}

일변수의 경우와 마찬가지로, AX_I ⊂ AX_I이다.

Λ = {1, 2, …, n}의 경우에는, AX_Λ = AX₁, X₂, …, X_n로도 쓰인다. AX₁, …, X_n = AX₁, …, X_n-1 X_n이다.

5. 2. 비가환 변수

''I''가 인덱스 집합일 때, ''i'' ∈ ''I''에 대해 단항식 ''X''^α는 ''X_I''의 모든 단어가 되는 ''비가환 변수'' ''X_i''를 사용할 수 있다. 링 ''R''의 계수를 갖는 ''X_I''의 형식적 멱급수는 단항식 집합 ''X''^α에서 해당 계수 ''c''_α로의 매핑에 의해 결정되며

\textstyle\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha

로 표시된다. 이러한 모든 형식적 멱급수의 집합은 ''R''«''X_I''»로 표시되며, 덧셈은 다음과 같이 점별로 정의된다.

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right)=\sum_\alpha(c_\alpha+d_\alpha)X^\alpha

곱셈은 다음과 같다.

:

\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right)=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha} \cdot X^{\beta}

여기서 ·는 단어의 연결을 나타낸다. ''R''에 대한 이러한 형식적 멱급수는 ''R''에 대한 '''마그누스 링'''을 형성한다.^[9]^[10]

5. 3. 반환 위의 형식적 멱급수

반환(semiring)

S

와 알파벳

\Sigma

가 주어지면, 언어

\Sigma^*

를 지원하는

S

에 대한 형식적 멱급수를 정의할 수 있다. 이 멱급수는

S\langle\langle \Sigma^*\rangle\rangle

로 표시하며,

\Sigma^*

에서

S

로 가는 모든 매핑

r:\Sigma^*\to S

로 구성된다. 여기서

\Sigma^*

는

\Sigma

로 생성된 자유 모노이드이다.

S\langle\langle \Sigma^*\rangle\rangle

의 원소는 다음과 같은 형식적 합으로 나타낼 수 있다.

:

r = \sum_{w \in \Sigma^*} (r,w)w.

여기서

(r,w)

는 단어

w\in\Sigma^*

에 대한

r

의 값, 즉

r

의 계수를 나타낸다.

r

의 지지 집합은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{supp}(r)=\{w\in\Sigma^*|\ (r,w)\neq 0\}

모든 계수가

0

또는

1

인 급수는 해당 지지 집합의 특성 급수라고 한다. 유한한 지지 집합을 가진 급수는 다항식이라 하며,

S\langle \Sigma^*\rangle

로 표시한다.

S\langle\langle \Sigma^*\rangle\rangle

에는 다음과 같은 연산이 정의된다.

합 $r_1+r_2$ : $(r_1+r_2,w)=(r_1,w)+(r_2,w)$
(코시) 곱 $r_1\cdot r_2$ : $(r_1\cdot r_2,w) = \sum_{w_1w_2=w}(r_1,w_1)(r_2,w_2)$
아다마르 곱 $r_1\odot r_2$ : $(r_1\odot r_2,w)=(r_1,w)(r_2,w)$
스칼라 곱 $sr_1$ 및 $r_1s$ : $(sr_1,w)=s(r_1,w)$ 및 $(r_1s,w)=(r_1,w)s$

이러한 연산을 통해

(S\langle\langle \Sigma^*\rangle\rangle,+,\cdot,0,\varepsilon)

및

(S\langle \Sigma^*\rangle, +,\cdot,0,\varepsilon)

는 반환이 된다. 여기서

\varepsilon

는

\Sigma^*

의 빈 단어이다.

이러한 형식적 멱급수는 이론 전산학에서 가중치 오토마타의 동작을 모델링하는 데 사용된다.^[11]

5. 4. 정렬 아벨 군으로의 확장

인덱스 집합을 정렬 아벨 군으로 확장하여 형식적 멱급수를 일반화할 수 있다. 한스 한의 이름을 따서 한 급수라고도 한다.

:

G

가 순서 아벨 군이라고 가정하자. 이는 아벨 군에 전순서

<

가 주어져서, 모든

c

에 대해

a 인 경우에만 a+c 가 성립하도록 그룹의 덧셈을 존중하는 것을 의미한다. '''I'''를 G 의 정렬 집합 부분집합이라고 하자. 즉, '''I'''는 무한 감소 사슬을 포함하지 않는다. 다음 집합을 고려해보자.

:

\sum_{i \in I} a_i X^i

이는 모든 '''I'''에 대해 성립하며, 여기서

a_i

는 가환환

R

의 원소이다. 모든

a_i

가 0이면 합이 0이라고 가정한다. 그러면

R((G))

는

G

위의 형식적 멱급수 환이다. 인덱싱 집합이 정렬되어 있다는 조건 때문에 곱셈이 잘 정의되고, 물론 0으로 다른 두 원소는 같다고 가정한다. 때때로 표기

R^G

는

R((G))

를 나타내는 데 사용된다.^[12]

R

의 다양한 속성이

R((G))

로 이전된다.

R

이 체이면,

R((G))

도 체이다.

R

이 순서체이면,

R((G))

를 정렬할 수 있는데, 이는 모든 원소가 0이 아닌 계수에 연관된 인덱스 집합 '''I'''의 최소 원소로 정의된 선도 계수와 같은 부호를 갖도록 설정한다. 마지막으로,

G

가 가분군이고

R

이 실수 닫힌 체이면,

R((G))

는 실수 닫힌 체이며,

R

이 대수적으로 닫힌 체이면,

R((G))

도 대수적으로 닫힌 체이다.

이 이론은 한스 한에 의해 만들어졌으며, 그는 (0이 아닌) 항의 개수가 어떤 고정된 무한 기수로 제한될 때 부분 체를 얻는다는 것을 또한 보여주었다.

6. 응용

형식적 멱급수는 조합론, 정수론, 대수학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 벨 급수는 곱셈적 산술 함수의 성질을 연구하는 데 사용되며, 형식적 군은 형식적 멱급수를 사용하여 추상적인 군의 법칙을 정의하는 데 사용된다. 또한, 퓌죄 급수는 형식적 로랑 급수의 확장으로, 분수 지수를 허용한다. 유리 급수도 형식적 멱급수의 응용 사례 중 하나이다.

''K''가 체인 경우, 링 $KX_1, \ldots, X_r$ 은 대수학에서 ''K''에 대한 "표준, 가장 일반적인" 완비 국소 링으로 사용되기도 한다.

6. 1. 점화식 풀이

형식적 멱급수는 정수론 및 조합론에서 발생하는 점화식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 피보나치 수의 닫힌 형식 표현을 찾는 것과 관련된 예시는 생성 함수 예시 문서를 참조하면 된다.

6. 2. 대수적 관계 증명

형식적 멱급수는 순수하게 대수적인 환경에서 해석학의 결과를 증명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 형식적 멱급수를 고려해 보자.

:

\sin(X) := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n+1)!} X^{2n+1}

:

\cos(X) := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n)!} X^{2n}

이들을 이용하여 다음의 관계를 보일 수 있다.

:

\sin^2(X) + \cos^2(X) = 1,

:

\frac{\partial}{\partial X} \sin(X) = \cos(X),

:

\sin (X+Y) = \sin(X) \cos(Y) + \cos(X) \sin(Y).

마지막 식은

\QX, Y

에서 성립한다. 이처럼 형식적 멱급수를 사용하면 대수적인 방법으로 삼각함수 항등식과 같은 해석학의 결과를 증명할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. 2015
_[2] 간행물 Formal Power Series 1969-10
_[3] arXiv The differential transformation method and Miller's recurrence 2010-07-13
_[4] 간행물 Coefficient Identities for Powers of Taylor and Dirichlet Series https://www.jstor.or[...] 1974
_[5] 간행물 The J.C.P. miller recurrence for exponentiating a polynomial, and its q-analog. https://doi.org/10.1[...]
_[6] 서적 Enumerative combinatorics. Volume 1. Cambridge University Press
_[7] Citation Lagrange inversion 2016
_[8] Citation Lagrange Inversion Formula by Induction 2023
_[9] 서적 Algebraic Number Theory Springer-Verlag
_[10] 서적 The Mathematical Theory of Knots and Braids: An Introduction Elsevier
_[11] 문서 Semirings and Formal Power Series Handbook of Weighted Automata 2009
_[12] 간행물 Analysis on the Levi-Civita Field: A Brief Overview http://www.physics.u[...] 2010
_[13] 서적
_[14] 웹인용 http://mathoverflow.[...] 2015-02-06

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