홀함수와 짝함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 응용
- 5.1. 푸리에 급수/변환
- 5.2. 신호 처리
6. 일반화
참조

1. 개요

짝함수와 홀함수는 함수의 대칭성을 나타내는 개념으로, 짝함수는 y축에 대해 대칭이고, 홀함수는 원점에 대해 회전 대칭인 함수를 의미한다. 짝함수의 예시로는 x², 코사인 함수 등이 있으며, 홀함수로는 x, 사인 함수 등이 있다. 홀함수와 짝함수는 함수의 성질, 미분, 적분, 푸리에 급수 등에서 다양한 특징을 보이며, 신호 처리 분야에서도 응용된다. 임의의 함수는 짝함수와 홀함수의 합으로 나타낼 수 있으며, 짝함수는 짝수 차수, 홀함수는 홀수 차수의 항으로 구성된다는 특징이 있다.

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홀함수와 짝함수
개요
정의	수학에서 짝함수와 홀함수는 특정 대칭 조건을 만족하는 함수이다. 짝함수는 y축에 대해 대칭이며, 홀함수는 원점에 대해 대칭이다.
짝함수	'y-축에 대한 대칭을 보이는 함수, 즉 모든 x에 대해 f(-x) = f(x)를 만족한다.'
홀함수	'원점에 대한 대칭을 보이는 함수, 즉 모든 x에 대해 f(-x) = -f(x)를 만족한다.'
예시
짝함수의 예시	'x의 짝수 거듭제곱 (1=f(x) = x, 여기서 2=은 정수), 코사인 함수, 쌍곡코사인 함수'
홀함수의 예시	'x의 홀수 거듭제곱 (3=f(x) = x, 여기서 4=은 정수), 사인 함수, 쌍곡사인 함수, 탄젠트 함수'
대칭성
짝함수의 대칭성	짝함수의 그래프는 5= 축에 대해 대칭이다.
홀함수의 대칭성	홀함수의 그래프는 원점에 대해 대칭이다.
추가 정보
짝함수의 곱셈	짝함수끼리의 곱은 짝함수이다.
홀함수의 곱셈	홀함수끼리의 곱은 짝함수이다.
짝함수와 홀함수의 곱셈	짝함수와 홀함수의 곱은 홀함수이다.
짝함수의 덧셈/뺄셈	짝함수끼리의 덧셈/뺄셈은 짝함수이다.
홀함수의 덧셈/뺄셈	홀함수끼리의 덧셈/뺄셈은 홀함수이다.
짝함수와 홀함수의 덧셈/뺄셈	짝함수와 홀함수의 덧셈/뺄셈은 짝함수도 홀함수도 아니다 (단, 0 함수는 예외).
관련 개념
푸리에 급수	짝함수는 코사인 항으로만 구성된 푸리에 급수를 가진다. 홀함수는 사인 항으로만 구성된 푸리에 급수를 가진다.
주의사항
짝수도 홀수도 아닌 함수	'모든 함수가 짝함수이거나 홀함수인 것은 아니다. 예를 들어, 6=(x − 10)²은 짝함수도 홀함수도 아니다.'
0함수	'0 함수는 유일하게 짝함수이면서 홀함수인 함수이다.'
변환
짝함수로의 변환	임의의 함수는 짝함수와 홀함수의 합으로 나타낼 수 있다.
홀함수로의 변환	임의의 함수는 짝함수와 홀함수의 합으로 나타낼 수 있다.
이동

2. 정의

실수 함수 $f\colon D\to\mathbb R$ 의 정의역 $D\subseteq\mathbb R$ 가 $-D=D$ 를 만족시키는 구간일 때, 다음이 성립한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 라면, $f$ 를 '''홀함수'''라고 한다.
임의의 $x\in D$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 라면, $f$ 를 '''짝함수'''라고 한다.

짝함수와 홀함수는 일반적으로 실함수, 즉 실변수의 실수 값을 갖는 함수에 대해 고려되지만, 정의역과 공역 모두 덧셈 역원의 개념을 갖는 함수에 대해 더 일반적으로 정의될 수 있다. 여기에는 아벨 군, 모든 환, 모든 체, 그리고 모든 벡터 공간이 포함된다.

실함수

f

는 모든

x

가 정의역에 속할 때,

-x

도 정의역에 속하며, 다음을 만족하면 '''짝함수'''이다.^[1]

:

f(-x) = f(x)

기하학적으로 짝함수의 그래프는 y축에 대해 대칭이다.

실수 함수

f

는 정의역 내의 모든

x

에 대해

-x

도 정의역에 속하고^[1]

:

f(-x) = -f(x)

인 경우 '''홀함수'''라고 한다.

기하학적으로 홀함수의 그래프는 원점에 대해 180도 회전 대칭을 가진다. 만약

x=0

이 홀함수

f(x)

의 정의역에 속한다면,

f(0)=0

이다.

실수값 인수를 갖는 복소수값 함수의 짝수 및 홀수 대칭에 대한 정의는 실수의 경우와 유사하다.

'''켤레 대칭:'''

실수 인수를 갖는 복소수값 함수

f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}

는 다음과 같은 경우 ''켤레 대칭''이라고 한다.

:

f(x)=\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}

복소수값 함수는 실수부가 짝함수이고 허수부가 홀함수인 경우에만 켤레 대칭이다.

'''켤레 반대칭:'''

실수 인수를 갖는 복소수값 함수

f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}

는 다음과 같은 경우 ''켤레 반대칭''이라고 한다.

:

f(x)=-\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}

복소수값 함수는 실수부가 홀함수이고 허수부가 짝함수인 경우에만 켤레 반대칭이다.

3. 성질

홀함수와 짝함수는 더하거나 빼고, 곱하고 나누는 연산을 했을 때 특정한 성질을 보인다. 예를 들어 짝함수와 홀함수를 곱하면 홀함수가 된다.^[6]^[7] 또한, 짝함수를 미분하면 홀함수가 되고, 홀함수를 미분하면 짝함수가 된다.

''A''에서 +''A''까지 홀함수를 적분하면 0이 된다. (여기서 ''A''는 유한하며, 함수는 −''A''와 ''A'' 사이에 수직 점근선이 없다).^[2] 반대로, -''A''에서 +''A''까지 짝함수를 적분하면 0에서 +''A''까지 적분한 값의 두 배가 된다. (여기서 ''A''는 유한하며, 함수는 −''A''와 ''A'' 사이에 수직 점근선이 없다).

짝함수의 매클로린 급수는 짝수 차수 항만 포함하고, 홀함수의 매클로린 급수는 홀수 차수 항만 포함한다. 또한, 주기적인 짝함수의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하고, 주기적인 홀함수의 푸리에 급수는 사인 항만 포함한다.

3. 1. 기본 성질

홀함수이면서 짝함수인 함수는 영함수뿐이다.^[1] 이는 $f(x)=(f(-x)+(-f(-x)))/2=0$이기 때문이다. 홀함수도 짝함수도 아닌 함수가 존재한다. 예를 들어 $f(x)=x+1$은 $f(-1)=0\ne\pm 2=\pm f(1)$이므로 홀함수도 짝함수도 아니다.

함수는 항상 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같다.

:$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2+\frac{f(x)-f(-x)}2$

어떤 함수가 짝함수일 필요충분조건은, 그래프가 $y$축에 대하여 대칭인 것이다.

어떤 함수가 홀함수일 필요충분조건은, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것이다.

어떤 함수가 짝함수이면서 홀함수이면, 그 함수가 정의된 모든 곳에서 0과 같다.
어떤 함수가 홀함수이면, 그 함수의 절댓값은 짝함수이다.
홀함수와 짝함수의 합은 일반적으로 홀함수도 짝함수도 아니다.
짝함수 $f$는 $xy$-평면에 $y = f(x)$의 그래프를 그렸을 때 $y$축에 관해 대칭(선대칭)이 된다.
홀함수 $f$는 $xy$-평면에 $y = f(x)$의 그래프를 그렸을 때 원점에 관해 대칭(점대칭)이 된다. 특히, $f(0)$이 정의되어 있다면 $f(0) = 0$이다.

다음은 짝함수 및 홀함수의 연산에 대한 성질이다.

연산	결과
짝함수의 선형 결합	짝함수
홀함수의 선형 결합	홀함수
두 짝함수의 곱	짝함수^[6]
두 홀함수의 곱	짝함수^[6]
짝함수와 홀함수의 곱	홀함수^[6]^[7]
짝함수가 미분 가능할 때, 1차 미분	홀함수
홀함수가 미분 가능할 때, 1차 미분	짝함수

3. 2. 연산

짝함수끼리의 합·차는 짝함수이다.
홀함수끼리의 합·차는 홀함수이다.
영이 아닌 짝함수와 홀함수의 합·차는 짝함수도 홀함수도 아니다.
짝함수와 홀함수의 곱·몫은 홀함수이다.
짝함수끼리의 곱·몫은 짝함수이다.
홀함수끼리의 곱·몫은 짝함수이다.
짝함수의 미분은 홀함수이다.
홀함수의 미분은 짝함수이다.

3. 3. 함수 분해

임의의 함수는 짝함수 성분과 홀함수 성분의 합으로 유일하게 분해할 수 있다. 이는 함수 공간이 짝함수 공간과 홀함수 공간의 직합으로 분해됨을 의미한다.

실수 함수의 정의역이 원점에 대해 자기 대칭적인 경우, 짝함수와 홀함수의 합으로 고유하게 분해할 수 있으며, 이를 각각 함수의 '''짝수 부분''' 또는 '''짝수 성분'''과 '''홀수 부분''' 또는 '''홀수 성분'''이라고 하며, 다음과 같이 정의된다.^[6]

:

f_\text{even}(x) = \frac {f(x)+f(-x)}{2}

:

f_\text{odd}(x) = \frac {f(x)-f(-x)}{2}

f_\text{even}

은 짝함수이고,

f_\text{odd}

는 홀함수이며,

f=f_\text{even}+f_\text{odd}

임을 확인하는 것은 간단하다.

이 분해는 유일하다.

:

f(x)=g(x)+h(x)

에서 g는 짝함수이고 h는 홀함수이면,

g=f_\text{even}

이고

h=f_\text{odd}

이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

:

\begin{align}2f_\text{e}(x) &=f(x)+f(-x)= g(x) + g(-x) +h(x) +h(-x) = 2g(x),\\2f_\text{o}(x) &=f(x)-f(-x)= g(x) - g(-x) +h(x) -h(-x) = 2h(x).\end{align}

예를 들어, 쌍곡 코사인과 쌍곡 사인은 지수 함수의 짝수 부분과 홀수 부분으로 간주될 수 있다. 쌍곡 코사인은 짝함수이고, 쌍곡 사인은 홀함수이며, 다음이 성립한다.

:

e^x=\underbrace{\cosh (x)}_{f_\text{even}(x)} + \underbrace{\sinh (x)}_{f_\text{odd}(x)}

푸리에의 사인 및 코사인 변환도 함수의 홀수 부분을 사인파(홀함수)로, 함수의 짝수 부분을 코사인파(짝함수)로 표현하여 짝수-홀수 분해를 수행한다.

짝함수 전체가 이루는 집합, 홀함수 전체가 이루는 집합은 모두 벡터 공간의 구조를 갖는다. 짝함수 전체는 가환가환환을 이룬다. 홀함수 전체는 곱셈에 대해 닫혀 있지 않아 가환환을 이루지 않는다.

4. 예시

Even function^영어과 Odd function^영어의 예시는 다음과 같다.

짝함수와 홀함수의 예시는 다음과 같다.

짝함수	홀함수

이 예시들은 그래프의 대칭을 보여주기 위한 실함수이다.

5. 응용

홀함수와 짝함수는 푸리에 급수 및 신호 처리와 같은 분야에서 응용된다.

푸리에 급수에서 짝 주기 함수는 코사인 항으로만, 홀 주기 함수는 사인 항으로만 구성된다. 짝함수의 푸리에 변환은 실수 값을 가지는 짝함수이고, 홀함수의 푸리에 변환은 허수 값을 가지는 홀함수이다.

신호 처리에서 비선형 시스템에 사인파 신호를 통과시킬 때 발생하는 고조파 왜곡은 응답 함수에 따라 달라진다. 응답 함수가 짝함수이면 짝수 고조파만, 홀함수이면 홀수 고조파만 생성된다. 비대칭 함수일 경우에는 짝수 및 홀수 고조파가 모두 생성될 수 있다.^[3] 예를 들어, 전파 정류기는 짝함수 응답을, 대칭 푸시풀 증폭기는 홀함수 응답을 갖는다.

5. 1. 푸리에 급수/변환

짝 주기 함수의 푸리에 급수는 코사인 항으로만 구성되며, 다음과 같은 꼴이다.

:

f(x)=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos \frac{2n\pi }{T}x}

홀 주기 함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성되며, 다음과 같은 꼴이다.

:

f\left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \frac{2n\pi }{T}x}

주기적인 짝함수의 푸리에 급수는 삼각 함수의 코사인 항만 포함한다.
주기적인 홀함수의 푸리에 급수는 삼각 함수의 사인 항만 포함한다.
순수하게 실수 값을 갖는 짝함수의 푸리에 변환은 실수이고 짝함수이다.
순수하게 실수 값을 갖는 홀함수의 푸리에 변환은 허수이고 홀함수이다.

5. 2. 신호 처리

신호 처리에서, 고조파 왜곡은 사인파 신호가 메모리가 없는 비선형 시스템을 통과할 때 발생한다. 즉, 시간 ''t''에서의 출력이 시간 ''t''에서의 입력에만 의존하고 이전 시간의 입력에는 의존하지 않는 시스템이다. 이러한 시스템은 응답 함수

V_\text{out}(t) = f(V_\text{in}(t))

로 설명된다. 생성되는 고조파의 유형은 응답 함수 ''f''에 따라 다르다.^[3]

응답 함수가 짝함수일 경우, 결과 신호는 입력 사인파의 짝수 고조파( $0f, 2f, 4f, 6f, \dots$ )로만 구성된다. 기본 주파수는 홀수 고조파이기도 하므로 존재하지 않는다. 간단한 예로는 전파 정류기가 있다. $0f$ 성분은 짝수 대칭 전달 함수의 단일 측면 특성으로 인한 DC 오프셋을 나타낸다.
홀함수일 경우, 결과 신호는 입력 사인파의 홀수 고조파( $1f, 3f, 5f, \dots$ )로만 구성된다. 출력 신호는 반파 대칭이 된다. 간단한 예는 대칭 푸시풀 증폭기에서 발생하는 클리핑이다.
비대칭일 경우, 결과 신호는 짝수 또는 홀수 고조파( $1f, 2f, 3f, \dots$ )를 모두 포함할 수 있다. 간단한 예는 반파 정류기 및 비대칭 A급 증폭기에서 발생하는 클리핑이다.

이것은 더 복잡한 파형에는 적용되지 않는다. 예를 들어, 톱니파는 짝수 및 홀수 고조파를 모두 포함한다. 짝수 대칭 전파 정류 후, DC 오프셋을 제외하고 홀수 고조파만 포함하는 삼각파가 된다.

6. 일반화

함수 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족하면 ''짝대칭''이라고 한다.

: $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$

함수 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족하면 ''홀대칭''이라고 한다.

: $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=-f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$

실수값 인수를 갖는 복소수값 함수의 짝수 및 홀수 대칭에 대한 정의는 실수의 경우와 유사하다. 신호 처리에서는 유사한 대칭이 때때로 고려되는데, 이는 복소수 켤레와 관련이 있다.^[4]^[5]

'''켤레 대칭:'''

실수 인수를 갖는 복소수값 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 가 다음을 만족하면 ''켤레 대칭''이라고 한다.

: $f(x)=\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}$

복소수값 함수는 실수부가 짝함수이고 허수부가 홀함수인 경우에만 켤레 대칭이다. 켤레 대칭 함수의 전형적인 예는 cis 함수이다.

: $x \to e^{ix}=\cos x + i\sin x$

'''켤레 반대칭:'''

실수 인수를 갖는 복소수값 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 가 다음을 만족하면 ''켤레 반대칭''이라고 한다.

: $f(x)=-\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}$

복소수값 함수는 실수부가 홀함수이고 허수부가 짝함수인 경우에만 켤레 반대칭이다.

짝수 및 홀수 대칭의 정의는 ''N''-점 시퀀스(즉, $f: \left\{0,1,\ldots,N-1\right\} \to \mathbb{R}$ 형태의 함수)로 확장된다.^[5]

'''짝수 대칭:'''

''N''-점 시퀀스는 다음을 만족하면 ''켤레 대칭''이라고 한다.

: $f(n) = f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{ 1,\ldots,N-1 \right\}.$

이러한 시퀀스는 종종 '''회문 시퀀스'''라고도 한다. 회문 다항식도 참조.

'''홀수 대칭:'''

''N''-점 시퀀스는 다음을 만족하면 ''켤레 반대칭''이라고 한다.

: $f(n) = -f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{1,\ldots,N-1\right\}.$

이러한 시퀀스는 때때로 '''반회문 시퀀스'''라고도 한다. 반회문 다항식도 참조.

참조

_[1] 서적 Functions and Graphs https://archive.org/[...] Birkhäuser
_[2] 웹사이트 Odd Function http://mathworld.wol[...]
_[3] 웹사이트 Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics http://www.uaudio.co[...] Universal Audio 2005-10
_[4] 서적 Discrete-time signal processing Prentice Hall
_[5] 간행물 Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications https://archive.org/[...] Prentice-Hall International
_[6] 서적 フーリエ解析 (理工系の数学入門コース 6) 岩波書店
_[7] 서적 技術者のための高等数学3 フーリエ解析と偏微分方程式培風館
_[8] 서적 技術者のための高等数学4 複素関数論培風館

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