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힐베르트 공리계

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목차

1. 개요

힐베르트 공리계는 다비트 힐베르트가 제시한 유클리드 기하학의 공리계로, 점, 선, 평면을 기초 개념으로 하여 이들 간의 관계를 정의하는 공리들을 포함한다. 이 공리계는 결합, 순서, 합동, 평행, 연속의 다섯 가지 공리군으로 구성되며, 각 공리군은 기하학적 대상들의 기본적인 성질과 관계를 규정한다. 힐베르트 공리계는 유클리드 기하학을 엄밀하게 공리화하는 데 기여했으며, 메타수학적 질문에 대한 선구적인 접근 방식을 제시하여 20세기 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.

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힐베르트 공리계
힐베르트 공리계
힐베르트 공리계
힐베르트 공리계
정보
분야기하학의 기초
개발자다비트 힐베르트
발표일1899년
원래 언어독일어
영향
영향 받은 것유클리드 기하학
영향 준 것수학적 모델, 모델 이론

2. 공리

힐베르트의 공리계는 여섯 개의 기초 개념으로 구성된다. 세 개의 기초 용어는 다음과 같다:[5]



그리고 세 개의 기초 유한 관계가 있다:[6]

  • '사이'는 점들을 연결하는 삼항 관계이다.
  • '위에 있다(포함)'는 세 개의 이항 관계로, 점과 직선, 점과 평면, 직선과 평면을 연결한다.
  • '합동'은 선분과 각을 연결하는 두 개의 이항 관계로, ≅로 표시된다.


선분, 각 및 삼각형은 점과 직선을 사용하여 '사이'와 '포함' 관계를 통해 각각 정의될 수 있다. 다음 공리에 나오는 모든 점, 직선 및 평면은 달리 명시되지 않는 한 서로 다르다.

힐베르트 공리계는 다음과 같이 다섯 개의 공리군으로 나뉜다.

'''I. 결합 공리군'''

결합 공리군은 점, 직선, 평면 사이의 관계를 정의한다. 예를 들어, 임의의 두 점을 지나는 직선은 유일하며, 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면은 유일하다.

'''II. 순서 공리군'''

순서 공리군은 점들의 순서 관계를 정의한다. 예를 들어, 한 직선 위에 있는 세 점 중에서는 단 하나의 점만이 다른 두 점 사이에 있다.

'''III. 합동 공리군'''

합동 공리군은 선분과 각의 합동 관계를 정의한다. 예를 들어, 두 선분이 합동이고 다른 두 선분이 합동이면, 그 양 끝점을 이은 선분도 합동이다. 또한, 두 삼각형의 두 변과 끼인각이 각각 합동이면 두 삼각형은 합동이다(SAS 합동).

'''IV. 평행 공리군'''

평행 공리군은 평행선의 존재성을 정의한다. 플레이페어의 공리라고도 불리며, 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 유일하다는 내용을 담고 있다.

'''V. 연속 공리군'''

연속 공리군은 선분의 길이에 대한 아르키메데스의 공리와 선의 완전성을 나타내는 공리로 구성된다. 아르키메데스의 공리는 아무리 작은 선분이라도 유한 번 반복하면 주어진 선분보다 길어진다는 내용을 담고 있다. 선 완전성 공리는 점, 직선, 평면의 체계에 다른 요소를 추가하는 것이 불가능하다는 것을 의미한다.

2. 1. I. 결합 공리군 (Incidence)


  • I.1: 임의의 서로 다른 두 점에 대해, 두 점을 잇는 직선이 존재한다.[1]
  • I.2: 임의의 서로 다른 두 점에 대해, 두 점을 동시에 지나는 직선은 유일하다.[2]
  • I.3: 임의의 직선에는 적어도 두 점이 있으며, 그 직선 위에 있지 않은 점이 적어도 하나 존재한다.[3]
  • I.4: 한 직선 위에 있지 않은 임의의 세 점에 대해, 그 세 점을 모두 포함하는 평면이 존재한다. 모든 평면은 적어도 한 점을 포함한다.[4]
  • I.5: 한 직선 위에 있지 않은 임의의 세 점에 대해, 그 세 점을 모두 포함하는 평면은 유일하다.[5]
  • I.6: 어떤 직선 위의 두 점이 평면 위에 있다면, 그 직선 위의 모든 점은 그 평면 위에 있다.[6]
  • I.7: 두 평면이 한 점을 공유하면, 그 두 평면은 적어도 다른 한 점을 공유한다.[7]
  • I.8: 한 평면 위에 있지 않은 점이 적어도 네 개 존재한다.[8]

2. 2. II. 순서 공리군 (Order)


  • II.1: 점 A와 C 사이에 점 B가 있다면 점 B는 점 C와 A 사이에도 존재하고, 점 A, B, C를 지나는 직선이 존재한다.[7]
  • II.2: 점 A와 C가 있을 때 직선 AC 위에 점 B가 존재하여 점 A와 B 사이에 C가 있다.[7]
  • II.3: 한 직선 위에 있는 세 점에 대해, 그중 단 하나의 점만이 다른 두 점 사이에 있다.[8]
  • II.4: 파슈의 공리: 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C가 있고 평면 ABC 위에 직선 m이 있고 그 직선이 A, B, C 중 어느 하나도 포함하지 않을 때, m이 선분 AB 위의 한 점을 포함한다면 선분 AC, 선분 BC 중 하나의 선분에서도 한 점을 포함한다.

2. 3. III. 합동 공리군 (Congruence)


  • III.1: 두 점 A, B가 있고 직선 m 위에 점 A'가 있을 때, 점 A'를 기준으로 양쪽에 두 점 C와 D가 존재하여 A'가 C와 D 사이에 있고, , 를 만족한다.[1]
  • III.2: , 라면 이다.[1]
  • III.3: 직선 m이 선분 AB와 BC를 포함하고 그 두 선분에 공통적으로 포함되는 점이 B 하나이고, 또한 직선 m이나 m'이 선분 A'B'와 B'C'를 포함하고 그 두 선분에 공통적으로 포함되는 점이 B' 하나일 때, , 라면 이다.[1]
  • III.4: 각 ABC와 반직선 B'C'가 있을 때, 단 두 개의 반직선 B'D와 B'E가 존재하여 와 를 만족한다.[1] 모든 각은 자기 자신과 합동이다.
  • III.5: 두 삼각형 ΔABC와 A'B'C'가 , , 를 만족한다면 이다.[1] (SAS 합동)

2. 4. IV. 평행 공리군 (Parallels)

플레이페어의 공리: 직선 m과 그 직선 위에 있지 않은 점 A가 있고 m과 A를 포함하는 평면이 있을 때, 그 평면에는 점 A를 포함하고 직선 m 위의 어떤 점도 포함하지 않는 직선이 많아야 하나 존재한다.[9]

2. 5. V. 연속 공리군 (Continuity)

Archimedes영어의 공리:[1] 임의의 선분 AB와 CD에 대해, A에서 시작하여 CD와 합동인 선분을 AB 위에 유한 번 반복하면, 그 끝점이 B를 넘어서게 된다.[1]

선 완전성 공리:[1] 점, 직선, 평면의 체계에 다른 요소를 추가하는 것이 불가능하다.[1] 즉, 힐베르트 기하학의 요소는 확장될 수 없는 체계를 형성한다.

3. 판본 및 번역

1899년 힐베르트가 기념 강연을 위해 구성하고 작성한, 힐베르트의 강의를 바탕으로 한 원본 단행본이 출판되었다. 이어서 힐베르트가 완전성 공리 V.2를 추가한 프랑스어 번역본이 나왔다. 힐베르트의 승인을 받은 영어 번역본은 E.J. 타운젠드에 의해 제작되었으며 1902년에 저작권이 등록되었다.[1] 이 번역본은 프랑스어 번역본에서 이루어진 변경 사항을 포함하고 있어 제2판의 번역본으로 간주된다. 힐베르트는 텍스트에 계속해서 변경 사항을 추가했으며 여러 독일어 판이 출판되었다. 제7판은 힐베르트 생전에 출판된 마지막 판이었다.[1] 이 판의 서문에서 힐베르트는 다음과 같이 적었다.

:"본서 『기하학의 기초』의 이번 제7판은 이전 판에 비해 상당한 개선과 추가를 거쳤으며, 이는 부분적으로 이 주제에 대한 제 이후 강의와 다른 저자들에 의해 그동안 이루어진 개선 사항에서 비롯되었습니다. 책의 주요 텍스트가 그에 따라 수정되었습니다."[1]

제7판 이후에도 새로운 판이 출판되었지만, 주요 텍스트는 본질적으로 수정되지 않았다. 이러한 판의 수정 사항은 부록과 보충 자료에 나타난다. 텍스트의 변경 사항은 원본에 비해 상당했으며, 타운젠드 번역본을 출판했던 오픈 코트 출판사에서 새로운 영어 번역본을 의뢰했다. 따라서 제2차 영어판은 1971년에 레오 웅거에 의해 제10차 독일어판에서 번역되었다.[1] 이 번역본은 파울 베르나이스가 쓴 후기 독일어판의 여러 수정 및 확장을 포함한다.

웅거 번역본은 타운젠드 번역본과 공리에 관해 다음과 같은 차이를 보인다.[1]


  • 구 공리 II.4는 정리 5로 이름이 변경되어 이동했다.
  • 구 공리 II.5(파슈의 공리)는 II.4로 번호가 다시 매겨졌다.
  • V.2, 선 완전성 공리는 다음으로 대체되었다.


: ''완전성 공리''. 점, 직선, 평면의 체계에 다른 요소를 추가하여 이와 같이 일반화된 체계가 5개의 공리군을 모두 따르는 새로운 기하학을 형성하는 것은 불가능하다. 즉, 5개의 공리군을 유효하다고 간주할 때 기하학의 요소는 확장될 수 없는 체계를 형성한다.

  • 구 공리 V.2는 이제 정리 32이다.


마지막 두 수정 사항은 P. 베르나이스에 기인한다.[1]

그 외 주목할 만한 변경 사항은 다음과 같다.[1]

  • 타운젠드가 사용한 용어 "직선"은 전체적으로 "선"으로 대체되었다.
  • "결합 공리"는 타운젠드에 의해 "연결 공리"로 불렸다.

4. 응용 및 영향

힐베르트 공리계는 유클리드 입체 기하학을 공리화한다. "평면"을 언급하는 공리(I.4–8, III.4, IV.1)를 수정하면 유클리드 평면 기하학의 공리화를 얻을 수 있다. 힐베르트 공리계는 일계 논리 이론을 구성하지 않는데, 이는 일계 논리로 표현할 수 없는 V.1–2 공리 때문이다.

힐베르트의 ''기초론''은 방법론적 가치를 지닌다. 모리츠 파슈, 마리오 피에리, 오스왈드 베블렌, 에드워드 버밀리에 헌팅턴, 길버트 로빈슨, 헨리 조지 포더 등이 기하학 공리화에 기여했다. ''기초론''은 공리 독립성 증명, 메타수학적 질문 등 현대 수학에 큰 영향을 미쳤다.

20세기 수학은 공리적 형식 체계로 발전했으며, 이는 힐베르트의 ''기초론''에 영향을 받았다. 2003년, 컴퓨터 형식화 과정에서 힐베르트의 일부 증명이 기하학적 직관에 의존하여 잠재적인 모호성과 누락된 부분이 있음이 드러났다.[11]

참조

[1] 논문 Review: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899 https://www.ams.org/[...]
[2] 논문 Poincaré's review of Hilbert's "Foundations of Geometry", translated by E. V. Huntington https://www.ams.org/[...]
[3] 논문 Review: ''Grundlagen der Geometrie'', Third edition, Teubner, 1909 https://www.ams.org/[...]
[4] 논문 Review: ''Grundlagen der Geometrie'', Fourth edition, Teubner, 1913 https://www.ams.org/[...]
[5] 문서 These axioms and their numbering are taken from the Unger translation (into English) of the 10th edition of ''Grundlagen der Geometrie''.
[6] 문서 One could count this as six relations as specified below, but Hilbert did not do so.
[7] 문서 In the Townsend edition this statement differs in that it also includes the existence of at least one point ''D'' with ''C'' between ''A'' and ''D'', which became a theorem in a later edition.
[8] 문서 The existence part ("there is at least one") is a theorem.
[9] 문서 This is Hilbert's terminology. This statement is more familiarly known as [[Playfair's axiom]].
[10] 간행물 On the projective axioms of geometry https://www.ams.org/[...]
[11] 문서 On page 334: ''"By formalizing the ''Grundlagen'' in Isabelle/Isar we showed that Hilbert's work glossed over subtle points of reasoning and relied heavily, in some cases, on diagrams which allowed implicit assumptions to be made. For this reason it can be argued that Hilbert interleaved his axioms with geometric intuition in order to prove many of his theorems."''


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