각의 이등분선

1. 개요

각의 이등분선은 주어진 각을 정확히 이등분하는 직선 또는 반직선이다. 각의 이등분선은 각의 두 변으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취이며, 삼각형 내각의 이등분선은 내심에서 만나고, 외각의 이등분선은 방심에서 만난다. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선은 변의 길이와 관련된 단순비 관계를 가지며, 내각의 이등분선 길이는 변의 길이에 따라 결정된다.

2. 정의

주어진 각 \(\angle AOB\)의 내부의 점 \(P\)가 \(\angle AOP=\angle POB\)를 만족시키면, 직선 또는 반직선 \(OP\)를 각 \(\angle AOB\)의 이등분선이라고 한다.

3. 성질

주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각 $\backslash angle\; AOB$와 이 각의 평면 위의 점 $P$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 직선 $OP$는 각의 이등분선이다.
* $P$와 직선 $OA$ 사이의 거리는 $P$와 직선 $OB$ 사이의 거리와 같다.

3.1. 단순비

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서의 내각과 외각의 이등분선 AD, AD'과 대변 BC의 교점을 D, D'라고 하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

:

여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로, 두 유향 선분의 방향이 같으면 양수, 반대이면 음수이다.

3.2. 길이

삼각형 $ABC$의 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서의 내각의 이등분선 $AD$, $BE$, $CF$와 대변 $BC$, $CA$, $AB$의 교점을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하면, 다음이 성립한다.

:$AD=\backslash sqrt\{bc\backslash left(1-\backslash frac\{a^2\}\{(b+c)^2\}\backslash right)\}$
:$BE=\backslash sqrt\{ac\backslash left(1-\backslash frac\{b^2\}\{(a+c)^2\}\backslash right)\}$
:$CF=\backslash sqrt\{ab\backslash left(1-\backslash frac\{c^2\}\{(a+b)^2\}\backslash right)\}$

이에 따라, 같은 삼각형에서 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $BE>CF$
*

또한 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다.

* $BE=CF$
* $b=c$

이에 따라 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

3.3. 내심과 방심

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 내심 한 개와 방심 세 개를 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다.

이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다.