이등변 삼각형

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1. 개요
2. 정의 및 용어
3. 성질
4. 종류
- 4.1. 특수한 이등변삼각형
5. 활용
6. 역사
참조

1. 개요

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 의미한다. 두 변을 등변, 나머지 변을 밑변, 두 등변 사이의 각을 꼭지각, 밑변과 등변 사이의 각을 밑각이라고 부른다. 이등변삼각형은 꼭지각의 크기에 따라 예각, 직각, 둔각 이등변삼각형으로 분류되며, 세 변의 길이가 같은 정삼각형은 이등변삼각형의 특수한 경우이다. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같고, 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이, 중선의 길이, 각의 이등분선의 길이가 같다는 성질을 갖는다. 내접원과 외접원의 반지름 공식이 존재하며, 선대칭 도형이다. 건축, 디자인, 그래픽 디자인 등 다양한 분야에서 활용되며, 삼체 문제와 같은 수학적 문제에서도 중요한 역할을 한다.

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정삼각형은 세 변의 길이가 같고 모든 내각이 60°인 삼각형으로, 이등변삼각형의 특수한 형태이며 내심, 외심, 무게중심이 일치하는 특징을 가진다.

이등변 삼각형
개요
수직 대칭축이 있는 이등변 삼각형
종류	삼각형
변의 수	3
대칭성	Dih2, [ ], (*), 차수 2
슐레플리 기호	( ) ∨ { }
위토프 기호	해당 없음
콕서터 다이어그램	해당 없음
넓이	해당 없음
쌍대	자기 쌍대
속성	볼록 다각형, 내접 다각형
명칭
영어	isosceles triangle (아이ˈsɒsəliːz)
일본어	二等辺三角形 (にとうへんさんかくけい, nitōhen-sankakkei)
한국어	이등변 삼각형 (ideungbyeon samgakyeong)

2. 정의 및 용어

삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 '''이등변 삼각형'''이라고 한다. 이등변삼각형의 길이가 같은 두 변을 '''등변'''(等邊, leg^영어)이라고 하고, 남은 한 변을 '''밑변'''(-邊, base^영어)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 '''꼭지각'''(-角, vertex angle^영어)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 '''밑각'''(-角, base angle^영어)이라고 부른다. 유클리드는 이등변삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의했지만, 현대적인 정의는 이등변삼각형을 적어도 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하는 것을 선호한다.

꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 '''예각 이등변 삼각형''', '''직각 이등변 삼각형''', '''둔각 이등변 삼각형'''이라고 한다. 꼭지각은 180° 미만의 모든 크기를 가질 수 있지만, 밑각은 반드시 예각(90° 미만)이 된다. 세 변의 길이가 같은 정삼각형은 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다.

3. 성질

삼각형 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[5]

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제는 당나귀의 다리라고 불리기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.^[5] 이 명제의 증명은 SAS 합동, AAS 합동, ASA 합동을 이용해 보일 수 있다.

또한, 삼각형 에서 다음 조건들도 서로 동치이다.^[5]

를 지나는 의 수선 와 를 지나는 의 수선 에 대해, 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

비슷하게, 삼각형 에서 다음 조건들 역시 서로 동치이다.^[5]

변 의 중점 와 변 의 중점 에 대해, 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

각 의 이등분선 와 각 의 이등분선 에 대해, 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

모든 이등변 삼각형에 대해 다음 6개의 선분은 일치한다.

꼭짓점에서 밑변에 수직으로 그은 높이
꼭짓점에서 밑변으로 그은 각의 이등분선
꼭짓점에서 밑변의 중점으로 그은 중선
삼각형 내에서 밑변의 수직이등분선
삼각형의 고유한 대칭축의 삼각형 내 선분
삼각형이 정삼각형이 아닌 경우 삼각형의 오일러선의 삼각형 내 선분

이들의 공통 길이는 삼각형의 높이 이며, 같은 변의 길이를 , 밑변의 길이를 라고 할 때, 이다. 이 공식은 피타고라스 정리를 사용해서도 유도할 수 있다.

이등변 삼각형은 선대칭 도형이며, 그 대칭축은 위에 언급된 6개 선분과 일치한다. 어떤 내각과 그 대변에 관해 중선, 내각의 이등분선, 변의 수직이등분선, 꼭지각에서 밑변에 내린 수선 4개 중 2개가 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.^[4]

3. 1. 밑각, 높이, 중선, 각의 이등분선

삼각형

ABC

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[5]

$AB=AC$
$\angle B=\angle C$

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제는 당나귀의 다리라고 불리기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.^[5] 이 명제의 증명은 SAS 합동, AAS 합동, ASA 합동을 이용해 보일 수 있다.

또한, 삼각형

ABC

에서 다음 조건들도 서로 동치이다.^[5]

$AB=AC$
$B$ 를 지나는 $AC$ 의 수선 $BY$ 와 $C$ 를 지나는 $AB$ 의 수선 $CZ$ 에 대해, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

비슷하게, 삼각형

ABC

에서 다음 조건들 역시 서로 동치이다.^[5]

$AB=AC$
변 $AC$ 의 중점 $Y$ 와 변 $AB$ 의 중점 $Z$ 에 대해, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형

ABC

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

$AB=AC$
각 $\angle B$ 의 이등분선 $BY$ 와 각 $\angle C$ 의 이등분선 $CZ$ 에 대해, $BY=CZ$ 이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

모든 이등변 삼각형에 대해 다음 6개의 선분은 일치한다.

꼭짓점에서 밑변에 수직으로 그은 높이
꼭짓점에서 밑변으로 그은 각의 이등분선
꼭짓점에서 밑변의 중점으로 그은 중선
삼각형 내에서 밑변의 수직이등분선
삼각형의 고유한 대칭축의 삼각형 내 선분
삼각형이 정삼각형이 아닌 경우 삼각형의 오일러선의 삼각형 내 선분

이들의 공통 길이는 삼각형의 높이

h

이며, 같은 변의 길이를

a

, 밑변의 길이를

b

라고 할 때,

h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}

이다. 이 공식은 피타고라스 정리를 사용해서도 유도할 수 있다.

이등변 삼각형은 선대칭 도형이며, 그 대칭축은 위에 언급된 6개 선분과 일치한다. 어떤 내각과 그 대변에 관해 중선, 내각의 이등분선, 변의 수직이등분선, 꼭지각에서 밑변에 내린 수선 4개 중 2개가 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.^[4]

3. 2. 내반지름과 외반지름

이등변삼각형의 외심(파란색), 무게중심(빨간색), 내심(녹색) 및 대칭축(보라색)을 보여주는 그림

이등변삼각형의 내접원 및 외접원의 반지름 공식은 임의의 삼각형에 대한 공식에서 파생될 수 있다.

변의 길이가

a

, 밑변이

b

, 높이가

h

인 이등변삼각형의 내접원의 반지름은 다음과 같다.

:

\frac{2ab-b^2}{4h}.

원의 중심은 삼각형의 대칭축 위에 있으며, 밑변 위로 이 거리에 위치한다. 이등변삼각형은 동일한 밑변과 꼭지각을 가진 삼각형 중에서 가장 큰 내접원을 가지며, 동일한 종류의 삼각형 중에서 가장 큰 면적과 둘레를 갖는다.

외접원의 반지름은 다음과 같다.

:

\frac{a^2}{2h}.

원의 중심은 삼각형의 대칭축 위에 있으며, 꼭지점 아래로 이 거리에 위치한다.

3. 3. 내접 정사각형

어떤 이등변 삼각형이든, 삼각형의 밑변과 한 변이 일치하고, 반대쪽 두 꼭짓점이 삼각형의 변 위에 있는 유일한 정사각형이 존재한다. 칼라비 삼각형은 밑변과 일치하는 변을 갖는 다른 두 개의 내접 정사각형이 밑변 정사각형과 크기가 같은 특별한 이등변 삼각형이다. 훨씬 더 오래된 정리로, 알렉산드리아의 헤론의 저서에 보존되어 있는데, 밑변이

b

이고 높이가

h

인 이등변 삼각형의 경우, 삼각형 밑변에 내접하는 정사각형의 변의 길이는 다음과 같다.

:

\frac{bh}{b+h}.

4. 종류

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 이등변삼각형이다. 정삼각형의 내각은 모두 같으며 60°이다. 반대로, 어떤 내각이 60°인 이등변 삼각형은 정삼각형이 된다. 모든 정삼각형은 서로 닮음이다.

꼭지각이 직각인 이등변 삼각형은 직각이등변삼각형이라고 불린다. 직각이등변삼각형의 밑각(예각)은 45°이다. 모든 직각이등변삼각형은 서로 닮음이다.

변과 밑변의 비가 황금비인 이등변삼각형을 황금삼각형이라고 한다. 세 개의 합동인 내접 정사각형을 갖는 이등변삼각형은 칼라비 삼각형이라고 한다. 이 외에도 30-30-120 삼각형, 80-80-20 삼각형 등이 특수한 이등변삼각형에 해당한다.

4. 1. 특수한 이등변삼각형

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 이등변삼각형이다. 정삼각형의 내각은 모두 같으며 60°이다. 반대로, 어떤 내각이 60°인 이등변 삼각형은 정삼각형이 된다. 모든 정삼각형은 서로 닮음이다.

꼭지각이 직각인 이등변 삼각형은 직각이등변삼각형이라고 불린다. 직각이등변삼각형의 밑각(예각)은 45°이다. 모든 직각이등변삼각형은 서로 닮음이다.

변과 밑변의 비가 황금비인 이등변삼각형을 황금삼각형이라고 한다. 세 개의 합동인 내접 정사각형을 갖는 이등변삼각형은 칼라비 삼각형이라고 한다. 이 외에도 30-30-120 삼각형, 80-80-20 삼각형 등이 특수한 이등변삼각형에 해당한다.

5. 활용

5. 1. 다른 도형과의 관계

정수

n \ge 4

에 대해, 모든 삼각형은

n

개의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있다.^[1]

직각 삼각형에서 빗변의 중점으로부터 직각 꼭짓점까지의 중선은 직각 삼각형을 두 개의 이등변 삼각형으로 나눈다. 이는 빗변의 중점이 직각 삼각형의 외접원의 중심이기 때문이며, 분할에 의해 생성된 각 삼각형은 두 변으로 두 개의 동일한 반지름을 갖는다.

마찬가지로, 예각 삼각형은 외심으로부터의 선분으로 세 개의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있지만, 외심이 삼각형 외부에 있기 때문에 이 방법은 둔각 삼각형에는 적용되지 않는다.

예각 삼각형의 분할을 일반화하면, 외접원의 중심을 포함하는 모든 원내 다각형은 이 원의 꼭짓점을 통과하는 반지름으로 이등변 삼각형으로 분할될 수 있다. 원의 모든 반지름이 동일한 길이를 갖는다는 사실은 이러한 모든 삼각형이 이등변 삼각형임을 의미한다. 이 분할은 외심을 포함하지 않는 원내 다각형의 경우에도 다각형의 면적을 변의 길이의 함수로 표현하는 공식을 유도하는 데 사용될 수 있다.

마름모의 두 대각선 중 하나는 마름모를 두 개의 합동 이등변 삼각형으로 나눈다. 마찬가지로, 연꼴의 두 대각선 중 하나는 연꼴을 두 개의 이등변 삼각형으로 나누며, 연꼴이 마름모인 경우를 제외하고는 합동이 아니다.

밑변의 길이가 같은 두 개의 이등변삼각형을 밑변만 겹치면 연꼴이 만들어진다. 특히, 두 이등변삼각형이 합동일 경우, 마름모가 만들어진다.

반대로, 연꼴을 그 대칭축이 아닌 쪽의 대각선으로 분할하면 2개의 이등변삼각형이 된다. 특히, 정사각형을 1개의 대각선으로 분할하면, 2개의 합동인 직각 이등변삼각형이 만들어진다.

5. 1. 1. 다른 도형의 분할

정수

n \ge 4

에 대해, 모든 삼각형은

n

개의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있다.^[1]

직각 삼각형에서 빗변의 중점으로부터 직각 꼭짓점까지의 중선은 직각 삼각형을 두 개의 이등변 삼각형으로 나눈다. 이는 빗변의 중점이 직각 삼각형의 외접원의 중심이기 때문이며, 분할에 의해 생성된 각 삼각형은 두 변으로 두 개의 동일한 반지름을 갖는다.

마찬가지로, 예각 삼각형은 외심으로부터의 선분으로 세 개의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있지만, 외심이 삼각형 외부에 있기 때문에 이 방법은 둔각 삼각형에는 적용되지 않는다.

예각 삼각형의 분할을 일반화하면, 외접원의 중심을 포함하는 모든 원내 다각형은 이 원의 꼭짓점을 통과하는 반지름으로 이등변 삼각형으로 분할될 수 있다. 원의 모든 반지름이 동일한 길이를 갖는다는 사실은 이러한 모든 삼각형이 이등변 삼각형임을 의미한다. 이 분할은 외심을 포함하지 않는 원내 다각형의 경우에도 다각형의 면적을 변의 길이의 함수로 표현하는 공식을 유도하는 데 사용될 수 있다.

마름모의 두 대각선 중 하나는 마름모를 두 개의 합동 이등변 삼각형으로 나눈다. 마찬가지로, 연꼴의 두 대각선 중 하나는 연꼴을 두 개의 이등변 삼각형으로 나누며, 연꼴이 마름모인 경우를 제외하고는 합동이 아니다.

밑변의 길이가 같은 두 개의 이등변삼각형을 밑변만 겹치면 연꼴이 만들어진다. 특히, 두 이등변삼각형이 합동일 경우, 마름모가 만들어진다.

반대로, 연꼴을 그 대칭축이 아닌 쪽의 대각선으로 분할하면 2개의 이등변삼각형이 된다. 특히, 정사각형을 1개의 대각선으로 분할하면, 2개의 합동인 직각 이등변삼각형이 만들어진다.

5. 2. 건축 및 디자인

이등변 삼각형은 건축에서 박공과 페디먼트의 형태로 나타난다. 고대 그리스 건축과 그 이후의 모방에서 둔각 이등변 삼각형이 사용되었고, 고딕 건축에서는 급성 이등변 삼각형으로 대체되었다.

중세 건축에서 이집트 이등변 삼각형 모양이 인기를 얻었다. 이 삼각형은 예각이지만 정삼각형보다는 덜 예각이며, 높이는 밑변의 5/8에 비례한다. 이집트 이등변 삼각형은 네덜란드 건축가 헨드릭 페트루스 베를라게에 의해 현대 건축에 다시 사용되었다.

워렌 트러스 구조는 다리와 같이 일반적으로 이등변 삼각형으로 배열되지만, 추가적인 강도를 위해 수직 빔도 포함되는 경우가 있다. 둔각 이등변 삼각형으로 테셀레이션된 표면은 두 개의 안정적인 상태를 갖는 전개 가능한 구조를 형성하는 데 사용될 수 있다. 즉, 표면이 원통형 기둥으로 확장되는 펼쳐진 상태와, 더 쉽게 운반할 수 있는 더 컴팩트한 프리즘 모양으로 접히는 접힌 상태가 있다. 동일한 테셀레이션 패턴은 요시무라 버클링의 기초를 형성한다. 요시무라 버클링은 원통형 표면이 축 방향으로 압축될 때 형성되는 패턴이며, 슈바르츠 램프는 부드러운 표면의 면적이 항상 표면에 수렴하는 다면체로 정확하게 근사될 수 없음을 보여주기 위해 수학에서 사용되는 예시이다.

그래픽 디자인과 장식 미술에서 이등변 삼각형은 적어도 초기 신석기 시대부터 현대에 이르기까지 전 세계 문화에서 빈번한 디자인 요소로 사용되어 왔다. 이들은 국기와 문장학에서 흔한 디자인 요소이며, 예를 들어 가이아나의 국기에서는 수직 밑변을, 세인트루시아의 국기에서는 수평 밑변을 사용하여 산 섬의 양식화된 이미지를 형성한다.

또한 탄트라 힌두교 명상 수행의 스리 얀트라에서와 같이 종교적 또는 신비로운 의미를 가진 디자인에도 사용되었다.

5. 3. 기타

실수 계수를 갖는 삼차 방정식이 모두 실수가 아닌 세 개의 근을 갖는다면, 이 근들을 복소 평면의 아르강 도표에 표시할 때 이들은 대칭축이 수평(실수) 축과 일치하는 이등변 삼각형의 꼭짓점을 형성한다. 이는 복소 근들이 켤레 복소수이고 따라서 실수 축에 대해 대칭이기 때문이다.

천체역학에서 삼체 문제는 세 개의 물체가 이등변 삼각형을 이루는 특수한 경우에 연구되어 왔다. 이는 물체가 이러한 방식으로 배열되었다고 가정하면, 물체가 정삼각형을 이루는 해결된 라그랑주 점의 경우로 축소되지 않으면서 시스템의 자유도 수를 줄이기 때문이다. 무제한 진동을 갖는 것으로 나타난 삼체 문제의 첫 번째 예는 이등변 삼체 문제에서 발견되었다.

6. 역사

고대 이집트 수학과 바빌로니아 수학의 실무자들은 고대 그리스 수학자들보다 훨씬 오래 전부터 이등변 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 알고 있었다. 이러한 유형의 문제는 모스크바 수학 파피루스와 린드 수학 파피루스에 포함되어 있다.^[2]

이등변 삼각형의 밑각이 같다는 정리는 유클리드의 명제 I.5에 나타난다. 이 결과는 ''우둔각(수학)''(pons asinorum, 당나귀의 다리) 또는 이등변 삼각형 정리라고 불렸다. 이 이름에 대한 다른 설명으로는 유클리드가 이 결과를 증명하는 데 사용한 그림이 다리와 비슷하기 때문이거나, 유클리드 기하학에서 처음으로 어려운 결과여서 유클리드의 기하학을 이해할 수 있는 사람과 그렇지 못한 사람을 구분하기 때문이라는 설이 있다.

잘 알려진 수학적 오류 중 하나는 "모든 삼각형은 이등변 삼각형이다"라는 명제의 허위 증명인데, 이는 1892년 W. W. 라우즈 볼에 의해 처음 출판되었으며, 나중에 루이스 캐럴의 유작인 ''루이스 캐럴 그림책''에 재출판되었다.^[3] 이 오류는 유클리드가 ''사이'' 개념을 인식하지 못하고 도형의 ''내부''와 ''외부''의 모호성을 야기한 데 기인한다.

참조

_[1] 서적 1982
_[2] 서적 2008
_[3] 서적 1899
_[4] 서적 解法のスーパーテクニック東京出版 1989-09-14
_[5] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001

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