메넬라오스 정리

1. 개요

메넬라오스 정리는 삼각형의 세 변 또는 연장선 위의 세 점이 공선점일 필요충분조건을 나타내는 정리이다. 이 정리는 세 점 D, E, F가 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 위에 있을 때, AF/FB * BD/DC * CE/EA = -1 이라는 관계를 만족하면 D, E, F는 공선점이라는 것을 의미한다. 메넬라오스 정리는 수선의 발, 평행선, 호모테티, 넓이, 닮음 등을 이용하여 증명할 수 있으며, 다각형과 같은 일반적인 경우에도 확장될 수 있다. 또한, 역, 변의 중점에 대한 반사, 내각과 외각의 이등분선, 수심축, 외접원의 접선 등과 관련된 따름정리를 갖는다. 이 정리는 알렉산드리아의 메넬라오스가 구면 삼각형에 대해 처음 제시했으며, 이슬람 학자들에 의해 연구되었다.

2. 정의

점 $D$, $E$, $F$가 각각 삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 또는 그 연장선 위에 있다고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $D$, $E$, $F$는 공선점이다.
*

$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\backslash cdot\backslash frac\{BD\}\{DC\}\backslash cdot\backslash frac\{CE\}\{EA\}=-1$
여기서 각 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, $AF/FB$는 $F$가 $AB$의 내분점이면 양수, 외분점이면 음수이며, 다른 비율도 마찬가지이다.

--
임의의 직선 l과 삼각형 ABC에 대해, 직선 l과 BC, CA, AB의 교점을 각각 D, E, F라고 할 때, 다음의 등식이 성립한다.

:$\{AF\; \backslash over\; FB\}\; \backslash cdot\; \{BD\; \backslash over\; DC\}\; \backslash cdot\; \{CE\; \backslash over\; EA\}\; =\; -1$

(단, 직선 l은 삼각형과 공통점을 가질 수도, 갖지 않을 수도 있다.)

3. 증명

메넬라오스 정리의 증명은 여러 가지 방법이 있다.

* [[닮음 (기하학)|닮음]]을 이용한 증명: 닮음 삼각형의 성질을 이용하여 증명한다.
* [[평행선]]을 이용한 증명: 평행선의 성질을 이용하여 증명한다.
* [[닮음 변환|호모테티]]를 이용한 증명: 아핀 기하학의 호모테티 개념을 이용하여 증명한다.
* 넓이를 이용한 증명: 삼각형의 넓이의 비를 이용하여 증명한다.

3.1. 닮음을 이용한 증명

가 와 만나는 점을 로 하여, 를 에 평행하게 그린다. 그러면 닮음 삼각형에 의해
:$\backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BD\}\}\{\backslash overline\{DC\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BF\}\}\{\backslash overline\{CK\}\}\backslash right|,\; \backslash quad\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AE\}\}\{\backslash overline\{EC\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{CK\}\}\backslash right|,$
이고, 이 방정식에서 를 제거하면 결과가 나온다.

그 역은 따름정리로 따라온다. 선 위에 방정식이 성립하도록 가 주어졌다고 하자. 는 가 와 교차하는 점이라고 하자. 그러면 정리에 의해 방정식은 에 대해서도 성립한다. 이 두 식을 비교하면,
:$$\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{FB\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\{AF\text{'}\}\}\{\backslash overline\{F\text{'}B\}\}\backslash \; .$$
하지만, 한 점만이 주어진 비율로 선분을 자를 수 있으므로,

에 평행하게 에서 뻗은 선과 의 교점을 라고 한다. 닮음으로부터 다음이 성립한다.
:$\backslash left|\backslash frac\{BD\}\{DC\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{BF\}\{CK\}\backslash right|,\backslash quad\backslash left|\backslash frac\{AE\}\{EC\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{AF\}\{CK\}\backslash right|$

좌측 식의 를 우측 식에 대입하거나, 반대로 우측 식을 좌측 식에 대입하여 정리하면 정리가 유도된다.

3.1.1. 증명 1 (수선의 발)

$D$, $E$, $F$가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 -1임을 보이자. 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 직선 $DE$에 내린 수선의 발을 $P$, $Q$, $R$라고 하자. 그렇다면 $AP$, $BQ$, $CR$는 평행선이므로
:$$
\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AP}{BQ}\right|,\;
\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{BQ}{CR}\right|,\;
\left|\frac{CE}{EA}\right|=\left|\frac{CR}{AP}\right|
이다. 따라서
:$$
\left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|
=\left|\frac{AP}{BQ}\cdot\frac{BQ}{CR}\cdot\frac{CR}{AP}\right|=1
가 성립한다.

반대로
:$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\backslash cdot\backslash frac\{BD\}\{DC\}\backslash cdot\backslash frac\{CE\}\{EA\}=-1$
이라고 가정하고 $D$, $E$, $F$가 공선점임을 보이자. 직선 $DE$가 직선 $AB$와 $F\text{'}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여
:$\backslash frac\{AF\text{'}\}\{F\text{'}B\}\backslash cdot\backslash frac\{BD\}\{DC\}\backslash cdot\backslash frac\{CE\}\{EA\}=-1$
이며, 따라서
:$\backslash frac\{AF\}\{FB\}=\backslash frac\{AF\text{'}\}\{F\text{'}B\}$
이다. 직선 $AB$를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 $F=F\text{'}$이며, 특히 $F$는 직선 $DE$ 위의 점이다.

존 웰즐리 러셀(John Wellesley Russell)이 제시한 증명은 파슈 공리를 사용하여 직선이 삼각형과 만나는 경우와 만나지 않는 경우를 고려한다. 먼저, 좌변의 부호는 음수가 될 것이다. 세 비율이 모두 음수인 경우, 즉 선 $DEF$가 삼각형을 지나지 않는 경우 또는 하나는 음수이고 다른 두 개는 양수인 경우, 즉 $DEF$가 삼각형의 두 변을 가로지르는 경우이다.

크기를 확인하기 위해 $A$, $B$, $C$에서 선 $DEF$에 수선을 긋고 그 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하자. 그러면 닮음 삼각형에 의해 다음이 성립한다.
:$$\backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{FB\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right|,\; \backslash quad\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BD\}\}\{\backslash overline\{DC\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{b\}\{c\}\backslash right|,\; \backslash quad\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{CE\}\}\{\backslash overline\{EA\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{c\}\{a\}\backslash right|.$$

따라서,
:$$\backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{FB\}\}\backslash right|\; \backslash times\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BD\}\}\{\backslash overline\{DC\}\}\backslash right|\; \backslash times\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{CE\}\}\{\backslash overline\{EA\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; \backslash times\; \backslash frac\{b\}\{c\}\; \backslash times\; \backslash frac\{c\}\{a\}\; \backslash right|\; =\; 1.$$

$CK$를 $AB$에 평행하게 그리고, $DEF$가 $CK$와 만나는 점을 $K$로 하는 방법으로도 증명할 수 있다. 그러면 닮음 삼각형에 의해
:$$\backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BD\}\}\{\backslash overline\{DC\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{BF\}\}\{\backslash overline\{CK\}\}\backslash right|,\; \backslash quad\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AE\}\}\{\backslash overline\{EC\}\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{CK\}\}\backslash right|,$$
이고, 이 방정식에서 $CK$를 제거하면 결과가 나온다.

그 역은 따름정리로 따라온다. 선 $BC$, $AC$, $AB$ 위에 방정식이 성립하도록 $D$, $E$, $F$가 주어졌다고 하자. $F\text{'}$는 $DE$가 $AB$와 교차하는 점이라고 하자. 그러면 정리에 의해 방정식은 $D$, $E$, $F\text{'}$에 대해서도 성립한다. 이 두 식을 비교하면,
:$$\backslash frac\{\backslash overline\{AF\}\}\{\backslash overline\{FB\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\{AF\text{'}\}\}\{\backslash overline\{F\text{'}B\}\}\backslash \; .$$
하지만, 한 점만이 주어진 비율로 선분을 자를 수 있으므로, $F\; =\; F\text{'}$이다.

ΔABC의 각 꼭짓점에서 직선 l에 수선을 내린다. 그러면, 3쌍의 닮은 직각삼각형이 나타나므로, 그 닮음비를 생각하면 된다.

3.1.2. 증명 2 (평행선)

D, E, F가 공선점이라고 가정하자. 꼭짓점 B를 지나는 직선 DE에 평행한 직선이 대변 AC의 직선과 점 X에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 ABX와 AFE는 서로 닮음이며, 삼각형 BCX와 DCE 역시 서로 닮음이다. 특히
:$\backslash left|\backslash frac\{AF\}\{FB\}\backslash right|=\backslash left|\backslash frac\{AE\}\{EX\}\backslash right|,\backslash ;$
\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{XE}{EC}\right|
이므로,
:$\backslash left|\backslash frac\{AF\}\{FB\}\backslash cdot\backslash frac\{BD\}\{DC\}\backslash cdot\backslash frac\{CE\}\{EA\}\backslash right|$
=\left|\frac{AE}{EX}\cdot\frac{XE}{EC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|=1
이 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

3.2. 호모테티(닮음 변환)를 이용한 증명

다음 증명은 아핀 기하학의 개념, 특히 호모테티만을 사용한다.

, , 가 공선점인지 여부에 관계없이, 각각 를 로, 를 로, 를 로 보내는 중심 , , 를 갖는 세 개의 호모테티가 존재한다. 이 셋의 합성은 를 고정하는 호모테티-이동 그룹의 원소이므로, 비율이 1일 수 있는 를 중심으로 하는 호모테티이다(이 경우 항등 변환이다). 이 합성은 를 고정하는데, 이는 가 , 와 공선점인 경우에만 해당된다(처음 두 호모테티는 확실히 를 고정하고, 세 번째 호모테티는 가 위에 있는 경우에만 고정하기 때문이다). 따라서 , , 가 공선점인 것은 이 합성이 항등 변환인 경우와 같으며, 이는 세 비율의 곱의 크기가 1이라는 것을 의미한다.

$$\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{DC\}\}\{\backslash overrightarrow\{DB\}\}\; \backslash times$$
\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}} \times
\frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}} = 1,

이는 주어진 방정식과 동등하다.

3.3. 넓이를 이용한 증명

직선 AD와 직선 BE의 교점을 G라고 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CE\}\{EA\}\; \backslash cdot\; \backslash vartriangle\; AED\; =\; \backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash vartriangle\; CED\; =\; \backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash vartriangle\; BDE\; =\; \backslash vartriangle\; AED$

△AED≠0이므로, 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{AF\}\{FB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BD\}\{DC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CE\}\{EA\}\; =\; 1$

4. 역

역도 성립한다. 즉, 임의의 삼각형 ABC에 대해, 직선 AB, BC, CA 위에 점 F, D, E를 잡고, D, E, F 중 삼각형 ABC의 변 위에 있는 점이 0개 또는 2개일 때,
:$\{AF\; \backslash over\; FB\}\; \backslash cdot\; \{BD\; \backslash over\; DC\}\; \backslash cdot\; \{CE\; \backslash over\; EA\}\; =\; 1$
이 성립한다면, 세 점 D, E, F는 한 직선 위에 있다.

5. 일반화

메넬라오스 정리는 일반적인 다각형에 대해서도 확장될 수 있다. 예를 들어 사각형의 각 변 또는 그 연장선과 직선의 교점에 대한 식이 성립하며, 이때 직선이 반드시 다각형을 지날 필요는 없다.

5.1. 다각형의 경우

메넬라오스 정리는 일반적인 다각형에 대해서도 확장될 수 있다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그 연장선과 직선 l의 교점을 각각 E, F, G, H라고 하면 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{AE\}\{EB\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{BF\}\{FC\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{CG\}\{GD\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{DH\}\{HA\}=\; 1$

이때 직선이 반드시 다각형을 지날 필요는 없다.

6. 따름정리

메넬라오스 정리에는 다음과 같은 따름정리가 있다.

* 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 나머지 한 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다.
* 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 연결하여 만든 수심 삼각형의 세 변이 원래 삼각형의 세 변과 만나는 점들은 공선점이며, 이 점들을 지나는 직선을 원래 삼각형의 수심축이라고 한다.
* 삼각형의 외접원의 각 꼭짓점에서의 접선이 대변의 직선과 만나는 점들은 공선점이다.

6.1. 변의 중점에 대한 반사 관련 성질

점 $D$, $E$, $F$가 각각 삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 $D\text{'}$, $E\text{'}$, $F\text{'}$이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $D$, $E$, $F$는 공선점이다.
* $D\text{'}$, $E\text{'}$, $F\text{'}$는 공선점이다.
이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

6.2. 내각과 외각의 이등분선의 성질

삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 나머지 한 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 다시 말해, 삼각형 $ABC$의 세 내각 또는 외각의 이등분선 $AD$, $BE$, $CF$가 대변 $BC$, $CA$, $AB$의 직선과 점 $D$, $E$, $F$에서 만난다고 할 때, 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 $D$, $E$, $F$는 한 직선 위에 있다.

6.3. 수심축

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 각각 $P$, $Q$, $R$이라고 하고, 수심 삼각형 $PQR$의 세 변 $QR$, $RP$, $PQ$가 각각 원래 삼각형의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 점 $D$, $E$, $F$에서 만난다고 하자. 그렇다면 $D$, $E$, $F$는 공선점이며, 이 점들을 지나는 직선을 원래 삼각형 $ABC$의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

6.4. 외접원의 접선의 성질

삼각형 ABC의 외접원의 각 꼭짓점 A, B, C에서의 접선이 대변 BC, CA, AB의 직선과 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 그렇다면 D, E, F는 공선점이다.

7. 역사

알렉산드리아의 메넬라오스는 저서 《구면학》(Sphaerica^라틴어)에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다. 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다. 정리가 실제로 누가 발견했는지는 불분명하지만, 가장 오래된 현존하는 설명은 메넬라오스의 《구면기하학》(Spherics)에 나타난다. 이 책에서 정리의 평면 버전은 정리의 구면 버전을 증명하기 위한 보조 정리로 사용된다.

프톨레마이오스는 알마게스트에서 구면 천문학의 여러 문제에 이 정리를 적용했다. 이슬람 황금 시대 동안, 무슬림 학자들은 메넬라오스 정리를 연구하는 여러 저작물을 썼으며, 이를 "할선의 명제"(shakl al-qatta')라고 불렀다. 완전 사변형은 그들의 용어로는 "할선의 도형"이라고 불렸다. 알 비루니의 저서 《천문학의 열쇠》는 그러한 저작물들을 나열하는데, 이는 알-나이리시와 알-하자인의 저작처럼 프톨레마이오스의 《알마게스트》에 대한 주석의 일부로 연구된 것으로 분류될 수 있으며, 여기서 각자는 사인 법칙으로 이어진 메넬라오스 정리의 특정 경우를 증명했다. 또는 다음과 같이 독립적인 논문으로 구성된 저작물이 있다.

* 사비트 이븐 쿠라의 "할선의 도형에 관한 논문"(Risala fi shakl al-qatta').
* 후삼 알-딘 알-살라르의 《할선의 도형의 신비에서 베일을 벗기다》(Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), 유럽에서는 《완전 사변형에 관한 논문》으로도 알려진 "할선의 도형에 관한 책"(Kitab al-shakl al-qatta'). 이 유실된 논문은 샤라프 알-딘 알-투시와 나시르 알-딘 알-투시에 의해 언급되었다.
* 알-시지의 저작.
* 아부 나스르 이븐 이라크의 《타흐디브》.
* Roshdi Rashed와 Athanase Papadopoulos의, Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/al-Harawi's version (아랍어 원고에서 메넬라오스의 구면기하학 비평판, 역사 및 수학적 해설 포함), De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages.