고장률

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1. 개요
2. 정의 및 수학적 모델
- 2.1. 상수 고장률 모델
- 2.2. 기타 고장률 모델
3. 고장률 측정 및 예측
4. 고장률 유형
5. 변동 계수
6. 단위
7. 복합 시스템의 고장률
8. 한국 산업에서의 고장률 관리
참조

1. 개요

고장률은 특정 시간 간격 동안 시스템에서 발생하는 고장의 빈도를 나타내는 지표이다. 이는 누적 고장 분포, 고장 확률 밀도, 위험률 등의 수학적 모델로 표현되며, 상수 고장률 모델, 감소형 고장률(DFR), 증가형 고장률(IFR) 등 다양한 유형이 존재한다. 고장률은 수명 시험, 시장 데이터 분석, 이력 데이터 활용, 정부 및 상업 데이터, 예측 기법 등을 통해 측정 및 예측할 수 있으며, 변동 계수와 단위(FIT, MTBF)를 사용하여 표현된다. 복합 시스템의 경우 개별 부품의 고장률을 합산하여 전체 시스템의 고장률을 계산할 수 있으며, 한국 산업에서도 반도체, 전자 등 다양한 분야에서 고장률 관리가 중요한 역할을 한다.

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고장률
개요
정의	어떤 품목이 정해진 기간 동안 규정된 환경 조건에서 요구 기능을 수행하지 못할 확률
단위	시간당 고장 수 (고장/시간), 수명 주기당 고장 수 (고장/수명 주기)
다른 용어	고장 강도
설명
설명	신뢰성 공학에서, 고장률은 시스템이나 부품이 특정 시간 동안 고장나는 빈도를 나타냄
특징	일반적으로 시간의 함수로 표현되며, 시간 경과에 따라 변화함
사용	시스템의 신뢰성을 평가하고 유지보수 일정을 계획하는 데 사용됨
계산
기본 계산식	고장률 = 고장 횟수 / 총 작동 시간
예시	1000시간 동안 10개의 부품이 고장났다면, 고장률은 0.01 고장/시간
평균 고장 간격 (MTBF)	MTBF = 1 / 고장률 (일정한 고장률을 가정할 때)
고장률의 형태
욕조 곡선	초기 고장 기간 (유아 사망률), 정상 작동 기간 (일정한 고장률), 마모 고장 기간 (고장률 증가)으로 나뉨
일정한 고장률	정상 작동 기간 동안 고장률이 일정하게 유지됨
증가하는 고장률	마모 고장 기간 동안 고장률이 시간이 지남에 따라 증가함
감소하는 고장률	초기 고장 기간 동안 고장률이 시간이 지남에 따라 감소함
활용
안전성 분석	시스템의 고장 가능성을 평가하고 위험을 식별하는 데 사용
유지보수 계획	고장률 정보를 바탕으로 예방적 유지보수 일정을 계획
수명 예측	부품이나 시스템의 예상 수명을 예측하는 데 사용
신뢰성 향상	고장률이 높은 부품을 개선하거나 교체하여 시스템의 신뢰성을 향상
추가 정보
고장 분석	고장의 원인을 파악하고 재발 방지 대책을 수립하는 과정
신뢰성 시험	다양한 환경 조건에서 부품이나 시스템의 신뢰성을 평가하는 시험
신뢰성 공학	시스템의 신뢰성을 설계, 분석, 평가 및 개선하는 데 중점을 둔 공학 분야

2. 정의 및 수학적 모델

고장률( $\lambda$ )의 가장 간단한 정의는 특정 시간 간격( $\Delta t$ ) 동안 발생하는 고장 횟수( $\Delta n$ )를 해당 시간 간격으로 나눈 값이다.

: $\lambda = \frac{\Delta n}{\Delta t}$

이는 연구 대상 시스템의 수와 해당 기간 동안의 조건에 따라 달라진다.

지수 분포의 누적 분포 함수. 누적 고장 함수 $F(t)$ 로 자주 사용된다.

시간에 따른 고장 양상을 정확하게 모델링하기 위해, '''누적 고장 분포'''

F(t)

를 정의한다. 이는 0에서 1로 점진적으로 증가하는 누적 분포 함수(CDF)이다. 여러 동일한 시스템이 있을 때,

t=0

에서 모두 작동을 시작한 후 시간

t

가 지났을 때 고장난 시스템의 비율을 나타낸다. 단일 시스템의 경우, 시스템의 고장 시간

T

가 시간

t

이전일 확률을 의미한다.

:

F(t) = \operatorname{P}(T\le t).

확률 밀도 함수를 적분하면 누적 분포 함수가 되므로, '''고장 확률 밀도'''

f(t)

는 다음과 같이 정의된다.

:

F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \!

여기서

\tau

는 적분 변수이다.

f(t)

는 시간 간격

\Delta t

의 크기가 0으로 접근할 때 단위 시간당 고장 비율, 즉 "순간 고장률"로 생각할 수 있다.

'''위험률'''(hazard rate, )

h(t)

는 순간 고장률과 밀접하게 관련되어 있지만, 다른 개념이다.^[2] 여러 시스템의 경우, 시간

t

에 ''여전히 작동 중인'' 시스템의 비율을 고려하여 고장률을 정의한다.

이를 위해 먼저 신뢰도 (또는 생존 함수)를 다음과 같이 정의한다.

:

R(t) = 1 - F(t)

그러면 위험률은 시간

t

에 생존한 시스템의 비율로 스케일링된 순간 고장률이 된다.

:

h(t) = \frac{f(t)}{R(t)}

확률론적 관점에서, 단일 시스템의 경우, 시스템이 이미 시간

t

까지 생존했다는 조건 하에, 시간 간격

t

에서

t + \Delta t

사이의 고장 시간

T

에 대한 조건부 확률로 해석할 수 있다.

:

h(t) = P(t < T \leq t + \Delta t \mid T>t).

h(t)

와

F(t)

사이의 관계는 다음 미분 방정식을 통해 나타낼 수 있다.

:

h(t)=\frac{f(t)}{R(t)}=-\frac{R'(t)}{R(t)}

초기 조건

R(0)=1

을 사용하면 다음을 얻는다.^[2]

:

F(t) = 1 - \exp{\left(-\int_0^t h(\tau) d\tau \right)}.

따라서 동일한 시스템 집합에 대해 위험률

h(t)

, 고장 확률 밀도

f(t)

, 또는 누적 고장 분포

F(t)

중 하나만 알면 나머지를 계산할 수 있다.

"고장률"을 나타내는 기호로

\lambda(t)

가 사용될때,

f(t)

대신

h(t)

를 지칭하는 경우가 있어 혼동을 일으킬 수 있다.^[3]

고장 간 평균 시간(MTBF)은 고장률이 일정할 경우에 고장률 대신 자주 사용된다.

2. 1. 상수 고장률 모델

고장 간 평균 시간(MTBF)은 고장률 대신 자주 사용되는데, "시간당 0.0005"와 같이 작은 수치보다 "2,000시간"과 같이 표현하는 것이 더 직관적이기 때문이다.^[1] 그러나 이는 고장률

\lambda(t)

가 욕조 곡선의 평탄한 영역처럼 시간에 따라 일정할 때만 유효하다.^[1] MTBF는 대부분 이 영역만을 의미하며, 초기 고장 및 마모 영역을 무시하므로 시스템의 평균 수명을 정확하게 계산하는 데 사용될 수 없다.^[1]

고장 확률 밀도 함수

f(t)

는 다음과 같은 지수 함수로 나타낼 수 있다.

:

f(t) = \lambda e^{-\lambda t}

여기서

\lambda

는 스케일링 상수이다. 이 함수는 시간이 지남에 따라 점차 감소하는 고장 확률 밀도를 나타낸다.

누적 분포 함수(CDF)

F(t)

는 다음과 같이 계산된다.

:

F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t}, \!

이는

t \to \infty,

로 갈수록 점차

1

에 접근하며, 결국 모든 시스템이 고장날 것임을 의미한다.

이때 위험률 함수는 다음과 같다.

:

h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda .

즉, 이 경우 위험률은 시간에 따라 일정하다. 이는 각 개별 시스템이 고장날 확률이 시스템 노후화와 관계없이 변하지 않음을 의미하며, 무기억성을 가진다고 표현한다.

MTBF는 복잡한 시스템이나 전자 기기에 자주 사용되며, 일부 신뢰성 기준(군사 및 항공 우주)에서 일반적이다.^[1] 고장률이 일정하다는 것은 욕조 곡선의 평탄한 영역, 즉 마모형 고장이 일어나기 전의 시간 영역에서의 수명을 나타낸다.^[1] 따라서 MTBF로부터 내구 수명을 추정하는 것은 적절하지 않다.^[1] 욕조 곡선의 "수명 말기의 마모형" 고장률은 훨씬 높기 때문에, 일반적으로 내구 수명은 MTBF보다 훨씬 짧다.^[1]

MTBF는 특히 안전 계통에서 중요한 파라미터이며, 설계 요건에 자주 등장하고, 필요한 시스템의 보수 및 점검 빈도를 정하는 데 도움이 된다.^[1] 운수업, 특히 철도나 화물 자동차 수송에서는 "평균 고장 거리 간격"(mean distance between failures, MDBF)이 유사한 지표로 사용된다.^[1]

2. 2. 기타 고장률 모델

시간에 따라 고장률이 변하는 상황을 정확하게 모델링하기 위해, 0에서 1로 점진적으로 증가하는 누적 분포 함수(CDF)인 '''누적 고장 분포'''

F(t)

를 정의해야 한다. 이는 동일한 여러 시스템에서 시간

t=0

에 모두 작동을 시작하여 시간

t

가 경과함에 따라 고장나는 시스템의 비율, 또는 단일 시스템에서 고장 시간

T

가 시간

t

이전일 확률로 생각할 수 있다.

:

F(t) = \operatorname{P}(T\le t).

누적 분포 함수(CDF)는 확률 밀도 함수를 적분하여 정의되므로, '''고장 확률 밀도'''

f(t)

는 다음과 같이 정의된다.

:

F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \!

여기서

\tau

는 적분을 위한 더미 변수이다.

f(t)

는 시간 간격

\Delta t

가 0으로 접근할 때 단위 시간당 고장 비율, 즉 "순간 고장률"로 생각할 수 있다.

여러 시스템에서 사용될 수 있는 위험률로, 연구 대상 시스템에 따라 선택할 수 있는 여러 로그-로지스틱 분포의 위험 함수 $h(t)$ 를 나타낸 그림

많은 시스템에서 고장률은 일정하지 않고 시간에 따라 변할 수 있다. 즉, 개별 구성 요소의 고장 가능성은 해당 구성 요소의 사용 기간에 따라 달라질 수 있다. 따라서 다양한 분포가 사용된다.

예를 들어, 확정적 분포는 시간이 지남에 따라 위험률을 증가시키는데, 이는 마모가 가장 중요한 요인인 시스템에 적합하다. 반면 파레토 분포는 위험률을 감소시키는데, 이는 초기 고장이 더 흔한 시스템에 적합하다. 일반적으로 사용되는 와이블 분포는 로그 정규 및 하이퍼타바스틱 분포와 마찬가지로 이 두 가지 효과를 모두 결합할 수 있다.

주어진

h(t)

에 대한 분포와 매개변수를 모델링한 후, 주어진 방정식을 사용하여 고장 확률 밀도

f(t)

및 누적 고장 분포

F(t)

를 예측할 수 있다.

3. 고장률 측정 및 예측

고장률 데이터는 다양한 방법으로 얻을 수 있으며, 가장 일반적인 방법은 다음과 같다.

방법	설명
추정	현장 고장률 보고서를 바탕으로 통계적 분석을 통해 고장률을 추정한다. 정확한 고장률을 얻기 위해서는 장비 작동, 데이터 수집 절차, 환경 변수, 시스템 수준에서의 장비 사용 방식, 시스템 설계자의 고장 데이터 활용 방식 등에 대한 분석가의 충분한 이해가 필요하다.^[4]
과거 데이터	자체 생산 장비나 시스템의 고장 정보를 담은 내부 데이터베이스를 활용하여 고장률을 계산한다. 새로운 장비나 시스템의 경우, 유사 장비나 시스템의 과거 데이터를 참고할 수 있다.
정부 및 상업용 데이터	정부 및 상업 소스에서 제공하는 부품 고장률 데이터 핸드북을 활용한다. 예를 들어, 군사 표준 MIL-HDBK-217F는 군용 전자 부품의 고장률 데이터를 제공한다.
예측	시간 지연 문제를 극복하기 위해 고장률 예측 방법을 사용한다. 사이클 테스트와 고장 모드, 영향 및 진단 분석(FMEDA)가 널리 사용된다.

시간 지연은 고장률 추정의 큰 단점 중 하나이며, 고장률 데이터를 얻을 때쯤이면 연구 대상 장치가 이미 구식이 되어버리는 경우가 많다. 이러한 단점을 보완하기 위해 개발된 고장률 예측 방법에는 사이클 테스트와 고장 모드, 영향 및 진단 분석(FMEDA)가 대표적이다.

'''사이클 테스트''': 기계 및 전기·기계 장치의 주요 고장 원인인 마모는 기계적 움직임에 의해 발생한다. 사이클 테스트는 장치가 고장날 때까지 빠르게 반복 작동시켜 고장 발생 시점까지의 사이클 수를 측정한다.
'''고장 모드, 영향 및 진단 분석(FMEDA)''': 설계의 모든 구성 요소와 기능, 고장 모드, 고장이 제품 기능에 미치는 영향, 자동 진단 기능, 설계 강도, 작동 프로파일 등을 체계적으로 분석하여 고장률을 예측하는 기법이다.

3. 1. 수명 시험

가장 정확한 데이터 소스는 실제 장치 또는 시스템의 샘플을 테스트하여 고장 데이터를 생성하는 것이다. 이를 수명 시험이라고 한다. 하지만, 이는 종종 지나치게 비싸거나 비실용적이다.^[4]

수명 시험은 실제 제품을 사용하여 고장 데이터를 얻는 방법으로, 다음과 같은 특징을 가진다.

장점: 가장 정확한 고장률 데이터를 얻을 수 있다.
단점: 비용이 많이 들고 시간이 오래 걸릴 수 있다. 특히 고장 시간이 매우 긴 제품의 경우, 현실적인 시간 내에 시험을 완료하기 어렵다.

이러한 단점 때문에, 실제로는 이전 데이터나 정부 및 상업용 데이터 등 다른 데이터 소스를 활용하는 경우가 많다.

기계적 움직임은 기계적 및 전기 기계적 장치가 마모되게 하는 주요 고장 메커니즘이다. 많은 장치의 경우, 마모 고장 지점은 장치가 고장나기 전에 수행된 사이클 수로 측정되며, 사이클 테스트를 통해 발견할 수 있다. 사이클 테스트에서는 장치가 고장날 때까지 실용적인 수준에서 빠르게 사이클을 반복한다.

3. 2. 시장 데이터 분석

실제 시장에서 발생하는 고장 데이터를 통해 통계 분석으로 고장률을 추정할 수 있다. 정확한 고장률을 얻기 위해서는 분석자가 기기의 동작, 데이터 수집 절차, 고장률에 영향을 미치는 주요 환경 변수, 시스템 수준에서 기기 및 부품의 사용 방법 등을 충분히 이해하고 있어야 한다.^[4]

3. 3. 이력 데이터 활용

많은 조직에서 자체적으로 생산하는 장치 또는 시스템의 고장 정보를 담은 내부 데이터베이스를 유지 관리하며, 이를 사용하여 해당 장치 또는 시스템의 고장률을 계산할 수 있다. 새로운 장치 또는 시스템의 경우, 유사한 장치 또는 시스템의 과거 데이터가 유용한 추정치로 사용될 수 있다.^[4]

3. 4. 정부 및 상업 데이터 활용

고장률 데이터는 다양한 출처에서 얻을 수 있다.

과거 데이터: 많은 조직이 자체 생산 장비나 시스템의 고장 정보를 담은 내부 데이터베이스를 유지한다. 이를 통해 고장률을 계산할 수 있으며, 신제품의 경우 유사 장비의 과거 데이터가 유용한 추정치가 된다.
정부 및 상업 데이터: 정부 및 상업 소스에서 다양한 부품의 고장률 데이터 핸드북을 구할 수 있다. 예를 들어, 군사 표준인 MIL-HDBK-217F는 많은 군용 전자 부품의 고장률 데이터를 제공한다.^[4] 상업적으로도 여러 고장률 데이터 소스를 이용할 수 있다.^[5]^[6]

3. 5. 예측 기법

고장률 데이터는 여러 가지 방법으로 얻을 수 있는데, 그중에서도 시간 지연은 고장률 추정의 심각한 단점 중 하나이다. 이러한 단점을 극복하기 위해 고장률 예측 방법이 개발되었다. 널리 알려진 두 가지 접근 방식은 사이클 테스트와 고장 모드, 영향 및 진단 분석(FMEDA)이다.

사이클 테스트: 기계적 움직임은 기계 및 전기·기계 장치의 주요 고장 메커니즘인 마모를 유발한다. 많은 장치의 경우, 마모 고장 지점은 장치가 고장 나기 전에 수행된 사이클 수로 측정될 수 있으며, 사이클 테스트를 통해 이를 발견할 수 있다. 사이클 테스트는 장치가 고장 날 때까지 가능한 한 빠르게 반복적으로 작동시킨다. 여러 장치를 모아 테스트하여, 예를 들어 10%가 위험하게 고장 날 때까지 테스트를 진행한다.

FMEDA: 고장 모드, 영향 및 진단 분석(FMEDA)는 체계적인 분석 기법으로, 다음을 고려하여 하위 시스템/제품 수준의 고장률, 고장 모드 및 설계 강도를 파악한다.^[4]
설계의 모든 구성 요소
각 구성 요소의 기능
각 구성 요소의 고장 모드
각 구성 요소의 고장 모드가 제품 기능에 미치는 영향
자동 진단 기능의 고장 감지 능력
설계 강도 (디레이팅, 안전 계수)
작동 프로파일 (환경 스트레스 요인)

합리적으로 정확한 현장 고장 데이터로 보정된 구성 요소 데이터베이스가 있다면, FMEDA 기법을 통해 주어진 응용 프로그램에 대한 제품 수준 고장률 및 고장 모드 데이터를 예측할 수 있다. 이 예측 결과는 현장 보증 반품 분석이나 전형적인 현장 고장 분석보다 더 정확한 것으로 나타났다.^[5]^[6]

4. 고장률 유형

고장률은 규정된 조건에서 특정 측정 간격 동안 어떤 아이템 모집단에서 발생한 총 고장 수를 그 집단이 소비한 총 시간으로 나눈 것이다.^[21]

고장률 $\lambda (t)$ 는 시간 $t$ 이전에 고장이 없는 경우에 특정 간격으로 고장이 발생할 확률로 생각하기 쉽지만, 1을 초과할 수도 있으므로 실제로는 확률이 아니다. 고장률을 잘못 퍼센트(%)로 표현하면, 특히 수리 가능한 시스템, 고장률 일정형이 아닌 시스템, 또는 작동 시간이 다른 여러 시스템에 대해 측정하는 경우에, 이 척도를 올바르게 인식하지 못할 수 있다. 고장률 $\lambda (t)$ 는, 신뢰도 함수 $R(t)=1-F(t)$ (시각 $t$ 이전에 고장이 발생하지 않을 확률. '''생존 함수'''라고도 불린다)를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:: $\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)}$

여기서 $f(t)$ 는 (최초) 고장까지의 시간 분포(즉 고장 밀도 함수)이다. $t_1$ (또는 $t$ )부터 $t_2$ 까지의 시간 구간 $\Delta t$ = $(t_2-t_1)$ 에 있어서,

:: $\lambda(t) = \frac{R(t_1)-R(t_2)}{(t_2-t_1) \cdot R(t_1)}= \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)} \!$

단, 이것은 조건부 확률이며, 시간 $t$ 이전에 고장이 발생하지 않은 것이 조건이다. 따라서 분모에는 $R(t)$ 가 포함되어 있다.

위험률과 ROCOF(Rate Of Occurrence of Failures, 고장 발생률)는 종종 고장률과 동일한 것으로 오해되는 경우가 있다. 차이점을 명확히 하자면, 아이템의 수리가 빠르면 빠를수록, 또한 바로 고장나므로, ROCOF는 높아진다. 그러나 위험률은 수리 시간이나 물류 지연 시간에는 의존하지 않는다.

고장률의 유형에는 감소형 고장률(DFR), 증가형 고장률(IFR) 등이 있다.

4. 1. 감소형 고장률 (DFR)

고장률 감소형(DFR)은 시간이 지남에 따라 특정 사건이 발생할 확률이 감소하는 현상을 의미한다. 이는 주로 "초기 고장 기간" 동안 나타나는데, 초기 결함이 발견되고 수정되면서 고장률이 감소하는 것이다.^[21]

DFR의 대표적인 예시는 다음과 같다.

제조 결함으로 인한 트랜지스터의 초기 고장
인간의 영아 사망률 기간

또한, 우주선의 수명에서도 DFR이 발견되는데, 이는 시간이 지날수록 우주선이 안정화되어 고장률이 감소하는 경향을 보이기 때문이다. Baker와 Baker는 이를 "오래가는 우주선은 계속 오래간다"라고 표현했다.^[8]^[9] 항공기 에어컨 시스템의 위험률 역시 시간이 지남에 따라 감소하는 지수 분포를 따르는 것으로 나타났다.^[10]

이처럼 DFR은 시간이 지나면서 시스템이 개선되거나 안정화되는 경우에 나타나는 현상이라고 할 수 있다.^[28]

4. 2. 증가형 고장률 (IFR)

부품이 마모됨에 따라 시간이 지날수록 고장률이 증가하는 현상을 고장률 증가형(Increasing failure rate, IFR)이라고 한다. 이는 직관적인 개념이다.^[28]

4. 3. 갱신 과정

갱신 과정에서 고장으로부터 회복되는 데 걸리는 시간을 무시할 수 있는 경우 고장 확률은 시간에 따라 일정하게 유지된다.

DFR 갱신 함수를 갖는 갱신 과정의 경우 갱신 간 시간은 오목하다.^[20]^[11] Brown은 그 역이 성립한다고 추측했다. 즉, 갱신 간 시간이 오목하기 위해서는 DFR이 필요하다는 것이었지만,^[12] 이 추측은 이산적인 경우^[11]와 연속적인 경우^[13] 모두 성립하지 않는 것으로 밝혀졌다.

5. 변동 계수

고장률이 감소하면 변동 계수는 1보다 크거나 같고, 고장률이 증가하면 변동 계수는 1보다 작거나 같다.^[14] 이 결과는 모든 t ⩾ 0에 대해 고장률이 정의될 때만 유효하며,^[15] 그 역(변동 계수가 고장률의 성격을 결정)은 성립하지 않는다.

6. 단위

고장률은 어떤 시간 척도로든 표현할 수 있지만, 실제로 가장 일반적인 단위는 '''시간'''이다. 마일, 회전 등과 같은 다른 단위도 시간 단위 대신 사용할 수 있다.

고장률은 매우 낮은 경우가 많기 때문에, 특히 개별 부품의 고장에서는 공학 표기법을 사용하여 백만 개당 고장 수 또는 10⁻⁶으로 나타내는 경우가 많다.

장치의 '''시간당 고장률'''('''FIT''')은 10억(10⁹) 장치 시간의 동작에서 예상되는 고장의 수이다.^[16] 예를 들어, 1000개의 장치에서 100만 시간 또는 100만 개의 장치에서 1000시간 등 다양한 조합이 가능하다. 이 용어는 특히 반도체 업계에서 사용된다.

FIT와 고장 간 평균 시간(MTBF)의 관계는 다음과 같다.

: MTBF = 1,000,000,000 × 1/FIT

7. 복합 시스템의 고장률

복잡한 시스템의 고장률은, 공학적인 가정이 있다면, 그 구성 요소들의 개별 고장률을 단순히 합한 값이 된다. 단, 이때 각 고장률의 단위는 일관적이어야 한다(예: 100만 시간당 고장 수).^[32]^[33]^[17]^[18] 예를 들어, 복잡한 시스템이 여러 부품으로 구성되어 있고, 한 부품의 고장이 곧 전체 시스템의 고장을 의미한다면, 전체 고장률은 개별 부품 고장률의 합과 같다.

: $\lambda_S = \lambda_{P1} + \lambda_{P2} + \ldots$

이는 각 부품의 고장률 $\lambda(t)$ 가 일정하며, 비율이나 확률 밀도 형태로 표현되지 않는다는 가정을 전제로 한다.

단일 고장점을 없애기 위해 부품을 "중복"해서 추가하면, 임무 고장률은 개선되지만 직렬 고장률(물류 고장률)은 오히려 나빠진다. 즉, 추가 부품은 평균 심각 고장 간격(MTBCF)을 늘리지만, 무언가가 고장날 때까지의 평균 시간은 줄어든다.^[34]^[19]

시간에 따라 변하는 고장률을 합치는 것은 더 복잡하다. 예를 들어, 감소하는 고장률(DFR) 변수들을 합쳐도 DFR이 된다.^[20] 지수 분포를 따르는 고장률을 합치면 과지수 분포가 된다.

8. 한국 산업에서의 고장률 관리

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참조

_[1] 서적 Reliability Toolkit Reliability Analysis Center and Rome Laboratory n.d.
_[2] 서적 Risk-Based Reliability Analysis and Generic Principles for Risk Reduction 2007
_[3] 서적 Comprehensive Reliability Design of Aircraft Hydraulic System 2016
_[4] 서적 Electrical & Mechanical Component Reliability Handbook http://www.exida.com exida
_[5] 서적 Combining field failure data with new instrument design margins to predict failure rates for SIS Verification Proceedings of the 2014 International Symposium - BEYOND REGULATORY COMPLIANCE, MAKING SAFETY SECOND NATURE, Hilton College Station-Conference Center, College Station, Texas
_[6] 간행물 Field Failure Data – the Good, the Bad and the Ugly http://www.exida.com[...] exida
_[7] 서적 Failure Rate Modelling for Reliability and Risk
_[8] 논문 Impact of the space environment on spacecraft lifetimes
_[9] 서적 Spacecraft Reliability and Multi-State Failures
_[10] 논문 Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate
_[11] 논문 DFR Property of First-Passage Times and its Preservation Under Geometric Compounding
_[12] 논문 Further Monotonicity Properties for Specialized Renewal Processes
_[13] 논문 Concave renewal functions do not imply DFR interrenewal times
_[14] 논문 A note on comparing response times in the M/GI/1/FB and M/GI/1/PS queues http://users.cms.cal[...]
_[15] 서적 Analysis of Queues: Methods and Applications CRC Press
_[16] 간행물 A Realistic Evaluation of Memory Hardware Errors and Software System Susceptibility http://www.cs.roches[...]
_[17] 웹사이트 Reliability Basics http://www.weibull.c[...]
_[18] 웹사이트 Calculating Failure Rates of Series/Parallel Networks http://src.alionscie[...]
_[19] 웹사이트 Mission Reliability and Logistics Reliability: A Design Paradox https://www.quanteri[...]
_[20] 논문 Bounds, Inequalities, and Monotonicity Properties for Some Specialized Renewal Processes
_[21] 서적 Failure Rate Modelling for Reliability and Risk
_[22] 논문 Bounds, Inequalities, and Monotonicity Properties for Some Specialized Renewal Processes
_[23] 논문 DFR Property of First-Passage Times and its Preservation Under Geometric Compounding
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_[25] 논문 Concave renewal functions do not imply DFR interrenewal times
_[26] 논문 Impact of the space environment on spacecraft lifetimes
_[27] 서적 Spacecraft Reliability and Multi-State Failures
_[28] 논문 Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate
_[29] 논문 A note on comparing response times in the M/GI/1/FB and M/GI/1/PS queues http://users.cms.cal[...]
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