지수 함수

1. 개요

지수 함수는 자연로그의 역함수로, $e^x$로 표기하며, 실수의 함수로 항상 양수 값을 갖는다. 지수 함수는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 극한, 거듭제곱 급수, 함수 방정식 등을 통해 정의될 수 있다. 지수 함수는 미분 가능하며, 도함수는 자기 자신과 같고, 로그 함수를 사용하여 정의할 수도 있다. 복소 지수 함수는 삼각 함수와 관련이 있으며, 행렬 지수 함수는 리 군과 리 대수 이론에서 중요한 역할을 한다. 지수 함수는 초월 함수이며, 계산 시에는 expm1 함수를 사용하여 정확도를 높일 수 있다.

2. 정의

$a$를 양의 상수, $x$를 모든 실수 값을 취하는 변수로 할 때, $y=a^x$로 주어지는 함수를 지수함수라고 한다. 예를 들어, 함수 $f(x)=2^x$는 지수함수이다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 $\backslash text\{exp\}(x)$ 또는 $e^x$와 같이 쓴다. 이때 $e$는 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 $y=e^x$ 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실수 $x$의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 $x$축과 만나지 않지만, $x$축에 점점 접근해간다.

a가 양의 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
* a^x는 R에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
* a⁰ = 1
* a^p+q = a^pa^q

지수 함수는 여러 가지로 정의할 수 있으며, 서로 다른 본질을 가지고 있지만 모두 동등하다.

가장 간단한 정의 중 하나는 다음과 같다. 지수 함수는 자기 자신과 같은 미분 가능한 함수이며, 변수의 값이 0일 때 값이 1인 유일한 함수이다.

지수 함수는 자연로그의 역함수이다. 역함수 정리에 따르면 자연로그는 위 정의를 만족하는 역함수를 갖는다. 따라서 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\ln (\exp x)&=x\\
\exp(\ln y)&=y
\end{align}
여기서 $x$는 모든 실수이고 $y$는 모든 양의 실수이다.

--

지수 함수는 [[거듭제곱 급수]]의 합이다.:
$$$$
\begin{align}\exp(x) &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\end{align}
여기서 $n!$는 $n$의 팩토리얼(처음 $n$개의 양의 정수의 곱)이다.

지수 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족한다.:
$$\backslash exp(x+y)=\; \backslash exp(x)\backslash cdot\; \backslash exp(y).$$

양의 실수 밑으로의 [[거듭제곱]]의 확장: $b$를 양의 실수라고 하자. 지수 함수와 자연로그는 서로의 역함수이므로 $b=\backslash exp(\backslash ln\; b)$이다. $n$이 정수라면, 로그의 함수 방정식은 다음을 의미한다.
$$b^n=\backslash exp(\backslash ln\; b^n)=\; \backslash exp(n\backslash ln\; b).$$
가장 오른쪽의 식은 $n$이 임의의 실수일 때 정의되므로, 이것은 모든 양의 실수 $b$와 모든 실수 $x$에 대해 $b^x$를 정의할 수 있게 해준다.
$$b^x=\backslash exp(x\backslash ln\; b).$$
특히, $b$가 오일러의 수 $e=\backslash exp(1)$이면 $\backslash ln\; e=1$(역함수)이고 따라서 $$e^x=\backslash exp(x)$$이다. 이것은 지수 함수에 대한 두 가지 표기법의 동등성을 보여준다.

**지수 함수는 극한이다.
$$\backslash exp(x)=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; xn\backslash right)^n,$$
여기서 $n$은 정수값만 취한다.

3. 극한

함수 $f(x)=a^x$에서,

* $a>1$일 때,
::$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=\backslash infty$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=0$
*
::$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=0$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$
* $a=1$일 때,
::$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=1$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=1$

4. 미분

e를 밑으로 하는 지수 함수 e^x의 도함수는 e^x 자신이 된다. 미분방정식 $dy/dx\; =\; y$의 특수해는 $\backslash exp(x)$이다. 일반적인 지수함수 a^x의 도함수는 $(\backslash ln\; a)a^x\; =\; a^x\; \backslash ln\; a$가 된다.

--

수학 및 과학에서 지수 함수의 중요성은 주로 그 자체의 도함수와 같고, x=0일 때 1과 같은 유일한 함수라는 성질에서 비롯된다. 즉,
$$\backslash frac\{d\}\{dx\}e^x\; =\; e^x\; \backslash quad\backslash text\{and\}\backslash quad\; e^0=1.$$이다.

일반적으로, 변화율이 함수 자체에 비례하는 함수는 지수 함수로 표현될 수 있다. 이 도함수 특성은 지수 성장 또는 지수 감소를 야기한다. 임의의 미분 가능한 함수 f에 대해 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.
$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; e^\{f(x)\}\; =\; f\text{'}(x)\; e^\{f(x)\}.$$

밑 a의 지수 함수는 실수 전체 집합 R에서 무한히 미분 가능하며, 도함수는 다음과 같다.
$$\backslash exp\_a\text{'}(x)=\backslash ln(a)\; \backslash exp\_a(x)$$

4.1. 음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

$y\; =\; a^x$ 라 하면, $\backslash ln\; y\; =\; \backslash ln\; a^x\; =\; x\backslash ln\; a$이다. 양변을 $x$에 대해 미분하면, $\backslash frac\{1\}\{y\}\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; \backslash ln\; a\; \backslash ;\; \backslash Rightarrow\; \backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; (\backslash ln\; a\; )\; y\; =\; (\backslash ln\; a\; )\; a^x$이다.

5. 로그함수의 역함수로서의 정의

로그함수를 정적분으로 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

자연로그는 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash ln\; x=\backslash int\_\{1\}^\{x\}\; \{1\; \backslash over\; t\}\backslash ,\; dt$

이때 $y=\; \backslash ln\; x$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이 역함수를 $y=\backslash exp\; (x)$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분법에 의해

:$\{dy\; \backslash over\; dx\}=\{1\; \backslash over\; \{dx\; \backslash over\; dy\}\}=\{1\; \backslash over\; \{1\; \backslash over\; y\}\}=y$

즉, $\{d\; \backslash over\; dx\}\; \backslash exp\; (x)=\; \backslash exp\; (x)$이다. 또한, $\backslash ln\; 1=0$이므로, $\backslash exp\; (0)=1$이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 보일 수 있다.

:$\backslash exp\; (a+b)=\backslash exp\; (a)\backslash cdot\; \backslash exp\; (b)$

:$\backslash exp\; (a)=p,\; \backslash exp\; (b)=q$로 놓으면
:$a=\backslash ln\; p,\; b=\backslash ln\; q$이므로 로그의 성질에 의하여 $a+b=\backslash ln\; p+\backslash ln\; q=\backslash ln\; pq$이다.
:따라서 $\backslash exp\; (a+b)=pq=\backslash exp\; (a)\backslash cdot\backslash exp\; (b)$가 성립한다.

로그함수 $y=\backslash ln\; x$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\backslash ln\; x=1$을 만족하는 해 $x$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$는 단 하나만 존재한다. 방정식 $\backslash ln\; x=1$의 해를 $x=e$라 한다.

:$\backslash therefore\; \backslash ln\; e=1,\; \backslash exp\; (1)=e$

이제 $\backslash exp\; (x)=e^x$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

6. 그래프

함수의 그래프 $y=e^x$는 위로 향하고 있으며, $x$가 증가함에 따라 더욱 빠르게 증가한다. 그래프는 항상 $x$축 위에 있지만, $x$가 크게 음수가 될수록 $x$축에 임의로 가까워진다. 따라서 $x$축은 수평 점근선이다. 방정식 $\backslash tfrac\{d\}\{dx\}e^x\; =\; e^x$는 각 점에서 그래프의 접선의 기울기가 그 점에서의 높이(즉, $y$ 좌표)와 같다는 것을 의미한다.

밑 $a$ 의 지수 함수는 실수 전체 집합 R에서 무한히 미분 가능하며, 도함수는 $$\backslash exp\_a\text{'}(x)=\backslash ln(a)\; \backslash exp\_a(x)$$ 를 만족한다.

지수 함수는 항상 양수이므로, 그 도함수의 부호는 $\backslash ln(a)$ 의 부호에 의해서만 결정된다. 따라서 지수 함수는 밑 $a$ 가 $1$ 보다 클 때 엄밀히 단조 증가하고, $1$ 보다 작을 때는 엄밀히 단조 감소하며, $a=1$ 일 때는 상수 함수 $1$ 이다.

밑 $a$ 의 지수 함수의 극한은 $a$ 와 $1$ 의 위치 관계에 따라 결정된다:
* $a\; >\; 1$ 이면 $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; +\; \backslash infty\}a^x=+\; \backslash infty,\backslash quad\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\; \backslash infty\}a^x=0$;
* 이면 $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; +\; \backslash infty\}a^x=0,\backslash quad\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\; \backslash infty\}a^x=+\backslash infty.$

지수 함수는 멱함수에 대해 $+\backslash infty$ 로 가는 극한에서 지수 함수가 더 빠르게 발산한다는 예측 가능한 거동을 보인다:
; 극한 비교 정리:
: 임의의 실수 $a\; >\; 1$ 와 $b$ 에 대해 $$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; +\; \backslash infty\}\backslash frac\{a^x\}\{x^b\}=+\; \backslash infty$$ 가 성립한다.

지수 함수는 로그 볼록 함수(따라서 볼록)이면서 로그 오목 함수이다.

7. 지수 함수의 다양한 표현

지수 함수 f의 인수 x(실수 또는 복소수) 값은 a≡f(0), b≡f(1)/f(0), k≡f'(0)/f(0)일 때 다음과 같이 표현할 수 있다.

* ab^x
* ae^kx (k=ln b, b=e^k)
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{i=n\}\; (kx)^i\; /i\backslash ,!$
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\; (1+kx/n)^n$

7.1. 미분 가능한 함수

* 모든 $x$, $y$에 대해 $f(x+y)\; =\; f(x)\; f(y)$를 만족하는 지수 함수 $f$ (덧셈을 곱셈으로 변환; 로그 함수의 주요 성질과 반대: 곱셈을 덧셈으로 변환)는 $f(0)=1$이라는 조건과 동등하며, 일반적인 형태는 $x\backslash mapsto\; b^x$이다. 때때로 $10^x$의 값을 $x$의 역로그 또는 역로그함수 값이라고 한다.
* $f(x)=f\text{'}(x)$ (함수가 자체 도함수와 동일)를 만족하는 지수 함수 $f$의 일반적인 형태는 $x\backslash mapsto\; a\; e^x$이다.
* $f(0)=1$과 $f=f\text{'}$를 만족하는 유일한 지수 함수를 지수 함수라고 하며, 자연 지수 함수 또는 자연 역로그 함수라고도 한다. 기호는 $\backslash exp$이고, 일반적인 형태는 $x\backslash mapsto\; e^x$ 또는 $x\backslash mapsto\; \backslash exp(x)$이다.

7.2. 자연로그의 역함수

자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 $\backslash text\{exp\}(x)$ 또는 $e^x$와 같이 쓴다. 이때 $e$를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 $y=e^x$는 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 $x$의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 $x$축과 만나지 않지만, $x$축에 점점 접근해간다.

자연로그는 다음과 같이 정의한다.

$\backslash ln\; x=\backslash int\_\{1\}^\{x\}\; \{1\; \backslash over\; t\}\backslash ,\; dt$

이때 $y=\; \backslash ln\; x$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 $y=\backslash exp\; (x)$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

$\{dy\; \backslash over\; dx\}=\{1\; \backslash over\; \{dx\; \backslash over\; dy\}\}=\{1\; \backslash over\; \{1\; \backslash over\; y\}\}=y$

즉, $\{d\; \backslash over\; dx\}\; \backslash exp\; (x)=\; \backslash exp\; (x)$이다. 또한, $\backslash ln\; 1=0$ 이므로, $\backslash exp\; (0)=1$이다.

로그함수와의 역함수 관계를 이용하면 다음 등식이 성립함을 보일 수 있다.

$\backslash exp\; (a+b)=\backslash exp\; (a)\backslash cdot\; \backslash exp\; (b)$

:$\backslash exp\; (a)=p,\; \backslash exp\; (b)=q$로 놓으면
:$a=\backslash ln\; p,\; b=\backslash ln\; q$이므로 로그의 성질에 의하여 $a+b=\backslash ln\; p+\backslash ln\; q=\backslash ln\; pq$
:따라서 $\backslash exp\; (a+b)=pq=\backslash exp\; (a)\backslash cdot\backslash exp\; (b)$가 성립한다.

로그함수 $y=\backslash ln\; x$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\backslash ln\; x=1$을 만족하는 해 $x$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$는 단 하나만 존재한다. 방정식 $\backslash ln\; x=1$의 해를 $x=e$라 한다.

$\backslash therefore\; \backslash ln\; e=1,\; \backslash exp\; (1)=e$

이제 $\backslash exp\; (x)=e^x$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 $x$가 자연수일 때 $\backslash exp\; (x)=\backslash underbrace\{e\backslash times\; e\backslash times\; e\backslash times\backslash cdots\; e\}\_x$임을 보일 수 있다.

역함수 정리에 따르면 자연로그는 위 정의를 만족하는 역함수를 갖는다. 이것이 존재성을 증명하는 첫 번째 방법이다. 따라서 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\ln (\exp x)&=x\\
\exp(\ln y)&=y
\end{align}

여기서 $x$는 모든 실수이고 $y$는 모든 양의 실수이다.

7.3. 거듭제곱 급수

--

지수 함수는 다음과 같은 거듭제곱 급수의 합으로 나타낼 수 있다.
:$$$$
\begin{align}\exp(x) &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\end{align}
여기서 $n!$는 $n$의 팩토리얼(처음 $n$개의 양의 정수의 곱)이다. 이 급수는 비율 검정에 따라 모든 $x$에 대해 절대 수렴한다. 따라서 합의 도함수는 항별 미분으로 계산할 수 있으며, 이것은 급수의 합이 지수함수의 정의를 만족함을 보여준다. 이것은 존재성을 증명하는 두 번째 방법이며, 부산물로 지수 함수가 모든 $x$에 대해 정의되고 모든 곳에서 매클로린 급수의 합임을 보여준다.

7.4. 극한

함수 $f(x)=a^x$에서

$a>1$일 때 위 지수함수의 극한은 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=\backslash infty$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=0$



:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=0$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$

그리고 $a=1$일 때 위 지수함수의 극한은 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)=1$, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=1$

7.5. 함수 방정식

자연로그의 역함수인 지수 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족한다.

:$\backslash exp(x+y)=\; \backslash exp(x)\backslash cdot\; \backslash exp(y).$

이는 유일성과 함수 $f(x)=\backslash exp(x+y)/\backslash exp(y)$가 위 정의를 만족한다는 사실에서 비롯된다. 0에서의 도함수가 1이고 함수가 연속 또는 단조인 경우 이 함수 방정식을 만족하는 함수는 지수 함수임을 증명할 수 있다.

모든 $x$, $y$에 대해 $f(x+y)\; =\; f(x)\; f(y)$를 만족하는 지수 함수 $f$는 덧셈을 곱셈으로 변환하며, 이는 로그 함수의 주요 성질(곱셈을 덧셈으로 변환)과 반대된다. $f(0)=1$이라는 조건과 동등하며 일반적인 형태는 $x\backslash mapsto\; b^x$이다.

실수 지수 함수는 ℝ에서 ℝ로의 항등적으로 영이 아닌 함수로서, 적어도 한 점에서 연속이고, 합을 곱으로 사상한다. 즉, 다음을 만족하는 임의의 함수를 말한다.

:$$f(u+v)=f(u)\backslash times\; f(v)\backslash quad(\backslash forall\; u,v\backslash in\backslash mathbb\{R\})$$

이러한 함수 $f$는 어디서나 연속이고 엄밀히 양의 값을 가지며, 임의의 실수 $a\; >\; 0$에 대해 $f(1)\; =\; a$인 유일한 $f$를 밑 $a$에 대한 지수 함수라고 부른다.

바꿔 말하면, 이들 함수는 $(\backslash mathbb\{R\},\; +)$에서 $(\backslash mathbb\{R\}\_\{>0\},\; \backslash times)$로의 군 준동형 사상이며, 지수 함수 전체의 집합은 $\backslash mathbb\{R\}\_\{>0\}$에 $f\; \backslash mapsto\; f(1)$을 통해 전단사 사상이다. 관계식

:$$f(u)=f\backslash left(2\backslash frac\; u2\backslash right)\; =\backslash left[\; f\backslash left(\backslash frac\; u2\backslash right)\backslash right]^2$$

는 함수의 양의 값을 보장한다. 함수 방정식으로부터, 한 점에서 함수가 영이 아니면 임의의 점에서 영이 아님도 보장된다.

임의의 $a\; >\; 0$에 대해, 유리수 위에서 정의된 함수 $f$로서 위의 함수 방정식을 만족하고, 1에서 값 $a$를 가지는 함수의 존재와 유일성이 보장된다.

연속성의 증명 —그리고, ℚ의 ℝ에서의 조밀성에 의해— 위의 함수 방정식을 만족하고, 1에서 값 $a$를 취하며, 적어도 한 점에서 연속인 함수의 유일성이 보장된다. 그 존재성은 연속성에 의한 확장에서 얻어진다.

상수 함수 1 (이는 $a\; =\; 1$에 대응한다)를 제외한 이들 모든 함수 $f\; :\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; ]0,\; +\backslash infty[$가 전단사 사상임에 주목할 수 있다. 따라서 이들은 $(\backslash mathbb\{R\},\; +)$에서 $(\backslash mathbb\{R\}\_\{>0\},\; \backslash times)$로의 군 동형 사상을 제공한다.

그에 따라, $f$가 미분 가능하고 미분 방정식

:$$f\text{'}(x)=f\text{'}(0)\backslash times\; f(x)\backslash quad\backslash text\{단,\}\backslash quad\; f(0)=1$$

을 만족함을 보일 수 있다.

임의의 양의 실수 $a,\; b$와 임의의 실수 $x,\; y$에 대해 다음이 성립한다.

:$$$$
a^x = \exp( x \ln(a)) = e^{x \ln(a)},\quad
a^x = b^{x \log_b(a)},\quad
a^{xy} = (a^x)^y


함수 $\backslash exp\_a:\; x\; \backslash mapsto\; a^x$는 $(\backslash mathbb\{R\},\; +)$에서 $(\backslash mathbb\{R\}\_\{>0\},\; \backslash times)$로의 아벨 군의 군 준동형이다.

:$$$$
a^{x + y} = a^xa^y,\quad
a^0 = 1,\quad
\frac1{a^x}=a^{-x}.


이러한 준동형 사상 $\backslash exp\_a$의 전체는, $a\; \backslash mapsto\; \backslash exp\_a$를 통해 $(\backslash mathbb\{R\}\_\{>0\},\; \backslash times)$에 군 동형이다.

:$$$$
a^xb^x = (a b)^x,\quad
1^x=1,\quad
\frac1{a^x} = \left(\frac{1}{a} \right)^x,\quad
a^1 = a.


따라서 $(\backslash mathbb\{R\},\; +)$에도 동형이다(일매개변수군).

8. 일반 지수 함수

때때로 '지수 함수'는 지수에 인수가 포함된 모든 함수를 가리키는 이름으로 사용되기도 한다. 예를 들어 $x\backslash mapsto\; a^\{2x+c^2\}$ 와 $x\backslash mapsto\; a^\{x^2+2c\}$와 같은 함수를 지수 함수라고 부르기도 한다. 하지만 이러한 용법은 심각한 단점이 있다.

일반적인 지수 함수 $f$는 다음과 같은 (동등한) 조건을 만족한다.

* 모든 $u$, $v$, $d$에 대해: $f(u+d)/f(u)\; =\; f(v+d)/f(v)$ (정의역에서 '차이가 같은' 인수 쌍은 공역에서 '비율이 같은' 값 쌍에 매핑된다). 즉, 모든 $d$에 대해 $f(x+d)/f(x)$의 값은 $x$에 무관하다.
* 모든 $u$, $v$에 대해: $f\text{'}(u)/f(u)\; =\; f\text{'}(v)/f(v)$. 즉, $f\text{'}(x)/f(x)$의 값은 $x$에 무관하다. 이 상수 값을 때때로 함수 $f$의 '속도 상수'라고 하며, 기호 $k$로 나타낸다.
* $(f(u)/f(v))^\{1/(u-v)\}$의 값은 $u$와 $v$에 무관하다. 즉, $(f(x+d)/f(x))^\{1/d\}$의 값은 $x$와 $d$에 무관하다. 이 상수 값을 함수 $f$의 '밑'이라고 한다.

좁은 의미의 양의 실수 $a$에 대하여, 1 이상의 정수 $n$에 대해, $a^n$를 $a$를 $n$개 곱한 것으로 정의할 수 있다.

:$$$$
\exp_a(n) = a^n := \underset{n \text{ factors}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}


또한 $a^0\; :=\; 1$ 및 $a^\{-n\}\; :=\; \backslash frac\{1\}\{a^n\}$으로 정의한다. 이때, $a^\{n+m\}=a^n\; \backslash times\; a^m$이 성립한다.

이러한 구성은 지수 함수적 성장 또는 지수 함수적 감쇠 현상에 자연스럽게 대응된다.

등비수열의 예시는 다음과 같다.

* 예 1: 인구가 10년마다 30% 증가하는 상황을 가정하면, 1900년의 인구가 $N$일 때, 1910년, 1920년, … 의 인구는 $N\; \backslash times\; 1.3$, $N\; \backslash times\; 1.3^2$, … 와 같이 계산할 수 있으며, $n$ 10년 후에는 $N\; \backslash times\; 1.3^n$이 된다. 1890년, 1880년, … 의 인구는 $N\; \backslash times\; 1.3^\{-1\}$, $N\; \backslash times\; 1.3^\{-2\}$, … 가 된다.
* 예 2: 탄소-14는 방사성 붕괴의 반감기 $T$ = 5730년을 갖는다(즉, $T$년마다 방사성 입자의 수가 절반이 된다). 어떤 시점에서 측정한 방사성 입자의 수가 $N$이라면, $n$ 주기 후에는 방사성 입자의 수는 $N\; \backslash times\; (1/2)^n$밖에 없다.

2개의 측정 시점 "사이"에서의 인구나 방사성 입자의 수를 결정하는 것은 -제곱근을 통해 가능하다. 예를 들어 인구가 10년에 1.3배가 될 때, 1년마다 몇 배가 되는지를 결정하려면, $q^\{10\}\; =\; 1.3$을 만족하는 실수 $q$, 즉 $q\; =\; \backslash sqrt[10]\{1.3\}$ ( $1.3^\{1/10\}$이라고도 쓴다)를 계산하면 된다.

비정수(유리수) $r$의 거듭제곱(유리수 거듭제곱) $a^r$은, $$\backslash exp\_a(1/q)=a^\{1/q\}\; =\; \backslash sqrt[q]\; a,$$ 및 $$\backslash exp\_a(p/q)=a^\{p/q\}\; =\; (\backslash sqrt[q]\; a)^p\; =\; \backslash sqrt[q]\{a^p\}$$라는 "틈 메우기"를 하면 임의의 유리수에 대해서는 정의할 수 있다.

실수 $x$에 대한 $a^x$의 정의에는 연속성에 관한 논의를 사용한다. 즉, $x$에 한없이 가까운 유리수 $p/q$를 취하여, $a^x$의 값은 $a^\{p/q\}$의 극한으로 정의한다.

$x\; \backslash mapsto\; a^x$는
* 함수이다.
* 항등식 $a^\{x\; +\; y\}\; =\; a^x\; \backslash cdot\; a^y$을 만족한다. 즉 합이 곱으로 사상된다.
* 연속이다.
* 로그 함수(이는 곱을 합으로 사상한다)의 역함수이다.
* 미분 가능하며, 또한 도함수가 원함수에 비례한다.

지수 함수의 정의에는 여러 관점이 있으며, 합을 곱으로 매핑하는 대수적 성질, 도함수가 자신에 비례하는 미분적 성질, 지수 함수와 로그 함수의 관계 등에 기반한다.

9. 복소 지수 함수

복소 지수 함수는 실수 인수에 대한 멱급수 정의에서 실수 변수를 복소수로 대체하여 정의할 수 있다.
:$$\backslash exp\; z\; :=\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\backslash frac\{z^k\}\{k!\}$$

또는, 실수 변수가 복소수로 대체된 실수 인수에 대한 극한 정의를 모델링하여 복소 지수 함수를 정의할 수도 있다.
:$$\backslash exp\; z\; :=\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1+\backslash frac\{z\}\{n\}\backslash right)^n$$

멱급수 정의를 이용하면, 코시 곱을 통해 지수 함수의 곱셈 성질이 모든 복소수에 대해서도 성립함을 보일 수 있다.
:$$\backslash exp(w+z)=\backslash exp\; w\backslash exp\; z\; \backslash text\; \{\; for\; all\; \}\; w,z\backslash in\backslash mathbb\{C\}$$

복소 지수 함수의 정의는 삼각 함수를 복소 인수로 확장하는 정의로 이어진다. t^영어가 실수일 때, 급수 정의는 다음과 같이 전개된다.
:$$\backslash exp(it)\; =\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{t^2\}\{2!\}+\backslash frac\{t^4\}\{4!\}-\backslash frac\{t^6\}\{6!\}+\backslash cdots\; \backslash right)\; +\; i\backslash left(t\; -\; \backslash frac\{t^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{t^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{t^7\}\{7!\}+\backslash cdots\backslash right).$$

여기서 실수 부분과 허수 부분은 각각 cos t^영어와 sin t^영어의 급수 전개와 일치한다.

이러한 관계를 바탕으로 복소수 z에 대한 코사인 함수와 사인 함수는 다음과 같이 정의된다.
:$$\backslash begin\{align\}$$
& \cos z:= \frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}, \\[5pt]
\text{and } \quad & \sin z := \frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}
\end{align}

이렇게 정의된 지수 함수, 코사인 함수, 사인 함수는 비율 판정법에 의해 무한한 수렴 반지름을 가지므로 정함수(즉, 복소 평면 전체에서 정칙)이다.

오일러 공식은 복소 지수 함수와 삼각 함수 사이의 관계를 나타낸다.
:$$\backslash exp(iz)=\backslash cos\; z+i\backslash sin\; z\; \backslash text\; \{\; for\; all\; \}\; z\backslash in\backslash mathbb\{C\}.$$

복소 지수 함수는 주기 를 가지는 주기 함수이며, 다음 식이 성립한다.
:$\backslash exp(z+2\backslash pi\; i\; k)=\backslash exp\; z$ (단, 모든 , )

10. 행렬 지수 함수

행렬 지수 함수는 정사각 행렬에 대해 지수 함수의 멱급수 정의를 적용하여 정의한다. 이는 리 군과 리 대수 이론에서 중요한 역할을 한다.

지수 함수의 멱급수 정의는 정방 행렬(이 경우 함수는 행렬 지수 함수라고 함)에 대해서, 그리고 더 일반적으로는 모든 단위를 갖는 바나흐 대수에서 의미가 있다. 이러한 설정에서 $e^0\; =\; 1$이며, $e^x$는 $B$의 모든 $x$에 대해 역원 $e^\{-x\}$를 갖는 가역 원소이다. $xy\; =\; yx$인 경우 $e^\{x+y\}\; =\; e^x\; e^y$이지만, 이 항등식은 비가환적인 $x$와 $y$에 대해서는 성립하지 않을 수 있다.

몇 가지 대안적인 정의가 같은 함수를 이끌어낸다. 예를 들어, $e^x$는 다음과 같이 정의될 수 있다.

$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{x\}\{n\}\; \backslash right)^n\; .$$

또는 $e^x$는 $f\_x(1)$로 정의될 수 있는데, 여기서 $f\_x\; :\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; B$는 초기 조건 $f\_x(0)\; =\; 1$을 갖는 미분 방정식 $\backslash frac\{df\_x\}\{dt\}(t)\; =\; x\; f\_x(t)$의 해이다. 따라서 $f\_x(t)\; =\; e^\{tx\}$는 $\backslash mathbb\{R\}$의 모든 $t$에 대해 성립한다.

리 군 $G$ 및 그에 관련된 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$가 주어지면, 지수 사상은 유사한 성질을 만족하는 $\backslash mathfrak\{g\}\; \backslash mapsto\; G$ 사상이다. 사실, $\backslash mathbb\{R\}$은 곱셈에 대한 모든 양의 실수의 리 군의 리 대수이기 때문에, 실수 인수에 대한 보통의 지수 함수는 리 대수 상황의 특수한 경우이다. 마찬가지로, 가역 $n\; \backslash times\; n$ 행렬의 리 군 $GL(n,\; \backslash mathbb\{R\})$의 리 대수는 모든 $n\; \backslash times\; n$ 행렬의 공간인 $M(n,\; \backslash mathbb\{R\})$이므로, 정방 행렬에 대한 지수 함수는 리 대수 지수 사상의 특수한 경우이다.

11. 초월성

함수 e^영어z는 유리 함수환 $\backslash mathbb\{C\}(z)$에 속하지 않는데, 복소수 계수를 갖는 두 다항식의 몫이 아니기 때문이다.

a^영어₁, ..., a^영어_n이 서로 다른 복소수일 때, e^{영어a영어₁z영어}, ..., e^{영어a영어_nz영어}는 $\backslash mathbb\{C\}(z)$ 위에서 일차 독립이며, 따라서 e^영어z는 $\backslash mathbb\{C\}(z)$ 위에서 초월적이다.

12. 계산

x^영어=0 근처의 인수를 계산할 때, 의 값을 직접 계산하는 expm1 함수를 사용하는 것이 유용할 수 있다. 이는 윌리엄 카한이 제안했다. 예를 들어, 다음과 같은 테일러 급수를 사용할 수 있다.

$$e^x-1=x+\backslash frac\; \{x^2\}2\; +\; \backslash frac\{x^3\}6+\backslash cdots\; +\backslash frac\{x^n\}\{n!\}+\backslash cdots.$$

이 함수는 1979년 휴렛 패커드(Hewlett-Packard) HP-41C 계산기에 처음 구현되었으며, 여러 계산기, 운영 체제(예: 버클리 유닉스 4.3BSD), 컴퓨터 대수 시스템, 프로그래밍 언어(예: C99) 등에서 제공된다.

기저 외에도, IEEE 754-2008 표준은 2와 10을 기저로 하는 0 근처의 유사한 지수 함수로 과 을 정의한다.

로그에도 유사한 방법이 사용되었다(lnp1 참조).

쌍곡선 탄젠트 항등식,

$$\backslash operatorname\{expm1\}\; (x)\; =\; e^x\; -\; 1\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash tanh(x/2)\}\{1\; -\; \backslash tanh(x/2)\},$$

은 를 구현하지 않는 시스템에서 작은 값에 대해 고정밀도 값을 제공한다.