곰퍼츠 함수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 벤자민 곰퍼츠
- 2.2. 윌리엄 메이컴
3. 공식
- 3.1. 성질
4. 응용 분야
5. 역 곰퍼츠 함수
참조

1. 개요

곰퍼츠 함수는 1825년 벤자민 곰퍼츠가 발표한 함수로, 생명표 데이터 축소에 사용되었으며, 사람의 나이가 들수록 사망률이 기하급수적으로 증가한다는 가정을 기반으로 한다. 이 함수는 $f(t)=a\mathrm{e}^{-b\mathrm{e}^{-ct}}$ 의 형태로 표현되며, 휴대 전화 보급률, 종양 성장, 인구 증가 등 다양한 분야의 모델링에 활용된다. 곰퍼츠 함수는 역함수를 가지며, 특정 값을 갖는 시간을 계산하는 데 사용될 수 있다.

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곰퍼츠 함수
일반 정보
이름	곰퍼츠 함수
유형	초월 함수
분야	수학, 생물학, 인구통계학
발명가	벤자민 곰퍼츠
발명 연도	1825년
정의
일반적인 형태	y(t) = A * exp(-exp(b - c * t))
A	상한선
b	최대 성장률
c	성장률의 가속도
초기값	A * exp(-exp(b))
특징
점근선	y = 0 및 y = A
변곡점	t = b/c
활용
응용 분야	세포 성장 모델링 종양 성장 모델링 인구통계학 마케팅 기계 학습
관련 함수
관련 함수	로지스틱 함수

2. 역사

벤자민 곰퍼츠는 런던에서 사립 교육을 받은 보험 계리사였다.^[1] 그는 1819년에 왕립 학회의 회원이 되었다. 이 함수는 1825년 6월 16일에 발표된 그의 논문 518페이지 하단에 처음 소개되었다.^[2] 곰퍼츠 함수는 생명표에 있는 상당한 양의 데이터를 단일 함수로 축소했으며, 사람의 나이가 들수록 사망률이 기하급수적으로 증가한다는 가정을 기반으로 한다.

사망률 함수 모델에 대한 초기 연구는 1750년대에 프랑스 수학자 아브라함 드 무아브르에 의해 수행되었다.^[3]^[4] 그러나 드 무아브르는 사망률이 일정하다고 가정했다.

2. 1. 벤자민 곰퍼츠

벤자민 곰퍼츠(1779–1865)는 런던에서 사립 교육을 받은 보험 계리사였다.^[1] 그는 1819년에 왕립 학회의 회원이 되었다. 1825년 6월 16일, 곰퍼츠는 자신의 논문 518페이지 하단에 곰퍼츠 함수를 처음 소개하였다.^[2] 곰퍼츠 함수는 생명표에 있는 상당한 양의 데이터를 단일 함수로 축소한 것으로, 사람의 나이가 들수록 사망률이 기하급수적으로 증가한다는 가정을 기반으로 한다. 이 함수는 주어진 나이에 생존하는 개인의 수를 나이의 함수로 나타낸 것이다.

사망률 함수 모델에 대한 초기 연구는 1750년대 프랑스 수학자 아브라함 드 무아브르(1667–1754)에 의해 수행되었다.^[3]^[4] 그러나 드 무아브르는 사망률이 일정하다고 가정했다. 이후 1860년에 영국의 보험 계리사이자 수학자인 윌리엄 매튜 메이컴(1826–1891)은 곰퍼츠의 연구를 확장하여 지수 증가율에 일정한 배경 사망률을 추가했다.^[5]

2. 2. 윌리엄 메이컴

1860년, 영국의 보험계리사이자 수학자인 윌리엄 메이컴(1826–1891)은 곰퍼츠 함수에 상수 배경 사망률을 추가하여 모델을 확장했다.^[5] 이는 곰퍼츠-메이컴 사망 법칙으로 알려져 있다.

3. 공식

곰퍼츠 함수는 다음과 같은 수식으로 표현된다.

: $f(t)=a\mathrm{e}^{-b\mathrm{e}^{-ct}}$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

''a''는 점근선이다. ( $\lim_{t \to \infty} a\mathrm{e}^{-b\mathrm{e}^{-ct }}=a\mathrm{e}^0=a$ )
''b''는 x축 방향으로의 이동을 나타낸다.
''c''는 성장률을 설정한다.
e는 오일러 수 (e = 2.71828...)이다.

3. 1. 성질

곰퍼츠 함수

f(t)=a\mathrm{e}^{-b\mathrm{e}^{-ct}}

는 아핀 변환을 거치면

f(t) = e^{-e^{-t}}

와 동일한 형태를 갖는다.

절반 지점은

f(t) = a/2

를 t에 대해 풀어 구하며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

t_{hwp} = \frac{\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}

최대 증가율 지점(

0.368a

)은

\frac{d^2}{dt^2} f(t) = 0

을 t에 대해 풀어 구하며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

t_{max} = \ln(b)/c

t_{max}

에서의 증가율은 다음과 같다.

:

\max\left(\frac{df}{dt}\right) = \frac{a c}{e}

4. 응용 분야

곰퍼츠 함수는 다양한 현상을 설명하는데 사용된다.

휴대 전화 보급률: 초기에 비용이 높아 보급이 느렸지만, 이후 급격하게 성장하여 포화 상태에 도달하면서 성장세가 둔화되는 현상을 보인다.^[6]
인구: 제한된 공간 내에서 출생률이 처음에는 증가하다가 자원 제약으로 인해 둔화되는 현상을 보인다.^[7]
종양 성장 모델링^[8]
수소의 우주 재이온화 모델링^[9]
금융 시장 영향 모델링 및 지방 정부 대출 역학 분석^[10]^[11]
포식자-피식자 관계에서 먹이 동물 개체수 증가 분석
개체군 내 박테리아 세포 모델링
질병 확산 연구
영어 위키백과의 크기는 곰퍼츠 함수와 수정된 함수를 사용하여 어느 정도 모델링할 수 있다.^[12]

4. 1. 인구 통계학

인구는 초기에는 빠르게 증가하다가 자원 제약 등으로 인해 증가율이 둔화되는 현상을 보이는데, 곰퍼츠 함수는 이러한 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다.^[7] 개체군 생물학은 특히 곰퍼츠 함수와 관련이 깊다. 이 함수는 특정 유기체 집단의 급격한 성장을 설명하는 데 유용하며, 수용 능력이 결정되면 결국 수평 점근선을 설명할 수 있다.

이는 다음과 같이 모델링된다.

:

N(t)=N_0\exp(\ln(N_I/N_0)(1-\exp(-bt)))

여기서:

$t$ 는 시간이다.
$N_0$ 는 초기 세포 밀도이다.
$N_I$ 는 정체기 세포/개체군 밀도이다.
$b$ 는 종양 성장 초기 속도이다.

이 함수는 정체기 세포 수를 고려하여 실제 개체군 역학을 정확하게 모방하는 데 유용하다. 또한 이 함수는 일반적으로 개체군 성장을 자세히 설명하는 가장 널리 받아들여지는 규칙인 시그모이드 함수를 따른다.

4. 2. 종양 성장

1960년대 A.K. 레어드는 곰퍼츠 곡선을 사용하여 종양의 성장 데이터를 성공적으로 맞추었다.^[13] 종양은 제한된 공간에서 성장하는 세포 집단이며, 영양분 공급이 제한되므로 성장 속도가 둔화되는 경향을 보인다.

곰퍼츠 곡선은 종양 크기(X(t))를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

X(t) = K \exp\left(\log\left(\frac{X(0)}{K} \right) \exp\left(-\alpha t \right) \right)

여기서:

$X(0)$ 는 관찰 시작 시점의 종양 크기이다.
$K$ 는 수용 능력, 즉 사용 가능한 영양분으로 도달할 수 있는 최대 크기이다.
$\alpha$ 는 세포 증식 능력과 관련된 상수이다.
$\log()$ 는 자연 로그를 나타낸다.

X(t)

의 변화는 곰퍼츠 미분 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

X^{\prime}(t) = \alpha \log\left(\frac{K}{X(t)} \right) X(t)

세포 집단의 즉각적인 증식률(

F(X)

)은 세포 수가 증가하면서 영양분 경쟁으로 인해 감소하는데, 이는 로지스틱 성장과 유사하다. 그러나 로지스틱 성장에서는 작은 세포 집단의 증식률이 유한하지만, 곰퍼츠 성장에서는 증식률이 무제한이라는 차이점이 있다.

:

\lim_{X \rightarrow 0^{+} } F(X) =  \lim_{X \rightarrow 0^{+} } \alpha \log\left(\frac{K}{X}\right) = +\infty

스틸^[14]과 웰던^[15]은 세포 분열 시간에 의해 증식률이 제한되므로, 곰퍼츠 방정식이 작은 종양의 성장을 모델링하는 데는 적합하지 않을 수 있다고 언급했다. 또한, 면역 체계와의 상호 작용을 고려하면 무제한

F(0)

을 가지는 곰퍼츠 법칙은 면역 감시 가능성을 배제한다는 연구 결과도 있다.^[16]

4. 3. 기술 보급

휴대 전화 보급률은 초기에 비용이 높아 보급이 느렸지만, 이후 급격하게 성장하여 포화 상태에 도달하면서 성장세가 둔화되었다.^[6] 곰퍼츠 함수는 이러한 휴대 전화 보급률 변화를 모델링하는 데 사용될 수 있다.

4. 4. 기타 응용

휴대 전화 보급률: 초기에는 높은 비용으로 인해 보급이 느리지만, 이후 급격한 성장을 거쳐 포화 상태에 도달하면서 성장세가 둔화되는 현상을 설명하는 데 사용된다.^[6]
제한된 공간 내 인구: 출생률이 처음에는 증가하다가 자원 제약으로 인해 둔화되는 현상을 모델링한다.^[7]
종양 성장 모델링^[8]
재이온화에 대한 수소의 우주 재이온화 모델링^[9]
금융 시장 영향 모델링^[10] 및 지방 정부 대출 역학 분석^[11]
포식자-피식자 관계에서 먹이 동물 개체수 증가에 대한 상세 분석
개체군 내 박테리아 세포 모델링
질병 확산 연구
영어 위키백과의 크기는 곰퍼츠 함수와 수정된 함수를 사용하여 어느 정도 모델링할 수 있다.^[12]

4. 5. 곰퍼츠 곡선과 로지스틱 곡선

일반화 로지스틱 미분 방정식의 극한 경우가 곰퍼츠 미분 방정식이다.

X^{\prime}(t) = \alpha \nu \left(1 - \left(\frac{X(t)}{K}\right)^{\frac{1}{\nu}} \right) X(t)

(

\nu > 0

는 양의 실수)이다. 왜냐하면

\lim_{\nu \rightarrow +\infty} \nu \left(1 - x^{1/\nu} \right) = -\log \left(x \right)

이기 때문이다.

일반화된 로지스틱 함수 그래프에는

X(t) = \left(\frac{\nu}{\nu+1} \right)^{\nu} K

에서 변곡점이 존재한다.

곰퍼츠 함수의 그래프에는

X(t) = \frac{K}{e} = K \cdot \lim_{\nu \rightarrow +\infty} \left(\frac{\nu}{\nu+1} \right)^{\nu}

에서 변곡점이 존재한다.

5. 역 곰퍼츠 함수

곰퍼츠 함수는 전단사 함수이므로 역함수를 정의할 수 있다. 곰퍼츠 함수는 다음과 같은 형태로 주어진다.

$f(t)=a\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{b -ct}}+d$

여기서

''d''는 밑면 수평 점근선이다. 왜냐하면 $\lim_{t \to -\infty} a\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{b-ct }} + d=a\mathrm{e}^{-\infty} + d = d$ 이기 때문이다.
''a''는 밑면에서 두 번째 점근선까지의 거리이다. 왜냐하면 $\lim_{t \to \infty} a\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{b-ct }}+d=a\mathrm{e}^0+d=a+d$ 이기 때문이다.
''b''는 ''x''축을 따라 변위를 설정한다(그래프를 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동).
''c''는 성장률(''y'' 스케일링)을 설정한다.
''e''는 오일러 수(''e'' = 2.71828...)이다.

이에 대응하는 역 곰퍼츠 함수는 다음과 같이 표현된다.

f^{-1}(t)= \frac{1}{c} \left[b - \ln \left( \ln \left(\frac{a}{t-d}\right)  \right) \right]

역함수는 두 점근선 사이의 실수 집합에서만 값을 가지며, 이는 원래 곰퍼츠 함수와는 달리 수평이 아닌 수직이다. 수직 점근선에 의해 정의된 범위를 벗어나면 역함수는 음수의 로그를 계산해야 한다. 이러한 이유로, 특히 데이터 포인트가 적은 경우 역 곰퍼츠 함수를 데이터에 직접 맞추는 것은 비실용적이다. 대신, 데이터의 전치 관계를 정방향 곰퍼츠 함수에 맞춘 다음, 위에 주어진 두 함수 간의 관계를 사용하여 이를 동등한 역함수로 변환할 수 있다.

역 곰퍼츠 함수는 여러 용도로 사용될 수 있다. 예를 들어, 특정 ELISA 분석법은 표준 곡선을 가지며, 농도는 곰퍼츠 함수에 의해 광학 밀도에 매우 잘 맞을 수 있다. 표준이 곰퍼츠 함수에 맞춰지면, 표준 곡선을 맞출 때 생성된 곰퍼츠 함수의 역함수를 사용하여 측정된 광학 밀도에서 분석법의 알려지지 않은 샘플 농도를 계산할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Deciphering death: a commentary of Gomperz (1825)'On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies' 2015
_[2] 논문 On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies https://zenodo.org/r[...] 1825
_[3] 서적 Annuities upon Lives … https://books.google[...] Francis Fayram, Benj. Motte, and W. Pearson 1725
_[4] 논문 Laws of Mortality from the Biological Point of View 1928
_[5] 논문 On the law of mortality and the construction of annuity tables https://archive.org/[...] 1860
_[6] 논문 Modelling multinational telecommunications demand with limited data
_[7] 논문 Modeling of the bacterial growth curve 1990-06
_[8] 논문 Cancer stem cell tumor model reveals invasive morphology and increased phenotypical heterogeneity 2010-01
_[9] 논문 Five parameters are all you need (in ΛCDM) 2024
_[10] 논문 Optimal growth trajectories with finite carrying capacity 2016-08
_[11] 논문 Is the public sector of your country a diffusion borrower? Empirical evidence from Brazil 2017-10-05
_[12] 웹사이트 Wikipedia:Modelling Wikipedia's growth https://en.wikipedia[...] 2023-03-18
_[13] 논문 Dynamics of Tumor Growth 1964-09
_[14] 서적 Growth Kinetics of Tumors Clarendon Press
_[15] 서적 Mathematical Models in Cancer Research Adam Hilger
_[16] 논문 A general framework for modeling tumor-immune system competition and immunotherapy: Mathematical analysis and biomedical inferences
_[17] 논문 Possible Source of the Gompertz Law of Proliferating Cancer Cells: Mechanistic Modeling of Tumor Growth

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